专题03 一次函数与反比例函数（6大题型）（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题03 一次函数与反比例函数 题型概览 题型01 一次函数的图像与性质 题型02 求一次函数的解析式 题型03 一次函数的实际应用 题型04 反比例函数的图像与性质 题型05 反比例函数系数K的几何意义 题型06 反比例函数与几何综合 ( 题型01 )一次函数的图像与性质 1．（2025·福建泉州·一模）如图，点、、、为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限． 【详解】解：一次函数， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 点在第四象限， 一次函数的图象不可能经过点， 故选：D． 2．（2025·福建三明·一模）如图，一次函数与的图象交于，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据题意得出与为与的图象都向上平移2个单位长度，交点为，即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵与的图象交于， ∴与为与的图象都向上平移2个单位长度，交点为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 3．（2025·福建·一模）在同一坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则下列关于、的判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象与性质即可得． 【详解】直线与直线的交点在第一象限， 即直线与直线的图象都经过第一象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 4．（2025·福建·一模）某个函数具有性质：当时，y随x的增大而减小．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了函数的性质，掌握所学的反比例函数、一次函数或二次函数的性质是解题的关键；根据函数的性质写出一个反比例函数、一次函数或二次函数即可． 【详解】解：根据题意有：． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（2025·福建·一模）下列函数中，当时随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵-2<0, ∴当时随的增大而增大,故A正确； ∵-2<0, ∴当时随的增大而减小,故B不正确； ∵-1<0, ∴当时随的增大而减小,故C不正确； ∵1>0,对称轴 ∴当时随的增大而增大,故D不正确； ( 题型02 )求一次函数的解析式 6．（2025·福建泉州·一模）如果直线经过抛物线的顶点，那么称直线为抛物线的准切线．如，直线经过抛物线的顶点，所以直线是抛物线的准切线． (1)若直线为抛物线的准切线，试求的值； (2)已知直线是抛物线（）的准切线，将直线向下平移个单位，得到新直线恰好也是抛物线的准切线． ①请求出直线的解析式； ②若当时，的最小值为，试求出的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）根据题意，求得顶点为，进而求解； （2）①根据题意，求得顶点为，进而求得的解析式，进而求得，进而求解；②根据题意，可得抛物线的表达式为，分当时，当，当时，分别求解即可； 【详解】（1）解：， 顶点为， 直线为抛物线的准切线， ， 解得，； （2）①， 顶点为， 直线向下平移个单位，得到直线：， 直线、都是抛物线的准切线， ∴方程的解是， 即， ∵ 即直线的解析式为：， ②顶点为在直线：上， ∴， ， ∴抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， ∵，顶点为， i）当，即时，在，取得最小值， ∴， 解得，或（舍去）， ii）当，即时，在顶点处，取得最小值， ∴ ， iii）当，即时，在，取得最小值， ∴， 方程无解， 综上所述，或； 7．（2025·福建泉州·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值； (3)如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先求出点A，B，C的坐标，设直线的解析式为，代入点B，C的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，利用割补法表示出以A，B，P，C为顶点的四边形面积，再利用二次函数的性质求出最大值，再比较2种情况的最大值的大小即可得出答案； （3）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，得出，，通过证明，得到，结合图形列出方程，解出的值即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ，， 令，则， ， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得：， 直线的解析式为． （2）解：由（1）得，，，， ，， 设， ①若点在直线上方，则， 如图，连接、、、， ， ， 当时，有最大值； ②若点在直线下方，则， 如图，连接、、， ， ， 当时，有最大值； ， 以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值为． （3）解：由（1）得，直线的解析式为，， 设， ①若点在直线上方，则， 如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、， ， 当，则， ， ， 轴， ， ， ， 解得：，， 点的坐标为或； ②若点在直线下方，则， 如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、， 同理①中的方法可得，，， 轴， ， ， ， 解得：（舍去），， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 8．（2025·福建·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数的解析式，掌握求交点坐标的方法是解题的关键．利用待定系数法求得两直线的解析式，然后联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点， ，， 解得：，， 一次函数解析式为：，反比例函数解析式为； 解方程组，得或， ∴点的坐标为． 故答案为：． 9．（2025·福建泉州·一模）直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，且始终满足，则直线必过的定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线与抛物线的交点的坐标为，的坐标为，联立，得，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，则，同理可得，进而可得，即，解得，则，由此即可得出直线必过的定点． 【详解】解：设直线与抛物线的交点的坐标为，的坐标为， 联立， 得：， ，， ， 同理可得：， ， ， ， 解得：， ， 当时，， 直线必过的定点为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了的图象与性质，一元二次方程的根与系数的关系，已知两点坐标求两点距离，求一次函数解析式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 10．（2025·福建·一模）“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．甲乙两公司出租汽车每日所需费用和租车时间成函数关系如图所示，设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元．根据以上信息，解答下列问题： (1)分别求出，关于的函数表达式（）； (2)求出当租车时间为多少时，两公司所需费用相同？直接写出当租车时间范围为多少时，甲公司费用便宜？ 【答案】(1)； (2)当租车时间为5小时时，两公司所需费用相同；当租车时间小时时，甲公司费用便宜 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是利用函数图象，用待定系数法求出函数解析式． （1）根据函数图象中的数据，分别用待定系数法求得，关于的函数表达式； （2）根据（1）中的函数解析式，可以得到相应的方程与不等式，从而求解． 【详解】（1）解：设， 把，，分别代入得， ， ． 设，把，代入得， ，解得， ； （2）解：当时，即时， 解得，； 当时，即时，解得，． 答：当租车时间为5小时时，两公司所需费用相同；当租车时间小时时，甲公司费用便宜． ( 题型03 )一次函数的实际应用 11．（2025·福建·一模）福建的传统手工艺品独具魅力，油纸伞和角梳是“福州三宝”之二．某工艺品店计划从当地手工艺人处购进油纸伞和角梳用于售卖，已知购买4把油纸伞的费用比购买1把角梳的费用多20元，购买5把油纸伞和2把角梳一共花费220元． (1)求每把油纸伞和角梳的进价分别是多少元？ (2)若油纸伞的售价为30元/把，角梳的售价为75元/把，该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把，且购进商品全部售出，求怎样进货可使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)每把油纸伞的进价为20元，每把角梳的进价为60元 (2)该工艺品店购进油纸伞50把，角梳50把可使利润最大，最大利润是1250元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）每把油纸伞的进价为元，每把角梳的进价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设该工艺品店购进油纸伞把，则购进角梳把，先求出，再求出的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设每把油纸伞的进价为元，每把角梳的进价为元， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：每把油纸伞的进价为20元，每把角梳的进价为60元． （2）解：设该工艺品店购进油纸伞把，则购进角梳把， 由题意得：， ∵该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把， ∴， ∴， 由一次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时， 答：该工艺品店购进油纸伞50把，角梳50把可使利润最大，最大利润是1250元． 12．（2025·福建泉州·一模）为改善生活环境，减少污水排放，长青村准备筹集资金，购买甲，乙两种污水处理设备，安装在专门设置的场地，用于处理全村排放的污水．已知每套乙种设备价格比甲种设备少，用360万元单独购买甲种设备比乙种设备要少2套，安装一套甲种设备需占地，一套乙种设备需占地． (1)甲，乙两种污水处理设备每套分别是多少万元？ (2)长青村共筹集到资金500万元，准备购买20套甲，乙两种污水处理设备，经预算，安装设备的前期准备工程的费用不少于总资金的四分之一，求安装这20套污水处理设备占地的最大面积是多少？ 【答案】(1)甲种污水处理设备每套20万元，乙种污水处理设备每套18万元 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用、不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设甲种污水处理设备每套万元，则乙种污水处理设备每套万元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设购买套甲种污水处理设备，则购买套乙种污水处理设备，根据题意列出不等式，求出的解集，设污水处理设备占地的面积为，根据题意列出与的关系式，再利用一次函数的性质求出的最大值即可解答． 【详解】（1）解：设甲种污水处理设备每套万元，则乙种污水处理设备每套万元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：甲种污水处理设备每套20万元，乙种污水处理设备每套18万元． （2）解：设购买套甲种污水处理设备，则购买套乙种污水处理设备， 由题意得，， 解得：， 是整数， ， 设污水处理设备占地的面积为， 由题意得，， ， 中随着的增大而增大， 当时，有最大值， 答：安装这20套污水处理设备占地的最大面积是． 13．（2025·福建·一模）“垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买，两种型号的垃圾桶，已知型垃圾桶的单价比B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾） (1)分别求A，B两种型号垃圾桶的单价． (2)根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费． 【答案】(1)A型垃圾桶的单价为100元，B型垃圾桶的单价为120元； (2)所需的最少经费为6480元． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设型垃圾桶的单价为元，则型垃圾桶的单价为元，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个．根据题意可得，解得；设所需经费为元，则，然后根据一次函数求最值即可． 【详解】（1）解：设型垃圾桶的单价为元，则型垃圾桶的单价为元， 根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）． 答：型垃圾桶的单价为100元，型垃圾桶的单价为120元． （2）解：设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个． 型垃圾桶的数量不超过型垃圾桶的倍， ，解得． 设所需经费为元，则． ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为（元）． 答：所需的最少经费为6480元 ( 题型0 4 )反比例函数的图像与性质 14．（2025·福建·一模）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 15．（2025·福建龙岩·一模）反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则符合条件的整数的值可以是 ．（写出一个符合要求的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质，根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知，进而问题可求解，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， ∴， ∴， ∴可取， 故答案为：（答案不唯一）． 16．（2025·福建泉州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是 ．（填“＞”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】本题考查了反比例函数值的大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内随增大而增大， 点，在反比例函数的图象上，且， ， 故答案为：＜． 17．（2025·福建·一模）若点在反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是m n（用“”或“”号连接）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性直接解题即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二象限内y随x的增大而增大， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 18．（2025·福建·一模）已知，两点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数函数值的比较，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，函数增减性是解题的关键． 根据题意可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，由此即可求解． 【详解】解：由条件可知二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 离对称轴直线越远，函数值越小， ，， ， 故选：B． 19．（2025·福建·一模）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则它在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐 ． 【答案】增大 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质求解即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴在各自象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐增大， 故答案为：增大． ( 题型0 5 )反比例函数系数K的几何意义 20．（2025·福建泉州·一模）如图，的顶点和边的中点都在反比例函数的图象上，若的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、相似三角形的判定与性质，利用条件求出，，由得到，进而有，从而确定， 再根据的面积是，列方程求解即可得到答案，理解并掌握反比例函数值的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：作轴，垂足为，轴，垂足为，连接，如图所示： ， ， ， ，则， 点是边的中点， ，即，， 点、都在反比例函数图象上， ，则， ，则， ， ， ，则， 的面积是， ，解得， 故选：D． 21．（2025·福建龙岩·一模）如图，矩形两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点在函数的图像上，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意得出矩形的面积为，进而即可求解． 【详解】解：如图， 依题意，矩形和反比例函数图像都是中心对称图形，为对称中心，点在函数的图像上， ∴矩形的面积为， ∴矩形的面积为 故答案为：． 22．（2025·福建·一模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键．延长交轴于点，连接、，根据反比例函数中的几何意义得到，，从而推出，最后利用和同底等高即可得到答案． 【详解】解：延长交轴于点，连接、，如图 点在双曲线上，点在双曲线上，且轴 ， 和同底等高 故答案为：1． 23．（2025·福建·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰的直角边和斜边交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，作轴于，由等腰直角三角形的性质得出，由反比例函数的几何意义得出，证明，得出，求出，再由三角形中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，作轴于， ， ∵为等腰直角三角形，， ∴点为的中点， ∴， ∵点、是反比例函数上的点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质、与三角形中线有关的面积的计算等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解此题的关键． 24．（2025·福建·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与轴垂直的直线交轴于点，点在轴上，且．若四边形的面积为3，则的值为（    ）    A．3 B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】过点A作轴于点E，根据已知条件得到四边形是平行四边形，于是得到四边形的面积，由于，得到四边形的面积，即可得到，再由，求得． 【详解】解：过点A作轴于点E，如图所示：    ∵轴， ∴轴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义． ( 题型0 6 )反比例函数与几何综合 25．（2025·福建·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，，反比例函数的图象经过线段AB的中点P，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查平面直角坐标系，求反比例函数的比例系数．先根据中点公式求出点P的坐标，再代入即可． 【详解】解：点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，， ，， 点P是线段AB的中点， ，即， 反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：1． 26．（2025·福建·一模）如图，菱形的顶点A，C都在反比例函数的图象上（A，C 在不同象限）轴，原点为菱形的对称中心，若点的坐标为，则的值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，两点距离计算公式，设，则，由菱形的性质可得，，则轴，进而可得，，再利用两点距离计算公式得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设 ∵原点为菱形的对称中心， ∴点C的坐标为，，， ∵轴， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 27．（2025·福建泉州·一模）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点、是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点，连结． (1)若，，，试求的值； (2)若，求证：的值是“黄金比”． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得出点坐标、反比例函数解析式，再将点坐标代入解析式即可求出； （2）证明，由相似三角形的性质可得，设，其中，则，推得，，，，由点、在图象上可得，配方法解一元二次方程求出的值即可得证． 【详解】（1）解：当时，得， ，， 点， 点在的图象上， ， ， ， ，(舍去)， ． （2）证明：过点作轴于点， 又轴， ， ， ， ， ， 设，其中，则， ，，，， 点、在图象上， ， ， ， ， ，（舍去）， 即， 的值是“黄金比”． 【点睛】本题考查的知识点是反比例的函数图象与性质、配方法解一元二次方程、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握反比例的函数图象与性质． 28．（2025·福建·一模）数学实验课，小明用4张面积相等的直角三角形纸片（任意两张均不能完全重合）做如下探究：如图，，将每张直角三角形纸片的一个锐角顶点与重合，一直角边在射线上，且另一个锐角顶点位于内部，得到4个位于内部的锐角顶点，探究这4个顶点的分布规律．关于这4个顶点，下列说法正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①它们中的任意三点都不在同一直线上；②它们可以在同一直线上； ③它们在双曲线的同一分支上；④它们可以在同一条抛物线上． 【答案】①③ 【分析】本题考查了反比例的应用，二次函数的应用，一次函数的应用．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求得四个点的坐标分别为，，，，求得它们在双曲线上，据此求解即可判断． 【详解】解：如图，，，，是四个面积相等的直角三角形， 设，，，，它们的面积都是， ∴，，，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图， ∴，，，， ∵， ∴它们在双曲线上，即它们在双曲线的同一分支上，说法③正确； 它们中的任意三点都不在同一直线上， ∴说法①正确，说法②错误； 它们不可能在同一条抛物线上， ∴说法④错误， 综上①③正确， 故答案为：①③． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一次函数与反比例函数 题型概览 题型01 一次函数的图像与性质 题型02 求一次函数的解析式 题型03 一次函数的实际应用 题型04 反比例函数的图像与性质 题型05 反比例函数系数K的几何意义 题型06 反比例函数与几何综合 ( 题型01 )一次函数的图像与性质 1．（2025·福建泉州·一模）如图，点、、、为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（2025·福建三明·一模）如图，一次函数与的图象交于，则关于，的方程组的解为 ． 3．（2025·福建·一模）在同一坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则下列关于、的判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2025·福建·一模）某个函数具有性质：当时，y随x的增大而减小．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． 5．（2025·福建·一模）下列函数中，当时随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． ( 题型02 )求一次函数的解析式 6．（2025·福建泉州·一模）如果直线经过抛物线的顶点，那么称直线为抛物线的准切线．如，直线经过抛物线的顶点，所以直线是抛物线的准切线． (1)若直线为抛物线的准切线，试求的值； (2)已知直线是抛物线（）的准切线，将直线向下平移个单位，得到新直线恰好也是抛物线的准切线． ①请求出直线的解析式； ②若当时，的最小值为，试求出的值． 7．（2025·福建泉州·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值； (3)如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标． 8．（2025·福建·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点，则点的坐标为 ． 9．（2025·福建泉州·一模）直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，且始终满足，则直线必过的定点为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·福建·一模）“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．甲乙两公司出租汽车每日所需费用和租车时间成函数关系如图所示，设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元．根据以上信息，解答下列问题： (1)分别求出，关于的函数表达式（）； (2)求出当租车时间为多少时，两公司所需费用相同？直接写出当租车时间范围为多少时，甲公司费用便宜？ ( 题型03 )一次函数的实际应用 11．（2025·福建·一模）福建的传统手工艺品独具魅力，油纸伞和角梳是“福州三宝”之二．某工艺品店计划从当地手工艺人处购进油纸伞和角梳用于售卖，已知购买4把油纸伞的费用比购买1把角梳的费用多20元，购买5把油纸伞和2把角梳一共花费220元． (1)求每把油纸伞和角梳的进价分别是多少元？ (2)若油纸伞的售价为30元/把，角梳的售价为75元/把，该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把，且购进商品全部售出，求怎样进货可使利润最大，最大利润是多少？ 12．（2025·福建泉州·一模）为改善生活环境，减少污水排放，长青村准备筹集资金，购买甲，乙两种污水处理设备，安装在专门设置的场地，用于处理全村排放的污水．已知每套乙种设备价格比甲种设备少，用360万元单独购买甲种设备比乙种设备要少2套，安装一套甲种设备需占地，一套乙种设备需占地． (1)甲，乙两种污水处理设备每套分别是多少万元？ (2)长青村共筹集到资金500万元，准备购买20套甲，乙两种污水处理设备，经预算，安装设备的前期准备工程的费用不少于总资金的四分之一，求安装这20套污水处理设备占地的最大面积是多少？ 13．（2025·福建·一模）“垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买，两种型号的垃圾桶，已知型垃圾桶的单价比B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾） (1)分别求A，B两种型号垃圾桶的单价． (2)根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费． ( 题型0 4 )反比例函数的图像与性质 14．（2025·福建·一模）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 15．（2025·福建龙岩·一模）反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则符合条件的整数的值可以是 ．（写出一个符合要求的值即可） 16．（2025·福建泉州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是 ．（填“＞”或“＜”） 17．（2025·福建·一模）若点在反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是m n（用“”或“”号连接）． 18．（2025·福建·一模）已知，两点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·福建·一模）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则它在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐 ． ( 题型0 5 )反比例函数系数K的几何意义 20．（2025·福建泉州·一模）如图，的顶点和边的中点都在反比例函数的图象上，若的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·福建龙岩·一模）如图，矩形两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点在函数的图像上，则矩形的面积为 ． 22．（2025·福建·一模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 23．（2025·福建·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰的直角边和斜边交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接，，若，则的面积为 ． 24．（2025·福建·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与轴垂直的直线交轴于点，点在轴上，且．若四边形的面积为3，则的值为（    ）    A．3 B．6 C． D．4 ( 题型0 6 )反比例函数与几何综合 25．（2025·福建·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，，反比例函数的图象经过线段AB的中点P，则 ． 26．（2025·福建·一模）如图，菱形的顶点A，C都在反比例函数的图象上（A，C 在不同象限）轴，原点为菱形的对称中心，若点的坐标为，则的值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 27．（2025·福建泉州·一模）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点、是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点，连结． (1)若，，，试求的值； (2)若，求证：的值是“黄金比”． 28．（2025·福建·一模）数学实验课，小明用4张面积相等的直角三角形纸片（任意两张均不能完全重合）做如下探究：如图，，将每张直角三角形纸片的一个锐角顶点与重合，一直角边在射线上，且另一个锐角顶点位于内部，得到4个位于内部的锐角顶点，探究这4个顶点的分布规律．关于这4个顶点，下列说法正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①它们中的任意三点都不在同一直线上；②它们可以在同一直线上； ③它们在双曲线的同一分支上；④它们可以在同一条抛物线上． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$