专题07 二次函数（9大题型53题）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题07 二次函数 题型概览 题型01 二次函数的图象和性质 题型02 的图象和性质 题型03 二次函数的图象与系数的关系 题型04 二次函数的对称 题型05 二次函数的最值 题型06 用待定系数法求二次函数解析式 题型07 二次函数与一元二次方程 题型08 实际问题与二次函数 题型09 二次函数综合 ( 题型01 )二次函数的图象和性质 1．（2025·河南许昌·一模）已知函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧随的增大而增大，在对称轴的左侧随的增大而减小是解题的关键． 根据其顶点式函数可知，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随的增大而增大，可得到答案． 【详解】解：由题意可知：函数，开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， 又 ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 2．（2025·河南洛阳·一模）点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题关键是正确应用对称性．由，得到轴的距离大于到轴的距离，由抛物线的对称轴为轴，开口向上，即可得． 【详解】解：由， 得到轴的距离大于到轴的距离， 由抛物线的对称轴为轴，开口向下， 得． 故选：B． 3．（2025·河南周口·一模）开封是我国西瓜三大主产区之一，西瓜种植历史悠久，始于五代，广种于宋，已有1000多年栽培历史，南宋诗人范成大曾在他的《西瓜园》一诗中云：“碧蔓凌霜卧软沙，年来处处食西瓜”．图1是某瓜农种植的吊篮西瓜．为了提供更好的生长环境，促进西瓜生长、丰产，该瓜农搭建了西瓜大棚，其横截面可模拟为抛物线．如图2是大棚的横截面，大棚在地面上的宽度是，最高点C距地面的距离为．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的解析式； (2)根据图2，若一位身高的瓜农想要在大棚内站直行走，请通过计算说明该瓜农站直行走的横向距离是否超过． 【答案】(1) (2)不超过 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分析题干的条件，得抛物线的顶点的坐标为，且过点，故设抛物线的解析式为．然后运用待定系数法进行求解，即可作答． （2）理解题意，则把代入，得出，再求出，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点的坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为． 将代入解析式，得． 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：该瓜农站直行走的横向距离不超过，理由如下： 令， 即， 解得， 瓜农站直行走的横向距离是． ， 瓜农站直行走的横向距离不超过． 4．（2025·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求出，，然后再求出，最后进行判断即可． 【详解】解：设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为， 把分别代入两个函数解析式得： ，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴的图象为开口向下，顶点为的抛物线， 所以C选项符合题意． 故选：C． 5．（2025·河南·一模）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 ． 【答案】y=x（答案不唯一） 【分析】直接写出一个已经学过的经过原点的函数解析式即可． 【详解】解：因为直线y=x经过原点（0,0）， 故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图象经过原点即可）． 【点睛】本题考查了学生对函数解析式的理解，解决本题的关键是理解并掌握函数解析式与函数图象的关系等． ( 题型02 )的图象和性质 6．（2025·河南·一模）已知二次函数的图象上A，B，C三点的坐标分别为．若，则c的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质．根据，可得关于对称轴对称，从而得到，再把点B的坐标代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴关于对称轴对称， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入，得： ，解得：． 故答案为：． 7．（2025·河南新乡·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则点的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、根据二次函数图象确定相应一元二次方程根的情况、判断点所在的象限，解题关键是根据二次函数图象确定相应一元二次方程根的情况．由该二次函数与轴无交点，顶点在第二象限推得，即可得解． 【详解】解：由图象可得，该二次函数与轴无交点，顶点在第二象限， 一元二次方程无解， ； 当时，， 点在第二象限． 故选：． 8．（2025·河南南阳·一模）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍． (1)b的值为 ． (2)已知点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求m的值； ②若，且，求t的最小值． 【答案】(1)8 (2)①或；②当时，t有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的图像和性质是解题的关键． （1）先求出抛物线的顶点横坐标，再根据题意求出抛物线的顶点横坐标，即可得到答案； （2）①根据题意求出，根据题意得到，即可得到答案； ②由题意得，，得到，解得，当时，t有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：的顶点横坐标为， 抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍， 抛物线的顶点横坐标为， ， ； 故答案为：． （2）解：①点在抛物线上，， ． 点在抛物线上，， ， 整理，得， 解得或． ②由题意得，． ． ． ， ． ， ，解得． 易得对称轴为直线． ，且． 当时，t有最小值，最小值为． 9．（2025·河南洛阳·一模）已知二次函数的图象经过点，，则下列说法：当时，随的增大而减小；若点，在该函数的图象上，则；该函数图象的对称轴是直线；该函数的图象有最低点．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是把点，的坐标代入二次函数，利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后再根据二次函数的图象与性质进行判断． 【详解】解：把点，的坐标代入二次函数， 可得：， 解方程组可得：， 二次函数的解析式为， 二次函数中， 抛物线开口向上， 二次函数的对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， 故正确； 点，在该函数的图象上， 当时，可得：， 当时，可得：， ， 故错误； 二次函数的对称轴为， 故错误； 二次函数中， 抛物线开口向上， 函数图象有最低点， 故正确． 正确的有． 故选：A ． 10．（2025·河南洛阳·一模）抛物线的部分图象如图所示，已知抛物线的对称轴是，且抛物线与轴的一个交点坐标为．下列结论：①②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点坐标是；⑤若点在该抛物线上，则，其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及其性质是解答本题的关键.结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】解：对称轴是y轴的右侧， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ，故错误，不符合题意； ， ，，故正确，符合题意； 由图象得：时，直线与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根，故正确，符合题意； 抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故不正确，不符合题意； 抛物线的对称轴是， 有最大值是， 点在该抛物线上， ，故正确，符合题意， 本题正确的结论有：，3个， 故选：C． 11．（2025·河南洛阳·一模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即)，对称轴在轴左；当与异号时即)，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．根据抛物线与轴有两个交点，可得，据此解答即可；根据抛物线的对称轴，开口向下，据此判断即可；根据抛物线与轴的一个交点A在点和之间，可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，据此判断即可；根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可；首先根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出即可． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， 结论不正确． 抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点， ， 结论正确． 抛物线与轴的一个交点A在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 结论正确． 的最大值是， 方程没有实数根，则， 结论正确． 抛物线的对称轴， ， ， ， ， 结论正确． 综上，可得正确结论的序号是：． 故答案为：． 12．（2025·河南平顶山·一模）二次函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象可得，即可判断；由图象与轴有两个交点可判断；由二次函数的对称性可得当时，，即可判断；根据二次函数的对称轴可判断，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象得，， ，故选项错误； ∵二次函数图象与轴有两个交点， ，故选项错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ，故选项错误： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ， ，故选项正确， 故选：． 13．（2025·河南平顶山·一模）在农村，很多农户依然保留着手工制作粉条的习惯，流程一般为：清洗红薯、破壁粉碎、吊坨过滤（图）、静置沉淀、捞取淀粉、制作粉条．吊坨过滤的截面图可抽象为如图所示的抛物线，已知粉坨表面宽为，粉坨最大深度为，粉坨下容器的底面直径为，且，粉坨的最低点位于的正上方． (1)请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求出粉坨最低点的坐标． (2)根据（1）中所建的平面直角坐标系，求出抛物线的表达式． (3)若向粉坨中添加水（假设纱布位置形状不变），使得粉坨表面的最大宽度不超过容器底面直径的长，则粉坨的最大深度为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)抛物线的表达式为（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了建平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，求函数值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）以所在直线为轴，的中点为原点，建立平而直角坐标系，再根据粉坨最大深度为，即可求解； （2）根据抛物线的顶点坐标为，故设抛物线的表达式为，再将代入，解出的值即可求解； （3）将代入，求出的值即可． 【详解】（1）解：以所在直线为轴，的中点为原点，建立平而直角坐标系如解图所示：（答案不唯一），粉坨最低点的坐标为（答案不唯一）； （2）解：由（1），知抛物线的顶点坐标为，故设抛物线的表达式为， 由题意，知点， 将代入，得， 解得， 抛物线的表达式为（答案不唯一）； （3）解：当粉坨表面的最大宽度恰好为容器底而直径的长时， 将代入， 解得：， 粉坨的最大深度为． ( 题型03 )二次函数的图象与系数的关系 14．（2025·河南漯河·一模）如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出， ，再判断二次函数的图象特征，进而求解． 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， ∴二次函数图象的对称轴是直线，与轴的交点在正半轴，符合题意的只有A． 故选：A． 15．（2025·河南洛阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①，②，③，④，⑤若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键．根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来判断①②；根据对称轴得来判断③；利用当时，来判断④；利用A、B、C到对称轴的距离分别为5，，进行判定⑤． 【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下， ∴；故①正确，符合题意； ②抛物线与轴交于正半轴， ∴；故②正确，符合题意； ③∵对称轴为直线， ，即， ∴，故③错误，不符合题意； ④∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故④错误，不符合题意； ⑤∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线，且开口向下， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为5，，， ，故⑤错误，不符合题意， 综上所述，符合题意的有：①②． 故答案为：①②． 16．（2025·河南濮阳·一模）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．本题可先由二次函数的图象得到字母系数a、b的正负，再与一次函数图象得到字母系数的正负，相比是否一致． 【详解】解：A、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． B、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． C、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项符合题意． D、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． 故选：C． 17．（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图像，熟练掌握一次函数与二次函数的图像特点是解题关键．分两种情况：①当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上；②当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上，由此即可得． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上， 当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 18．（2025·河南开封·一模）已知抛物线如图所示，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B，由抛物线与x轴交两个点判断C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， 抛物线的与x轴的交点是：和， ∴对称轴为：直线， ， ， ，故选项A正确． ∵， ∴，故选项B正确． 抛物线与x轴有两个交点， ∴，故选项C正确． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D错误． 故选：D． 19．（2025·河南开封·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过   （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象与性质，掌握它们的性质是解题的关键．根据二次函数图象开口方向可以判断出的符号，由对称轴的位置判断的符号，由图像与轴的交点判断的正负情况，再结合一次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数的开口向上， ， 一次函数中，随的增大而增大， 抛物线的对称轴直线在轴左侧， ， ， 抛物线交轴的负半轴， ， ， 一次函数交于轴的负半轴， 一次函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 20．（2025·河南郑州·一模）若一次函数的图象不经过第四象限，则二次函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数图象的性质，掌握一次函数、二次函数图象与解析式系数的关系是解题的关键． 由一次函数图象不经过第四象限可知，然后根据二次函数的对称轴、开口方向以及一定经过原点即可解答． 【详解】解：∵若一次函数的图象不经过第四象限， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴在y轴左侧， 由可得，抛物线开口向上且过原点， ∴抛物线的图象只能是C． 故选C． ( 题型0 4 )二次函数的对称 21．（2025·河南周口·一模）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据当和当时的函数值相同可得对称轴，再根据对称性可得当和当时的函数值相同，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同， ∴， 故选：C． 22．（2025·河南驻马店·一模）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随增大而增大．其中结论正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象，性质，增减性，对称性，顶点，熟练掌握二次函数的相关知识，灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据轴对称的性质求得抛物线与轴的另一个交点坐标为，可判断①正确；当时，值为正，可判断②正确；根据对称轴为直线，且抛物线过原点，求得，，可判断③错误；求出顶点坐标，判断④正确；利用二次函数的增减性，可判断⑤错误． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标， 抛物线与轴的另一个交点坐标为，结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， 当和时，值相同，且均为正， ，结论②正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线过原点， ，， ，， ，结论③错误； 当时，， 抛物线的顶点坐标为，结论④正确； 观察函数图象可知：当时，随增大而增大，结论⑤错误． 综上所述，正确的结论有：①②④． 故选：B． 23．（2025·河南周口·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得对称轴为直线，的一个根为，进而根据对称性求得的另一个根，即可求解． 【详解】解： 时， ∴的一个根是 ∵图象的对称轴为直线， ∴的另一个根是 故选：A． 24．（2025·陕西西安·一模）已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，增减性，图象的开口方向． 先求出该二次函数的对称轴，开口方向，点的对称点，根据对称性增减性即可进行分析解答． 【详解】解：∵ ， ∴函数图象开口向下， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵当时，y随x的增大而增大， ， ∴． 故答案为：B． 25．（2025·河南濮阳·一模）在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边18米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． (1)若， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； (2)当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)①抛物线水线最大高度是米；②， (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式，掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）①根据喷出的水恰好达到岸边，由抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴是直线，再把代入，求出y值即可求解； ②根据抛物线水线最大高度达4米，则抛物线顶点的纵坐标为，把代入求得，即可求解； （2）根据，得出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点在直线上，得到，求得，然后根据喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边，得，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ①∵喷出的水恰好达到岸边 ∴抛物线过， ∵抛物线过原点， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴当时，， ∴抛物线水线最大高度是米； ②∵抛物线水线最大高度达4米， ∴抛物线顶点的纵坐标为， 当 时，， 解得：， ∴抛物线的顶点是， ∴， ∵抛物线过原点， ∴， 解得， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得：， ∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ∴，即， 解得． ( 题型0 5 )二次函数的最值 26．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最低点和最高点到轴的距离分别为，当时，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的最值，函数的增减性；掌握二次函数图象的性质，数形结合思想是解题的关键． 过点B作轴交抛物线于点E，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，②当点P在点C和点E之间时，③当点P在点E上方时，分别根据列式求解即可． 【详解】解：过点B作轴交抛物线于点E， ∵， ∴抛物线对称轴为，顶点坐标为， ∴点E与点B关于对称轴对称，，如图所示： ①当点P在点B和点C之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∵， ∴， 解得：（不合题意）； ②当点P在点C和点E之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∴符合题意， ∴， ③当点P在点E上方时，即时，最低点为点，最高点点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或或， ∵， ∴． 综上所述，m的取值范围为或． 27．（2025·河南周口·一模）已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)当时，二次函数的最小值为．求此时二次函数的解析式； (3)已知点，，线段与二次函数的图象有公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的性质； （1）根据对称轴公式与顶点坐标公式，即可求解； （2）根据题意得出时，最小为，待定系数法求解析式，即可求解； （3）分抛物线经过，，求得的临界值，即可求解． 【详解】（1）解： ∴对称轴为直线， 当时， ∴顶点坐标为； （2）解：∵，，在对称轴直线的左侧，随的增大而减小， ∴时，最小为 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴； （3）解：∵点，，线段与二次函数的图像有公共点， 当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：， ∴． 28．（2025·河南郑州·一模）河荫石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户购进一批石榴进行销售，进价为元箱，当销售价为元箱时，每天可售出箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价元，平均每天可多售出箱． （1）每箱石榴降价 元时，商家平均每天能盈利元． （2）每箱石榴降价 元时，商家平均每天盈利最多． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，正确掌握相关性质是解题的关键． （）设每箱石榴降价元，再表示出单件利润和销售量，然后根据单件利润乘以销售量等于列出方程，求出解即可； （）设利润为，即可得出关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（）设每箱石榴降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或； （）设利润为， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，利润有最大值，为元， 故答案为：． 29．（2025·河南·一模）二次函数的最小值是 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的性质，将该二次函数写成顶点式，即可解答． 【详解】解：∵， ∴当时，函数有最小值，为． 故答案为：1 ( 题型0 6 )用待定系数法求二次函数解析式 30．（2025·河南驻马店·一模）如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，熟知以上性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：把，，代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为， （2）解：在二次函数中，令，得， 解得：， ， 设直线的解析式为，将代入得， ，解得， 直线的解析式为， 设，， 轴， ， ， ， 当时，最大值为，此时． 31．（2025·河南漯河·一模）研究小组进行跨学科主题学习活动，研究某种化学试剂的挥发情况．研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．场景A实验中试剂剩余质量随时间变化的过程可以用一次函数表示．场景B的实验可看作抛物线的一部分．小东结合实际实验和计算得到场景B的数据，如表所示： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） 21 19.5 16 10.5 3 请根据以上信息，解决下列问题： (1)在网格中建立平面直角坐标系，一次函数的图象已画出，请你根据表格中已知数据描点，并用平滑的曲线画出场景B的关系图象． (2)求场景B中与的函数表达式． (3)当时，上述函数关系仍然成立，通过计算说明化学试剂在哪个场景下挥发所用的时间更长． 【答案】(1)见解析； (2)与的函数关系式为； (3)化学试剂在场景B下挥发所用的时间更长． 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，涉及到一次函数图像和二次函数图像的绘制，熟练掌握相关函数内容是解题的关键． （1）直接根据表格中已知数据描点，并用平滑的曲线画出即可； （2）设与的函数关系式为， 把代入，解得的值即可； （3）通过计算时，场景A和场景B的所用的时间进行判断． 【详解】（1）解：如图所示： （2）场景B中，由表可知，当时，， ∴ 设与的函数关系式为， 把代入， 得， 解得， ∴与的函数关系式为． （3）场景A中，令， ∴，解得， 场景B中，当时，， ∴ 化学试剂在场景B下挥发所用的时间更长． 32．（2025·河南洛阳·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)点的坐标为，不等式的解集为或 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点分别代入抛物线和直线的解析式计算即可得； （2）先联立两个函数的解析式即可得点的坐标，再根据不等式表示的是抛物线位于直线的上方，结合函数图象即可得； （3）先求出，抛物线的顶点坐标为，再画出函数图象，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得， 将点代入直线得：， 解得． （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，一次函数的解析式为， 联立，解得或， 所以点的坐标为， 不等式表示的是抛物线位于直线的上方， 则结合函数图象可知，不等式的解集或． （3）解：由题意得：， ∵，， ∴，点之间的水平距离为3， 抛物线化成顶点式为的顶点坐标为， 画出图象如下： 当点与抛物线的顶点重合时，，解得，此时线段与抛物线恰好只有一个公共点， 则由函数图象可知，当时，线段与抛物线没有公共点， 当时，线段与抛物线只有一个公共点， 当时，线段与抛物线有两个公共点， 当时，线段与抛物线恰好只有一个公共点， 当时，线段与抛物线没有公共点， 综上，若线段与抛物线有两个公共点，点的横坐标的取值范围为． 33．（2025·河南信阳·一模）某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．所获的利润w（元）与销售单价x（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元） … 20 30 40 50 60 … 周销量y（套） … 40 30 20 10 0 … 所获利润w（元） … 0 300 400 300 0 … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)①请在下面的平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象； ②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？ 【答案】(1) (2)①见解析 ②当销售单价定为36元/件时，每周的销售利润最大，最大利润是384元． 【分析】（1）设，根据题意，得，解方程组解答即可； （2）①求得二次函数的解析式，再描点画图即可； ②利用二次函数的图象和性质即可解答． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得， 故． （2）①解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，不妨设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， 故，用描点法画图象画图如下： ②解：由， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∵文具店打算销售单价不能高于进价的倍， ∴， ∴当时，w取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为36元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是384元． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，描点法画图象，二次函数求最值，抛物线的增减性，熟练根据题意求得二次函数的解析式，利用函数的最值，增减性解题是解题的关键． 34．（2025·河南平顶山·一模）二次函数的图象交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点． (1)若点坐标为． ①求该二次函数的解析式及，的坐标； ②若点为直线上方二次函数图象上一个动点，求的最大值； (2)当时，已知点，，且二次函数图象与线段只有一个公共点，请求出的取值范围． 【答案】(1)①，，；②最大值为8 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①将代入二次函数解析式求出，即可得出二次函数的解析式，令，则，求出的值即可得出、的坐标；②求出直线的解析式为，设点，则，，再由表示出面积，结合二次函数的性质即可得解； （2）由题意可得点在抛物线内部，当点在抛物线上或外部时，抛物线与线段只有一个公共点，将代入得，从而可得，求解即可． 【详解】（1）解：①点坐标为，即， ． 该二次函数的解析式为， 令，则， 解得：，， 抛物线与轴交点为， ②过点作轴的垂线，交于点，交轴于点， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点，则， ， ∴， ， ∵， 当时，的值最大，最大值为8； （2）解：当时，抛物线经过， 点在抛物线内部， 当点在抛物线上或外部时，抛物线与线段只有一个公共点， 将代入得， ， 解得， ． ( 题型0 7 )二次函数与一元二次方程 35．（2025·河南驻马店·一模）若抛物线（c是常数）与x轴有且仅有一个公共点，则c的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据抛物线与x轴有且仅有一个公共点，可知，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：抛物线与x轴有且仅有一个公共点， ， 解得，， 故答案为：1． 36．（2025·河南开封·一模）若抛物线与轴其中一个交点的坐标是，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 若抛物线与轴其中一个交点的坐标是，则，将化为，再整体代入求值． 【详解】解：若抛物线与轴其中一个交点的坐标是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 37．（2025·河南·一模）如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若点在抛物线上，则 C．当时，y随x的增大而减小 D．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A、由图象可知，抛物线与x轴交于两点， ∴，故A错误； B、∵抛物线在对称轴为直线x=－3，点在抛物线上， ∴m=n，故B错误； C、由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故C正确； D、∵抛物线的最小值为－6， ∴关于x的一元二次方程无实数根，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解答的关键． 38．（2025·河南·一模）已知抛物线与 x轴只有一个公共点，则m= ． 【答案】 【详解】试题分析：根据抛物线解析式可知其对称轴为x=，根据其与x轴只有一个交点，可知其顶点在x轴上，因此可知x= 时，y=0，代入可求得m=. 点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确与x轴只有一个交点的位置是抛物线的顶点在x轴上，因此可求出对称轴代入即可. 39．（2025·河南·一模）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，7） 【答案】B 【分析】先根据顶点式确定抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标为（1，3），再利用点的平移得到平移后抛物线的顶点坐标为（0，3），于是得到移后抛物线解析式为y=x2+3，然后求平移后的抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标为（1，3）， 把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3）， 所以平移后抛物线解析式为y=x2+3， 所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． ( 题型0 8 )实际问题与二次函数 40．（2025·河南平顶山·一模）中华绒螯蟹又称大闸蟹，为中国久负盛名的美食．某代理商以每千克100元的价格购进一批大闸蟹，根据销售经验可知，这种大闸蟹的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（）存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格x（元/千克） 130 120 日销售量y（千克） 20 40 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该代理商销售这种大闸蟹的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当每千克销售价格x为多少元时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每千克120元时，日销售利润最大，最大日销售利润是800元 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的实际应用； （1）设关于的函数表达式为，待定系数法解二元一次方程组即可求出； （2）根据每日总利润每千克利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为． 将和分别代入， 得，解得， ∴关于的函数表达式是． （2）解：． 当时， 在的范围内，， 取到最大值，最大值是800． 答：销售价格为每千克120元时，日销售利润最大，最大日销售利润是800元． 41．（2025·河南平顶山·一模）如图，夏季来临之际，水上乐园深受广大同学的欢迎，其中水滑道的坡度直接影响游玩的刺激程度和安全性，一般来说，坡度的设计需要考虑到水流的速度、游客的舒适度以及滑道的长度．数学兴趣小组的同学对部分水滑道的截面近似的看作是抛物线的一部分的某项水上项目中的数学问题进行了深入研究，在如图所示的平面直角坐标系中，游客从A点处沿滑道滑下后会经过点C至点B处腾空飞出后落入水池． (1)米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为 ； (2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）． 【答案】(1) (2)①米，；②在安全范围内，理由见解析 【分析】（1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，又，故，可得，进而可以判断得解； （2）①依据题意，由抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，故抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称，则B是它们的中点，又，，从而抛物线的顶点为，可得此人腾空后的最大高度；进而可设抛物线为，再将代入得，计算可得抛物线的解析式； ②依据题意，由①得，可令，求出x可得的长，从而求出即可判断得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】（1）解：由题意，水滑道所在抛物线的顶点， 可设抛物线为， 又， ， ， 抛物线为； （2）解：①由题意， 抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称． 是它们的中点． 又，， 抛物线的顶点为， 此人腾空后的最大高度为米． 又此时可设抛物线为， 将代入得， ， ； 抛物线的解析式， ②由①得， 令， 或(舍去)， 米． 又米， ， 落点D在安全范围内． 42．（2025·河南省直辖县级单位·一模）【项目式学习】 项目主题：安全用电、防患未然． 【项目背景】近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，电动自行车约80%的火灾是在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．如图1是本校悬挂的8公斤干粉灭火器． 【模型构建】 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． 如图2，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． （1）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （2）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，按照此安装方式，当电动车停放在距离墙面（OA）水平距离为4米处时，如果充电时发生火灾，能否保证这辆电动自行车的电池内部自燃熄灭，不会复燃．请说明理由； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，创新小组想在喷淋头的同一水平线上再加装一个同样的喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖车棚内所有电动车电池，请直接写出喷淋头距离喷淋头至少有多少米． 【答案】（1） （2）按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃，理由见解析 （3）喷淋头距离喷淋头至少米 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，求出值，与比较，即可得出答案； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可． 【详解】解：（1）根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃，理由如下： 把代入得：， ∵， ∴按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：， 放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ∴喷淋头N距离喷淋头M至少米． 43．（2025·河南洛阳·一模）在河南中招体育考试中，洛阳某考点的乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为． (1)求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度． (2)设“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？ 【答案】(1) (2) 发球器出口的高度应向上调整 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用． （1）令，求出x的值，然后把代入，求出n的值，再令，得即可解答； （2）由（1）可知“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，即，把代入，解方程求出得值即可. 【详解】（1）解：令， 解得． 把代入，得， 解得． ∴． 令，得． ∴“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度为； （2）解：由（1）可知“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为． ∴． 设调整后“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为． 把代入，得， 解得， ∴要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应向上调整． 44．（2025·河南周口·一模）如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：） (1)求该抛物线的解析式． (2)如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，走右侧车道 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）分别求出，时，对应的函数值，即可判断． 【详解】（1）解：∵O为的中点，， ∴， ∴， 设抛物线解析式为， 则， ∴， ∴； （2）解：∵，，，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴左侧车道不能通过， 当时，， ∴右侧车道能通过， ∴该货车应按右侧车道行驶能通过． 45．（2025·河南周口·一模）在生物实验中，研究人员对某种微生物在特定营养液中的繁殖情况进行观测．发现微生物的数量增长速率v（个/时）与营养液中关键营养物质的浓度x（）密切相关，通过一系列实验记录得如下数据： 营养物质浓度x/（） 0 10 20 30 40 微生物数量增长速率 v/（个/时） 0 12 18 18 12 (1)请根据表中数据，在平面直角坐标系中绘制出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象． (2)经分析，该关系可以用二次函数 来描述，请利用表格中的数据，通过解方程组的方式求出a、b、c的值（结果保留2位小数）． (3)若希望微生物数量增长速率v不低于15个/时，则营养物质浓度x的范围应是多少？（结果保留2位小数，） 【答案】(1)见解析 (2)a、b、c的值分别为、1.50、0.00 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据表中数据，描点画出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象即查； （2）根据表中数可知，，，再将点代入解析式，即可得方程组，解方程组即可； （3），则，解方程得，再结合（1）的图象即可得出结论． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中绘制出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象如图所示， （2）解：根据表中数可知，，， 二次函数过点， ∴， 解得， 即a、b、c的值分别为、1.50、0.00； （3）解：由（2）可知二次函数解析式为， 令，则， 解得， ∵， ∴或， 结合（1）中的图象可知，若希望微生物数量增长速率v不低于15个/时，则营养物质浓度x的范围应是． 46．（2025·河南·一模）某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：有一个可上下移动的带弹簧的装置，每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从A点飞出．某组进行试玩，发现弹珠从A点飞出后的路径是抛物线的一部分，A是抛物线的顶点，弹珠飞出后正好从挡板1的顶部B点经过，此时装置距离水平地面的高度为，挡板1到O点的距离为，挡板1的高度为以点O为原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图1．（研究路径时弹珠的直径忽略不计，弹珠碰到挡板顶点视为可通过） (1)求弹珠飞出路径对应的抛物线的函数表达式． (2)将弹珠游戏装置作出调整：如图2，在距离O点处新增高度为的挡板2，挡板1与挡板2之间的区域记为I；在距离O点处新增高度为的挡板3，挡板2与挡板3之间的区域记为Ⅱ．若该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内，求d的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解一元二次方程，理清题中的数量关系，掌握待定系数法及二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据题意得：根据题意得：抛物线顶点坐标为，点，可设抛物线的函数表达式为，把点代入求解，即可解题； （2）根据题意得：挡板2顶端的坐标为，挡板3顶端的坐标为，设该弹簧装置向上平移后的抛物线的函数表达式为，分别把点和代入，求出c的值，再根据该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：根据题意得：抛物线顶点坐标为，点， 可设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴弹珠飞出路径对应的抛物线的函数表达式为； （2）解：根据题意得：挡板2顶端的坐标为，挡板3顶端的坐标为， 设该弹簧装置向上平移后的抛物线的函数表达式为， 把点代入得： ，解得：， 把点代入得： ，解得：， ∵该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内， ∴． 47．（2025·河南开封·一模）冻雨是一种极端天气情况，一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害．华中地区某城市在今年二月份下了多次冻雨，许多树木因为冻雨结冰发生折断，我们对该城市一无冰树枝置于二月份某次冻雨下进行观察，发现一段含冰树枝的重量y（千克）和时间x（小时）近似满足二次函数关系：，当时，该含冰树枝重9.75千克；当时，该含冰树枝增重到15.75千克． (1)求二次函数的解析式． (2)由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，树枝会发生折断，请问树枝会折断吗？如果会，何时断裂，如果不会，说明理由． 【答案】(1) (2)树枝不会折断，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出时的函数值，再求出当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时x的值进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， 当时，该含冰树枝重9.75千克； 当时，该含冰树枝增重到15.75千克， ∴， 解得：， ∴． （2）不会，理由如下： ∵， ∴当时，， ∴当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时， ， 解得：或， ∵， ∴树枝不会折断． 48．（2025·河南安阳·一模）图是抛物线形状的拱桥，当拱桥顶离水面时，水面宽．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，如图所示，且个单位长度代表实际长度． (1)求抛物线的解析式． (2)图是一艘货船的纵向截面示意图，此货船水面以上高度为，货船的宽度在顶部取得最大值．当桥下水面下降时，它能否从桥下安全通过？请通过计算进行说明（安全通过的要求：船距离桥体墙壁不少于）． 【答案】(1) (2)船不能从桥下安全通过，理由见解析 【分析】（）设抛物线解析式为，由题意得，再利用待定系数法解答即可； （）把代入（）所得函数解析式求出的值，进而判断即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出抛物线的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 由题意得， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， 当时，， 解得， ∵，， ∴船不能从桥下安全通过． 49．（2025·河南周口·一模）如图1所示，某建筑物侧面视图呈现为一个二次函数的抛物线形状．该建筑物的设计要求如下：抛物线的顶点位于水平地面上方20米处，且位于设施中心线上方．建筑物的底部两端点分别位于中心线两侧，距离中心线的水平距离为15米，且这两点在地面上．为了烘托节假日的热闹氛围，要用多条平行于地面的彩色条纹装饰建筑物的侧面，且每两条相邻条纹的高度之差为米． (1)在图2中建立适当的平面直角坐标系，使设施底部两端点的坐标分别为和，求出描述该设施侧面形状的二次函数关系式． (2)根据设计要求，计算最多可以画出多少条彩色条纹装饰带（不计装饰带的宽度，）． 【答案】(1) (2)最多可以画出4条彩色条纹装饰带 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分析题意，先建立合适的平面直角坐标系，再得顶点坐标为，故设解析式为，把代入计算，即可作答． （2）分析题意，设有个间距为的高度差，总高度为，故，算出，结合间距必须是整数，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：如图，以水平地面为轴，中心线为轴，建立平面直角坐标系： 抛物线的顶点位于地面上方20米处， 顶点坐标为， 设，且过点， ， 即， . 抛物线的解析式为； （2）解：依题意，设有个间距为的高度差，总高度为， ∵由（1）得顶点坐标为， ∴， . ∵间距必须是整数， ∴有3个间距； 这3个间距之间会有4条彩带（包括顶部和底部），因此实际上最多可以画出4条彩色条纹装饰带． ( 题型0 9 )二次函数综合 50．（2025·河南商丘·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，坐标为．    (1)尺规作图：过点D作轴，垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若， ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向左或向右平移个单位，若平移后的抛物线与线段有公共点，问：向左或向右最多平移多少个单位？ 【答案】(1)见解析 (2)①；②向左最多平移2个单位，向右最多平移个单位 【分析】本题主要考查了二次函数综合，垂线的尺规作图，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）分别以A、B为圆心，以任意大于的长的一半为半径画弧，二者交于点T，作直线交x轴于M，则线段和点M即为所求； （2）①根据顶点坐标得到，，则，根据对称性可得，则可求出，，再利用待定系数法求解即可；②设平移后的抛物线解析式为，先求出，在求出直线的解析式为；求出向左平移抛物线，且平移后的抛物线经过时m的值；求出向右平移抛物线时，平移后得到抛物线与线段只有一个公共点时m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，分别以A、B为圆心，以任意大于的长的一半为半径画弧，二者交于点T，作直线交x轴于M，则线段和点M即为所求；    （2）解：①∵顶点D的坐标为，轴 ，， ，， ， ， ，， ，， 把，代入，， 解得：， 抛物线的解析式为； ②设平移后的抛物线解析式为， 在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则有， 解得：， 直线的解析式为， 若向左平移抛物线，把代入得：， 解得，（舍去）， ， 若向右平移抛物线，令，整理得：， 当抛物线与线段只有一个公共点时，， 即，解得：， ， 抛物线向左最多平移2个单位，向右最多平移个单位． 51．（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求该二次函数的解析式； (2)若，请直接写出的解集； (3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”为． 二次函数的图象经过，． 解得 二次函数的解析式为． （2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或． （3）解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为． 点在抛物线对称轴上， ∴可设． 点的横坐标小于点的横坐标， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为或． 52．（2025·河南·一模）等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”． (1)已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与轴的两个交点坐标为，，则此抛物线的顶点是_____； (2)如图，抛物线是“美丽抛物线”，顶点，与轴交于两点，在轴上方的抛物线上找一点，且，请求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是平面内一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或，理由见详解 【分析】（1）根据题意，可得中点为，对称轴直线为，结合“美丽抛物线”的定义即可求解； （2）根据题意可得的中垂线为直线，由新定义可得，根据中点坐标得到，即可求出，设抛物线解析式为，把顶点坐标代入可得二次函数解析式，设，则有，，根据，列式求解即可； （3）根据平行四边形的性质，由中点坐标的计算方法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴中点为，对称轴直线为， ∵抛物线是“美丽抛物线”， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：根据题意可得的中垂线为直线， ∴，即， 解得，， ∴， 设抛物线解析式为，把顶点坐标代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∵点是轴上方抛物线上一点， ∴设， 如图所示，过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理得，， 解得，， ∴，则， ∴； （3）解：存在，理由如下， 已知，设， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴对角线的中点坐标相同， 第一种情况，以为对角线， ∴， 解得，， ∴； 第二种情况，以为对角线， ∴， 解得，， ∴； 第三种情况，以为对角线， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查定义新运算，平行四边形的性质，中点坐标的计算，解直角三角形的运用，二次函数图象的性质，掌握解直角三角形的计算，二次函数与平行四边形的综合运用，中点坐标的计算方法是解题的关键． 53．（2025·河南·一模）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为M．与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标． 【答案】(1)，，直线的函数表达式为： (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合： （1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式； （2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：令 ，， 设直线的函数表达式为：， 把代入得： ， 解得： ， 直线的函数表达式为：． （2）解：解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为 ，． ， ， ， 分两种情况： ①当时，得． 解得：，（舍去）， 当时，． 点的坐标为； ②当时，得． 解得：，（舍去）， 当时，， 点的坐标为． 当点是线段的三等分点时，点的坐标为或． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数 题型概览 题型01 二次函数的图象和性质 题型02 的图象和性质 题型03 二次函数的图象与系数的关系 题型04 二次函数的对称 题型05 二次函数的最值 题型06 用待定系数法求二次函数解析式 题型07 二次函数与一元二次方程 题型08 实际问题与二次函数 题型09 二次函数综合 ( 题型01 )二次函数的图象和性质 1．（2025·河南许昌·一模）已知函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 2．（2025·河南洛阳·一模）点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（2025·河南周口·一模）开封是我国西瓜三大主产区之一，西瓜种植历史悠久，始于五代，广种于宋，已有1000多年栽培历史，南宋诗人范成大曾在他的《西瓜园》一诗中云：“碧蔓凌霜卧软沙，年来处处食西瓜”．图1是某瓜农种植的吊篮西瓜．为了提供更好的生长环境，促进西瓜生长、丰产，该瓜农搭建了西瓜大棚，其横截面可模拟为抛物线．如图2是大棚的横截面，大棚在地面上的宽度是，最高点C距地面的距离为．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的解析式； (2)根据图2，若一位身高的瓜农想要在大棚内站直行走，请通过计算说明该瓜农站直行走的横向距离是否超过． 4．（2025·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   5．（2025·河南·一模）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 ． ( 题型02 )的图象和性质 6．（2025·河南·一模）已知二次函数的图象上A，B，C三点的坐标分别为．若，则c的值为 ． 7．（2025·河南新乡·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则点的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2025·河南南阳·一模）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍． (1)b的值为 ． (2)已知点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求m的值； ②若，且，求t的最小值． 9．（2025·河南洛阳·一模）已知二次函数的图象经过点，，则下列说法：当时，随的增大而减小；若点，在该函数的图象上，则；该函数图象的对称轴是直线；该函数的图象有最低点．正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河南洛阳·一模）抛物线的部分图象如图所示，已知抛物线的对称轴是，且抛物线与轴的一个交点坐标为．下列结论：①②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点坐标是；⑤若点在该抛物线上，则，其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 11．（2025·河南洛阳·一模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 12．（2025·河南平顶山·一模）二次函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·河南平顶山·一模）在农村，很多农户依然保留着手工制作粉条的习惯，流程一般为：清洗红薯、破壁粉碎、吊坨过滤（图）、静置沉淀、捞取淀粉、制作粉条．吊坨过滤的截面图可抽象为如图所示的抛物线，已知粉坨表面宽为，粉坨最大深度为，粉坨下容器的底面直径为，且，粉坨的最低点位于的正上方． (1)请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求出粉坨最低点的坐标． (2)根据（1）中所建的平面直角坐标系，求出抛物线的表达式． (3)若向粉坨中添加水（假设纱布位置形状不变），使得粉坨表面的最大宽度不超过容器底面直径的长，则粉坨的最大深度为多少？ ( 题型03 )二次函数的图象与系数的关系 14．（2025·河南漯河·一模）如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 15．（2025·河南洛阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①，②，③，④，⑤若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论是 ． 16．（2025·河南濮阳·一模）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·河南开封·一模）已知抛物线如图所示，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．为任意实数 19．（2025·河南开封·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过   （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（2025·河南郑州·一模）若一次函数的图象不经过第四象限，则二次函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )二次函数的对称 21．（2025·河南周口·一模）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 22．（2025·河南驻马店·一模）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随增大而增大．其中结论正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤ 23．（2025·河南周口·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 24．（2025·陕西西安·一模）已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 25．（2025·河南濮阳·一模）在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边18米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． (1)若， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； (2)当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时的取值范围． ( 题型0 5 )二次函数的最值 26．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最低点和最高点到轴的距离分别为，当时，则的取值范围为 ． 27．（2025·河南周口·一模）已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)当时，二次函数的最小值为．求此时二次函数的解析式； (3)已知点，，线段与二次函数的图象有公共点，直接写出a的取值范围． 28．（2025·河南郑州·一模）河荫石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户购进一批石榴进行销售，进价为元箱，当销售价为元箱时，每天可售出箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价元，平均每天可多售出箱． （1）每箱石榴降价 元时，商家平均每天能盈利元． （2）每箱石榴降价 元时，商家平均每天盈利最多． 29．（2025·河南·一模）二次函数的最小值是 ( 题型0 6 )用待定系数法求二次函数解析式 30．（2025·河南驻马店·一模）如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标． 31．（2025·河南漯河·一模）研究小组进行跨学科主题学习活动，研究某种化学试剂的挥发情况．研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．场景A实验中试剂剩余质量随时间变化的过程可以用一次函数表示．场景B的实验可看作抛物线的一部分．小东结合实际实验和计算得到场景B的数据，如表所示： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） 21 19.5 16 10.5 3 请根据以上信息，解决下列问题： (1)在网格中建立平面直角坐标系，一次函数的图象已画出，请你根据表格中已知数据描点，并用平滑的曲线画出场景B的关系图象． (2)求场景B中与的函数表达式． (3)当时，上述函数关系仍然成立，通过计算说明化学试剂在哪个场景下挥发所用的时间更长． 32．（2025·河南洛阳·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围． 33．（2025·河南信阳·一模）某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．所获的利润w（元）与销售单价x（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元） … 20 30 40 50 60 … 周销量y（套） … 40 30 20 10 0 … 所获利润w（元） … 0 300 400 300 0 … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)①请在下面的平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象； ②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？ 34．（2025·河南平顶山·一模）二次函数的图象交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点． (1)若点坐标为． ①求该二次函数的解析式及，的坐标； ②若点为直线上方二次函数图象上一个动点，求的最大值； (2)当时，已知点，，且二次函数图象与线段只有一个公共点，请求出的取值范围． ( 题型0 7 )二次函数与一元二次方程 35．（2025·河南驻马店·一模）若抛物线（c是常数）与x轴有且仅有一个公共点，则c的值是 ． 36．（2025·河南开封·一模）若抛物线与轴其中一个交点的坐标是，则的值为 ． 37．（2025·河南·一模）如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若点在抛物线上，则 C．当时，y随x的增大而减小 D．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 38．（2025·河南·一模）已知抛物线与 x轴只有一个公共点，则m= ． 39．（2025·河南·一模）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，7） ( 题型0 8 )实际问题与二次函数 40．（2025·河南平顶山·一模）中华绒螯蟹又称大闸蟹，为中国久负盛名的美食．某代理商以每千克100元的价格购进一批大闸蟹，根据销售经验可知，这种大闸蟹的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（）存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格x（元/千克） 130 120 日销售量y（千克） 20 40 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该代理商销售这种大闸蟹的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当每千克销售价格x为多少元时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 41．（2025·河南平顶山·一模）如图，夏季来临之际，水上乐园深受广大同学的欢迎，其中水滑道的坡度直接影响游玩的刺激程度和安全性，一般来说，坡度的设计需要考虑到水流的速度、游客的舒适度以及滑道的长度．数学兴趣小组的同学对部分水滑道的截面近似的看作是抛物线的一部分的某项水上项目中的数学问题进行了深入研究，在如图所示的平面直角坐标系中，游客从A点处沿滑道滑下后会经过点C至点B处腾空飞出后落入水池． (1)米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为 ； (2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）． 42．（2025·河南省直辖县级单位·一模）【项目式学习】 项目主题：安全用电、防患未然． 【项目背景】近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，电动自行车约80%的火灾是在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．如图1是本校悬挂的8公斤干粉灭火器． 【模型构建】 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． 如图2，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． （1）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （2）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，按照此安装方式，当电动车停放在距离墙面（OA）水平距离为4米处时，如果充电时发生火灾，能否保证这辆电动自行车的电池内部自燃熄灭，不会复燃．请说明理由； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，创新小组想在喷淋头的同一水平线上再加装一个同样的喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖车棚内所有电动车电池，请直接写出喷淋头距离喷淋头至少有多少米． 43．（2025·河南洛阳·一模）在河南中招体育考试中，洛阳某考点的乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为． (1)求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度． (2)设“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？ 44．（2025·河南周口·一模）如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：） (1)求该抛物线的解析式． (2)如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 45．（2025·河南周口·一模）在生物实验中，研究人员对某种微生物在特定营养液中的繁殖情况进行观测．发现微生物的数量增长速率v（个/时）与营养液中关键营养物质的浓度x（）密切相关，通过一系列实验记录得如下数据： 营养物质浓度x/（） 0 10 20 30 40 微生物数量增长速率 v/（个/时） 0 12 18 18 12 (1)请根据表中数据，在平面直角坐标系中绘制出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象． (2)经分析，该关系可以用二次函数 来描述，请利用表格中的数据，通过解方程组的方式求出a、b、c的值（结果保留2位小数）． (3)若希望微生物数量增长速率v不低于15个/时，则营养物质浓度x的范围应是多少？（结果保留2位小数，） 46．（2025·河南·一模）某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：有一个可上下移动的带弹簧的装置，每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从A点飞出．某组进行试玩，发现弹珠从A点飞出后的路径是抛物线的一部分，A是抛物线的顶点，弹珠飞出后正好从挡板1的顶部B点经过，此时装置距离水平地面的高度为，挡板1到O点的距离为，挡板1的高度为以点O为原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图1．（研究路径时弹珠的直径忽略不计，弹珠碰到挡板顶点视为可通过） (1)求弹珠飞出路径对应的抛物线的函数表达式． (2)将弹珠游戏装置作出调整：如图2，在距离O点处新增高度为的挡板2，挡板1与挡板2之间的区域记为I；在距离O点处新增高度为的挡板3，挡板2与挡板3之间的区域记为Ⅱ．若该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内，求d的取值范围． 47．（2025·河南开封·一模）冻雨是一种极端天气情况，一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害．华中地区某城市在今年二月份下了多次冻雨，许多树木因为冻雨结冰发生折断，我们对该城市一无冰树枝置于二月份某次冻雨下进行观察，发现一段含冰树枝的重量y（千克）和时间x（小时）近似满足二次函数关系：，当时，该含冰树枝重9.75千克；当时，该含冰树枝增重到15.75千克． (1)求二次函数的解析式． (2)由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，树枝会发生折断，请问树枝会折断吗？如果会，何时断裂，如果不会，说明理由． 48．（2025·河南安阳·一模）图是抛物线形状的拱桥，当拱桥顶离水面时，水面宽．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，如图所示，且个单位长度代表实际长度． (1)求抛物线的解析式． (2)图是一艘货船的纵向截面示意图，此货船水面以上高度为，货船的宽度在顶部取得最大值．当桥下水面下降时，它能否从桥下安全通过？请通过计算进行说明（安全通过的要求：船距离桥体墙壁不少于）． 49．（2025·河南周口·一模）如图1所示，某建筑物侧面视图呈现为一个二次函数的抛物线形状．该建筑物的设计要求如下：抛物线的顶点位于水平地面上方20米处，且位于设施中心线上方．建筑物的底部两端点分别位于中心线两侧，距离中心线的水平距离为15米，且这两点在地面上．为了烘托节假日的热闹氛围，要用多条平行于地面的彩色条纹装饰建筑物的侧面，且每两条相邻条纹的高度之差为米． (1)在图2中建立适当的平面直角坐标系，使设施底部两端点的坐标分别为和，求出描述该设施侧面形状的二次函数关系式． (2)根据设计要求，计算最多可以画出多少条彩色条纹装饰带（不计装饰带的宽度，）． ( 题型0 9 )二次函数综合 50．（2025·河南商丘·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，坐标为．    (1)尺规作图：过点D作轴，垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若， ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向左或向右平移个单位，若平移后的抛物线与线段有公共点，问：向左或向右最多平移多少个单位？ 51．（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求该二次函数的解析式； (2)若，请直接写出的解集； (3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 52．（2025·河南·一模）等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”． (1)已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与轴的两个交点坐标为，，则此抛物线的顶点是_____； (2)如图，抛物线是“美丽抛物线”，顶点，与轴交于两点，在轴上方的抛物线上找一点，且，请求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是平面内一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 53．（2025·河南·一模）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为M．与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$