专题04 二次函数（6大题型）（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题04 二次函数 题型概览 题型01 二次函数的图像与性质 题型02 的图像与性质 题型03 二次函数的最值 题型04 待定系数法求二次函数解析式 题型05 二次函数与一元一次方程 题型06 二次函数综合 ( 题型01 )二次函数的图像与性质 1．（2025·福建泉州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于点和点，其中a为常数，则该二次函数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2025·福建泉州·一模）直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，且始终满足，则直线必过的定点为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·一模）直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于两点，且始终满足，则直线必过的定点为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建·一模）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．二次函数的最小值为1 C．该函数的对称轴为 D．当时，随的增大而减小 5．（2025·福建·一模）抛物线C1 ：对称轴为，且与y轴交点的纵坐标为－3 (1)求b，c的值； (2)抛物线C2：经过抛物线C1的顶点P． ①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上； ②若，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值． ( 题型02 )的图像与性质 6．（2025·福建龙岩·一模）已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·福建·一模）已知抛物线，，是抛物线上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围为 ． 8．（2025·福建泉州·一模）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（2025·福建三明·一模）设二次函数，已知函数的图象经过点，，，设方程的正实数根为，下列说法正确的是 ．（填写序号） ①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则 10．（2025·福建·一模）已知点在二次函数（为常数，）的图象上，当时，，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．（2025·福建·一模）抛物线（，，是常数，）的顶点坐标为，与轴交于． (1)当时，求此抛物线的解析式； (2)若此抛物线经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 12．（2025·福建·一模）定义把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为． (1)当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； (3)当时，函数的图象与直线相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围______． ( 题型03 )二次函数的最值 13．（2025·福建龙岩·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，点为二次函数在第四象限的动点．连接、相交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)当存在最大值时，求点的坐标． 14．（2025·福建·一模）定义符号min{a，b}的含义：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，如min{1，﹣4}＝﹣4，min{﹣6，﹣2}＝﹣6，则min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值为(　　) A．2﹣2 B． +1 C．1﹣ D．2+2 15．（2025·福建·一模）已知二次函数的表达式为． (1)若点在该二次函数的图象上，求的值； (2)若该二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过点，求平移后的二次函数表达式； (3)当时，函数有最大值和最小值，求证：． ( 题型0 4 )待定系数法求二次函数解析式 16．（2025·福建龙岩·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知是射线上的两点（点在点的下方），连接．若，求的面积； (3)将抛物线沿直线平移一定长度，使得顶点平移至点，此时的抛物线与轴交于两点，且，求点的坐标． 17．（2025·福建厦门·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 18．（2025·福建泉州·一模）已知抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为第一象限内该抛物线上的一动点，且在直线的上方，过点作轴于点，交直线于点，以为直径作． ①如图1，当与轴相切时，求点的坐标； ②如图2，直线与轴交于点，交直线于点，求弦的最大值． 19．（2025·福建三明·一模）已知抛物线与轴分别交于点，点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，连接，取中点，连接并延长交抛物线于点，在直线下方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，、是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线、分别交轴于、两点，若，求证：直线必经过一定点． ( 题型0 5 )二次函数与一元一次方程 20．（2025·福建泉州·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值； (3)如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标． 21．（2025·福建三明·一模）已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该函数图象与轴的两个交点坐标分别为、，且，求证：． ( 题型0 6 )二次函数综合 22．（2025·福建泉州·一模）直线与拋物线交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点，且始终满足，则直线l必过的定点为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·福建·一模）如图，二次函数与轴交于两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点从点出发向点运动，点在上，且，则图中阴影部分面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·福建·一模）已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，． (1)用含k的代数式表示b； (2)求证：； (3)在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 25．（2025·福建·一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式． (2)是线段上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．当时，求点的坐标． 26．（2025·福建·一模）已知抛物线（）交轴于点和点，交轴于点，顶点为点． (1)求点的坐标；（用含的代数式表示） (2)连接，，．当为直角三角形时，求抛物线的解析式； (3)当时，过点的直线（）与抛物线位于第四象限的图象交于点，连接．若内（不含边界）只有3个横、纵坐标均为整数的点，求的取值范围． 27．（2025·福建·一模）已知二次函数 的图象交x轴于点，点，交y轴于点 ，连接 (1)求该抛物线的对称轴； (2)点P是抛物线上一动点，且在直线的上方(不与B，C重合)，连接， ①求面积的最大值； ②若，求 的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数 题型概览 题型01 二次函数的图像与性质 题型02 的图像与性质 题型03 二次函数的最值 题型04 待定系数法求二次函数解析式 题型05 二次函数与一元一次方程 题型06 二次函数综合 ( 题型01 )二次函数的图像与性质 1．（2025·福建泉州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于点和点，其中a为常数，则该二次函数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质；根据题意得到展开整理成顶点式即可求出． 【详解】解：根据题意得， 当时，有最大值； 故选：C． 2．（2025·福建泉州·一模）直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，且始终满足，则直线必过的定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线与抛物线的交点的坐标为，的坐标为，联立，得，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，则，同理可得，进而可得，即，解得，则，由此即可得出直线必过的定点． 【详解】解：设直线与抛物线的交点的坐标为，的坐标为， 联立， 得：， ，， ， 同理可得：， ， ， ， 解得：， ， 当时，， 直线必过的定点为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了的图象与性质，一元二次方程的根与系数的关系，已知两点坐标求两点距离，求一次函数解析式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 3．（2025·福建·一模）直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于两点，且始终满足，则直线必过的定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与直线的交点问题，主要涉及一元二次方程根与系数的关系．联立，则，则，，由，同理，建立方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标分别为， 联立直线与抛物线得， ∴， 则，， ∴ ， ， 同理可求：， ∵， ∴， 整理得， 解得：． ∴， 当时，， ∴直线必过的定点为， 故选：C． 4．（2025·福建·一模）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．二次函数的最小值为1 C．该函数的对称轴为 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的图象及性质等．根据题意利用二次函数图象及性质逐一对选项进行分析即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴函数图象开口向上，故A不符合题意， ∵函数图象的对称轴为：，故C符合题意， ∵函数图象的顶点坐标是，函数图象开口向上， ∴函数有最小值为5，故B不符合题意， ∵函数图象的对称轴为， ∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，故D不符合题意． 故选：C． 5．（2025·福建·一模）抛物线C1 ：对称轴为，且与y轴交点的纵坐标为－3 (1)求b，c的值； (2)抛物线C2：经过抛物线C1的顶点P． ①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上； ②若，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值． 【答案】(1)b=2；c=-3 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据抛物线对称轴，即可求出b值，再由抛物线与y轴交点的纵坐标为-3，即可求c值； （2）①由抛物线C1的解析式为．得出抛物线C1的顶点坐标为P(1，-4)．将(1，-4)代入抛物线C2中得n=-3-m，即可求出抛物线C2的解析式为，将带入抛物线C2中，则可求得，将代入抛物线C1中，得，得到，即可得出结论； ②把m=8， P(1，-4)，代入求出抛物线C2的解析式为，则Q（4，5），设点E的坐标为，且1＜a＜4，则点F的坐标为．所以EF=(1＜a＜4)，根据二次函数最值即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线C1∶ 的对称轴为， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点的纵坐标为-3， ∴c=-3； （2）①证明：由（1）得抛物线C1的解析式为． ∴抛物线C1的顶点坐标为P(1，-4)． 将(1，-4)代入抛物线C2中得n=-3-m， ∴抛物线C2的解析式为， ∴抛物线C2顶点的横坐标为， 将带入抛物线C2中，得， ∴， 将代入抛物线C1中，得， ∴ ∴抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上； ②解：∵m=8，且抛物线C2过点P(1，-4)， ∴抛物线C2的解析式为， ∴Q（4，5）， 设点E的坐标为，且1＜a＜4，则点F的坐标为． 由图象可知，EF=(1＜a＜4)， ∴当时，EF长度取最大值，最大值为． 【点睛】本题考查二次函数图象性质，二次函数最值，二次函数顶点、对称轴，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． ( 题型02 )的图像与性质 6．（2025·福建龙岩·一模）已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴为，根据和关于对称，分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，点关于对称， ①当时，则点关于对称轴对称， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴， ∴， ∴； ③当时，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：； 故选A． 7．（2025·福建·一模）已知抛物线，，是抛物线上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用，正确求出的值，并分两种情况讨论是解题关键．先求出的值，再求出，，然后分两种情况：①和②，根据得出的符号，由此即可得． 【详解】解：∵，是抛物线上任意两点， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ①当时，要使，则， ∴， 解得，符合题设； ②当时，要使，则， ∴， 解得， ∴此时； 综上，的取值范围为或， 故答案为：或． 8．（2025·福建泉州·一模）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先求出A、B点坐标，作图分析出现四个交点的情况，过点A的直线与抛物线相切的直线之间存在四个交点的情况，分两种情况计算出m值即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， 令，则或， ∴，， ∵直线与新图象有4个交点， ∴①当直线过点A时，则交点有3个，此时； ②当直线与抛物线相切时，则，整理得： ， ， 解得， 如图所示，当直线在两条直线之间时，有4个交点， 此时m的范围为：． 故选：A． 9．（2025·福建三明·一模）设二次函数，已知函数的图象经过点，，，设方程的正实数根为，下列说法正确的是 ．（填写序号） ①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则 【答案】④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的性质可得点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，再由二次函数图象与方程的关系可得二次函数的图象与直线的右侧的交点的横坐标为m，再结合图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数关于y轴对称， ∴点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为， ∵方程的正实数根为m， ∴二次函数的图象与直线的右侧的交点的横坐标为m，且， 如图， 当时，，故①、②错误，不符合题意； 当，时，，故③错误，不符合题意；④正确，符合题意； 故答案为：④ 10．（2025·福建·一模）已知点在二次函数（为常数，）的图象上，当时，，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行排除选项． 【详解】解：二次函数（为常数，）的图象上， 该抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， A、时，，且与关于直线对称， 当时，，故该选项错误； B、时，，且与关于直线对称， 当时，，故该选项正确； C、时，，且与关于直线对称， 当时，或，故该选项错误； D、当时，，故该选项错误； 故选：B． 11．（2025·福建·一模）抛物线（，，是常数，）的顶点坐标为，与轴交于． (1)当时，求此抛物线的解析式； (2)若此抛物线经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2)，且 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）由题意得：顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将代入求出，即可求解； （2）先求出对称轴为直线，再根据抛物线的对称性可得，即，结合，点不在坐标轴上，即可得到答案； （3），则，即可求接． 【详解】（1）解：当时，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，将代入得： ， 解得：， 此抛物线的解析式为； （2）抛物线的对称轴为直线，且，， ， ， ， ， 点不在坐标轴上， ，且； （3），理由如下： ，则， 则， ． 12．（2025·福建·一模）定义把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为． (1)当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； (3)当时，函数的图象与直线相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)新函数的顶点坐标为 (2)的解析式为 (3)或或 【分析】（1）先将函数写成顶点式，从而得出其顶点坐标，再得出时，点P的坐标，然后根据对称性得出新函数的顶点坐标； （2）先由得出函数的解析式，再分段讨论：①当时，②当时，从而可解得m的值，则可求得的解析式； （3）先得出时点A，B，D的坐标，再分①当时，②当时，两大类情况，分别画图分析解得相应的a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴函数的顶点坐标为， ∵当时，点P的坐标为， ∴新函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴函数， ∴函数的顶点坐标为， 把代入函数，得：， 根据抛物线的对称性可知，当时． ①当时，，（不符合题意，舍去）． ②当时，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）． ∴， ∴的解析式为； （3）解：∵，函数， ∴函数， ∵当时，或；当时，， ∴点A，B，D的坐标分别为， ∵线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段， ∴点的坐标为，点的坐标为． ①当时， 当点在点B的左侧（含点B）时，线段与函数的图象有公共点，如图1： ∴， ∴； 当点在点B的右侧，且点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图象有公共点，如图2： ∴， 解得， ∴． ②当时，点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图象有公共点，如图3： ∴ ， ∴． 综上所述，或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的图象变换、直线或线段与函数图象的交点坐标等知识点，数形结合、分类讨论及熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． ( 题型03 )二次函数的最值 13．（2025·福建龙岩·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，点为二次函数在第四象限的动点．连接、相交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)当存在最大值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)D的坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴，交于，则，得出直线的解析式为：，设，得出，进而得出关于的关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将，，代入，得： ， 解得，， ∴二次函数的解析式为 （2）解：过点作轴，交于 ， . 由，， 设直线的解析式为 ∴ ∴ ∴直线的解析式为：， 设， 把代入， 得 ， 又， ， ∴当时，的最大值为， ∴D的坐标为 14．（2025·福建·一模）定义符号min{a，b}的含义：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，如min{1，﹣4}＝﹣4，min{﹣6，﹣2}＝﹣6，则min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值为(　　) A．2﹣2 B． +1 C．1﹣ D．2+2 【答案】A 【分析】根据题意和题目中的新定义，利用分类讨论的方法，可以求得min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值，本题得以解决． 【详解】当﹣x2+2≥﹣2x时， 解得，1﹣≤x≤1+， ∴当1﹣≤x≤1+时，min{﹣x2+2，﹣2x}＝﹣2x，此时，当x＝1﹣时，﹣2x取得最大值﹣2+2； 当﹣x2+2≤﹣2x时， 解得，x≤1﹣或x≥1+， ∴当x≤1﹣或x≥1+时，min{﹣x2+2，﹣2x}＝﹣x2+2，此时，当x＝1﹣时，﹣x2+2取得最大值﹣2+2； 由上可得，min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值为2﹣2， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的性质、新定义、实数大小比较，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答． 15．（2025·福建·一模）已知二次函数的表达式为． (1)若点在该二次函数的图象上，求的值； (2)若该二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过点，求平移后的二次函数表达式； (3)当时，函数有最大值和最小值，求证：． 【答案】(1)或； (2) (3)证明见解析 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，配方法的应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）代入，求解一元二次方程即可∶ （2）先得出顶点式，然后根据平移的法则得出表达式，再将代入求解即可； （3）先利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法判定即可． 【详解】（1）∵点在该二次函数的图象上， ， ， 解得或； （2）解： ∵二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 平移后的二次函数表达式为， 平移后的二次函数经过点， ， 解得， 平移后的二次函数表达式为； （3）证明：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 在范围内，当时，取最大值为， 当时，取最小值为， ， ， ． ( 题型0 4 )待定系数法求二次函数解析式 16．（2025·福建龙岩·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知是射线上的两点（点在点的下方），连接．若，求的面积； (3)将抛物线沿直线平移一定长度，使得顶点平移至点，此时的抛物线与轴交于两点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设设，，根据，列出方程求出的值，进而得到点坐标，过点作轴，过点作轴，分割法求出三角形的面积即可； （3）求出的解析式，根据题意，得到点在直线上，设，进而得到新的抛物线的解析式，求出，的坐标，根据正切值的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵点在点的下方， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴，过点作轴， 则：， ∴ ； （3）∵， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵抛物线沿直线平移一定长度，使得顶点平移至点， ∴点在直线上，设， ∴平移后的解析式为：， 令， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得：或， 当时， 则：，即：， 解得：， ∴； 当时， 则：，即：， 解得：， ∴； 综上：． 17．（2025·福建厦门·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 (3)的最大值为 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。 【详解】（1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点． （3）解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴的最大值为． 18．（2025·福建泉州·一模）已知抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为第一象限内该抛物线上的一动点，且在直线的上方，过点作轴于点，交直线于点，以为直径作． ①如图1，当与轴相切时，求点的坐标； ②如图2，直线与轴交于点，交直线于点，求弦的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由待定系数法代值解方程即可得到答案； （2）①设点的坐标为，则点的坐标为，求出，由与轴相切时，，得到求解即可得到答案； ②在中，解直角三角形得到，在中，由勾股定理，连接，由相似三角形的判定定理得到，由相似比得到，由抛物线性质求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线经过和两点，则 ， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：①如图所示： 设点的坐标为，则点的坐标为． ∵点在直线的上方， ∴， ∵当与轴相切时，， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； ②如图2所示： 由直线可得：点的坐标为． 由（2）得：，， ∴，， 在中， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， 连接所示： 则． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，弦的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数与圆、两点之间距离公式、二次函数图象与性质、解一元二次方程、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法是解决问题关键． 19．（2025·福建三明·一模）已知抛物线与轴分别交于点，点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，连接，取中点，连接并延长交抛物线于点，在直线下方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，、是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线、分别交轴于、两点，若，求证：直线必经过一定点． 【答案】(1) (2)或 (3)直线必经过定点 【分析】（1）设抛物线的函数解析式为，可得，得出的值即可． （2）先根据点、两点坐标得出点的坐标，从而求出的解析式，与抛物线解析式联立求出，过P作轴交于S点，设，则，可得，再解方程即可； （3）过E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H，设，，先证得，得出，从而证得 ，令直线的解析式为，与抛物线解析式联立得出，得出直线的解析式即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于点，点． ∴设抛物线的函数解析式为， ∴，即， 解得：， 抛物线的函数解析式： （2）解：∵抛物线， 当，， ∴， 由（1）知，点； ∵ ， ∴， ∵， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立抛物线解析式得： 解得：或， ∴， 如图，过P作轴交于S点， 设，则， ∴ ∴， ∴或． ∴或； 即：在直线下方的抛物线上存在点P，使． （3）解：如图，过E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 同理可得， ∴， ∴ ， 令直线的解析式为， ∴， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线必经过定点. 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线解析式的求法和性质，相似三角形的性质和判定，二次函数与面积，一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识，选择合适的方法解题是关键． ( 题型0 5 )二次函数与一元一次方程 20．（2025·福建泉州·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值； (3)如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先求出点A，B，C的坐标，设直线的解析式为，代入点B，C的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，利用割补法表示出以A，B，P，C为顶点的四边形面积，再利用二次函数的性质求出最大值，再比较2种情况的最大值的大小即可得出答案； （3）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，得出，，通过证明，得到，结合图形列出方程，解出的值即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ，， 令，则， ， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得：， 直线的解析式为． （2）解：由（1）得，，，， ，， 设， ①若点在直线上方，则， 如图，连接、、、， ， ， 当时，有最大值； ②若点在直线下方，则， 如图，连接、、， ， ， 当时，有最大值； ， 以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值为． （3）解：由（1）得，直线的解析式为，， 设， ①若点在直线上方，则， 如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、， ， 当，则， ， ， 轴， ， ， ， 解得：，， 点的坐标为或； ②若点在直线下方，则， 如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、， 同理①中的方法可得，，， 轴， ， ， ， 解得：（舍去），， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 21．（2025·福建三明·一模）已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该函数图象与轴的两个交点坐标分别为、，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键． （1）当时，，求出一元二次方程根的判别式，由此即可得证； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再根据可得的值，代入化简即可得证． 【详解】（1）证明：当时，， 这个关于的一元二次方程根的判别式， ∵，，即， ∴根的判别式， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴该函数的图象与轴总有两个公共点． （2）证明：∵该函数图象与轴的两个交点坐标分别为、， ∴是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． ( 题型0 6 )二次函数综合 22．（2025·福建泉州·一模）直线与拋物线交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点，且始终满足，则直线l必过的定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线与拋物线交于，两点，利用根与系数的关系和勾股定理表示出，解方程得出，进而利用一次函数的性质即可得解． 【详解】解：设直线与拋物线交于，两点， 如图，分别过，两点作轴，轴的垂线交于点， 联立，得， ，， 由两点间的距离公式得，，， 由勾股定理得， ， 同理可得， ， ， ， ， ， 当时，， 直线必过的定点为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质和方程的关系，一次函数的性质，勾股定理，两点间的距离，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 23．（2025·福建·一模）如图，二次函数与轴交于两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点从点出发向点运动，点在上，且，则图中阴影部分面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是正方形，将绕点顺时针旋转，得到进而证得，当最短时，的面积最小，进而即可求得阴影部分的面积最小值． 【详解】解：如图， 由题意，令， 解得， ∴， 令， 解得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴、、共线， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，作于， 设， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查了二次函数的总和问题，正方形的性质与判定，旋转的性质，三角形的外接圆，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．（2025·福建·一模）已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，． (1)用含k的代数式表示b； (2)求证：； (3)在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)是，2． 【分析】（1）令，得到，由直线与抛物线有且只有一个交点，根据根的判别式等于0，即可得到答案； （2）联立，求得点A坐标，再用喊k的代数式表示出，的长，即得答案； （3）设直线的表达式为，将点A坐标是代入，得到，联立 ，求出点D坐标，再分别用含k的代数式表示和，即可得到答案． 【详解】（1）令， 整理得 ， 直线与抛物线有且只有一个交点， ， ； （2）由题意可知，联立， 解得， 点A坐标是， 又点B坐标是，点C坐标是， ， 由勾股定理，得， ； （3）点A在抛物线上运动的过程中，是定值．理由如下： 设直线的表达式为， 将点A坐标是代入， 得 ，即， 联立 ， 解得（舍去），， 点D坐标是， 又点A坐标是，点B坐标是，点C坐标是， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与线段的综合问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与几何图形的面积问题，准确的字母运算是解题的关键． 25．（2025·福建·一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式． (2)是线段上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．当时，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了二次函数与x轴和y轴的交点问题、求一次函数不等式、线段问题，熟练待定系数法是解题的关键． （1）把和分别代入即可求出A，B，C三点的坐标，然后利用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式； （2）设点的坐标为，根据题意表示出，，然后利用列方程求解即可． 【详解】（1）把代入，得， ， 把代入，得， 解得，， 点在点的左侧， ，． 设线段所在直线的函数表达式为； ∴ 解得 ∴线段所在直线的函数表达式为； （2）点在抛物线上， 设点的坐标为， 轴于点，交AC于点， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 点在线段AC上方的抛物线上， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为． 26．（2025·福建·一模）已知抛物线（）交轴于点和点，交轴于点，顶点为点． (1)求点的坐标；（用含的代数式表示） (2)连接，，．当为直角三角形时，求抛物线的解析式； (3)当时，过点的直线（）与抛物线位于第四象限的图象交于点，连接．若内（不含边界）只有3个横、纵坐标均为整数的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）把代入（），得出，代入函数解析式化为顶点式即可； （2）由（1）求解一元二次方程确定，过点作轴于点，过点作于点，得出，，分两种情况：①若，则；②若，则，利用相似三角形的性质求解即可； （3）根据题意作出图象，利用待定系数法确定，令点，．当直线经过线段（不含点）时，内只有3个横、纵坐标均为整数的点，结合图形得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：把代入（）， 得， ． ． ． （2）令， 解得，． ． 过点作轴于点，过点作于点，如图． ，． ． ，， ． ①若，则． ，即． 解得，（舍去）． ． ②若，则． ，即． 解得，（舍去）． ． 综上所述，抛物线的解析式为：或． （3）当时，抛物线的解析式为，图象如图所示． 把代入，得， ． ． 令点，． 当直线经过线段（不含点）时，内只有3个横、纵坐标均为整数的点． 解得． 的取值范围为． 27．（2025·福建·一模）已知二次函数 的图象交x轴于点，点，交y轴于点 ，连接 (1)求该抛物线的对称轴； (2)点P是抛物线上一动点，且在直线的上方(不与B，C重合)，连接， ①求面积的最大值； ②若，求 的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】（1）直接利用抛物线的对称性即可确定抛物线的对称轴； （2）①先利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出直线的解析式，如图：过点P作轴于点R，交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，由，然后结合二次函数的性质即可解答；②根据轴，轴，推出，在中，由即可得解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点， ∴抛物线的对称轴为直线，即直线； （2）解：①∵二次函数的图象经过点，点， ∴二次函数的表达式可写为． ∵点在抛物线上， ，解得：， ∴二次函数的表达式为． 设直线的表达式为， 把和代入，得： ，解得：， ∴直线的表达式为． 如图：过点P作轴于点R，交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为，． ∴， ． ∵动点P在直线的上方（不与B，C重合）， ． ∴当时，面积取得最大值，最大值是． ②∵轴， ∴轴， ． ∴ ∵，， 在中，， ∵， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与面积综合、二次函数与角度综合问题、待定系数法求抛物线解析式、抛物线的最值、解直角三角形等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$