专题05 三角形（5大题型）（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题05 三角形 题型概览 题型01 与三角形有关的线段问题 题型02 三角形的内角和外角 题型03 全等的判定与性质 题型04 等腰三角形的性质与判定 题型05 勾股定理及其逆定理 ( 题型01 )与三角形有关的线段问题 1．（2025·福建龙岩·一模）若三角形的三边长分别为3，5，，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求解即可，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴的值可以是， 故选：C． 2．（2025·福建·一模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．根据三角形中线的性质可得，，由此即可得． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，是边上的中线， ∴， 故答案为：4． 3．（2025·福建龙岩·一模）如图，在中，，，，，点是的中点，、相交于，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，三角形中线的性质，，作交于点，则，得出，证明得出，证明得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，作交于点， ∵中，，， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵为的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积为 故答案为：四边形的面积为． 4．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 5．（2025·福建·一模）如图，人字梯的支架的长度都为（连接处的长度忽略不计），则B，C两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出的取值范围，判断各选项即可得的答案．本题主要考查了三角形的三边关系，掌握据三角形任意一边小于其它两边两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 即． 只有A选项数值满足上述的范围， 故选：A． ( 题型02 )三角形的内角和外角 6．（2025·福建龙岩·一模）如图，中，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，等边对等角结合三角形的外角的性质，得到，进而得到，再结合，得到，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， 则：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（2025·福建·一模）如图，为正八边形的中心，连接，以为圆心的圆弧经过点D，F，与交于点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，三角形内角和定理，等边对等角，根据正多边形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴， 故选：A． 8．（2025·福建泉州·一模）如图，在菱形中，，的外接圆交边于点E，则的大小为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆内接四边形的性质、菱形的性质、三角形的外角性质是解题的关键． 根据菱形的性质求出，根据圆内接四边形的性质求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解∶ 四边形为菱形， ，． ． ． 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是的外角， ． 故答案为∶ 9．（2025·福建·一模）将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置在A4纸片上，其中点A，B分别落在纸片边上．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，由已知条件可得出，由直角三角形两锐角互余以及平角的定义可得出，，再由三角形三角和定理可得出，最后根据平角的定义可求出． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选 D．    10．（2025·福建·一模）如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则 ．      【答案】/250度 【分析】本题考查了三角形及四边形的内角和．熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵沿图中虚线剪去后的图形为四边形，且四边形的内角和度数为 ∴ 故答案为： 11．（2025·福建·一模）一副直角三角板按如图所示的位置摆放，点在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和直角三角板的性质可得，，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． ( 题型03 )全等的判定与性质 12．（2025·福建龙岩·一模）在中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，． (1)如图1，若点是的中点，，则___________； (2)如图2，当时，求证：； (3)若，在点的运动过程中，当长取到最小值时，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质得到，得到，求出，即可求解； （2）过点作于点，则，证明，得到，证明，得到，即可得出结论； （3）过点作于点，在上截取，连接，则和都是等腰直角三角形，得到，，证明，得到，根据点在上运动时，对应的点在过点且满足的直线上运动，当时，长最小，此时是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得：，， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：过点作于点，则，如图： 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ， ； （3）解：如图，过点作于点，在上截取，连接，则和都是等腰直角三角形， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上运动时，对应的点在过点且满足的直线上运动， 当时，长最小，此时是等腰直角三角形， 在中，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 13．（2025·福建·一模）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形为“筝形”，，，对角线与相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明，即可证明． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴． 14．（2025·福建·一模）已知，在中，，点在边的延长线上，沿平移线段得到线段．已知点在边上，当时，是以为斜边的等腰直角三角形，则线段的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，由平移的性质可得，，则可证明，再证明，得到，则． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 15．（2025·福建泉州·一模）如图，点E是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证明． 【详解】证明：点E是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 16．（2025·福建·一模）如图，在中，是边的中点，延长到点，使得，连接．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的中点，对顶角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 利用边角边证明三角形全等，根据全等三角形的对应角相等即可证明结论． 【详解】证明：∵点是边的中点， ， 在与中， （SAS）， ． 17．（2025·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点M，N分别是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，由矩形的性质求得，由点M，N分别是的中点，推出，利用即可证明． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵点M，N分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 18．（2025·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，再结合，可得，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ． ( 题型0 4 )等腰三角形的性质与判定 19．（2025·福建厦门·一模）在中，，，点是边上一点，点是边上一点，连接、，且． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，为延长线上一点，连接，且，求证：； (3)如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点，连接、，当最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）勾股定理得出，进而可得，证明，根据全等三角形的性质，得出，进而即可求解； （2）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点，则，，证明，即可得证； （3）先证明得出，在中，，得出，进而得出当最小时，则最小，当时，最小，此时如图所示，连接，证明是直角三角形，得出，进而可得是等腰直角三角形，则得证明得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，而是定值， ∴当最小时，则最小， ∴当时，最小，此时如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，正切的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．（2025·福建·一模）如图，在等腰中，，．    (1)在下方求作，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若是的中点，连接并延长交于点，求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，尺规作图等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作的垂线，交于O，以O为圆心，的长为半径画弧交直线于T，以T为圆心，的长为半径画弧，以A为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则即为所求； （2）连接，可证明，则可证明四边形是正方形，得到，，再证明，得到垂直平分，则，即可证明，进而可证明点F为中点． 【详解】（1）解：过点C作的垂线，交于O，以O为圆心，的长为半径画弧交直线于T，以T为圆心，的长为半径画弧，以A为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则即为所求； 可证明，则由圆周角定理可得，再由，则即为所求；      （2）证明：如图所示，连接， 由（1）的作图方法可知，，且， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴点F为中点．    21．（2025·福建三明·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若是的平分线，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）直接根据垂直平分线的作法作出的垂直平分线与交于点即可； （2）根据，得出，根据角平分线的性质得出，求出，根据直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求作的点． ∵垂直平分， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作一个线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握垂直平分线的性质． 22．（2025·福建三明·一模）如图，已知． (1)求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求； （2）由，，证明， 可得，，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求； 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的作图是解本题的关键． ( 题型0 5 )勾股定理及其逆定理 23．（2025·福建龙岩·一模）如图，一个正六边形和一个正方形各有一边在直线上，且只有一个公共顶点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角和公式，正方形的性质，30度角所对的边是斜边的一半，三角形内角和性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出每个正六边形的内角为，，再得出，则，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正六边形和一个正方形各有一边在直线上，且只有一个公共顶点． ∴每个正六边形的内角为，， ∴， ∴， 则， 在中， ∵， ∴ ∴（负值已舍去）， 故答案为： 24．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求； （）连接，由等腰三角形的性质得，即由勾股定理得，设的半径为，则，在中由勾股定理得，解方程即可求解； 本题考查了画三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：连接， ∵，， ∴，， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴外接圆的半径为． 25．（2025·福建泉州·一模）如图是一种笔记本电脑支架，它有到共个档位调节角度．相邻两个档位间的距离为．将某型号电脑打开置于水平托架上，屏幕侧宽与托架侧宽都是，是支点且．当支架调到档时，；调到档时，托架绕点旋转至，支点旋转至点时，，．若眼睛的水平视线恰好经过点．测点的俯角为，则眼睛与屏幕的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、旋转的性质、勾股定理，把所求的线段合理分割，整理成直角三角形中相关的边是解决本题的关键． 延长交于点，作于点，可得矩形，从档位到一共个档位，之间有个间隔，所以，，设，则，根据勾股定理可得的长，作于点，根据勾股定理可得的长，进而可得的正弦值和余弦值，根据的正弦值和余弦值及的长可得的长和的长，即可求得的长，那么就求得了和的长，易得是等腰直角三角形，那么，即可求得的长度． 【详解】解：延长交于点，作于点，可得矩形， ，，， ，， ， 到共个档位调节，相邻两个档位间的距离为， ，到共个档位， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， 作于点， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 由题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形 题型概览 题型01 与三角形有关的线段问题 题型02 三角形的内角和外角 题型03 全等的判定与性质 题型04 等腰三角形的性质与判定 题型05 勾股定理及其逆定理 ( 题型01 )与三角形有关的线段问题 1．（2025·福建龙岩·一模）若三角形的三边长分别为3，5，，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 2．（2025·福建·一模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若，则 ． 3．（2025·福建龙岩·一模）如图，在中，，，，，点是的中点，、相交于，则四边形的面积为 ． 4．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建·一模）如图，人字梯的支架的长度都为（连接处的长度忽略不计），则B，C两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． ( 题型02 )三角形的内角和外角 6．（2025·福建龙岩·一模）如图，中，，则的长为 ． 7．（2025·福建·一模）如图，为正八边形的中心，连接，以为圆心的圆弧经过点D，F，与交于点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·福建泉州·一模）如图，在菱形中，，的外接圆交边于点E，则的大小为 ．（用含的代数式表示） 9．（2025·福建·一模）将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置在A4纸片上，其中点A，B分别落在纸片边上．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 10．（2025·福建·一模）如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则 ．      11．（2025·福建·一模）一副直角三角板按如图所示的位置摆放，点在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． ( 题型03 )全等的判定与性质 12．（2025·福建龙岩·一模）在中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，． (1)如图1，若点是的中点，，则___________； (2)如图2，当时，求证：； (3)若，在点的运动过程中，当长取到最小值时，求的长． 13．（2025·福建·一模）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形为“筝形”，，，对角线与相交于点．求证：． 14．（2025·福建·一模）已知，在中，，点在边的延长线上，沿平移线段得到线段．已知点在边上，当时，是以为斜边的等腰直角三角形，则线段的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 15．（2025·福建泉州·一模）如图，点E是的中点，．求证：． 16．（2025·福建·一模）如图，在中，是边的中点，延长到点，使得，连接．求证：． 17．（2025·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点M，N分别是的中点．求证：． 18．（2025·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：． ( 题型0 4 )等腰三角形的性质与判定 19．（2025·福建厦门·一模）在中，，，点是边上一点，点是边上一点，连接、，且． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，为延长线上一点，连接，且，求证：； (3)如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点，连接、，当最小时，请直接写出的值． 20．（2025·福建·一模）如图，在等腰中，，．    (1)在下方求作，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若是的中点，连接并延长交于点，求证：是的中点． 21．（2025·福建三明·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若是的平分线，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 22．（2025·福建三明·一模）如图，已知． (1)求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的度数． ( 题型0 5 )勾股定理及其逆定理 23．（2025·福建龙岩·一模）如图，一个正六边形和一个正方形各有一边在直线上，且只有一个公共顶点．若，则的长为 ． 24．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 25．（2025·福建泉州·一模）如图是一种笔记本电脑支架，它有到共个档位调节角度．相邻两个档位间的距离为．将某型号电脑打开置于水平托架上，屏幕侧宽与托架侧宽都是，是支点且．当支架调到档时，；调到档时，托架绕点旋转至，支点旋转至点时，，．若眼睛的水平视线恰好经过点．测点的俯角为，则眼睛与屏幕的距离为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$