专题02 整式、因式分解（6大题型37题）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题02 整式、因式分解 题型概览 题型01 代数式及其应用 题型02 整式 题型03 同底数幂的乘法 题型04 同底数幂的除法 题型05 整式的化简求值 题型06 因式分解 ( 题型01 )代数式及其应用 1．（2025·河南平顶山·一模）若一支钢笔的价格为元，则表示的意义是 ． 【答案】5支钢笔的总价 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，理解代数式中的每一部分的意义是解题关键．根据一支钢笔的价格为元，、表示5支钢笔的总价，由此即可得． 【详解】解：若一支钢笔的价格为元，则表示的意义是5支钢笔的总价， 故答案为：5支钢笔的总价． 2．（2025·河南南阳·一模）一支工程队每天修路a米，则b天可修路 米． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，理解“工作效率乘以工作时间等于工作量”是解题关键． 根据“工作效率乘以工作时间等于工作量”即可列代数式． 【详解】解：每天修路a米，则b天可修路米， 故答案为：． 3．（2025·河南南阳·一模）洛阳市特产孟津梨是全国农产品地理标志产品．某超市孟津梨的标价是10元/千克．小华按七折购买了m千克，需付款 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，用百分数乘法进行列代数式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（2025·河南开封·一模）某校七年级共有 名学生报课后兴趣班（每名学生只报一个兴趣班），其中有一半学生报的是绘画班，则 报其余兴趣班的学生共 名． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键. 根据题意列代数式即可. 【详解】解：根据题意报其余兴趣班的学生为（名）， 故答案为：. ( 题型02 )整式 5．（2025·河南三门峡·一模）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】此题考查单项式的系数．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此进行解答即可． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为： 6．（2025·河南濮阳·一模）请写出一个含有字母和，且次数为3的单项式 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了单项式的定义．解答此题关键是构造单项式的系数和次数，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键． 根据单项式系数、次数的定义来求解，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：先构造系数，例如为2，然后使a、b的指数和是3． 则如：(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 7．（2025·河南郑州·一模）写出一个同时满足下列条件的二次三项式： 只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的概念，多项式的次数、项数的概念，按某字母降幂排列，熟记多项式的次数，项数概念是解题的关键． 根据多项式次数，项数的定义，降幂排列求解即可． 【详解】解：∵二次三项式满足：只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列， ∴这个多项式可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（2025·河南·一模）单项式的次数是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了单项式，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，直接利用单项式次数的定义得出答案． 【详解】解：的次数为：． 故答案为：3． 9．（2025·河南·一模）写出一个含有因式的多项式 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、多项式的定义，根据平方差公式，得出一个含有因式的多项式，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴一个含有因式的多项式 故答案为：（答案不唯一） ( 题型03 )同底数幂的乘法 10．（2025·河南平顶山·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 11．（2025·河南洛阳·一模）化简结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，先根据同底数幂的乘法可得底数为，再利用幂的乘方计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 12．（2025·河南平顶山·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于幂的运算，解决本题的关键是根据关于幂的运算的法则计算出正确结果，根据计算结果判断各选项是否正确． 【详解】解：A选项：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：，故A选项错误； B选项：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：，故B选项错误； C选项：根据任何不为的数的次幂为，可得：，故C选项错误； D选项：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，故D选项正确． 故选：D． 13．（2025·河南周口·一模）下列算式中，运算结果为的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 分别根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算以及合并同类项法则判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、， 故选：B． 14．（2025·河南焦作·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的减法，同底数幂乘法运算，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原式错误，故此选项不符合题意； D、，原式错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 15．（2025·河南周口·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数幂的运算公式，由指数幂的运算公式即可判断各个选项的正误，进而得到答案．熟练掌握相关公式是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不正确； B、，故该选项不正确； C、，故该选项不正确； D、，故该选项正确， 故选：D． 16．（2025·河南周口·一模）计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 17．（2025·河南三门峡·一模）若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘，由题意可得，将式子变形为，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 故选：D． ( 题型0 4 )同底数幂的除法 18．（2025·河南洛阳·一模）下列计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是同底数幂的除法、完全平方公式、积的乘方、合并同类项，解题关键是熟练掌握相关运算．结合同底数幂的除法、完全平方公式、积的乘方、合并同类项对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A选项，，运算正确，符合题意； B选项，，运算错误，不符合题意； C选项，，运算错误，不符合题意； D选项，、不是同类项，运算错误，不符合题意． 故选：A． 19．（2025·河南省直辖县级单位·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的减法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式，根据二次根式的减法、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则以及完全平方公式逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A. ，原计算错误，故此选项不符合题意；     B. ，原计算错误，故此选项不符合题意； C. ，原计算正确，故此选项符合题意；     D. ，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 20．（2025·河南洛阳·一模）若“※”代表一种运算，且，则“※”代表的运算符号可以是（   ） A．+ B．- C．× D．÷ 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂除法，根据当底数相同的两个幂相除时，其结果为底数不变，指数相减，据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴“※”代表的运算符号可以是÷， 故选D． 21．（2025·河南南阳·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方，运用相关知识计算各选项，然后再判断即可． 【详解】解：A.，原选项计算错误，不符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意， 故选：D． 22．（2025·河南信阳·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方等于各因式分别乘方的积；同底数幂相除，底数不变，指数相减；分别应用运算法则进行计算即可判断． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 23．（2025·河南郑州·一模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． ( 题型0 5 )整式的化简求值 24．（2025·河南周口·一模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别求特殊角的三角函数值和进行零指数幂以及化简绝对值计算，再进行加减计算； （2）利用平方差公式和单项式乘以多项式法则展开，再进行合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 25．（2025·河南安阳·一模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算、整式化简及平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先分别利用立方根、绝对值、负整数指数幂的性质进行计算，再合并同类项即可； （2）先利用平方差公式和单项式乘多项式运算法则进行化简，再合并同类项即可，注意当括号前面是负号，去括号时，括号里面各项都要变号． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 26．（2025·河南南阳·一模）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算等知识，解题的关键是： （1）根据零指数幂的意义，立方根的定义，绝对值的意义，二次根式的加减法则等计算即可； （2）根据平方根法则、多项式除以单项式法则以及合并同类项法则等计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 27．（2025·河南许昌·一模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先化简绝对值和负整数指数幂，再进行加减计算即可； （2）先利用完全平方公式以及单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可． 本题考查完全平方公式、单项式乘多项式，化简绝对值和负整数指数幂，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） ． 28．（2025·河南驻马店·一模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是整式的混合运算，负整数指数幂的含义，二次根式的加减运算； （1）先化简绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，再合并即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式计算整式的乘法运算，再合并即可． 【详解】解：（1） ； （2） 29．（2025·河南郑州·一模）（1）解方程组： （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2），6 【分析】此题考查解二元一次方程组，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）利用加减法解方程组； （2）先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，再计算加减法． 【详解】解：（1）， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2） ， ∵，， ∴原式． 30．（2025·河南开封·一模）（1）计算：       （2）化简；． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先乘方，求立方根，再利用特殊角的三角函数值计算即可； （2）先进行括号内计算，再计算除法即可. 【详解】解：（1） ； （2） . 31．（2025·河南郑州·一模）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算、整式的混合运算法则等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂化简，然后再合并同类二次根式即可解答； （2）直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 32．（2025·河南郑州·一模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． （3）化简：． 【答案】（）；（），；（）． 【分析】（）根据零指数幂，负整指数幂法则，绝对值的意义，算术平方根定义进行计算即可； （）根据单项式乘以多项式，平方差公式法则进行计算即可； （）先算括号内的分式加法，再算分式除法即可； 本题考查了实数的运算，整式的化简求值，分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键， 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ， 当，时， 原式 ； （）原式 ． ( 题型0 6 )因式分解 33．（2025·河南周口·一模）分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用提取公因式法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 34．（2025·河南周口·一模）（1）计算：； （2）代数推理：若是一个整数，试证明是一个偶数． 【答案】（1）1；（2）见详解 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解的应用，解题的关键是： （1）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义等计算即可； （2）先根据提取公因式法因式分解，然后分m为奇数和偶数两种情况讨论即可． 【详解】解∶（1）原式 ； 证明：（2）， 当m为奇数时，是偶数， ∴是偶数； 当m为偶数时，是奇数， ∴是偶数， 综上，是偶数． 35．（2025·河南郑州·一模）分解因式 ；若a是整数，则一定能被整数k（k是一位整数）整除，整数k的最大值是 ． 【答案】 6 【分析】此题考查了因式分解以及应用，先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，然后得到，，是三个连续的整数，进而求解即可． 【详解】解： ； ∵a是整数， ∴，，是三个连续的整数 ∴能被，，，整除 ∴整数k的最大值是6． 故答案为：，6． 36．（2025·河南郑州·一模）如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）． (1)2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？ (2)数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”． 设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？ 【答案】(1)91 (2)能够被2整除，理由见解析 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据2025年是本世纪的“平方年”（），得出下一个“平方年”是，求解即可； （2）算出，即可求解． 【详解】（1）解：∵2025年是本世纪的“平方年”（）， ∴2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是． （2）解：能够被2整除．                             理由如下： 由题意，得． 能被2整除， 由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除． 37．（2025·河南郑州·一模）把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 【答案】 积 整式乘法 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义即可求解，解题的关键是正确理解掌握因式分解的意义． 【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于整式乘法， 故答案为：积，整式乘法． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式、因式分解 题型概览 题型01 代数式及其应用 题型02 整式 题型03 同底数幂的乘法 题型04 同底数幂的除法 题型05 整式的化简求值 题型06 因式分解 ( 题型01 )代数式及其应用 1．（2025·河南平顶山·一模）若一支钢笔的价格为元，则表示的意义是 ． 2．（2025·河南南阳·一模）一支工程队每天修路a米，则b天可修路 米． 3．（2025·河南南阳·一模）洛阳市特产孟津梨是全国农产品地理标志产品．某超市孟津梨的标价是10元/千克．小华按七折购买了m千克，需付款 元． 4．（2025·河南开封·一模）某校七年级共有 名学生报课后兴趣班（每名学生只报一个兴趣班），其中有一半学生报的是绘画班，则 报其余兴趣班的学生共 名． ( 题型02 )整式 5．（2025·河南三门峡·一模）单项式的系数是 ． 6．（2025·河南濮阳·一模）请写出一个含有字母和，且次数为3的单项式 ． 7．（2025·河南郑州·一模）写出一个同时满足下列条件的二次三项式： 只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列． 8．（2025·河南·一模）单项式的次数是 ． 9．（2025·河南·一模）写出一个含有因式的多项式 ． ( 题型03 )同底数幂的乘法 10．（2025·河南平顶山·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河南洛阳·一模）化简结果为 ． 12．（2025·河南平顶山·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·河南周口·一模）下列算式中，运算结果为的是（   ）． A． B． C． D． 14．（2025·河南焦作·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·河南周口·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·河南周口·一模）计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 17．（2025·河南三门峡·一模）若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )同底数幂的除法 18．（2025·河南洛阳·一模）下列计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·河南省直辖县级单位·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·河南洛阳·一模）若“※”代表一种运算，且，则“※”代表的运算符号可以是（   ） A．+ B．- C．× D．÷ 21．（2025·河南南阳·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·河南信阳·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·河南郑州·一模）计算的结果为 ． ( 题型0 5 )整式的化简求值 24．（2025·河南周口·一模）（1）计算：； （2）化简：． 25．（2025·河南安阳·一模）（1）计算：； （2）化简：． 26．（2025·河南南阳·一模）（1）计算：； （2）计算：． 27．（2025·河南许昌·一模）（1）计算：； （2）化简：． 28．（2025·河南驻马店·一模）（1）计算：； （2）化简：． 29．（2025·河南郑州·一模）（1）解方程组： （2）先化简，再求值：，其中，． 30．（2025·河南开封·一模）（1）计算：       （2）化简；． 31．（2025·河南郑州·一模）（1）计算： （2）化简： 32．（2025·河南郑州·一模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． （3）化简：． ( 题型0 6 )因式分解 33．（2025·河南周口·一模）分解因式的结果是 ． 34．（2025·河南周口·一模）（1）计算：； （2）代数推理：若是一个整数，试证明是一个偶数． 35．（2025·河南郑州·一模）分解因式 ；若a是整数，则一定能被整数k（k是一位整数）整除，整数k的最大值是 ． 36．（2025·河南郑州·一模）如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）． (1)2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？ (2)数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”． 设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？ 37．（2025·河南郑州·一模）把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$