专题08 反比例函数（8大题型57题）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题08 反比例函数 题型概览 题型01 求反比例函数值 题型02 反比例函数的图象 题型03 利用反比例函数的性质解题 题型04 根据图形面积求比例系数 题型05 求反比例函数解析式 题型06 一次函数与反比例函数的交点问题 题型07 实际问题与反比例函数 题型08 反比例函数与几何综合 ( 题型01 )求反比例函数值 1．（2025·河南鹤壁·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键． 将和代入函数解析式，求得和的值，再相加即可． 【详解】解：把和代入解析式得：，， ∴， 故答案为：． 2．（2025·河南·一模）某电路图如图1所示．结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（　　） A．最大电流是36A B．最大电流是27A C．最小电流是36A D．最小电流是27A 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入求得I的值即可． 【详解】根据电压电流电阻，设， 将点代入得，解得， ； 若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是， 故选A． 3．（2025·河南·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 4．（2025·河南·一模）小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻，依据五次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与成反比例函数关系．以下说法不正确的是（    ） A．本实验中电压表的读数为 B．当定值电阻时，电流表的示数为 C．当电流表的示数为时，定值电阻 D．电流I与电阻之间的函数关系式为 【答案】C 【分析】由题意可求出电流I与电阻之积为V，即本实验中电压表的读数为2.5 V，可判断A；由A选项可知，可判断D；将Ω代入，即得出A，可判断B；由图象可知当A时，，可判断C． 【详解】由图象可知，电流I与电阻之积为V， ∴本实验中电压表的读数为2.5 V， ∴电流I与电阻之间的函数关系式为，故选项A，D正确； 当Ω时，A，故选项B正确； 当A时，由图象可知，故选项C错误． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．根据图象正确求出反比例函数解析式是解题关键． ( 题型02 )反比例函数的图象 5．（2025·河南安阳·一模）如图，已知直线，它与反比例函数相交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点（网格线的交点），再画出反比例函数的图象． (3)过点A作轴于点H，点P是反比例函数上一动点，当的面积为3时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)作图见解析； (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式及图象，熟练掌握反比例函数的解析式及图象是解题的关键． （1）将点代入直线得点的坐标为，将点代入反比例函数，即可得出答案； （2）根据反比例函数的解析式，选择点、、，并画出图象即可； （3）过点A作轴于点H，设点到的距离为，根据点的坐标及的面积为3，易求，即可得出点的横坐标为或，代入反比例函数解析式即可求出答案． 【详解】（1）解：将点代入直线得：，即点的坐标为， 将点代入反比例函数得：，即， 则反比例函数的解析式为； （2）根据反比例函数的解析式，如图所示，选择点、、，先描出这三个点，再画出反比例函数的图象为： （3）如图所示，过点A作轴于点H，设点到的距离为， 点坐标为， ， ， ，即点到的距离为， 点的横坐标为， 点的横坐标为或， 分别代入反比例函数可得：或， 点P的坐标为或． 6．（2025·河南周口·一模）如图1，在中，，点P从点A出发，以的速度沿折线A→B→C运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿线段BC运动．当点P到达点C时，P，Q停止运动，连接PQ，AQ．设点P运动的时间为，的面积为．       (1)直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围： (2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】(1) (2)当时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小 (3) 【分析】（1）分当点P在线段上时和当点P在线段上时两种情况求解即可； （2）用描点法画出图象即可； （3）先画出反比例函数的图象，然后利用数形结合求解即可． 【详解】（1）当点P在线段上时，， 此时， ； 当点P在线段上时，， 此时， ， ． 综上所述， （2）函数图象如下： 性质：当时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小． （3）当时，由图形可得，即； 当时，由图形可得，即（负号舍去），（均可） 由图象可知：． 【点睛】本题考查了求函数解析式，画函数图象，反比例函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键． 7．（2025·河南信阳·一模）如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将等腰向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)单位长度 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象，平移变换，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由解析式得出得反比例函数过点，，，描点画图即可； （3）设点向下平移个单位长度得，得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由反比例函数的解析式为， 得反比例函数过点，，， 描点画图如图： （3）解：由图可得， 设点向下平移个单位长度得， 则， 由在上， 则， 解得：， 即向下平移单位长度． 8．（2025·河南郑州·一模）如图（1）所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器．机器人在 除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．为研究滚 刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对“吸灰”过程中滚刷 的滚速与除尘能力C（在地面撒灰后，清扫十次所减少的灰占所撒的灰总质量的百分比）进行了试验，得到如图（2）所示的关系图，规定除尘能力C 超过36%即为及格．则下列说法正确的是（   ） A．除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分 B．除尘能力与滚刷的滚速成正比 C．当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格 D．当除尘能力为36.5%时，滚剧的滚速为1400转/分 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的识别，熟练掌握反比例函数图象上越来越靠近坐标轴是关键． 根据题意和图象，分别分析判断各选项正误即可． 【详解】解：A、反比例函数的走向是越来越靠近坐标轴，故说法错误，不符合题意； B、随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越慢，但成正比例是一条直线，而图中是一条曲线，故说法错误，不符合题意； C、当滚速为1300转/分时，除尘能力为35.5不及格，故说法错误，不符合题意； D. 当除尘能力为36.5%时，滚剧的滚速为1400转/分，故说法正确，符合题意， 故选：D． 9．（2025·河南·一模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式． (2)请分别画出直线和双曲线． (3)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质、画函数图象、根据函数图象确定函数值的取值范围等知识点，熟练掌握反比例函数图像上点的性质是解题的关键． （1）把代人可得，即；把代入求得k的值即可解答； （2）根据描点连线画出函数图像即可； （3）先求出两函数图象交点的纵坐标，然后根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解：把代人，得，解得． 把代入得． 双曲线的函数表达式为 （2）解：画出直线和双曲线如解图所示． （3）解：联立直线和双曲线，解得：， ∴其交点的纵坐标分别为：， 如图：当时， b的取值范围或． 10．（2025·河南郑州·一模）如图，在四边形中，，，，，，动 点从 点出发，沿 的方向在，边上移动，记，点 到直线的距离为，则 关 于的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点的位置分两种情况讨论．分两种情况：（1）当点在上移动时，点到直线的距离不变，恒为；（2）当点在上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，据此判断出关于的函数大致图象是哪个即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况： （1）当点在上移动时， 点到直线的距离为： ，即点到的距离为的长度，是定值； （2）当点在上移动时， 连接，过作于，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，观察各选项，只有B选项图形符合． 故选：B． ( 题型03 )利用反比例函数的性质解题 11．（2025·河南焦作·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点．熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．先根据反比例函数判断此函数图像所在的象限，再根据结合选项，可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数中的， ∴该双曲线经过第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ∵点，在反比例函数的图像上， ， 当时，则点位于第二象限，点位于第四象限， ∴，故C选项正确，不合题意； 当时，点，都在第四象限，则，故A选项正确，不合题意； 当时，点，都在第二象限，则，故B选项正确，不合题意； 当时，，不满足，故D选项不正确，故符合题意； 故选：D． 12．（2025·河南·一模）反比例函数的图象经过点，若反比例函数的图像上有三点，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，比较反比例函数值的大小，先利用待定系数法求出函数解析式，进而判断出函数的增减性即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内函数值随自变量的增大而减小， ∵，，都在反比例函数图象上，且， ∴， 故选：B． 13．（2025·河南·一模）如图是小华同学利用计算机软件绘制函数（k，b为常数）的图象，则k，b的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查函数的图像，能够通过反比例函数图像确定的取值是解题的关键．有图像可知，当时，可知，时，函数值不存在，则． 【详解】解：由函数图像可知，当时，， ， 时，函数值不存在， 则． 故，． 故选A． 14．（2025·河南·一模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数自变量的取值范围确定b的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得；从而可得答案. 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴； 由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得； 故选：A． 15．（2025·河南·一模）已知点都在反比例函数的图象上，且， （填>或）． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数性质，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小． ∵， ∴都在第三象限， ∴． 故答案为：． 16．（2025·河南·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为 ． 【答案】 【分析】根据得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内随增大而增大，进而得到、在第二象限，在第四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内随增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点，，在第二象限，在第四象限， ∵， ∴，即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键． 17．（2025·河南·一模）已知，两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先题意判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出3+2m的符号，进而可得出结论． 【详解】解：∵A（1，y1），B（2，y2）两点在双曲线上，且， ∴3+2m＞0，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． ( 题型0 4 )根据图形面积求比例系数 18．（2025·河南·一模）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）    A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，    ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵点在第二象限， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．（2025·河南·一模）如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，，反比例函数的图像经过点A，且与BC相交于点D．若的面积为20，则k的值为（    ） A．12 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【分析】连接AC，过点A作AE⊥OC于点E，根据菱形的性质可得△AOD的面积=△AOC的面积=20，再根据，可设，然后根据勾股定理可得，继而得到，从而得到△AOE的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接AC，过点A作AE⊥OC于点E， ∵四边形OACB是菱形， ∴OA=OC，OA∥BC， ∴△AOD的面积=△AOC的面积=20， ∵， 可设， ∴， ∴， ∴， ∴△AOE的面积为， ∵反比例函数的图像经过点A， ∴，解得：， ∵图像位于第一象限内， ∴k=24． 故选：C 【点睛】本题考查了解直角三角形，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．（2025·河南·一模）如图，点B为反比例函数图象上的一点，过点B分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，C，连接AC，OA，OC，四边形OABC的面积是3． (1)求k的值． (2)点B在反比例函数的图象上移动，当平分与x轴正半轴的夹角时，求证：是的平分线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、角平分线的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）延长交轴于点E，延长交轴于点D，利用比例系数的几何意义进行解答即可； （2）过点C作于点H，根据角平分线的性质和判定进行证明即可． 【详解】（1）解：如图，延长交轴于点E，延长交轴于点D， ∵过点B分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，C， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵，,四边形OABC的面积是3． ∴， 解得， （2）证明：过点C作于点H， 由（1）可得，， 设点C的坐标为，则点B的坐标为， 则， ∴， ∵平分与x轴正半轴的夹角，轴， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． ( 题型0 5 )求反比例函数解析式 21．（2025·河南洛阳·一模）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将它放入如图2的平面直角坐标系中．顶点A，O，B分别落在坐标轴上，点恰好落在反比例函数图象上． (1)求反比例函数表达式； (2)将此教具沿轴正方向平移个单位，在平移的过程中，若此教具边与反比例函数图象始终有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，点的平移问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先得到，再由待定系数法求解； （2）先得到，则平移后点对应点记为点，当点恰好落在反比例函数图象上时，求出此时的值，即可求解满足边与反比例函数图象始终有交点时，的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得， ∵点恰好落在反比例函数图象上 ∴将代入得：， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由题意得：， ∵将此教具沿轴正方向平移个单位， ∴平移后点对应点记为点， 当点恰好落在反比例函数图象上时， 将代入得：， 解得：， ∴此教具边与反比例函数图象始终有交点，则． 22．（2025·河南漯河·一模）如图，菱形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，与相交于点．若反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过和的中点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)①将菱形向下平移_________个单位长度，可使反比例函数的图象经过点； ②将菱形向右平移_________个单位长度，可使一次函数的图象经过点． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)①（或1.6）；②4 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的问题，图形的平移等知识，准确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据平移规律结合函数解析式进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点的坐标为， 把代入得到，解得，， ∴， 由题意可知，的中点的坐标为， 设一次函数的解析式是，把和代入得到， ， 解得， ∴ （2）①∵点C的坐标为， ∴时，， ∴， 即将菱形向下平移个单位长度，可使反比例函数的图象经过点； 故答案为： ②∵的坐标为， ∴当时，，解得， ∴， 即将菱形向右平移4个单位长度，可使一次函数的图象经过点． 故答案为：4 23．（2025·河南周口·一模）如图，点是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，线段交于点． (1)求的值； (2)求直线的函数解析式； (3)若将所在的直线向下平移个单位长度后，与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由得到点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求出的值； （2）先求出点的坐标，再将，的坐标代入所设的解析式中，求出，的值，再代回所设的解析式中即可； （3）先确定平移后的函数解析式，再和反比例函数联立，转化为一元二次方程，最后根据求得． 【详解】（1）解：， ， 点的坐标为，点的横坐标为2， 将点代入中，得； （2）由（1）可知， ， 点的横坐标为2， ， 点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， 直线的函数解析式为； （3）将所在的直线向下平移个单位长度后直线的解析式为， 平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个公共点， ，整理得：， ， 解得，， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象和性质，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，以及一元二次方程根的判别式．解题的关键是熟练掌握相关的基础知识． 24．（2025·河南漯河·一模）如图，已知反比例函数的图象经过两点． (1)求该反比例函数的表达式． (2)点在轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质的应用，待定系数法求反比例函数解析式． （1）把点坐标代入即可； （2）过点作于点，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【详解】（1）把点代入， 得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）如图，过点作于点． 设点的坐标为， ． ， 的面积为． 25．（2025·河南南阳·一模）如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数（，）的图象分别交、于点C、D．已知点C的坐标为，． (1)求k的值． (2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），求出点P的横坐标x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的值． （1）根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值； （2）再把代入函数解析式，即可得到点的坐标，再求出点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 解得； （2）解：． 点的纵坐标为1， 点在反比例函数的图象上， ， 解得， 即点的坐标为， 点，点，点在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界）， 点的横坐标的取值范围是． 26．（2025·河南周口·一模）如图，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知点． (1)求反比例函数的解析式． (2)将矩形平移得到矩形，平移后点O的对应点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，求点B的对应点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，求反比例函数解析式，平移的规律等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由矩形的性质结合已知条件可得，然后代入得即可解答； （2）先求出可得点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点，然后根据平移规律即可解答． 【详解】（1）解：∵在矩形中， ， ， ， ， 把点代入得， ， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点的纵坐标为2， ， ∴．即点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点． 由（1）知点的坐标为， ∴点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点． 27．（2025·河南南阳·一模）如图，菱形的四个顶点都在格点上，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将菱形向右平移4.5个单位时，对角线的中点所在的反比例函数的解析式为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，画反比例函数解析式，平移的性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． （1）由图形可知，，再根据待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数解析式描点画图即可； （3）先求出平移后的、坐标，进而得到对角线的中点坐标，再根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由图形可知，， 反比例函数的图象经过点A， ， ， 这个反比例函数的表达式为． （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 描点画图如下： （3）解：由图形可知，，， 菱形向右平移4.5个单位， 平移后的坐标，， 的中点坐标为， 设对角线的中点所在的反比例函数的解析式为， ， 解得：， 对角线的中点所在的反比例函数的解析式为． 28．（2025·河南洛阳·一模）如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的解析式并直接写出点B的坐标； (2)求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要来考查反比例函数的解析式、矩形的性质证明、勾股定理、三角形相似的判定与性质，掌握先关定义是解题的关键． （1）将点A代入中即可得到答案； （2）根据点A的坐标利用勾股定理求得，得到长度，进而得到于是得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴反比例函数的解析式为； ∵点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O， ∴点A，B关于原点对称， ∴点B的坐标为； （2）解：∵矩形对角线垂直于x轴，垂足为E，点A的坐标为， ， ， 又， ， ， ， ． 29．（2025·河南洛阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式和点，的坐标． (2)过点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当点在点的下方时，直接写出的取值范围． (3)若点在反比例函数的图象上，点先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点，点恰好也落在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1)；； (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系法求函数解析式． （1）根据一次函数求得点的坐标，然后把点代入，即可得到反比例函数的表达式，然后将代入，求得点的坐标； （2）结合图象可得在第一象限中，当在的下方时，即为一次函数图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围． （3）点先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点，则代入即可求解． 【详解】（1）解：把代入一次函数， 得，即， ∴， 把代入反比例函数， 得， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 将代入 ∴， ∴； （2）解：∵，， 观察图象，当在的下方时，的取值范围为：或． 故答案为：或． （3）解：点先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点，则代入 ∴ 解得： ∴ 30．（2025·河南郑州·一模）如图，点在反比例函数的图象上，当时，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，交于点，四边形的面积为． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求与的函数关系式； (3)随着的增大，四边形的面积如何变化？请简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S逐渐增大，见解析 【分析】本题主要考查反比例函数图象与几何图形的综合，矩形的判定和性质，掌握反比例函数图象的性质是关键． （1）点在反比例函数图象上，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，由代入计算即可求解； （3）根据，结合反比例函数图象的性质判定即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， 代入解析式得，， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：根据题意，轴，轴，轴，轴， ∴四边形、四边形、四边形、四边形为矩形， ∵，则， ∴， ∴． （3）解：S逐渐增大，理由如下： ∵，， ∴随着m增大，减小，则S逐渐增大． ( 题型0 6 )一次函数与反比例函数的交点问题 31．（2025·河南平顶山·一模）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，一次函数的图象经过A，C两点，且与y轴交于点B，反比例函数的图象过点C． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点D是线段上一点，过点D作x轴的平行线交于点E，交反比例函数图象于点F．当时，求点F的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点代入，求出反比例函数的表达式为，再把代入，求出一次函数的表达式为，即可作答． （2）理解题意，设，因为平行于轴，所以，即，结合，得，解得，即点的纵坐标为，把代入得，即可作答． 【详解】（1）解：把点代入， 得， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 把代入， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由（1）得， 设， ∵过点D作x轴的平行线交于点E，交反比例函数图象于点F． ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵平行于轴， ∴点的纵坐标为， 把代入得， ∴点的坐标为． 32．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点P，若，求平移距离d． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）先将点代入一次函数，求得一次函数解析式，再求出点，即可求出把比例函数解析式； （2）作轴交直线于点，根据，即可求． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， ， ， ∴一次函数的表达式为； 点在直线上， ， ． ， 把代入得， 解得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：作轴交直线于点， ， ， ， ， ． 33．（2025·河南开封·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． (1)求，对应的函数解析式； (2)过点作轴的垂线，交轴于点C； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析，图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据作垂线的方法作图即可； （3）根据题意运用的面积，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于，两点， ∴， ∴，， ∴反比例函数解析式为，， ∵和在直线图象上， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， ∵， ∴，， 由（1）可知，， ∴的面积． 34．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，轴于点，轴于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹），与反比例函数图象交于点，并求出点的坐标； (3)是线段上的一点，连接，，若和的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)见解析， (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出解析式，利用数形结合的思想进行求解时解题的关键： （1）均在反比例函数的图象上，列出方程求出的值，进而求出点的坐标和的值，待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据尺规作垂线的方法，作出点，求出的中点坐标，求出一次函数与坐标轴的交点坐标，推出的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，求出点坐标即可； （3）设，根据面积相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解： 和是反比例函数图象上的点，，解得或（舍去）， ， 点的坐标为，点的坐标为， 反比例函数的解析式为． 把，代入一次函数，得，解得 一次函数的解析式为． （2）尺规作图如图所示． 由（1）得，， 垂直平分， 为的中点， ，即． 设直线与轴和轴交于点， 当时，，当时，， ∴， ∴，点的中点坐标为：，与点重合， ∴，平分，即为第一象限的角平分线， ∴直线的解析式为：， ， ∴点在直线上， 联立与反比例函数的解析式，可得，解得（负值舍去）； ∴点． （3）如图，连接、，由于点在直线上， 设． ∵，， ∴， 由和的面积相等，得：， 解得； 把代入，得； 点坐标是． 35．（2025·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的两个交点分别为和．    (1)求直线的解析式； (2)过点作x轴的垂线，与直线和函数的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或者． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图象法解决问题． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）利用图象法即可解决问题． 【详解】（1）解：∵直线与函数的图象的两个交点分别为和． ∴把和代入，得 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线与函数的图象的两个交点分别为和．    观察图象可知，满足条件的的值为：或者． 36．（2025·河南信阳·一模）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象是解题的关键． 根据判别式求出，据此判断两个函数分布和经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ， 解得：， ∴函数图象经过第二、四象限， ∵函数的图象分布在第二、四象限， 故两个函数图象有2个交点． 故选：C． 37．（2025·河南信阳·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)直接写出点的坐标； (3)将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线，若直线分别交的图象、轴于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求函数解析式，一次函数的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）将代入反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数的图象是中心对称图形，经过原点的直线的两个交点关于原点对称求解即可； （3）：设正比例函数的解析式为，利用待定系数法求出，进而得到直线解析式为，利用反比例函数解析式求出，进而得出，再求出，即可得到答案．． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式， 则； （2）解：根据反比例函数的对称性可知，的坐标为； （3）解：设正比例函数的解析式为， 将代入可得， 解得：， 则将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线解析式为， 将代入反比例函数解析式，解得， 将代入， 解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴． 38．（2025·河南·一模）已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为________个．（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据判别式求出，据此判断两个函数分布和经过的象限，即可得到答案．熟练掌握两个函数的图象是解答本题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ， 解得， 则函数图象经过第二、四象限，函数的图象分布在第二、四象限， 故两个函数图象有2个交点． 故选：C． 39．（2025·河南周口·一模）如图，已知一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)求的坐标； (3)直接写出不等式的解． 【答案】(1)， (2)点的坐标 (3)或 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点，函数的图象，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）把点的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可； （2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，即可求出点坐标； （3）根据、的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数， 可得，， 的值为； 把点代入一次函数， 可得，， 解得， 的值为1； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 根据题意，联立一次函数和反比例函数解析式，得 解得，；， 一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点， （3）解：，， 根据图像可知，当或时一次函数值的图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． 40．（2025·河南周口·一模）如图所示，一次函数：的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点，若的面积为3． (1)分别求出m和n的值； (2)求点B的坐标； (3)结合图像直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）根据点C坐标及的面积，求出点A的坐标，再分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题； （2）将（1）中所得函数解析式，组成方程即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想，得到一次函数图像位于反比例函数图像上方部分的点的横坐标的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， 轴，且的面积为3， ， ， 点的坐标为， 将点代入，得， 将点代入，得； （2）解：由（1）可知，，， 令， 解得，， 经检验，是原方程的解， 当时，， 点的坐标为； （3）解：由函数图像可知， 关于的不等式的解集为或． 41．（2025·河南濮阳·一模）如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式． （2）根据待定系数法求出直线的函数解析式，再利用平移即可求解． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解（1）的关键是将点A的坐标代入，解（2）的关键是求出直线的函数解析式． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点 ∴， 解得： ∴反比例函数的解析式为 （2）设直线的函数解析式为， 把点代入得，，解得， ∴直线的函数解析式为， 由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线 ∴直线的函数解析式为， ( 题型0 7 )实际问题与反比例函数 42．（2025·河南·一模）密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量木棒浸入液体的深度h，再利用收集的数据画出与h的关系图象，如图2所示．根据图象判断，下列说法正确的是（   ） A．密度越大，深度h越大 B．若，则 C．密度均匀增加时，深度h的变化量相同 D．密度计的刻度线越往上，对应的密度越小 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数的应用．直接观察函数图象，即可求解． 【详解】解：A、观察图象得：密度越大，深度h越小，故本选项错误，不符合题意； B、观察图象得：若，则，故本选项错误，不符合题意； C、观察图象得：密度均匀增加时，深度h的变化量不相同，故本选项错误，不符合题意； D、根据题意得：密度计的刻度线越往上，对应的密度越小，故本选项正确，符合题意； 故选：D 43．（2025·河南安阳·一模）利用过氧乙酸可以对室内的空气进行熏蒸消毒．某跨学科兴趣小组设计了一个简易检测仪，检测室内空气中过氧乙酸气体的浓度，其电路原理如图1所示，电源电压为，为定值电阻，过氧乙酸气体传感器的阻值随过氧乙酸气体浓度的变化关系如图所示，已知未消毒时（为），电压表示数为．（消毒标准如下：为不合格，为合格，为超标）．下列说法正确的是（   ）． 信息窗1．串联电路中各处的电流都相等． 2．串联电路两端的电压等于各部分电路两端电压的总和． 3．，其中U为电压，I为电流，R为电阻． A．随的增大而增大 B．是的反比例函数 C．定值电阻o的阻值为 D．当电压表的示数为时，该次消毒不合格 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用、解分式方程，解决本题的关键是根据电压、电流、电阻之间的关系列分式方程求出定值电阻，再根据函数图象中和之间的关系求出当电压表的示数为时的值，根据求出的结果判断消毒是否合格． 【详解】解：A选项：由图可知：随的增大而减小，故A选项错误； B选项：由图可知：当时，，故B选项错误； C选项：未毒时电压表示数为， ，， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故C选项错误； D选项：当电压表的示数为时， 可得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 由图象可知：， 解得：， ， 该次消毒不合格， 故D选项正确． 故选：D． 44．（2025·河南南阳·一模）在实验课上，小明做了一个实验．如图①在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入水的质量，得到下表： 托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总重量 10 12 15 20 30 加入水的质量 5 7 10 15 25 通过描点连线得到如图②所示的，关于x的函数图象，则下列说法正确的是（    ） A．分别是关于x的反比例函数 B．的图象向下平移4个单位可得的图象 C．随的增大而减小 D．当托盘B与点C距离为时，比多5克 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象的平移．根据反比例函数的定义即可判断A选项，由A选项知则是关于x的反比例函数；不是关于x的反比例函数即可判断B选项，根据表格数据即可判断C选项，根据，间的数值变化即可判断D选项． 【详解】解：A、，则是关于x的反比例函数，，则不是关于x的反比例函数，故错误，不符合题意； B、由A选项知则是关于x的反比例函数；不是关于x的反比例函数，故的图象向下平移4个单位得不到的图象，故错误，不符合题意； C、由表格数据得随的增大而增大，故错误，不符合题意； D、由表格数据得为定值，则托盘B与点C距离为时，比多5克，故正确，符合题意； 故选：D． 45．（2025·河南洛阳·一模）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（   ） A．在一定范围内，越小越大 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】D 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越小，越大，原说法正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法正确，不符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值，，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，符合题意； 故选：D． 46．（2025·河南洛阳·一模）如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法正确的是（   ） A．该图象是反比例函数图象 B．R随的增大而增大 C．当烟雾浓度增大时，电压表示数变大 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率减小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象与纵轴相交，即可判断A；根据图②即可判断B；当烟雾浓度增大时，电流减小，电阻变大，所以定值电阻两端的电压变小，而电源电压保持不变，根据串联电路电压规律即可判断C；当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率即可判断D． 【详解】解：A、该图象与纵轴相交，所以不是反比例函数图象，故本选项说法错误，不符合题意； B、根据图象可知，R随E增大而减小，故本选项说法错误，不符合题意； C、当烟雾浓度增大时，光照强度减小，电流减小，电阻变大，所以定值电阻两端的电压变小，而电源电压保持不变，电压表测光敏电阻R的电压，根据可知，电压表示数变大，故本选项说法正确，符合题意； D、当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率可知，电路中消耗的总功率增大，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 47．（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标． (1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）． (2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据： 150 170 190 210 230 250 270 a ①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式； ②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？ 【答案】(1)，能 (2)①成反比例函数关系，，验证见解析；②当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标． 【分析】本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线经过点，对称轴为，从而得到抛物线的解析式为，令，求出，比较即可求解； （2）①设，将代入得，．将代入验证：当时，成立，即可求解；②将和分别代入，得，．由得，即可求解． 【详解】（1）解： 由题意得：抛物线经过点，对称轴为， 可得， 解析式为， 令，则， ， 此运动员落地达标， 故答案为：，能； （2）解：①由表格数据可知，与的乘积相等，所以与成反比例函数关系． 设， 将代入得， 解得， ． 将代入验证：当时，成立， 能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式． ②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点， 将和分别代入， 得，． 由得， 又 ． 答：当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标． 48．（2025·河南周口·一模）如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： … 4 6 8 10 12 … … 9 6 4.5 3.6 3 … (1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； (2)当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 【答案】(1)画图见解析， (2)；弹簧秤的示数将不断增大 【分析】本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质及其应用，由图象判断出y与x之间的函数关系是解题的关键． （1）根据表格数值描点、连线即可画出图形 ，根据图象特点判断出y与x之间的函数关系，最后利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）所得函数解析式即可求出x，根据函数的性质即可判断弹簧秤示数的变化情况； 【详解】（1）解∶画图如下∶ 由图可得，y是x的反比例函数，设，把代入得， ， 解得， ∴； （2）解∶把代入，得， 积的， 即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是， ∵，在第一象限内，y的值随着x的值的增大而减小， ∴随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤的示数将不断增大． 49．（2025·河南郑州·一模）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若个人共同完成需天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键． 根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解． 【详解】解：依题意， ， ，且为整数． 故选C． 50．（2025·河南周口·一模）如图1，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积（单位：）变化的关系图象如图2所示，结合图3信息窗中的内容，下列说法不正确的是（   ） A．当该容器的体积为时，氧气的密度为 B．该容器内氧气的密度是关于体积的反比例函数 C．若容器内氧气的密度为，则该容器的体积约为 D．该容器内氧气的质量为 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出反比例函数解析式，然后对各选项分析即可． 【详解】解：∵，且容器内氧气的质量一定， ∴该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数，故B正确，不符合题意； 由图象可知，当时，， ∴，故D正确，不符合题意； ∴， 当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故C不正确，符合题意； 故选：C． ( 题型0 8 )反比例函数与几何综合 51．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)先用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，再连接、．猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)图见解析，四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】此题考查的是反比例函数与几何综合，平行四边形的判定，尺规作图． （1）由与的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数的解析式；再根据点的横坐标，即可求得点的坐标； （2）利用尺规作图作出图形即可，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． 【详解】（1）解：点和的刻度分别为和， ， ，轴， ， 把代入得，，解得， 反比例函数解析式为； 点的坐标为； （2）解：如图所示， 猜想：四边形是平行四边形． 理由如下：轴，是的中点，，， ， 又点纵坐标为，轴， ， ， ∵， 四边形是平行四边形． 52．（2025·河南平顶山·一模）如图，的顶点A，B分别在轴、轴上，，点、，反比例函数的图象经过点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)将沿x轴正方向平移，判断点B，C能否落在同一个反比例函数的图象上？若能，请求出平移的距离及此时反比例函数的解析式；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，平移的距离为，反比例函数的解析式为 【分析】本题主要考查了求反比例函数的性质、平移的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）如图，过点作轴于点，先证明，进而得到、，即，进而确定k的值即可解答； （2）设平移的距离为，则点平移后的坐标为，点平移后的坐标为，则，解得：．进而求得，然后求得m的值即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ． ， ． ， ， ， ，即， ， ， ， 反比例函数的解析式为． （2）解：能． 设平移的距离为，则点平移后的坐标为，点平移后的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，解得：． ∴，即． 此时反比例函数的解析式为． 53．（2025·河南濮阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，放置一个含角的三角板．其中点为原点，在轴上，已知，，． (1)点在反比例函数的图象上，求该反比例函数的表达式； (2)将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点落在轴上，求点在旋转过程中到点经过的最短路径长； (3)将旋转后的沿轴方向向下平移个单位得到，若平移后的线段与直线重合，直接写出和的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据特殊角的三角函数的计算得到，则，运用待定系数法即可求解； （2）将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点落在轴上，如图所示，可证是等边三角形，根据弧长公式计算即可； （3）根据题意可得直线的解析式为，根据图形平移规律即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：在中，， ∴， 将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点落在轴上，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在旋转过程中到点经过的最短路径长为； （3）解：由（2）可得，是等边三角形， ∴，且， ∴，， ∴， 如图所示，过点作轴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵将旋转后的沿轴方向向下平移个单位得到，若平移后的线段与直线重合， ∴与直线重合， ∴． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形，一次函数图象的性质，图形平移的规律，求弧长，解直角三角形的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 54．（2025·河南信阳·一模）如图，四边形的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，，点D的坐标为，双曲线经过点D． (1)直接写出k的值 ． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)若（2）中所作的角平分线与x轴交于点E，，，求的长． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查作图-基本作图，反比例函数与几何综合，角平分线的定义，等角对等边等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用尺规作出的平分线即可； （3）根据平行线加角平分线得，再由即可求解． 【详解】（1）解：∵双曲线经过点D，且点D的坐标为， ∴， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：8； （2）解：如图，射线即可所作， （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 55．（2025·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式及m的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (3)若点P在（2）所作的的角平分线上，当是以为一腰的等腰三角形时，点P的坐标为________． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，角平分线的作法，求反比例函数解析式，勾股定理，熟练利用分类讨论解题是关键． （1）根据待定系数法求得反比例函数的解析式，再把代入即可解答； （2）按照角平分线的作法，作出即可； （3）根据等腰三角的性质，求得的解析式，再分类讨论，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：把代入可得，解得， 反比例函数的解析式为， 再把代入可得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：如图，连接交于点， ， 为等腰三角形， 为的平分线， 点是的中点， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 如图，当时， 设， ， ， 解得（舍去）， 故， 如图，当时， 设， ， ， 解得（负数舍去）， 故， 故答案为：或． 56．（2025·河南平顶山·一模）如图，中，点在第二象限，点在轴正半轴上，轴，，，反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①求作等腰三角形，点在第一象限，，点为的中点； ②求作菱形； (3)将菱形沿轴向下平移多少个单位长度后点会落在该反比例函数的图象上？ 【答案】(1) (2)①图见解析；②图见解析 (3)将菱形沿轴向下平移4个单位长度后点会落在该反比例函数的图象上 【分析】本题主要考查了求反比例函数的关系式，尺规作图，反比例函数图象的性质， （1）将点A的坐标代入关系式可得答案； （2）①以点O为圆心，为半径画弧，再以点B为圆心，为半径画弧，两弧交于点C，连接，则即为所求作的三角形； 以点B为圆心，为半径画弧，交y轴于点D，连接，则四边形为所求作的四边形． 【详解】（1）解：由题意得，点A的坐标为． 把，代入中， 得， 解得：． 反比例函数的解析式为； （2）解：①如图； ②如图； （3）解：由于、两点到轴的距离都是2， 故将菱形沿轴向下平移4个单位长度后点会落在该反比例函数的图象上． 57．（2025·河南·一模）小晃同学借助反比例函数图像设计一个轴对称图形．如图，正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点，以点为圆心，的长为半径作扇形，弧交于点；以为对角线作正方形，再以点为圆心，的长为半径作扇形． (1)求反比例函数的解析式； (2)求弧的长； 【答案】(1) (2) 【分析】本题为反比例函数综合题，涉及到扇形面积和弧长的计算、正方形的性质等，熟练计算弧长是解题的关键． （1）将点的坐标代入函数表达式，即可求解； （2）由，即可求解； 【详解】（1）解：将点的坐标代入函数表达式得：， 即反比例函数的表达式为：； （2）解：由题意知，， ∴， ∴的长为． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 反比例函数 题型概览 题型01 求反比例函数值 题型02 反比例函数的图象 题型03 利用反比例函数的性质解题 题型04 根据图形面积求比例系数 题型05 求反比例函数解析式 题型06 一次函数与反比例函数的交点问题 题型07 实际问题与反比例函数 题型08 反比例函数与几何综合 ( 题型01 )求反比例函数值 1．（2025·河南鹤壁·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 2．（2025·河南·一模）某电路图如图1所示．结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（　　） A．最大电流是36A B．最大电流是27A C．最小电流是36A D．最小电流是27A 3．（2025·河南·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 4．（2025·河南·一模）小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻，依据五次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与成反比例函数关系．以下说法不正确的是（    ） A．本实验中电压表的读数为 B．当定值电阻时，电流表的示数为 C．当电流表的示数为时，定值电阻 D．电流I与电阻之间的函数关系式为 ( 题型02 )反比例函数的图象 5．（2025·河南安阳·一模）如图，已知直线，它与反比例函数相交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点（网格线的交点），再画出反比例函数的图象． (3)过点A作轴于点H，点P是反比例函数上一动点，当的面积为3时，请直接写出点P的坐标． 6．（2025·河南周口·一模）如图1，在中，，点P从点A出发，以的速度沿折线A→B→C运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿线段BC运动．当点P到达点C时，P，Q停止运动，连接PQ，AQ．设点P运动的时间为，的面积为．       (1)直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围： (2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）． 7．（2025·河南信阳·一模）如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将等腰向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 8．（2025·河南郑州·一模）如图（1）所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器．机器人在 除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．为研究滚 刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对“吸灰”过程中滚刷 的滚速与除尘能力C（在地面撒灰后，清扫十次所减少的灰占所撒的灰总质量的百分比）进行了试验，得到如图（2）所示的关系图，规定除尘能力C 超过36%即为及格．则下列说法正确的是（   ） A．除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分 B．除尘能力与滚刷的滚速成正比 C．当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格 D．当除尘能力为36.5%时，滚剧的滚速为1400转/分 9．（2025·河南·一模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式． (2)请分别画出直线和双曲线． (3)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围． 10．（2025·河南郑州·一模）如图，在四边形中，，，，，，动 点从 点出发，沿 的方向在，边上移动，记，点 到直线的距离为，则 关 于的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． ( 题型03 )利用反比例函数的性质解题 11．（2025·河南焦作·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定不正确的是（  ） A． B． C． D． 12．（2025·河南·一模）反比例函数的图象经过点，若反比例函数的图像上有三点，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·河南·一模）如图是小华同学利用计算机软件绘制函数（k，b为常数）的图象，则k，b的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（2025·河南·一模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 15．（2025·河南·一模）已知点都在反比例函数的图象上，且， （填>或）． 16．（2025·河南·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为 ． 17．（2025·河南·一模）已知，两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． ( 题型0 4 )根据图形面积求比例系数 18．（2025·河南·一模）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）    A． B． C． D．3 19．（2025·河南·一模）如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，，反比例函数的图像经过点A，且与BC相交于点D．若的面积为20，则k的值为（    ） A．12 B．18 C．24 D．32 20．（2025·河南·一模）如图，点B为反比例函数图象上的一点，过点B分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，C，连接AC，OA，OC，四边形OABC的面积是3． (1)求k的值． (2)点B在反比例函数的图象上移动，当平分与x轴正半轴的夹角时，求证：是的平分线． ( 题型0 5 )求反比例函数解析式 21．（2025·河南洛阳·一模）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将它放入如图2的平面直角坐标系中．顶点A，O，B分别落在坐标轴上，点恰好落在反比例函数图象上． (1)求反比例函数表达式； (2)将此教具沿轴正方向平移个单位，在平移的过程中，若此教具边与反比例函数图象始终有交点，求的取值范围． 22．（2025·河南漯河·一模）如图，菱形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，与相交于点．若反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过和的中点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)①将菱形向下平移_________个单位长度，可使反比例函数的图象经过点； ②将菱形向右平移_________个单位长度，可使一次函数的图象经过点． 23．（2025·河南周口·一模）如图，点是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，线段交于点． (1)求的值； (2)求直线的函数解析式； (3)若将所在的直线向下平移个单位长度后，与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 24．（2025·河南漯河·一模）如图，已知反比例函数的图象经过两点． (1)求该反比例函数的表达式． (2)点在轴的正半轴上，且，求的面积． 25．（2025·河南南阳·一模）如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数（，）的图象分别交、于点C、D．已知点C的坐标为，． (1)求k的值． (2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），求出点P的横坐标x的取值范围． 26．（2025·河南周口·一模）如图，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知点． (1)求反比例函数的解析式． (2)将矩形平移得到矩形，平移后点O的对应点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，求点B的对应点的坐标． 27．（2025·河南南阳·一模）如图，菱形的四个顶点都在格点上，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将菱形向右平移4.5个单位时，对角线的中点所在的反比例函数的解析式为______． 28．（2025·河南洛阳·一模）如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的解析式并直接写出点B的坐标； (2)求的长． 29．（2025·河南洛阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式和点，的坐标． (2)过点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当点在点的下方时，直接写出的取值范围． (3)若点在反比例函数的图象上，点先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点，点恰好也落在反比例函数的图象上，求的值． 30．（2025·河南郑州·一模）如图，点在反比例函数的图象上，当时，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，交于点，四边形的面积为． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求与的函数关系式； (3)随着的增大，四边形的面积如何变化？请简要说明理由． ( 题型0 6 )一次函数与反比例函数的交点问题 31．（2025·河南平顶山·一模）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，一次函数的图象经过A，C两点，且与y轴交于点B，反比例函数的图象过点C． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点D是线段上一点，过点D作x轴的平行线交于点E，交反比例函数图象于点F．当时，求点F的坐标． 32．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点P，若，求平移距离d． 33．（2025·河南开封·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． (1)求，对应的函数解析式； (2)过点作轴的垂线，交轴于点C； (3)连接，求的面积． 34．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，轴于点，轴于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹），与反比例函数图象交于点，并求出点的坐标； (3)是线段上的一点，连接，，若和的面积相等，求点的坐标． 35．（2025·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的两个交点分别为和．    (1)求直线的解析式； (2)过点作x轴的垂线，与直线和函数的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，直接写出n的取值范围． 36．（2025·河南信阳·一模）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 37．（2025·河南信阳·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)直接写出点的坐标； (3)将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线，若直线分别交的图象、轴于，两点，求的面积． 38．（2025·河南·一模）已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为________个．（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 39．（2025·河南周口·一模）如图，已知一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)求的坐标； (3)直接写出不等式的解． 40．（2025·河南周口·一模）如图所示，一次函数：的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点，若的面积为3． (1)分别求出m和n的值； (2)求点B的坐标； (3)结合图像直接写出关于x的不等式的解集． 41．（2025·河南濮阳·一模）如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)求直线的函数解析式． ( 题型0 7 )实际问题与反比例函数 42．（2025·河南·一模）密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量木棒浸入液体的深度h，再利用收集的数据画出与h的关系图象，如图2所示．根据图象判断，下列说法正确的是（   ） A．密度越大，深度h越大 B．若，则 C．密度均匀增加时，深度h的变化量相同 D．密度计的刻度线越往上，对应的密度越小 43．（2025·河南安阳·一模）利用过氧乙酸可以对室内的空气进行熏蒸消毒．某跨学科兴趣小组设计了一个简易检测仪，检测室内空气中过氧乙酸气体的浓度，其电路原理如图1所示，电源电压为，为定值电阻，过氧乙酸气体传感器的阻值随过氧乙酸气体浓度的变化关系如图所示，已知未消毒时（为），电压表示数为．（消毒标准如下：为不合格，为合格，为超标）．下列说法正确的是（   ）． 信息窗1．串联电路中各处的电流都相等． 2．串联电路两端的电压等于各部分电路两端电压的总和． 3．，其中U为电压，I为电流，R为电阻． A．随的增大而增大 B．是的反比例函数 C．定值电阻o的阻值为 D．当电压表的示数为时，该次消毒不合格 44．（2025·河南南阳·一模）在实验课上，小明做了一个实验．如图①在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入水的质量，得到下表： 托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总重量 10 12 15 20 30 加入水的质量 5 7 10 15 25 通过描点连线得到如图②所示的，关于x的函数图象，则下列说法正确的是（    ） A．分别是关于x的反比例函数 B．的图象向下平移4个单位可得的图象 C．随的增大而减小 D．当托盘B与点C距离为时，比多5克 45．（2025·河南洛阳·一模）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（   ） A．在一定范围内，越小越大 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 46．（2025·河南洛阳·一模）如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法正确的是（   ） A．该图象是反比例函数图象 B．R随的增大而增大 C．当烟雾浓度增大时，电压表示数变大 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率减小 47．（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标． (1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）． (2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据： 150 170 190 210 230 250 270 a ①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式； ②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？ 48．（2025·河南周口·一模）如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： … 4 6 8 10 12 … … 9 6 4.5 3.6 3 … (1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； (2)当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 49．（2025·河南郑州·一模）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若个人共同完成需天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（   ） A． B． C． D． E． 50．（2025·河南周口·一模）如图1，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积（单位：）变化的关系图象如图2所示，结合图3信息窗中的内容，下列说法不正确的是（   ） A．当该容器的体积为时，氧气的密度为 B．该容器内氧气的密度是关于体积的反比例函数 C．若容器内氧气的密度为，则该容器的体积约为 D．该容器内氧气的质量为 ( 题型0 8 )反比例函数与几何综合 51．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)先用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，再连接、．猜想四边形的形状，并说明理由． 52．（2025·河南平顶山·一模）如图，的顶点A，B分别在轴、轴上，，点、，反比例函数的图象经过点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)将沿x轴正方向平移，判断点B，C能否落在同一个反比例函数的图象上？若能，请求出平移的距离及此时反比例函数的解析式；若不能，请说明理由． 53．（2025·河南濮阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，放置一个含角的三角板．其中点为原点，在轴上，已知，，． (1)点在反比例函数的图象上，求该反比例函数的表达式； (2)将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点落在轴上，求点在旋转过程中到点经过的最短路径长； (3)将旋转后的沿轴方向向下平移个单位得到，若平移后的线段与直线重合，直接写出和的值． 54．（2025·河南信阳·一模）如图，四边形的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，，点D的坐标为，双曲线经过点D． (1)直接写出k的值 ． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)若（2）中所作的角平分线与x轴交于点E，，，求的长． 55．（2025·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式及m的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (3)若点P在（2）所作的的角平分线上，当是以为一腰的等腰三角形时，点P的坐标为________． 56．（2025·河南平顶山·一模）如图，中，点在第二象限，点在轴正半轴上，轴，，，反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①求作等腰三角形，点在第一象限，，点为的中点； ②求作菱形； (3)将菱形沿轴向下平移多少个单位长度后点会落在该反比例函数的图象上？ 57．（2025·河南·一模）小晃同学借助反比例函数图像设计一个轴对称图形．如图，正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点，以点为圆心，的长为半径作扇形，弧交于点；以为对角线作正方形，再以点为圆心，的长为半径作扇形． (1)求反比例函数的解析式； (2)求弧的长； 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$