期末复习讲义：专题08 数学广角——找次品（考点梳理+例题讲解+培优练习）-2024-2025学年五年级下册数学人教版

期末复习讲义：专题08 数学广角——找次品（考点梳理+例题讲解+培优练习）-2024-2025学年五年级下册数学人教版 考点梳理 一、基本概念与工具 1.次品：在待测物品中，有且仅有1个重量与其他（正品）不同的不合格品。 2.天平：一架没有砝码的天平。每次称量可以比较两组物品的重量，得出“左重”、“右重”或“平衡”三种结果。 3.关键已知：题目会明确告知次品是比正品“轻”还是“重”。这是解题的基础。 4.目标：设计最优的称量方案，保证（在最坏情况下）用最少的次数找出那个次品。 二、核心策略：三分法 1.原则：为了使称量次数尽可能少，尽可能将待测物品平均分成3组（份）。 2.操作步骤（描述策略的关键）： （1）分组：将物品尽可能平均分成3组（A组、B组、C组）。每组数量尽量接近，允许相差1个（如8个分成3,3,2）。 （2）第一次称量：将A组和B组分别放在天平的两端进行称量。 （3）分析结果： ①情况1：平衡  a：说明A组和B组都是正品，次品肯定在C组中。  b：问题简化为“在C组物品中找出那个次品”。 ②情况2：不平衡 a：如果题目告知次品较轻：则次品在位置较轻的那一组中（如A比B轻，则次品在A组）。 b：如果题目告知次品较重：则次品在位置较重的那一组中（如A比B重，则次品在A组）。 c：问题简化为“在较轻（或较重）的那一组物品中找出次品”。 （4）缩小范围：将③中确定的包含次品的那一组物品，看作是一个新的待测整体。 （5）重复：对这个新的、数量更少的待测整体，再次应用“三分法”（分组、称量、分析），直到找出次品。 3.为什么分三组？ 天平一次称量能提供三种结果（左重、右重、平衡）。将物品分成三组，每次称量（比较其中两组）就能正好把次品锁定在某一组内，信息利用最充分，保证称量次数最少。 三、称量次数与物品数量的关系（核心结论） 1.牢记以下关键范围：（这是快速解题的关键） （1）物品数量在 2-3个 时，至少需要称 1次。 （2）物品数量在 4-9个 时，至少需要称 2次。 （3）物品数量在 10-27个 时，至少需要称 3次。 （4）物品数量在 28-81个 时，至少需要称 4次。 四、解题步骤（实践应用） 1.读清题意：确认物品总数 ，确认次品是较轻还是较重。 2.判断称量次数：根据物品总数落在哪个范围（2-3, 4-9, 10-27），确定至少需要称几次。 3.设计称量策略（描述清楚）：使用“三分法”逐步描述操作过程。 第一轮：把N个物品分成哪三组（数量尽量平均）？拿哪两组称？（一般是前两组）根据题目告知的次品轻重，判断不同称量结果下，次品在哪一组。 第二轮：对第一步确定的包含次品的组（数量变少），再次分三组（数量继续尽量平均），拿哪两组称？根据结果判断次品在哪。 后续轮次：继续按此方法缩小范围（数量越来越少，分组时甚至可能不需要分成严格三份，例如剩3个时就比较2个）。 最后一轮：当范围缩小到3个或更少时，就能找出次品（如3个称1次找出）。 4.写出答案：明确说出至少需要称几次，并根据题目要求描述过程。 五、易错点与注意事项（复习要点） 1.混淆“知道轻重”和“不知道轻重”策略：五年级下只要求掌握“明确知道次品较轻或较重”的情况。不要引入“不知轻重”的策略。 2.忽略“保证找出”：策略必须保证在任何情况下（即使运气最差）也能找出次品。我们计算和说明的是“最坏情况下”所需的最少次数。 3.分组合计错误：确保每次分组时，三组的数量加起来等于待测物品总数。 4.临界点混淆： （1）3个 -> 1次 （2）4个 -> 2次 （3）9个 -> 2次 （4）10个 -> 3次 （5）27个 -> 3次 5.操作描述不清： （1）必须说明每次称量是拿哪两组放到天平两端。 （2）必须根据题目告知的次品“轻”或“重”，清晰说明在“不平衡”的情况下次品在轻的一边还是重的一边。 （3）分组时要说明分成哪三组（比如分成A、B、C组），然后说“称A组和B组”。 6.不理解三分法原理： 死记次数或步骤，不明白为什么要尽可能平均分成三份。理解天平三种结果与分三组的对应关系是关键。 例题讲解 【例题1】乒乓球，被称为中国的“国球”，因其打击时有“乒乓”声而得名。4个乒乓球中有一个是次品(质量轻一些)，下面是小曲用天平找次品的称量示意图，可以知道（　　）号乒乓球是次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】【解答】解：第一次称量分组：将4个乒乓球分成两组，每组2个。例如，将1号和2号放在天平左侧，3号和4号放在右侧。若天平不平衡，则较轻的一侧包含次品；若平衡，则次品在未被称量的组中（但本题中所有球都被称量，因此可能需要调整分组方式）。 根据示意图分析结果：假设第一次称量后天平向左侧倾斜，则说明左侧的1号或2号中有次品；若右侧轻，则3号或4号为次品。根据题目选项和可能的示意图结果，若最终结论是选项B（2号），则可能第一次称量时左侧较轻，且在第二次称量中单独比较1号和2号，发现2号较轻。 故答案为：B。 【分析】从4个乒乓球中找出唯一一个质量较轻的次品。根据天平称量的示意图，需要通过分组称量来确定次品的位置。通常这类问题的解决方法是将物品分成三组，但4个乒乓球可以分为两组进行比较，通过观察天平的倾斜方向来判断次品所在的组别，进而确定具体是哪一个。 【例题2】如果10个零件中有一个次品（次品的质量轻一些），要保证找到次品，至少要称3次。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：把10个零件分为3个、3个、4个，共三组。 第一次：天平两端各放3个，如果平衡次品就在4个中；如果不平衡次品在上升那端的3个中； 第二次：如果次品在3个中，再称1次就能找出次品；如果在4个中，天平两端各放2个，上升那端的2个有一个是次品； 第三次：天平两端各放1个，上升那端的就是次品。 所以至少称3次。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】找次品时把零件平均分成3份，如果不能平均分成3份，也要使第三份比另外两份少一个或多1个。这样一次就能把次品的范围缩小到最小。 【例题3】有8瓶饮料，编号是①~⑧，其中有6瓶是合格产品，另外2瓶是次品(轻一些)，用天平称了3次，结果如下。这两瓶次品的编号是什么？请写出你的思考过程。 第一次：①+②比③+④重； 第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻； 第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重。 【答案】解：这两瓶次品的编号是④和⑤。 根据第一次称量结果可知，③和④中一定有一个是次品； 根据第二次称量结果可知，⑤和⑥中一定有一个是次品； 根据第三次称量结果可知，天平左右两边各有一个是次品，②④和⑧中的次品一定是④，③就不可能是次品了，①③和⑤中的次品只能是⑤。 【详解】【分析】根据天平称量的结果，逐步推断出哪两瓶饮料是次品；可以通过假设法，结合天平的平衡情况，逐步缩小次品的范围，最终确定次品的具体编号。 培优练习 一、选择题 1．有一架天平，只配有5g和30g砝码各一个，现在要把300g糖分成三等份，最少需要称（　　）次。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】【解答】解：第一次：得到35g； 第二次：用35+30=65g砝码总，称出65g糖； 此时剩余300-35-65=200g。 第三次：将65g与35g合并为100g（因35+65=100），则剩下200g需分成两份100g。 但如何用天平分200g为两份100g？只需将200g均分，但需称量确认。 例如，将已有的100g（35+65）作为标准，与200g中的一部分比较： 第三次称量：左盘放已知100g糖，右盘从200g中取糖直至平衡，此时右盘即为100g，剩下100g自动成立。因此总共三次称量即可完成三等分。 故答案为：B。 【分析】本题要求用5g和30g的砝码将300g糖分成三等份（即每份100g），需确定最少称量次数。需通过合理利用砝码组合和分糖策略，找到最少称量步骤。 2．有14瓶鲜牛奶，其中 13瓶质量相等，另有1 瓶质量较轻。用天平称1次，（　　）找出这瓶较轻的鲜牛奶。 A．可能 B．不可能 C．一定能 D．无法确定 【答案】B 【详解】【解答】解：根据题目要求，使用天平一次称量来确定14瓶牛奶中较轻的一瓶。分析如下： ①将14瓶分为3组（如5、5、4）；若平衡，较轻瓶在剩余4瓶中，但需进一步称量（超出题目条件）。 若不平衡，较轻瓶在较轻的5瓶中，仍需再次称量。 ②14瓶远超此范围，因此无法通过一次称量确定。 故答案为：B。 【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1，通过分析无法通过一次称量确定较轻的一瓶鲜牛奶。 3．有几袋麻花，其中一袋因包装破损受潮，质量变重，其余质量相等。如果用天平至少称4次就能保证找到那袋破损的麻花，那么这些麻花最多有（　　）袋。 A．27 B．28 C．81 D．82 【答案】C 【详解】【解答】解：根据找次品的规律，如果需要通过n次测量找到次品，那么最大可能的待测物品数量为 3n。因此，如果通过4次测量找到次品，那么最大可能的待测物品数量为34=81个。 故答案为：C。 【分析】在找次品的问题中，通过将待测物品分成三份并进行比较，可以逐步缩小次品的可能位置。本题要求通过4次测量找到次品，因此需要根据规律计算出最大可能的待测物品数量。 4．有6个外观相同的小球，其中1个质量稍轻的是次品。要求用天平称2次能保证找到这个小球。方案一：第一次按(2，2，2)分；方案二：第一次按(3，3)分。下面说法正确的是（　　）。 A．只有方案一可行 B．只有方案二可行 C．方案一、二都可行 D．方案一、二都不可行 【答案】C 【详解】【解答】解：分析方案一（2，2，2分组） 第一次将6个小球分为三组（每组2个），称量任意两组： 若天平平衡，则次品在未称量的第三组； 若不平衡，则次品在较轻的一组。 此时，次品范围缩小至2个球。 第二次取这2个球分别放在天平两端，较轻的即为次品。 因此，方案一可行。 分析方案二（3，3分组） 第一次将6个小球分为两组（每组3个），称量两组： 较轻的一组含次品。 第二次从这3个球中任取2个称量： 若平衡，次品是未称量的第3个； 若不平衡，次品是较轻的1个。 因此，方案二也可行。 故答案为：C。 【分析】分组策略是关键：方案一通过三次分组直接缩小范围，方案二则利用二次分组的递归逻辑。核心在于每次称量后将可能的次品数量控制在可一次解决的范围内（如≤3个可通过第二次称量确定）。 题目要求通过两次天平称量确定6个小球中的次品（质量稍轻）。需要验证两种分组方案是否均能在两次内找到次品。 5．五金店有11颗外形完全相同的钉子，其中1颗钉子比其他钉子重。如果分成4份(3，3，3，2)，那么至少称（　　）次能保证找到这颗较重的钉子。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】【解答】解：第1次：天平两端各放3颗，平衡；第2次：拿出3个，放另外3个，平衡，次品在剩下的2个中；不平衡，下沉那端的3个中有一颗重。第3次：无论在2个中还是3个中，都再需要1次即可。所以至少称3次能保证找到这颗钉子。 故答案为：C。 【分析】称1次或2次就能把次品范围缩小到2颗中或者3颗中，再称1次就能找到。这样最快2次，至少3次就能找到。 6．如图，8个形状完全相同的小球中有一个是次品（次品轻一些）。用天平称，至少称几次能保证找出次品？其中能将次品范围缩到最小的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】【解答】解：8（3，3，2），其中B项中能将次品范围缩到最小。 故答案为：B。 【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 二、判断题 7．有28瓶钙片，其中有1瓶轻一些，至少称3次能保证找出这瓶轻的钙片。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：第一次把有28瓶钙片分成2组，每组14瓶；找到轻的那组； 第二次把有14瓶钙片分成2组，每组7瓶；找到轻的那组； 第三次把7瓶分成三组：3瓶，3瓶，1瓶；如果，3瓶的质量与3平的质量相等，可以找出1瓶轻一些；如果不相等，找出轻的那一组； 第四次保证找出这瓶轻的钙片，原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】此题主要考查了找次品的知识，根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1，据此解答。 8．一 箱橙子有6袋，其中5袋质量相同，另外1袋质量不足，要找出较轻的一袋，比较合适的分法是(1，1， 4)。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：第一步：6个平均分成（2、2、2），任意称2组，平衡则在剩余1组中找； 第二步：2个分成（1，1）再称，天平上高出的则为较轻的一袋。 以上只需要称两次即可找出次品。 故答案为：错误。 【分析】本题考查数学问题——找次品， 最快方式就是均分后再称。根据题意先把总量6平均分三等分（如过总量不能平均的话，各组差值不能大于1），将两份相等组放在天平上，如果平衡就在剩下组中找，如果不平则在少的那组找；以此类推，一直到剩余数量为2，就可以找到次品。 三、填空题 9．5瓶维生素C含片，每瓶100片，其中有1瓶被吃掉5片，用天平设法把这瓶维生素C含片找出来，至少需要称　 　次才能保证找到这瓶维生素 C含片。 【答案】2 【详解】【解答】解：第一次：天平两端各放2瓶，天平平衡，说明剩下的那瓶就是；如果不平衡，那么上升那端的2瓶有一瓶是；第二次：把所在的2瓶的天平两端各放1瓶，上升那端的1瓶就是。所以至少称2次。 故答案为：2。 【分析】找次品时把所有物品平均分成3份，如果不能平均分也要使多或少的那份比其它多1或少1。这样称1次就能把次品范围缩小到最小。 10．有5个外形完全一样的零件，其中有一个是次品，根据下图可以推断出　 　号一定是正品。 【答案】⑤ 【详解】【解答】解：次品一定在①②③④中，⑤号一定是正品。 故答案为：⑤。 【分析】次品的质量可能比正品轻，也可能比正品重，此时天平不平衡，说明次品在天平上，那么剩下的一个一定是正品，据此解答。 11．10瓶饮料，其中一瓶略重些，用天平称，可以尽量分成相等的　 　份，至少称　 　次能保证找出略重的这瓶饮料。 【答案】3；32 【详解】【解答】解：10÷3=3（瓶）......1（瓶），3+1=4（瓶），即10瓶饮料，分成3瓶、3瓶、4瓶； 情况一：第一次先用天平测量3瓶和3瓶，如果天平平衡，则次品在4瓶里面；第二次将4瓶分成1瓶、1瓶、2瓶共3份，将两个1瓶放到天平称重，如果天平平衡，则这两个物品都是标准物品，只需要替换其中的一个物品，用未检测的1个物品放上去进行第三次称重，此时天平物品平衡，则次品就是未检测那瓶，如果天平不平，重的那瓶就是次品。 情况二：第一次先用天平测量3瓶和3瓶，如果天平不平衡，则次品在这较重的那3瓶里面；第二次将较重的3瓶分成1瓶、1瓶、1瓶共3份，将两个1瓶放到天平称重，如果天平平衡，则次品就是未检测的那瓶；如果天平不平，重的那瓶就是次品。 综上可以看出， 10瓶饮料，其中一瓶略重些，用天平称，可以尽量分成相等的3份，至少称3次能保证找出略重的这瓶饮料。 故答案为：3；3. 【分析】本题找次品，需要先将物品尽量平均分成3份，第一次先测物品相同的两份，如果相同就对第三份进行测量；如果不同就对较重的那份进行测量，即可找出次品。 12．有6个零件分别标有A、B、C、D、E和F，其中5个都重80克，另1个不是80克，但不知道比80克轻还是重。按下图的方法称了3次，可以判断　 　是次品。 【答案】F 【详解】【解答】解：根据第一个图形可以判断A、B、C、D都不是次品，根据第三个图形可以判断E不是次品，根据第二个图形判断F是次品。 故答案为：F。 【分析】天平两端平衡，说明两端质量相等。哪端上升，说明哪端的零件就轻。 13．有8瓶矿泉水，编号①至⑧，其中有6瓶一样重，另外2瓶轻5g，是次品，用天平称了3次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤与②+④+⑧一样重，那么这2瓶次品是　 　。 【答案】④和⑤ 【详解】【解答】解： ①+②比③+④重，说明 ③+④ 中一定有一个次品， ①+② 全部都是正品， ⑤+⑥比⑦+⑧ 轻，说明 ⑤+⑥中有一个次品， ⑦+⑧ 都是正品。 ①+③+⑤与②+④+⑧ 一样重，说明等式两边各有一个次品，①是正品，②是正品，可以抵消。转换为③+⑤=④＋⑧，⑧也是正品，说明等式右边只有④是次品，因为 ③和④ 中一定有一个次品，那说明③就不是次品了，那等式左边只能是⑤是次品。 故答案为：④和⑤。 【分析】用排除法①、② 全部都是正品、 ⑦、⑧ 都是正品、③、⑥都是正品，剩余④和⑤是次品。 14．若干枚1元硬币中，有一枚较轻的是教学币，用天平称4次就能保证找到这枚教学币。这些硬币最少有　 　枚，最多有　 　枚。 【答案】28；81 【详解】【解答】解：3×3×3+1 =27+1 =28（枚） 3×3×3×3 =27×3 =81（枚） 故答案为：28；81。 【分析】首先，我们需要理解题目中的基本逻辑，即通过天平称重来确定较轻的教学币。由于题目要求至少称4次，我们可以利用天平的称重特性（每次将物品分为三份，比较其中两份的重量）来逐步缩小可能的教学币范围。因此，零件（或硬币）的数量应满足在一定次数的称重后，能够确定教学币的位置。这种逻辑可以转化为一个数学问题，即找出在给定称重次数下，能确保找到次品的最小和最大物品数量，因此，零件（或硬币）的数量应在3的3次方（即27）和3的4次方（即81）之间。 四、解决问题 15．1 箱糖果有 10 袋， 其中 9 袋质量相同， 另有 1 袋质量轻一些。假如用天平秤， 至少秤（　　）次能保证找出这袋糖果？请用你喜欢的方式简洁、清晰、完整的表示出秤的过程。 【答案】解： 把9袋糖平均分成3份，每份3袋。 第一次：把两份分别放在天平两端，如果平衡，说明轻的在剩下的一份中；不平衡，哪端上扬就说明轻的在这一份中； 第二次：天平两端各放1袋，天平上扬的那一端就是轻的那一袋。 所以至少秤2次能保证找出这袋糖果。 【详解】【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 16．师傅和徒弟一起做包子，规定每个包子用的面粉一样多，并且要求10个一笼。一天，师徒共做了5笼包子，其中师傅做了4笼，徒弟做了1笼，但由于徒弟粗心，听错了师傅的要求，每个包子都少了10g。有什么办法用电子秤称一次就能知道哪一笼包子是徒弟做的? 【答案】解：先将5笼包子编号为1号、2号、3号、4号、5号，然后分里面拿1个、2个、3个、4个、5个，再将这15个包子称重，看看与标准的15个包子的总质量差多少，如果差10g，是1号；如果差20g，是2号；如果差30g，是3号；如果差40g，是4号；如果差50g，是5号。 【详解】【分析】先把5笼包子编号，然后计算出质量差即可判断。 17．已知有16种溶液，其中有且只有一种是有毒的，这种有毒的溶液与另一种试剂A混合变色，而其他无毒溶液与试剂A混合不会变色，已知一次实验需要1个小时，一次混合反应需要使用1个试管，问最少使用多少个试管可以在1个小时内识别出有毒溶液。 【答案】解：把16种溶液分为6组，前5组每组3种，第6组1种。前5组溶液中每种溶液分别编号为1、2、3、…、15，按顺序从1号开始，每3个相连的号分为1组。以第一组为例：把3号溶液分别与1、2号溶液混合放入两个试管中，加入试剂。第一种情况：若两个试管中的溶液都变色，则该组3号有毒（因为两个试管中都有3号溶液）。 第二种情况：若1、3号的混合溶液变色，2、3号的混合溶液不变色，则1号溶液有毒；若2、3号的混合溶液变色，1、3号的混合溶液不变色，则2 号溶液有毒。 第三种情况：若5个组的溶液都不变色，则第6组有毒。所以最少使用2x5=10（个）试管。 【详解】【分析】①若两个试管中的溶液都变色，则该组3号有毒（因为两个试管中都有3号溶液）；②若1、3号的混合溶液变色，2、3号的混合溶液不变色，则1号溶液有毒；若2、3号的混合溶液变色，1、3号的混合溶液不变色，则2 号溶液有毒；③若5个组的溶液都不变色，则第6组有毒。所以最少使用2x5=10（个）试管。 18．天山脚下，住着一个狠心的地主巴依，每年都雇佣大批长工种地。这一年玉米获得大丰收，巴依精心挑选，装了10袋玉米，对长工们说：“这些玉米，其中有一袋稍微轻些，你们用天平至少称几次才能保证找出比较轻的那袋玉米?如果答不上来，这工钱嘛，可就不给了。”同学们，快来帮助长工们回答这个问题吧！（简要写出过程） 【答案】解：过程如下：将 10 袋玉米分成 3 袋、3袋、4袋三组，第一次：称量两份 3 袋的分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一袋在剩下的一份中；若天平不平衡，则取较轻的一份继续称。第二次：取含有较轻的一份（3袋或4袋）分成3份：1袋、1袋、1袋（或2袋），取两份1袋的分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在剩下的一份中，若天平不平衡，则可找到较轻的一袋。第三次：取含有较轻那袋的一组（2袋），分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋玉米。 【详解】【分析】要辨别的物品数目在2~3个时，保证能找出次品至少需要测的次数是1次；要辨别的物品数目在4~9个时，保证能找出次品至少需要测的次数是2次；要辨别的物品数目在10~27个时，保证能找出次品至少需要测的次数是3次；要辨别的物品数目在28~81个时，保证能找出次品至少需要测的次数是4次；要辨别的物品数目在82~243个时，保证能找出次品至少需要测的次数是5次······。 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习讲义：专题08 数学广角——找次品（考点梳理+例题讲解+培优练习）-2024-2025学年五年级下册数学人教版 考点梳理 一、基本概念与工具 1.次品：在待测物品中，有且仅有1个重量与其他（正品）不同的不合格品。 2.天平：一架没有砝码的天平。每次称量可以比较两组物品的重量，得出“左重”、“右重”或“平衡”三种结果。 3.关键已知：题目会明确告知次品是比正品“轻”还是“重”。这是解题的基础。 4.目标：设计最优的称量方案，保证（在最坏情况下）用最少的次数找出那个次品。 二、核心策略：三分法 1.原则：为了使称量次数尽可能少，尽可能将待测物品平均分成3组（份）。 2.操作步骤（描述策略的关键）： （1）分组：将物品尽可能平均分成3组（A组、B组、C组）。每组数量尽量接近，允许相差1个（如8个分成3,3,2）。 （2）第一次称量：将A组和B组分别放在天平的两端进行称量。 （3）分析结果： ①情况1：平衡  a：说明A组和B组都是正品，次品肯定在C组中。  b：问题简化为“在C组物品中找出那个次品”。 ②情况2：不平衡 a：如果题目告知次品较轻：则次品在位置较轻的那一组中（如A比B轻，则次品在A组）。 b：如果题目告知次品较重：则次品在位置较重的那一组中（如A比B重，则次品在A组）。 c：问题简化为“在较轻（或较重）的那一组物品中找出次品”。 （4）缩小范围：将③中确定的包含次品的那一组物品，看作是一个新的待测整体。 （5）重复：对这个新的、数量更少的待测整体，再次应用“三分法”（分组、称量、分析），直到找出次品。 3.为什么分三组？ 天平一次称量能提供三种结果（左重、右重、平衡）。将物品分成三组，每次称量（比较其中两组）就能正好把次品锁定在某一组内，信息利用最充分，保证称量次数最少。 三、称量次数与物品数量的关系（核心结论） 1.牢记以下关键范围：（这是快速解题的关键） （1）物品数量在 2-3个 时，至少需要称 1次。 （2）物品数量在 4-9个 时，至少需要称 2次。 （3）物品数量在 10-27个 时，至少需要称 3次。 （4）物品数量在 28-81个 时，至少需要称 4次。 四、解题步骤（实践应用） 1.读清题意：确认物品总数 ，确认次品是较轻还是较重。 2.判断称量次数：根据物品总数落在哪个范围（2-3, 4-9, 10-27），确定至少需要称几次。 3.设计称量策略（描述清楚）：使用“三分法”逐步描述操作过程。 第一轮：把N个物品分成哪三组（数量尽量平均）？拿哪两组称？（一般是前两组）根据题目告知的次品轻重，判断不同称量结果下，次品在哪一组。 第二轮：对第一步确定的包含次品的组（数量变少），再次分三组（数量继续尽量平均），拿哪两组称？根据结果判断次品在哪。 后续轮次：继续按此方法缩小范围（数量越来越少，分组时甚至可能不需要分成严格三份，例如剩3个时就比较2个）。 最后一轮：当范围缩小到3个或更少时，就能找出次品（如3个称1次找出）。 4.写出答案：明确说出至少需要称几次，并根据题目要求描述过程。 五、易错点与注意事项（复习要点） 1.混淆“知道轻重”和“不知道轻重”策略：五年级下只要求掌握“明确知道次品较轻或较重”的情况。不要引入“不知轻重”的策略。 2.忽略“保证找出”：策略必须保证在任何情况下（即使运气最差）也能找出次品。我们计算和说明的是“最坏情况下”所需的最少次数。 3.分组合计错误：确保每次分组时，三组的数量加起来等于待测物品总数。 4.临界点混淆： （1）3个 -> 1次 （2）4个 -> 2次 （3）9个 -> 2次 （4）10个 -> 3次 （5）27个 -> 3次 5.操作描述不清： （1）必须说明每次称量是拿哪两组放到天平两端。 （2）必须根据题目告知的次品“轻”或“重”，清晰说明在“不平衡”的情况下次品在轻的一边还是重的一边。 （3）分组时要说明分成哪三组（比如分成A、B、C组），然后说“称A组和B组”。 6.不理解三分法原理： 死记次数或步骤，不明白为什么要尽可能平均分成三份。理解天平三种结果与分三组的对应关系是关键。 例题讲解 【例题1】乒乓球，被称为中国的“国球”，因其打击时有“乒乓”声而得名。4个乒乓球中有一个是次品(质量轻一些)，下面是小曲用天平找次品的称量示意图，可以知道（　　）号乒乓球是次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】如果10个零件中有一个次品（次品的质量轻一些），要保证找到次品，至少要称3次。（　　） 【例题3】有8瓶饮料，编号是①~⑧，其中有6瓶是合格产品，另外2瓶是次品(轻一些)，用天平称了3次，结果如下。这两瓶次品的编号是什么？请写出你的思考过程。 第一次：①+②比③+④重； 第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻； 第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重。 培优练习 一、选择题 1．有一架天平，只配有5g和30g砝码各一个，现在要把300g糖分成三等份，最少需要称（　　）次。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．有14瓶鲜牛奶，其中 13瓶质量相等，另有1 瓶质量较轻。用天平称1次，（　　）找出这瓶较轻的鲜牛奶。 A．可能 B．不可能 C．一定能 D．无法确定 3．有几袋麻花，其中一袋因包装破损受潮，质量变重，其余质量相等。如果用天平至少称4次就能保证找到那袋破损的麻花，那么这些麻花最多有（　　）袋。 A．27 B．28 C．81 D．82 4．有6个外观相同的小球，其中1个质量稍轻的是次品。要求用天平称2次能保证找到这个小球。方案一：第一次按(2，2，2)分；方案二：第一次按(3，3)分。下面说法正确的是（　　）。 A．只有方案一可行 B．只有方案二可行 C．方案一、二都可行 D．方案一、二都不可行 5．五金店有11颗外形完全相同的钉子，其中1颗钉子比其他钉子重。如果分成4份(3，3，3，2)，那么至少称（　　）次能保证找到这颗较重的钉子。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，8个形状完全相同的小球中有一个是次品（次品轻一些）。用天平称，至少称几次能保证找出次品？其中能将次品范围缩到最小的是（　　）。 A． B． C． D． 二、判断题 7．有28瓶钙片，其中有1瓶轻一些，至少称3次能保证找出这瓶轻的钙片。（　　） 8．一 箱橙子有6袋，其中5袋质量相同，另外1袋质量不足，要找出较轻的一袋，比较合适的分法是(1，1， 4)。（　　） 三、填空题 9．5瓶维生素C含片，每瓶100片，其中有1瓶被吃掉5片，用天平设法把这瓶维生素C含片找出来，至少需要称　 　次才能保证找到这瓶维生素 C含片。 10．有5个外形完全一样的零件，其中有一个是次品，根据下图可以推断出　 　号一定是正品。 11．10瓶饮料，其中一瓶略重些，用天平称，可以尽量分成相等的　 　份，至少称　 　次能保证找出略重的这瓶饮料。 12．有6个零件分别标有A、B、C、D、E和F，其中5个都重80克，另1个不是80克，但不知道比80克轻还是重。按下图的方法称了3次，可以判断　 　是次品。 13．有8瓶矿泉水，编号①至⑧，其中有6瓶一样重，另外2瓶轻5g，是次品，用天平称了3次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤与②+④+⑧一样重，那么这2瓶次品是　 　。 14．若干枚1元硬币中，有一枚较轻的是教学币，用天平称4次就能保证找到这枚教学币。这些硬币最少有　 　枚，最多有　 　枚。 四、解决问题 15．1 箱糖果有 10 袋， 其中 9 袋质量相同， 另有 1 袋质量轻一些。假如用天平秤， 至少秤（　　）次能保证找出这袋糖果？请用你喜欢的方式简洁、清晰、完整的表示出秤的过程。 16．师傅和徒弟一起做包子，规定每个包子用的面粉一样多，并且要求10个一笼。一天，师徒共做了5笼包子，其中师傅做了4笼，徒弟做了1笼，但由于徒弟粗心，听错了师傅的要求，每个包子都少了10g。有什么办法用电子秤称一次就能知道哪一笼包子是徒弟做的? 17．已知有16种溶液，其中有且只有一种是有毒的，这种有毒的溶液与另一种试剂A混合变色，而其他无毒溶液与试剂A混合不会变色，已知一次实验需要1个小时，一次混合反应需要使用1个试管，问最少使用多少个试管可以在1个小时内识别出有毒溶液。 18．天山脚下，住着一个狠心的地主巴依，每年都雇佣大批长工种地。这一年玉米获得大丰收，巴依精心挑选，装了10袋玉米，对长工们说：“这些玉米，其中有一袋稍微轻些，你们用天平至少称几次才能保证找出比较轻的那袋玉米?如果答不上来，这工钱嘛，可就不给了。”同学们，快来帮助长工们回答这个问题吧！（简要写出过程） 学科网（北京）股份有限公司 $$