专题10 三角形（10大题型63题）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题10 三角形 题型概览 题型01 与三角形有关的线段问题 题型02 三角形内角和定理的应用 题型03 三角形的外角的定义和性质 题型04 三角形全等的判定 题型05 角平分线的性质与判定 题型06 等腰三角形的定义及性质 题型07 等腰三角形的性质及判定 题型08 等边三角形的判定与性质 题型09 直角三角形 题型10 勾股定理及其逆定理 ( 题型01 )与三角形有关的线段问题 1．（2025·河南周口·一模）如图，直角三角形中，，点 P 为平面内一动点，，连接，点Q 是线段的中点，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 2．（2025·河南信阳·一模）如图，等腰三角形的底边的长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于点E，F．若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（2025·河南平顶山·一模）三角形的三边长度数据如图所示，则的取值范围为 ． 4．（2025·河南·一模）在中，，，长度可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 5．（2025·河南·一模）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 6．（2025·河南·一模）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ． 7．（2025·河南·一模）如图，在中，，分别是，的中点，与交于点．若，则（    ）    A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 ( 题型02 )三角形内角和定理的应用 8．（2025·河南·一模）在中，，点D，E分别是边，上的点，．连接，将沿折叠，得到．连接，当时，的长为 ． 9．（2025·河南焦作·一模）如图是某超市的购物车装满物品时，抽象成的几何示意图，已知五边形，三点在同一条直线上；连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河南郑州·一模）如图，已知直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河南·一模）如图，在等腰中，，点是边上的中点，，交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·河南·一模）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． ( 题型03 )三角形的外角的定义和性质 13．（2025·河南平顶山·一模）一副直角三角板按如图所示方式放置，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·河南南阳·一模）如图，直线，的顶点A，B分别在直线，上．若，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·河南周口·一模）如图所示，直线，，，则的度数（    ） A． B． C． D． 16．（2025·河南周口·一模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·河南平顶山·一模）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河南周口·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·河南郑州·一模）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )三角形全等的判定 20．（2025·河南三门峡·一模）如图，点E在正方形外，连接，过点A作的垂线交于点F．若，，则的值为 ． 21．（2025·河南商丘·一模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·河南开封·一模）如图，是中边上的高． (1)利用尺规作中边上的高，交于点O；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求证：． 23．（2025·河南平顶山·一模）综合与实践：如图，，点在的平分线上，于点． (1)操作判断：如图，过点作于点．四边形的形状为________； (2)问题探究：如图，点在射线上，连接，过点作交射线于点． ①当点在线段上时，求证：； ②当点在线段的延长线上时，直接写出，，之间的等量关系为________； (3)拓展延伸：点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，直接写出的值． 24．（2025·河南平顶山·一模）已知是半圆O的直径，为的中点，为的中点，连接交于点，过点作于点D．若，则图中阴影部分的面积为 ( 题型0 5 )角平分线的性质与判定 25．（2025·河南焦作·一模）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若（1）中的平分线交于点，且，求的长． 26．（2025·河南郑州·一模）如图()，点从正方形的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点 运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设)，图()是点运动时随变化的关系图象，则（    ） A． B． C． D． 27．（2025·河南·一模）如图，是中的平分线，，交于点，，交于点，若，，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 28．（2025·河南·一模）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )等腰三角形的定义及性质 29．（2025·河南平顶山·一模）（1）如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是平面上一点，连接，并将线段也绕点逆时针旋转得到线段，连接，，直线与交于点．则线段与的数量关系是 ， ； （2）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是平面上一点，连接，并将线段也绕点逆时针旋转得到线段，连接，，直线与交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）如图3，若将线段，绕点逆时针旋转得到线段，，当点，，在一条直线上，过点作'边上的高．则，，之间的数量关系： ． 30．（2025·河南漯河·一模）如图1，在等腰三角形中，为的中点，点从点出发，沿运动．设点运动的路径长是，线段的长为，图2是点运动时，随的变化而变化的关系图象，是曲线部分的最低点，则该等腰三角形的周长为（　　） A．70 B．80 C．90 D．100 31．（2025·河南焦作·一模）如图1，我们把对角线相等的四边形称为对等四边形．如图2，在中，；点为边上一动点，分别为边上的动点．已知，若四边形为对等四边形，则的最小值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 32．（2025·河南郑州·一模）请你完成命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程．） 33．（2025·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上方一动点，且，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段取最大值时，的长度为 ，点的坐标为 ． 34．（2025·河南周口·一模）如图，在等腰中，已知，是的中点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作腰上的高，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：． ( 题型0 7 )等腰三角形的性质和判定 35．（2025·河南鹤壁·一模）某学习小组遇到这样一个问题：如图1所示，在中，平分，． (1)请观察猜想之间的数量关系； (2)探究迁移：如图2所示，，是四边形的对角线，，求证：； (3)思维拓展：如图3所示，在中，，是的中点，交于点，点在上，，请直接写出三者之间的数量关系． 36．（2025·河南安阳·一模）如图所示，D是的边上一点． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作直线，垂足是E（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，D是的中点．请连接，并证明． 37．（2025·河南周口·一模）如图，在等腰三角形中，，E是边的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 38．（2025·河南驻马店·一模）如图，在中，，，点在边上，将沿所在直线翻折得到，的平分线交边于，连接．若是以为一腰的等腰三角形，则的度数是 ． 39．（2025·河南信阳·一模）如图，在中，，，D为平面内一动点，，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，，当点E落在 的边上时，的长为 ． 40．（2025·河南郑州·一模）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？ 已知：如图，在中， 求证：． (1)尺规作图：作的平分线交于点D，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． ( 题型0 8 )等边三角形的判定与性质 41．（2025·河南平顶山·一模）如图，在中，，，点是边上一动点，以为边在左侧构造等边三角形，当时，长的最小值为 ． 42．（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点在轴上，点在轴上，点B在第一象限，分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交正方形内一点D，将点D绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 43．（2025·河南洛阳·一模）如图，为等边三角形，，D为边上一动点，过点D作交于点E，作交于点F，连接．当为直角三角形时，线段的长为 ． 44．（2025·河南南阳·一模）如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为、的中点，，，绕点A旋转的过程中，的最大值为 ，最小值为 ． 45．（2025·河南信阳·一模）等边和等边按如图位置放置，，，将绕点在平面内自由旋转，连接，则的最大值为 ，最小值为 ． 46．（2025·河南洛阳·一模）如图，直线，等边的两个顶点分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 47．（2025·河南开封·一模）依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 48．（2025·河南信阳·一模）如图，平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，以此类推…，则点的坐标是 ． 49．（2025·河南平顶山·一模）如图，中，，，，点为的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分的周长为 ． ( 题型0 9 )直角三角形 50．（2025·河南开封·一模）如图，在中，，，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，则的最小值是 ，最大值是 ． 51．（2025·河南南阳·一模）如图，在正方形中，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为 ． 52．（2025·河南漯河·一模）如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，以为直角边按如图所示的方向作，使得，且，是边上的一点，，连接，则的长的最小值为 ，的长的最小值为 ． 53．（2025·河南南阳·一模）如图，中，，点D为中点，M、N分别为、上的动点．且，交于点E，若，，则的长及的最小值分别为 ． 54．（2025·河南濮阳·一模）如图，在等腰直角三角形中，，，点为上一点，且，将绕点旋转，得到，连接，过点作于点，则的最小值为 ，最大值为 ． 55．（2025·河南洛阳·一模）在中，，点D在边上（不与B，C重合），连接，将沿折叠，折叠后点C的对应点为点E．当是直角三角形时，的长为 ． ( 题型 10 )勾股定理及其逆定理 56．（2025·河南平顶山·一模）如图，在矩形中，为对角线，一动点从点出发，沿的路径运动，过点作，垂足为．设点的运动路程为，，随变化的函数图象如图，则的长为（   ） A． B． C． D． 57．（2025·河南鹤壁·一模）如图所示，在矩形中，，为上一点，将沿着翻折得到．连结．若，且，则的长为 ，的长为 ． 58．（2025·河南平顶山·一模）图1是一棵拦腰折断的大树，已知未折断的树干与地面保持垂直的关系，折断部分与地面形成的夹角的正切值为．树干旁有一根与地面垂直的电线杆，高度为9米．如图2，在某一时刻的太阳照射下，测得电线杆的影长为14米，树干的影长为7米，且点在同一条直线上．请求出这棵大树未折断前的高度． 59．（2025·河南洛阳·一模）如图，，点为上一定点，，，点为射线上一动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，则的长为 ． 60．（2025·河南·一模）如图，在的小正方形网格中（每个小正方形的边长为1），点A，B，C，P均在格点上，点C在上，则阴影部分的周长为 ． 61．（2025·河南安阳·一模）如图，在矩形中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接并延长，交矩形的边于点F，连接，，则的最小值为 ；的最大值为 ． 62．（2025·河南漯河·一模）如图，在矩形中，点在边上，．若，则点到的最小距离是 ，最大距离是 ． 63．（2025·河南平顶山·一模）如图，在中，已知，，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为 ；当是以为底的等腰三角形时，边的长为 ． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 三角形 题型概览 题型01 与三角形有关的线段问题 题型02 三角形内角和定理的应用 题型03 三角形的外角的定义和性质 题型04 三角形全等的判定 题型05 角平分线的性质与判定 题型06 等腰三角形的定义及性质 题型07 等腰三角形的性质及判定 题型08 等边三角形的判定与性质 题型09 直角三角形 题型10 勾股定理及其逆定理 ( 题型01 )与三角形有关的线段问题 1．（2025·河南周口·一模）如图，直角三角形中，，点 P 为平面内一动点，，连接，点Q 是线段的中点，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 2 3 【分析】本题考查了中位线的应用，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，三角形边长关系，取的中点，连接，利用三角形边长关系即可求解，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 点Q 是线段的中点， 是的中位线， ， 根据勾股定理可得， ， 根据三角形边长关系可得， 点在线段上时，线段的最小，最小值为， 点在线段的延长线上时，线段的最大，最大值为， 故答案为：2；3． 2．（2025·河南信阳·一模）如图，等腰三角形的底边的长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于点E，F．若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是是线段的垂直平分线，可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：B． 3．（2025·河南平顶山·一模）三角形的三边长度数据如图所示，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式组．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可列出不等式，求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 解得． 故答案为： 4．（2025·河南·一模）在中，，，长度可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的范围，即可求解． 【详解】解：在中，，， ，即， 长度可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（2025·河南·一模）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 6．（2025·河南·一模）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 7．（2025·河南·一模）如图，在中，，分别是，的中点，与交于点．若，则（    ）    A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】根据三角形的重心的性质，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴点G是△ABC的重心， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的重心的性质，解题的关键是熟练掌握重心的性质进行解题． ( 题型02 )三角形内角和定理的应用 8．（2025·河南·一模）在中，，点D，E分别是边，上的点，．连接，将沿折叠，得到．连接，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】首先求出，得到，由折叠得，，，解直角三角形求出，然后分两种情况讨论，分别解直角三角形求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 由折叠得，， 当时，即 ∴ ∴ ∴ 如图所示，当点在上方时， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； 如图所示，当点在下方时， ∴ 由折叠得， ∵ ∴ ∴； 综上所述，当时，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解直角三角形，折叠的性质，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是分情况讨论． 9．（2025·河南焦作·一模）如图是某超市的购物车装满物品时，抽象成的几何示意图，已知五边形，三点在同一条直线上；连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，根据题意得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 故选：D． 10．（2025·河南郑州·一模）如图，已知直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，以及对顶角相等，三角形内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据题意得出，又，即可求解． 【详解】解：， ， 又， ， 故选：C． 11．（2025·河南·一模）如图，在等腰中，，点是边上的中点，，交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，先根据等边对等角求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据三线合一的性质求出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 12．（2025·河南·一模）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．先证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选D ( 题型03 )三角形的外角的定义和性质 13．（2025·河南平顶山·一模）一副直角三角板按如图所示方式放置，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由图可得，，再利用三角形外角性质计算即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：． 14．（2025·河南南阳·一模）如图，直线，的顶点A，B分别在直线，上．若，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据，得出，根据三角形外角的性质，求出结果即可． 【详解】解：如图所示： ∵直线， ∴， ∴． 故选：C． 15．（2025·河南周口·一模）如图所示，直线，，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 16．（2025·河南周口·一模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：，， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 17．（2025·河南平顶山·一模）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图： ∵直线，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 18．（2025·河南周口·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质和对顶角的性质，求出的度数，再利用三角形的外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 19．（2025·河南郑州·一模）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于点，求得，利用平行线的性质即可解答，熟练运用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ， ， ， 故选：B． ( 题型0 4 )三角形全等的判定 20．（2025·河南三门峡·一模）如图，点E在正方形外，连接，过点A作的垂线交于点F．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识．求出，，证明，得到，得到，则，即可求出答案． 【详解】解：∵过点A作的垂线交于点F．， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， 故答案为： 21．（2025·河南商丘·一模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形的旋转，点的坐标，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2025次旋转后矩形的位置是解题的关键．由旋转的角度，可知旋转4次是一个循环，则第2025次旋转结束时与矩形点O顺时针旋转的位置一样，先结合相似三角形的判定与性质，求出矩形点的坐标，通过证明，得出点E的坐标，即可作答． 【详解】解：矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 旋转时与原矩形重合， ， 第2025次旋转结束时与矩形点O顺时针旋转的位置一样， 过点作轴交轴于点，如图所示： 矩形的顶点，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 在第二象限， 点坐标为 设为矩形点O顺时针旋转后的点D的对应点，连接，过做轴，如图所示： ∵旋转， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在第一象限， ∴ 故选：A． 22．（2025·河南开封·一模）如图，是中边上的高． (1)利用尺规作中边上的高，交于点O；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作三角形的高，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）以C为圆心，适当长度为半径画弧，交于点G、H，再分别以点G、H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，最后作射线，交于点O，即为所求； （2）根据三角形高的定义可得，，由可得，证明得到，，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵和是的高， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即． 23．（2025·河南平顶山·一模）综合与实践：如图，，点在的平分线上，于点． (1)操作判断：如图，过点作于点．四边形的形状为________； (2)问题探究：如图，点在射线上，连接，过点作交射线于点． ①当点在线段上时，求证：； ②当点在线段的延长线上时，直接写出，，之间的等量关系为________； (3)拓展延伸：点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，直接写出的值． 【答案】(1)正方形 (2)①证明见解析；② (3)或 【分析】（）先证明四边形是矩形，进而根据角平分线的性质即可求证； （）①过点作于点，可证，可得，进而即可求证；②过点作于点，同理①可得，进而即可求解； （）分在线段上和延长线上两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵，于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点在的平分线上，，， ∴， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； （2）①证明：过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， 由（）知四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； ②，理由如下： 当点在线段的延长线上时，如图，过点作于点， 同理①可证， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：①当在线段上时，如图，延长相交于点， 由（）①知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在的延长线上时，如图，过作于，并延长交于， 由（）②知， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定，角平分线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 24．（2025·河南平顶山·一模）已知是半圆O的直径，为的中点，为的中点，连接交于点，过点作于点D．若，则图中阴影部分的面积为 【答案】 【分析】先证明为等腰直角三角形，再根据垂径定理及全等三角形判定定理（），可得，从而得到，则，根据扇形面积公式即可得到答案． 【详解】解：是半圆的直径，点为的中点， 为等腰直角三角形， ． 由垂径定理可得于点， ． 又， （）， ∴． 由圆的对称性和三角形全等的性质，可得，如图 ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查求不规则图形的面积，涉及垂径定理及推论，圆周角定理，全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，扇形面积，勾股定理等，熟知垂径定理及推论是解题的关键． ( 题型0 5 )角平分线的性质与判定 25．（2025·河南焦作·一模）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若（1）中的平分线交于点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了作角平分线，角平分线的性质，解题的关键是正确作图． （1）根据题意作的平分线即可求解； （2）过点作于点交的延长线于点．根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作的平分线． （2）如图，过点作于点交的延长线于点． 平分， ． ， ． ， ． ， ． 26．（2025·河南郑州·一模）如图()，点从正方形的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点 运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设)，图()是点运动时随变化的关系图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数动点问题，角平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，点沿直线运动时，又，点在的平分线上，过点作于点，则，，设，则，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：设点为点运动的转折点，如图， 结合题图可知，，，，点沿直线运动时，， ∴故点在的平分线上， ∴， 过点作于点，则，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， 故选：． 27．（2025·河南·一模）如图，是中的平分线，，交于点，，交于点，若，，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．根据“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”得到，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 28．（2025·河南·一模）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． ( 题型0 6 )等腰三角形的定义及性质 29．（2025·河南平顶山·一模）（1）如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是平面上一点，连接，并将线段也绕点逆时针旋转得到线段，连接，，直线与交于点．则线段与的数量关系是 ， ； （2）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是平面上一点，连接，并将线段也绕点逆时针旋转得到线段，连接，，直线与交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）如图3，若将线段，绕点逆时针旋转得到线段，，当点，，在一条直线上，过点作'边上的高．则，，之间的数量关系： ． 【答案】（1），；（2），，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据旋转性质得到对应边相等（，）和对应角相等（），进而推出，利用“边角边”（）判定定理证明，得出；再由全等三角形对应角相等及三角形内角和相关知识得到． （2）思路同（1），依据旋转性质得出边和角的关系，证明 得到；再根据全等三角形对应角相等和三角形内角和定理求出 ． （3）还是先由旋转性质得出，，，推出，证明（）得；然后利用等腰直角三角形（，）且，得出，最后根据线段和的关系，推导出． 【详解】解：（1），，理由如下： 由旋转可知，，，， ， 故答案为：；； （2），，理由如下： 由旋转可知，，，， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：，理由如下： 由旋转可知，，， ，即， ． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识点．解题的关键在于利用旋转性质找到相等的边和角，通过角的等量代换得到全等三角形所需条件，证明三角形全等从而得出线段和角的关系；对于涉及特殊三角形（如等腰直角三角形）的情况，要善于运用其特殊性质（如等腰直角三角形斜边上的高与斜边的数量关系）来解决问题． 30．（2025·河南漯河·一模）如图1，在等腰三角形中，为的中点，点从点出发，沿运动．设点运动的路径长是，线段的长为，图2是点运动时，随的变化而变化的关系图象，是曲线部分的最低点，则该等腰三角形的周长为（　　） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质、解直角三角形及勾股定理，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．连接，则，过点作于点．由勾股定理得，可求出得出，再得出．再由等腰三角形性质可得，再求解即可． 【详解】如图，连接，则，过点作于点． 由图象可知，， ． ，即 ， ． 是等腰三角形， ， 等腰三角形的周长， 故选C． 31．（2025·河南焦作·一模）如图1，我们把对角线相等的四边形称为对等四边形．如图2，在中，；点为边上一动点，分别为边上的动点．已知，若四边形为对等四边形，则的最小值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段最值问题，根据对等四边形对角线相等和点到直线垂线段最短即可求出长度的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为对等四边形， ∴， ∵当时最短， 此时∵，， ∴， ∴， ∴的长度的最小值为8． 故选：B． 32．（2025·河南郑州·一模）请你完成命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程．） 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据提示画出图形，由等腰三角形的性质得出，再根据角平分线的定义得出，利用ASA可证明，即可得． 【详解】已知：中，，，分别，的角平分线． 求证：，即等腰三角形的两底角的平分线相等 证明：∵， ∴， ∵，分别，的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，即等腰三角形两底角的平分线相等． 33．（2025·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上方一动点，且，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段取最大值时，的长度为 ，点的坐标为 ． 【答案】 / 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质， 全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握判定与性质是解题的关键． 以为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接，证明，则有，由，当三点共线时，有最大值，即的长度最大值为，过轴于点，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，以为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接， 由题意得：， ，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 由， ∴当三点共线时，有最大值， 即的长度最大值为， 如图，过轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 34．（2025·河南周口·一模）如图，在等腰中，已知，是的中点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作腰上的高，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，作垂线，等腰三角形三线合一性质和全等三角形的判定与性质等知识，判定是解题的关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）证明得出，从而的得解． 【详解】（1）如图所示，即为所求作上的高； （2）如图所示，连接交于点， 由（1）得， ∵，是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴． ( 题型0 7 )等腰三角形的性质和判定 35．（2025·河南鹤壁·一模）某学习小组遇到这样一个问题：如图1所示，在中，平分，． (1)请观察猜想之间的数量关系； (2)探究迁移：如图2所示，，是四边形的对角线，，求证：； (3)思维拓展：如图3所示，在中，，是的中点，交于点，点在上，，请直接写出三者之间的数量关系． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）在上截取，使得，连接，证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论； （2）延长到E，使，连接，先根据已知和等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到，再利用三角形的内角和定理推导出，进而证明得到，，证明是等边三角形得到，进而可得结论； （3）连接，过点O作，根据含30度角的直角三角形的性质得到，，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质 ，再求得，进而得到，然后由得结论． 【详解】（1）解：猜想，证明如下： 在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图：延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，则， ∵， ∴； （3）解：． 如图，连接，过点O作， ∵，， ∴，， ∵点D是的中点，， ∴，又， ∴，又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题型，主要考查了三角形的内角和外角性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，涉及知识点较多，解答的关键学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于考试压轴题． 36．（2025·河南安阳·一模）如图所示，D是的边上一点． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作直线，垂足是E（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，D是的中点．请连接，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图和等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质． （1）按照作垂线步骤即可作图；在在另一侧取点F，以A为圆心，以线段长为半径画弧交直线于点G、H，分别在G、H为半径，以大于长为半径作弧，两弧交天点M，作射线交于点E，即可； （2）利用“三线合一”得出垂直平分，得出，再利用等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）如图所示． （2）∵，， ∴，． 又D是的中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． ∴． 37．（2025·河南周口·一模）如图，在等腰三角形中，，E是边的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，过点作交于点，设，则可得求得，即可解答，熟练解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点，    设， E是边的中点， ， ， ， ，，， ， 根据勾股定理可得， ， 故选：C． 38．（2025·河南驻马店·一模）如图，在中，，，点在边上，将沿所在直线翻折得到，的平分线交边于，连接．若是以为一腰的等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，掌握知识点的应用是解题的关键． 首先由轴对称可以得出，就可以得出，，在证明，得出，就可以求出的值；再分两种情况讨论解答即可，当时，当时，从而求出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵沿所在直线翻折得到， ∴， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 39．（2025·河南信阳·一模）如图，在中，，，D为平面内一动点，，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，，当点E落在 的边上时，的长为 ． 【答案】或 【分析】首先得到，均为等腰直角三角形，然后根据题意分两种情况讨论，点E落在边上和点E落在边上，然后分别根据勾股定理和相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ①当点E落在边上时，如图所示，则点D在边上， ∴， 在中，； ②当点E落在边上时，如解图2所示． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论． 40．（2025·河南郑州·一模）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？ 已知：如图，在中， 求证：． (1)尺规作图：作的平分线交于点D，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定及性质，解题的关键是理解等边所对的角相等； （1）根据作角平分线的步骤作图即可； （2）利用判定出，再根据性质求解即可． 【详解】（1）解：如解图，，即为所求． （2）证明：平分， ． 又， ． ． ， ． ( 题型0 8 )等边三角形的判定与性质 41．（2025·河南平顶山·一模）如图，在中，，，点是边上一动点，以为边在左侧构造等边三角形，当时，长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，取中点，连接，，由题意得出、，结合等边三角形的性质，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质可得，则长的最小值即为的最小值，由垂线段最短可知：当时，有最小值，结合含的直角三角形特征即可得解． 【详解】解：如图，取中点，连接，， ，，， ，， 点是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，有最小值， ， 此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是含的直角三角形特征、等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、垂线段 最短，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 42．（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点在轴上，点在轴上，点B在第一象限，分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交正方形内一点D，将点D绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转及点的坐标变化规律．先根据题意求出点的坐标，再由所给旋转方式得出每旋转四次点对应点循环出现，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，是等边三角形．过点作的垂线，垂足为， 点坐标为， ， 则正方形的边长为2． ，． 在中， ， 点的坐标为． ∵， ∴每旋转四次点的对应点循环出现． ∵， ∴第2025次旋转结束时，点的对应点位置与点重合，如图， 作轴于点，作轴于点， 由旋转的性质知，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的对应点坐标为． ∴第2024次旋转结束时，点的对应点坐标为． 故选：A． 43．（2025·河南洛阳·一模）如图，为等边三角形，，D为边上一动点，过点D作交于点E，作交于点F，连接．当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，分两种情况讨论即，设，则，，求出，证明是等边三角形，推出，利用直角三角形的性质求出，进而得到，建立方程求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为直角三角形， ∴或， 如图，当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段的长为或， 故答案为：或． 44．（2025·河南南阳·一模）如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为、的中点，，，绕点A旋转的过程中，的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可知：点在以点为圆心，为半径的圆上，连接，，则：，当三点共线时，且点M在延长线上时，的值最大，当点M在线段上时，的值最小，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，， ∴ ∴，， ∵绕点A旋转， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴当三点共线时，且点M在延长线上时，的值最大， 即：； 当三点共线时，且点M在线段上时，的值最小， 即：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上． 45．（2025·河南信阳·一模）等边和等边按如图位置放置，，，将绕点在平面内自由旋转，连接，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了线段的和与差，等边三角形的性质．画出图形，利用线段的和与差计算即可求解． 【详解】解：如图，当点在线段的延长线上时，有最大值， 的最大值为； 如图，当点在线段上时，有最小值， 的最小值为； 故答案为：；． 46．（2025·河南洛阳·一模）如图，直线，等边的两个顶点分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．过点作，由平行公理的推论得出，根据等边三角形的性质得出，据平行线的性质得出，再由平行线的性质求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， 直线， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 47．（2025·河南开封·一模）依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理及应用，规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长为，即可得到规律，从而可得第个等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示： 、、分别为、、的中点， 、、都为的中位线， ，，， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长为， ， 第个等边三角形的周长为， 故选：B． 48．（2025·河南信阳·一模）如图，平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，以此类推…，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：边长为2的等边三角形在第二象限， ∴， 将绕点顺时针旋转，得到， 与点关于轴对称， ， 再作关于原点的中心对称图形，得到， 与点关于原点对称， ， 再将绕点顺时针旋转，得到 此时点落在轴的负半轴上， ． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 此时点落在轴的正半轴上， ． 以此类推，则，， 与点重合， 对应的点大于1的整数）的坐标以，，，，，为规律循环， 与的坐标相同， ∴则点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转，等边三角形的性质，本题是操作性题目，利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，找出规律是解题的关键． 49．（2025·河南平顶山·一模）如图，中，，，，点为的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求弧长、等边三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接、，证明为等边三角形，得出，，求出弧的长为，，结合题意得出，再求出弧的长为，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵中，，，，点为的中点， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径作弧，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴弧的长为，， ∵以点为圆心，的长为半径作弧，交于点， ∴，弧的长为， ∴图中阴影部分的周长为， 故答案为：． ( 题型0 9 )直角三角形 50．（2025·河南开封·一模）如图，在中，，，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 1 3 【分析】取的中点F，得到是等边三角形，利用三角形中位线定理推出，当在上方且C、E、F三点共线时，有最小值和最大值． 【详解】解：由旋转的性质可得出． 取的中点F，连接． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． ∵E、F分别是的中点， ∴． 如果C、E、F三点共线，则有最小值和最大值， 则， 即，， 故答案为：1，3． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出取最大值和最小值时C、E、F三点的位置关系． 51．（2025·河南南阳·一模）如图，在正方形中，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握正方形的性质是关键． 根据正方形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是直角三角形， ∵点为的中点， ∴， 故答案为： ． 52．（2025·河南漯河·一模）如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，以为直角边按如图所示的方向作，使得，且，是边上的一点，，连接，则的长的最小值为 ，的长的最小值为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，垂线段最短，相似三角形的判定与性质，连接并延长，交的延长线于点，证明，得，当点在边上运动时，点随之在边上运动．当时，的值最小．在中，运用角所对的直角边等于斜边一半可得．当时，的值最小．证明，根据相似三角形的判定与性质可得． 【详解】解：如图，连接并延长，交的延长线于点． 在中，， ． ， ，即． ， ， ， 当点在边上运动时，点随之在边上运动． 当时，的值最小． 在中，， ． 当时，的值最小． 在中，， ． ， ， ， ，即， 解得． 故答案为：，3． 53．（2025·河南南阳·一模）如图，中，，点D为中点，M、N分别为、上的动点．且，交于点E，若，，则的长及的最小值分别为 ． 【答案】； 【分析】本题涉及直角三角形的性质、三角函数的定义，平行线分线段成比例的性质，平行四边形的性质及判定以及垂线段最短的知识点．正确作出辅助线，熟练运用以上知识点是正确解答此题的关键． 先利用直角三角形斜边中线的性质求出的长，再通过三角函数求出的长．对于的最小值，需要通过构造平行四边形将进行转化，再根据垂线段最短求出其最小值． 【详解】解∶在中，因为点为中点，且， ． ， 设，则． 在中，根据勾股定理， 即． 解得（因为，舍去负根）， 所以． 连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 则， 当时，最短． ， ， ， ， ， 故答案为：，． 54．（2025·河南濮阳·一模）如图，在等腰直角三角形中，，，点为上一点，且，将绕点旋转，得到，连接，过点作于点，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数比，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，切线的性质，勾股定理，线段的最值问题等知识点，解题的关键是根据题意构造出相关切线，并灵活运用各性质求解． 根据题意构造出圆，切线在圆的右侧时，线段取最小值，切线在圆的左侧时，线段取最大值，根据勾股定理，相似三角形的性质和三角函数比等知识最后可求得结果． 【详解】解：①如图所示, 以点为圆心，长为半径作圆， ∵将绕点旋转，得到， ∴点在以点为圆心，长为半径的上，当直线与右侧相切时，切点为点,此时取值最小，交于点， ， 在中，由勾股定理得， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 故的最小值为． ②如图所示，当直线与左侧相切时，切点为点,此时取值最大，交的延长线于点， 在中，，， ， ， ， ， ， 故的最大值为． 故答案为：， 55．（2025·河南洛阳·一模）在中，，点D在边上（不与B，C重合），连接，将沿折叠，折叠后点C的对应点为点E．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到 ，，，推出点E在上，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵点D是边上的一点， ∴， ∴当是直角三角形时，或， ①当时，则， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ②当时， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴，，， ∴， ∴点E在上，如图， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或1， 故答案为：或1． ( 题型 10 )勾股定理及其逆定理 56．（2025·河南平顶山·一模）如图，在矩形中，为对角线，一动点从点出发，沿的路径运动，过点作，垂足为．设点的运动路程为，，随变化的函数图象如图，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解，根据函数图象得出信息是解题的关键． 【详解】解：由函数图象知，当点运动到点时，，此时， ∴， 当时，，此时，如图， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得， 的长为， 故选：． 57．（2025·河南鹤壁·一模）如图所示，在矩形中，，为上一点，将沿着翻折得到．连结．若，且，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质以及三角函数的定义是解题的关键． 连接，过点F作于点G，设交于点，根据已知条件得出，进而得出，在，中勾股定理求得，进而证明，在中，得出，，进而在，中，求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点F作于点G，设交于点， ∵将沿着翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即， 由折叠得， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴在中，， 在中，， 故答案为：，． 58．（2025·河南平顶山·一模）图1是一棵拦腰折断的大树，已知未折断的树干与地面保持垂直的关系，折断部分与地面形成的夹角的正切值为．树干旁有一根与地面垂直的电线杆，高度为9米．如图2，在某一时刻的太阳照射下，测得电线杆的影长为14米，树干的影长为7米，且点在同一条直线上．请求出这棵大树未折断前的高度． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明，再把数值代入进行计算，得，结合，得，代入数值化简，即可作答． 【详解】解： ， ∴ ∴ ， ∴， 解得， ， 即 设， 故 ， ， ． 答：这棵大树未折断前的高度是． 59．（2025·河南洛阳·一模）如图，，点为上一定点，，，点为射线上一动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，则的长为 ． 【答案】2或12 【分析】根据关于对称的图形为，，，可得，，，若是直角三角形，根据题意可得不可能为直角，故分为和当时，画出图形，则，证明四边形是矩形，得出，证得四边形是正方形，可得，即可求出；当时，画出图形，过点作，证明四边形 是矩形，得出，勾股定理求出，得出，设，则，在中根据勾股定理列方程求出，即可解答； 【详解】解：∵关于对称的图形为，，，， ∴，，， 若是直角三角形， 分为和 当时，如图， 则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 当时，如图 过点作， ∴， ∴四边形 是矩形， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中， 即， ∴， 综上，则的长为2或12； 故答案为：2或12． 【点睛】该题考查了矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，运用分类讨论思想解决问题． 60．（2025·河南·一模）如图，在的小正方形网格中（每个小正方形的边长为1），点A，B，C，P均在格点上，点C在上，则阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查三角形外心的性质、勾股定理、弧长公式等知识，先找到所在圆的圆心O，证明是等腰直角三角形，，求出长，的长度，即可得到答案． 【详解】解：找到线段，垂直平分线交点O，即为所在圆的圆心，连接 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴长为， ∵， ∴阴影部分的周长为为， 故答案为： 61．（2025·河南安阳·一模）如图，在矩形中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接并延长，交矩形的边于点F，连接，，则的最小值为 ；的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了矩形、旋转、两点之间直线段最短、勾股定理、圆的知识；解题的关键是熟练掌握切线、勾股定理的性质；根据旋转和两点之间直线段最短，得当点A，E，B三点在一条直线上时，最短，再根据勾股定理的性质计算即可得到的最小值；以点A为圆心，AB为半径作圆，当时，最大，设，根据切线长定理和勾股定理的性质计算得，从而完成求解． 【详解】解：∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴, ∴当点A，E，C三点在一条直线上时，最短，即， ∵， ∴，即的最小值为， 如图，以点A为圆心，为半径作圆， 根据题意，得， 当与相切时，最大， 设， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即的最大值为， 故答案为：，． 62．（2025·河南漯河·一模）如图，在矩形中，点在边上，．若，则点到的最小距离是 ，最大距离是 ． 【答案】 / / 【分析】先利用勾股定理求得，再说明点在以为直径的圆上，求出圆的半径，根据切线长定理可得，，再证明四边形是平行四边形，利用面积法求出点到的最小距离，进而求出点到的最大距离． 【详解】解：∵在矩形中，点在边上，，， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∵点满足 ， ∴点在以为直径的圆上，，都为的切线， ∴圆的半径为， 作的中点，过作交于点，过点在的左侧作交圆于点，过点作分别交，于点，，则是的切线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 设与的距离为， ∴， ∴，解得：， ∴点到的最小距离为， 点到的最大距离（此时点为的延长线与圆的交点）为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，切线长定理，勾股定理等知识点，解题的关键是熟悉上述知识点，并能熟练运用求解． 63．（2025·河南平顶山·一模）如图，在中，已知，，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为 ；当是以为底的等腰三角形时，边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，当是以为底的等腰三角形时，证明是直角三角形，运用勾股定理可求出；当是以为底的等腰三角形时，过点作于点，设，得，，由勾股定理得，解得，得，，由勾股定理得． 【详解】解：当是以为底的等腰三角形时，如图， ∵点是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 又， ∴ ∴，即， ∴； 当是以为底的等腰三角形时，则， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴； 过点作于点，如图， 设，则， 在和中，，， ∴， ∴， 解得， ∴，， 在由，由勾股定理得． 故答案为：；． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$