专题06 四边形（4大题型）（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题06 四边形 题型概览 题型01 平行四边形的性质与判定 题型02 矩形的性质与判定 题型03 菱形的性质与判定 题型04 正方形的性质与判定 ( 题型01 )平行四边形的性质与判定 1．（2025·福建泉州·一模）如图，在中，点E在边上，连接，交对角线于点F．若，则 ． 2．（2025·福建泉州·一模）一块截面为四边形的玉片，已测得两组对边分别平行，再测量得下列条件，仍不能判定这块玉片的截面为长方形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·一模）综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 4．（2025·福建·一模）如图，菱形对角线与的交于点，过点作，过点作，与相交于点． (1)则的长______． (2)求证四边形是矩形． 5．（2025·福建·一模）如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点在对角线上，且．    (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 6．（2025·福建泉州·一模）如图，在中，．点在的延长线上，连结． (1)尺规作图：过点A求作的平行线，与、的交点分别为、； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，．试求的长度． 7．（2025·福建·一模）已知，在四边形中，， (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若四边形是平行四边形，且，请用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆并在外接圆上确定点，使，，且四边形不是平行四边形，并简要说明理由（保留作图痕迹）． 8．（2025·福建·一模）如图，四边形是平行四边形，C是边上一点，点B在的延长线上，且．求证：四边形是矩形． 9．（2025·福建·一模）如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为 ． ( 题型02 )矩形的性质与判定 10．（2025·福建龙岩·一模）根据以下素材，探索完成任务． 折纸确定矩形一边上的三等分点 素材1 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将正方形沿对角线折叠，展开； 第三步：将正方形沿折叠，展开，折痕、交于点G； 第四步：过点G折叠正方形，使点D落在边上，折痕为； 则点M即为边的三等分点． 素材2 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将边沿折叠到的位置； 第三步：将点A沿折叠到点H的位置，折痕交正方形的边于点M； 则点M即为边的三等分点． 问题解决 任务1 证明素材1中方法的正确性． 任务2 证明素材2中方法的正确性． 任务3 已知矩形，通过折纸找出边上的一个三等分点，画出折痕，并简要说明折叠方法． 11．（2025·福建泉州·一模）在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 12．（2025·福建龙岩·一模）如图（1），四边形为矩形，，，点在对角线上，点，分别在边和上，，． (1)求的值； (2)将四边形绕着点逆时针旋转到图（）的位置，为和的交点， ①求的值； ②当，其中旋转角为，且，连接，求的最大面积． 13．（2025·福建三明·一模）活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（    ） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 14．（2025·福建泉州·一模）综合与实践： 准备 在复习探究《几何图形变化》的时候，老师让同学们准备了两张全等的直角三角形纸片，并且把它们的一条直角边重合在一起（如图1），已知，，． 实践探究 平移 如图2，小明同学把沿直线平移，当点B与点A重合时，点C与点D重合，点A的对应点为点． 结论1：四边形是矩形； 旋转 如图3，小红同学把绕点A顺时针旋转，当点C的对应点恰好落在边上时，点B的对应点为点，与边交于点E． 结论2：可求出图中任意一条线段的长，如； 对折 如图4，若点M，N分别是，的中点，小军同学将沿着直线对折，点B的对应点为． 结论3：①点C，，N在同一条直线上； ②可求出线段的长． 验证计算 根据以上同学对三种图形变化的探究，请你完成三个结论的证明或计算．结论3中①②可任选一个，②比①多得2分． ( 题型03 )菱形的性质与判定 15．（2025·福建·一模）如图，在菱形中，，，是菱形的高．若是的中点，连接，则的周长是 ． 16．（2025·福建龙岩·一模）如图，是半圆的圆心，直径． (1)分别在半圆上的取点和点，顺次连接各点，构成以，，，为顶点的菱形，请用直尺和圆规求作符合要求的菱形； (2)求（1）中菱形的面积． 17．（2025·福建三明·一模）如图，在菱形中，点分别在边上，． (1)求证：； (2)为中点，交于点，，垂足为． ①求证：； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并给予证明． 18．（2025·福建泉州·一模）依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )正方形的性质与判定 19．（2025·福建泉州·一模）已知，正方形中，点O是对角线的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点O重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点G，连接，补全图形，并求出在旋转过程中的最小值． 20．（2025·福建龙岩·一模）如图1，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，过点D在的右侧作，且，连接、． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)如图2，若A、E、O三点共线，求点F到直线的距离； (4)直接写出线段的最小值． 21．（2025·福建厦门·一模）如图，在边长为10的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为 ． 22．（2025·福建·一模）如图①，在正方形中，为上一点，连接，将线段绕正方形中心顺时针旋转得到线段，其中点对应点是，点对应点是点，与相交于点． (1)求证：点在上； (2)是上一点，连接，． ①如图②，若平分，求证：； ②如图③，若，以下结论：①；②．你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 23．（2025·福建三明·一模）如图，在正方形中，是边上一点，于点，于点． 求证：． 24．（2025·福建龙岩·一模）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 四边形 题型概览 题型01 平行四边形的性质与判定 题型02 矩形的性质与判定 题型03 菱形的性质与判定 题型04 正方形的性质与判定 ( 题型01 )平行四边形的性质与判定 1．（2025·福建泉州·一模）如图，在中，点E在边上，连接，交对角线于点F．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、比例的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用平行四边形的性质得到，，，利用比例的性质得到，证明得到，，进而推出，再利用图形面积之间的比例关系即可求解． 【详解】解：， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 2．（2025·福建泉州·一模）一块截面为四边形的玉片，已测得两组对边分别平行，再测量得下列条件，仍不能判定这块玉片的截面为长方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和菱形的判定，由已知可得四边形是平行四边形，进而根据矩形和菱形的判定方法逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形的两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形， 、当时，平行四边形是矩形，该选项不合题意； 、当时， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形，该选项不合题意； 、当时，平行四边形是矩形，该选项不合题意； 、当时，平行四边形是菱形，该选项符合题意； 故选：． 3．（2025·福建·一模）综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形；理由见解析 (3)45 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由题意得出，结合即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，，过点C的直线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是菱形；理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，D在的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形；理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 答案为：45． 4．（2025·福建·一模）如图，菱形对角线与的交于点，过点作，过点作，与相交于点． (1)则的长______． (2)求证四边形是矩形． 【答案】(1)8 (2)证明见解析 【分析】（1）由菱形性质，对角线相互垂直，再由勾股定理求出线段长即可得到答案； （2）根据平行四边形的判定得证四边形是平行四边形，再由（1）中，结合矩形的判定即可得到答案． 【详解】（1）解：菱形对角线与的交于点， ， 在中，，则由勾股定理可得， 故答案为：； （2）证明：，， 四边形是平行四边形， 由（1）知，即， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及菱形性质、勾股定理、平行四边形的判定定理、矩形的判定定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 5．（2025·福建·一模）如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点在对角线上，且．    (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据中点的性质可得，根据全等三角形的判定方法“边角边”即可求证； （2）由（1）可知，可得，，运用平角的计算可得，根据平行四边形的判定即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， 在中， ， ∴． （2）证明：由（1）可知，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 6．（2025·福建泉州·一模）如图，在中，．点在的延长线上，连结． (1)尺规作图：过点A求作的平行线，与、的交点分别为、； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，．试求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，然后再以点A为圆心，根据角的尺规作图进行作图即可； （2）由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：为所求作的线，所作图形如下： （2）证明：， 四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 7．（2025·福建·一模）已知，在四边形中，， (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若四边形是平行四边形，且，请用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆并在外接圆上确定点，使，，且四边形不是平行四边形，并简要说明理由（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质和尺规作图、圆周角定理，解题的关键是熟悉基本的尺规作图． （1）利用内错角相等两直线平行即可得出答案； （2）利用三角形边的垂直平分线的交点是外接圆的圆心，交点到三角形顶点的长度为半径即可完成圆的操作，利用圆的半径相等和圆周角定理确定点． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 即， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如下图，即为的外接圆，点即为所求，满足,， ∵四边形是平行四边形 ∴, ,根据同弧所对的圆周角相等可得， ， ∵点是以点为圆心，长为半径的圆与的交点， 又 由题意可知，四边形是平行四边形， ， 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 与不平行， ∴四边形不是平行四边形． 8．（2025·福建·一模）如图，四边形是平行四边形，C是边上一点，点B在的延长线上，且．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 先证得四边形是平行四边形，进一步运用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴, ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵, ∴四边形是矩形． 9．（2025·福建·一模）如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握以上知识是解题关键．先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质得、结合直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵为直角三角形斜边中线， ∴ ∴． 故答案为：4． ( 题型02 )矩形的性质与判定 10．（2025·福建龙岩·一模）根据以下素材，探索完成任务． 折纸确定矩形一边上的三等分点 素材1 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将正方形沿对角线折叠，展开； 第三步：将正方形沿折叠，展开，折痕、交于点G； 第四步：过点G折叠正方形，使点D落在边上，折痕为； 则点M即为边的三等分点． 素材2 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将边沿折叠到的位置； 第三步：将点A沿折叠到点H的位置，折痕交正方形的边于点M； 则点M即为边的三等分点． 问题解决 任务1 证明素材1中方法的正确性． 任务2 证明素材2中方法的正确性． 任务3 已知矩形，通过折纸找出边上的一个三等分点，画出折痕，并简要说明折叠方法． 【答案】任务1：见解析；任务2：见解析；任务3：见解析 【分析】任务1：由折叠和正方形的性质可证，有，同理，有，结合矩形的性质可得，则，即可证明点M是的三等分点； 任务2：连接，设正方形边长为a，由折叠可得，，由折叠和正方形的性质可证，有，设，则，，在中，利用勾股定理求得，即可判定点M是三等分点 任务2：方法一：参照任务一的方法即可折出矩形的一个三等分点；方法二：首先两次对折矩形形成新的矩形，再结合任务一的方法即可找到三等分点；方法三：参照任务二的方法即可折出矩形的一个三等分点． 【详解】解：任务1： ∵四边形为正方形， ∴， 由折叠可得：， ， ∵， ∴， ，   同理， ， ， 则， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， 即点M是的三等分点； 任务2：连接，如图， 设正方形边长为a，由折叠可得， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ， 设，则，， 在中，， ，解得， ， 即点M是三等分点 任务3： 方法一： 第一步：对折矩形，展开，折痕为； 第二步：沿对角线折叠矩形，展开，再沿折叠矩形， 展开，折痕，交于点G， 第四步：过点G折叠矩形，使折痕； 则点H即为的一个三等分点．          方法二： 第一步：两次对折矩形，展开，折痕分别为、； 第二步：沿折叠矩形，展开；再沿折叠矩形，展开，交折痕于点N； 第三步：沿折叠矩形，折痕交于点M， 则点M即为所求作的三等分点． 方法三： 第一步：将边沿折叠到落到边的位置； 第二步：折叠矩形，使点A与点E重合，点B与点F重合，展开，折痕为； 第三步：将点E沿折叠到点N的位置，将点A沿折叠到点P的位置，折痕交边于点M； 则点M即为边的一个三等分点． . 【点睛】本题主要考查折叠的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质和找到对应的等分点． 11．（2025·福建泉州·一模）在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证法一：连接．根据折叠的性质和垂直平分线的性质，证明是等边三角形，即可得到结论；证法二：利用锐角三角函数，得到，，即可得到结论； （2）连接．设，证明，从而得出，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：证法一：如图，连接． 由图形折叠的特征可得：，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴． 证法二： 由图形折叠的特征可得：，，， 在中，， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，连接． 设，则． 由图形折叠的特征可得：，，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 12．（2025·福建龙岩·一模）如图（1），四边形为矩形，，，点在对角线上，点，分别在边和上，，． (1)求的值； (2)将四边形绕着点逆时针旋转到图（）的位置，为和的交点， ①求的值； ②当，其中旋转角为，且，连接，求的最大面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据解析的性质以及,得出，，，根据得出，根据即可求解． （2）①由（1）得出，进而证明，，根据相似三角形的性质即可求解； ②令和的交点为，和的交点为，由（）①，可得：，得出四边形存在共圆，令共圆为，由，则为圆弧上一动点，令弦的中点为，当，，三点共线时，存在最大面积，在中，在中，分别求得，，进而求得，即可得出的最大面积． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴ 又，则， ∴，，， ∴，即有 ∵， ∴ ∵，，， ∴ （2）①由（1）得， ∴ 依题意可得：， ，， ，即有 ， ， ②如图，令和的交点为， 如图由（）①， ∴ 在四边形中， 四边形存在共圆，令共圆为 由，则为圆弧上一动点，令弦的中点为，当，，三点共线时，存在最大面积， 在中，，， 在中，，， ， 的最大面积为： 13．（2025·福建三明·一模）活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（    ） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定：三个角都是直角的四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据矩形的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、测量是否有三个角是直角，能判定四边形是矩形，则此项符合题意； B、测量对角线是否相等，不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意； C、测量两组对边是否分别相等，能判定四边形是平行四边形，但不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意； D、测量对角线是否互相垂直，不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意； 故选：A． 14．（2025·福建泉州·一模）综合与实践： 准备 在复习探究《几何图形变化》的时候，老师让同学们准备了两张全等的直角三角形纸片，并且把它们的一条直角边重合在一起（如图1），已知，，． 实践探究 平移 如图2，小明同学把沿直线平移，当点B与点A重合时，点C与点D重合，点A的对应点为点． 结论1：四边形是矩形； 旋转 如图3，小红同学把绕点A顺时针旋转，当点C的对应点恰好落在边上时，点B的对应点为点，与边交于点E． 结论2：可求出图中任意一条线段的长，如； 对折 如图4，若点M，N分别是，的中点，小军同学将沿着直线对折，点B的对应点为． 结论3：①点C，，N在同一条直线上； ②可求出线段的长． 验证计算 根据以上同学对三种图形变化的探究，请你完成三个结论的证明或计算．结论3中①②可任选一个，②比①多得2分． 【答案】结论1：见解析；结论2：；结论3：①见解析；② 【分析】（1）根据平移的性质得到，，再利用矩形的判定即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据旋转的性质得到，，，利用直角三角形的性质和等角对等边推出，得出的长度，再利用即可求解； （3）①连接、，先证明四边形是平行四边形，得出，再由翻折的性质得到，，进而得出，推出，即可得证；②作于点，作于点，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，再证明，得到，再利用等腰三角形的性质得出的长，即可求出线段的长． 【详解】解：结论1： 由平移的性质得，，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形． 结论2： ， ，， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 由旋转的性质得，，，， ， ， ， ， ， ， ． 结论3： ①如图，连接、， 由结论2可得，四边形是平行四边形， ，， 点M，N分别是，的中点，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 由翻折的性质得，，， ，， ， ， 直线和直线重合， 点C，，N在同一条直线上； ②如图，作于点，作于点， ， ， ， 由①中的结论得，，即， 又，， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了图形变换（平移、旋转、翻折）的性质、矩形的判定、直角三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握图形变换（平移、旋转、翻折）的性质是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． ( 题型03 )菱形的性质与判定 15．（2025·福建·一模）如图，在菱形中，，，是菱形的高．若是的中点，连接，则的周长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．连接，先根据菱形的性质可得，，，再证出和都是等边三角形，则可求出，然后利用勾股定理可得，证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∵是菱形的高，是的中点， ∴，，， ∴， 又∵是菱形的高，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 16．（2025·福建龙岩·一模）如图，是半圆的圆心，直径． (1)分别在半圆上的取点和点，顺次连接各点，构成以，，，为顶点的菱形，请用直尺和圆规求作符合要求的菱形； (2)求（1）中菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的面积的面积为 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定等相关知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）根据菱形的四条边都相等，以点和点为圆心，长为半径画弧，与半圆交于点、，连接即可完成作图． （2）连接，则，过点作于点，得出是等边三角形，进而求得的长，即可求出菱形的面积． 【详解】（1）解：①以为圆心，为半径作弧，交半圆于点； ②以为圆心，为半径作弧，交半圆于点； ③连接，，，从而得到菱形 （2）连接，则，过点作于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴；． 17．（2025·福建三明·一模）如图，在菱形中，点分别在边上，． (1)求证：； (2)为中点，交于点，，垂足为． ①求证：； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； ②延长，交于点，先证出，再证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后在中，解直角三角形可得，最后根据和等量代换即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：①如图，连接， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ②，证明如下： 如图，延长，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 由上已证：， ∵， ∴， ∴，即， 由上已证：， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，综合性强，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键． 18．（2025·福建泉州·一模）依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形的判定定理进行排除选项即可． 【详解】解：A、根据“四条边相等的四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； B、由图可知：，所以根据“对角线互相平分且垂直的四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； C、由图可知只有三条边相等的四边形不一定是菱形，故符合题意； D、因为，所以根据“同旁内角互补，两直线平行”可知该四边形是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； 故选C． ( 题型0 4 )正方形的性质与判定 19．（2025·福建泉州·一模）已知，正方形中，点O是对角线的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点O重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点G，连接，补全图形，并求出在旋转过程中的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)①，证明见解析 ②补全图形见解析，旋转过程中的最小值为 【分析】（1）证明得出，又，等量代换即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据题意补全图形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，当M，D重合时，最小，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，取中点G，连接， ∵，则， 又， ∴当取得最小值时最小， ∴当E与点B重合时，F在上，此时N点与A点重合， ∴， 又， ∴， ∴旋转过程中的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．（2025·福建龙岩·一模）如图1，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，过点D在的右侧作，且，连接、． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)如图2，若A、E、O三点共线，求点F到直线的距离； (4)直接写出线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）连接，由题意可得，由勾股定理可得，，最后由全等三角形的性质即可得解； （3）过点作交的延长线于点，由（2）知，结合全等三角形的性质可得，证明，由相似三角形的性质求解即可； （4）连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则由题意可知点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，连接，证明得出，再由，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，是边的中点， ∴， 在中，则， 在中，，则， 由（1）中可知； （3）解：过点作交的延长线于点，如图所示： 由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点F到直线的距离为； （4）解：连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则由题意可知点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵，，点在以点为圆心、长为半径的圆上运动， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21．（2025·福建厦门·一模）如图，在边长为10的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查轴对称在的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点．如图：过点M作于F，推出的最小值为的长，证明四边形为菱形，然后利用相似三角形的判定和性质求得的长即可． 【详解】解：作点P关于的对称点， 由折叠的性质知是的平分线， ∴点在上， 过点M作于F，交于点G， ∵， ∴的最小值为的长， 连接， 由折叠的性质知为线段的垂直平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 22．（2025·福建·一模）如图①，在正方形中，为上一点，连接，将线段绕正方形中心顺时针旋转得到线段，其中点对应点是，点对应点是点，与相交于点． (1)求证：点在上； (2)是上一点，连接，． ①如图②，若平分，求证：； ②如图③，若，以下结论：①；②．你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②正确，证明见解析 【分析】（1）先根据旋转的性质和正方形的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，由此即可得证； （2）①连接，交于点，先证出，，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得证； ②先证出是锐角三角形，再设，，过点作于点，过点作于点，解直角三角形分别求出的值，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 又∵为上一点，将线段绕正方形中心顺时针旋转得到线段，点对应点是， ∴点一定在右侧， ∴点在上． （2）证明：①如图，连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ②正确，证明如下： ∵， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， 由上已证：， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ， 如图，过点作于点，过点作于点， ∴，， ，， ∴，， ∴， ， ∵在中，，， ∴， 又∵，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和解直角三角形的方法是解题关键． 23．（2025·福建三明·一模）如图，在正方形中，是边上一点，于点，于点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，是解题的关键．根据证明，得出即可． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（2025·福建龙岩·一模）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 【答案】(1) (2)作图见解析，不唯一 【分析】本题考查长方体的认识，二次根式的运算，正方形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握长方体的侧面和底面的关系是解题的关键． （1）设纸的长为，宽为，第一次翻折：由图可知，，得出，第一次翻折中，则，即可求解； （2）纸宽为，先利用图2的底面积得出，分别利用长方体的特征得到如图3和图4，再将底面积分别用含的代数式表示出来，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：设纸的长为，宽为， 第一次翻折：由图可知，， ∴四边形是正方形， ∴， 第一次翻折：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵纸的宽与长的比值为， ∴如图，设，， 由题可知， ∴底面积为， 得， 作法不唯一，如图3，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 如图4，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$