专题02 方程（组）及不等式（组）（7大题型）（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题02 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 解一次方程（组） 题型02 一次方程（组）的实际应用 题型03 解一元二次方程 题型04 一元二次方程的实际应用 题型05 分式方程 题型06 解不等式（组） 题型07 不等式（组）的实际应用 ( 题型01 )解一次方程（组） 1．（2025·福建·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 2．（2024·福建莆田·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴二元一次方程组的解为：． ( 题型02 )一次方程（组）的实际应用 3．（2025·福建泉州·一模）下表是友谊商场某品牌电脑的记账单，其中进价一栏被墨迹污染，则该品牌电脑的进价是 元． 进价（商品的进货价格） 标价（商品的预售价格） 6800元 折扣 8折 利润（实际销售后的利润） 440元 【答案】5000 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该品牌电脑的进价是x元，利用利润=标价×折扣率-进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该品牌电脑的进价是x元， 根据题意得：， 解得：， ∴该品牌电脑的进价是5000元． 故答案为：5000． 4．（2025·福建·一模）某商店销售进价为元和元的，两种商品，其中商品的利润率为，商品的利润率为．当售出的商品的数量比商品的数量少时，该商店获得的总利润率为．则与的数量关系是（   ）（利润率利润成本） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设商品的数量为，则商品的数量为，推出商品的单件利润为，商品的单件利润为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设商品的数量为，则商品的数量为， 商品的单件利润为， B商品的单件利润为， 总利润：， 总成本：， 根据题意得：， 整理得：，   故选：A． 5．（2025·福建三明·一模）综合与实践 【背景】住尤溪的小颖想给亲朋好友寄送尤溪特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 福建省内 江浙沪地区 首重 续重 素材2： 电子存单1 电子存单2 托寄物：尤溪特产 目的地：福州 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：尤溪特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)小颖给在厦门的朋友寄出了千克的尤溪特产，她需要支付快递费多少元？ (2)小颖给在杭州的外婆寄特产快递费花了72元，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1)支付快递费16元． (2)这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用． （1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，确定．根据福建省内收费标准计算即可． （2）设这份特产按千克计费，根据江浙沪地区收费标准列出关于x的一元一次方程，解方程，再结合不足1千克按1千克计算即可得出这份特产重量的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知： 解得． ∵不足1千克按1千克计算，故千克按4千克计算， 即（元）． 她需要支付快递费16元． （2）解：设这份特产按千克计费， 则 解得． 所以这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克． 6．（2025·福建·一模）福建的传统手工艺品独具魅力，油纸伞和角梳是“福州三宝”之二．某工艺品店计划从当地手工艺人处购进油纸伞和角梳用于售卖，已知购买4把油纸伞的费用比购买1把角梳的费用多20元，购买5把油纸伞和2把角梳一共花费220元． (1)求每把油纸伞和角梳的进价分别是多少元？ (2)若油纸伞的售价为30元/把，角梳的售价为75元/把，该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把，且购进商品全部售出，求怎样进货可使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)每把油纸伞的进价为20元，每把角梳的进价为60元 (2)该工艺品店购进油纸伞50把，角梳50把可使利润最大，最大利润是1250元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）每把油纸伞的进价为元，每把角梳的进价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设该工艺品店购进油纸伞把，则购进角梳把，先求出，再求出的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设每把油纸伞的进价为元，每把角梳的进价为元， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：每把油纸伞的进价为20元，每把角梳的进价为60元． （2）解：设该工艺品店购进油纸伞把，则购进角梳把， 由题意得：， ∵该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把， ∴， ∴， 由一次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时， 答：该工艺品店购进油纸伞50把，角梳50把可使利润最大，最大利润是1250元． 7．（2025·福建泉州·一模）某班有人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人数的倍，设有人挑水，人植树，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设有人挑水，人植树，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有人挑水，人植树， 由题意得，， 故选：． ( 题型03 )解一元二次方程 8．（2025·福建龙岩·一模）关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查主要了根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：，则k为任意实数，方程恒有两个不等的根， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 9．（2025·福建泉州·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）根据根的判别式解答即可；． （2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为，只需要求出是正整数时m的值即可． 【详解】（1）证明：∵ ． ∴该方程有两个实数根． （2）解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下： 由求根公式，得：， 即，， ∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数， ∴必为正整数， ∴或， 即当或时，该方程的两个实数根均为正整数． 10．（2025·福建龙岩·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：D． 11．（2025·福建三明·一模）已知实数、、，且满足，． (1)求证：的值是定值； (2)若，同号，求的取值范围； (3)当、同号时，设，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解； （2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解； （3）由（1）、（2）得，，得出，确定，然后结合（2）中结果确定取值范围即可． 【详解】（1）证明：，， ，为关于的方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，， 的值为定值． （2）解：由（1）得， ，同号， ， 解得：， 又， ， ． （3）由（1）、（2）得，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，即． 12．（2025·福建泉州·一模）解方程：. 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ，. ( 题型0 4 )一元二次方程的实际应用 13．（2025·福建·一模）2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．设每次降价的百分率为，根据两次降价后的单价原来的单价列出方程即可得． 【详解】解：由题意可列方程为， 故选：B． 14．（2025·福建三明·一模）【问题情境】 九年级上册《综合与实践》中的“猜想、证明与拓广”中，对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【理解探究】 （1）小明同学分别研究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，因此得出结论：对于长为，宽为1的已知矩形，一定不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．你认为小明得出的结论是否正确？如果正确，请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证；如果不正确，请举例，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）若已知矩形的长为，宽为，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，写出与应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）小明得出的结论不正确，举例说明见解析；（2）存在，此时与应满足的关系式为 【分析】本题考查了矩形、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键． （1）小明得出的结论不正确．举例说明：若已知矩形的长为6，宽为1，设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为，根据矩形的面积公式建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设长为，宽为另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，建立方程组，化简可得一个关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：（1）小明得出的结论不正确．举例说明如下： 若已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为，面积为， 设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为， 由题意得：， 解得或， 当时，，不符合题设，舍去， 当时，，符合题设， 所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为2，宽为， 即对于长为6，宽为1的已知矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． （2）设“减半”矩形长为，宽为另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 由题意得：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， 则当关于的一元二次方程有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 所以这个方程根的判别式， 整理得：， 综上，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． ( 题型0 5 )分式方程 15．（2025·福建泉州·一模）为改善生活环境，减少污水排放，长青村准备筹集资金，购买甲，乙两种污水处理设备，安装在专门设置的场地，用于处理全村排放的污水．已知每套乙种设备价格比甲种设备少，用360万元单独购买甲种设备比乙种设备要少2套，安装一套甲种设备需占地，一套乙种设备需占地． (1)甲，乙两种污水处理设备每套分别是多少万元？ (2)长青村共筹集到资金500万元，准备购买20套甲，乙两种污水处理设备，经预算，安装设备的前期准备工程的费用不少于总资金的四分之一，求安装这20套污水处理设备占地的最大面积是多少？ 【答案】(1)甲种污水处理设备每套20万元，乙种污水处理设备每套18万元 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用、不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设甲种污水处理设备每套万元，则乙种污水处理设备每套万元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设购买套甲种污水处理设备，则购买套乙种污水处理设备，根据题意列出不等式，求出的解集，设污水处理设备占地的面积为，根据题意列出与的关系式，再利用一次函数的性质求出的最大值即可解答． 【详解】（1）解：设甲种污水处理设备每套万元，则乙种污水处理设备每套万元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：甲种污水处理设备每套20万元，乙种污水处理设备每套18万元． （2）解：设购买套甲种污水处理设备，则购买套乙种污水处理设备， 由题意得，， 解得：， 是整数， ， 设污水处理设备占地的面积为， 由题意得，， ， 中随着的增大而增大， 当时，有最大值， 答：安装这20套污水处理设备占地的最大面积是． 16．（2025·福建·一模）解分式方程： 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：两边同乘去分母， 得， 则 检验：把代入中，， 是分式方程的解． 17．（2025·福建·一模）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列分式方程，解题关键是从题干中提取出等量关系式．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-C919所用时间，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 18．（2025·福建·一模）化简代数式，然后判断它的值能否等于，并说明理由． 【答案】，代数式的值不能等于，理由见解析 【分析】根据分式混合运算先化简，再列方程求解验证即可得到答案． 【详解】解： ， 代数式的值不能等于，理由如下： 若，解得， 在化简代数式过程中，作过分母，根据分式分母不能为零可知代数式的值不能等于． 【点睛】本题考查分式化简求值，解分式方程，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． ( 题型0 6 )解不等式（组） 19．（2025·福建龙岩·一模）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式的解集，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 20．（2025·福建三明·一模）不等式的正整数解的个数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，无理数的估算，求出解集是解答本题的关键．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出正整数解得个数． 【详解】解：， ∴正整数解为：，有个， 故答案为：． 21．（2025·福建·一模）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式的解法进行求解即可． 【详解】解： ； 故答案为． 22．（2025·福建龙岩·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握运用“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集是解答本题的关键． 先分别求出每一个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 故选：A． 23．（2025·福建泉州·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别解出不等式组中的每一个不等式，再由不等式组解集的求法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解求出解集即可得到答案．熟练掌握一元一次不等式解集的求法，熟记不等式组解集的求法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为． 24．（2025·福建泉州·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”即可求得不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一数轴上画出不等式组的解集如下： ∴原不等式组的解集为． 25．（2025·福建三明·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 26．（2025·福建泉州·一模）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， ∴该不等式组的解集为． ( 题型0 7 )不等式（组）的实际应用 27．（2025·福建·一模）“垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买，两种型号的垃圾桶，已知型垃圾桶的单价比B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾） (1)分别求A，B两种型号垃圾桶的单价． (2)根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费． 【答案】(1)A型垃圾桶的单价为100元，B型垃圾桶的单价为120元； (2)所需的最少经费为6480元． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设型垃圾桶的单价为元，则型垃圾桶的单价为元，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个．根据题意可得，解得；设所需经费为元，则，然后根据一次函数求最值即可． 【详解】（1）解：设型垃圾桶的单价为元，则型垃圾桶的单价为元， 根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）． 答：型垃圾桶的单价为100元，型垃圾桶的单价为120元． （2）解：设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个． 型垃圾桶的数量不超过型垃圾桶的倍， ，解得． 设所需经费为元，则． ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为（元）． 答：所需的最少经费为6480元 28．（2025·福建·一模）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元 (2) (3)甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查一次函数和一元一次方程的应用： （1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意列方程，解方程即可； （2）购进甲种剪纸装饰套乙种剪纸装饰套，总费用元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则利润为 根据随的增大而增大， 且为非负整数可得当时，取最大值． 【详解】（1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意，得 解得 ， ∴甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元． （2）设购进甲种剪纸装饰套， 则购进乙种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，根据题意，得 ， 即 ∴与之间的函数关系式为； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 即 ， ∴随的增大而增大 ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过元， ，即， 解得， ∵为非负整数 ∴当 时，取最大值，(元)， 此时套， 即商家购进甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元． 29．（2025·福建·一模）已知抛物线，，是抛物线上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用，正确求出的值，并分两种情况讨论是解题关键．先求出的值，再求出，，然后分两种情况：①和②，根据得出的符号，由此即可得． 【详解】解：∵，是抛物线上任意两点， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ①当时，要使，则， ∴， 解得，符合题设； ②当时，要使，则， ∴， 解得， ∴此时； 综上，的取值范围为或， 故答案为：或． 30．（2025·福建·一模）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 【详解】解： ． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 解一次方程（组） 题型02 一次方程（组）的实际应用 题型03 解一元二次方程 题型04 一元二次方程的实际应用 题型05 分式方程 题型06 解不等式（组） 题型07 不等式（组）的实际应用 ( 题型01 )解一次方程（组） 1．（2025·福建·一模）解方程组：． 2．（2024·福建莆田·一模）解方程组：． ( 题型02 )一次方程（组）的实际应用 3．（2025·福建泉州·一模）下表是友谊商场某品牌电脑的记账单，其中进价一栏被墨迹污染，则该品牌电脑的进价是 元． 进价（商品的进货价格） 标价（商品的预售价格） 6800元 折扣 8折 利润（实际销售后的利润） 440元 4．（2025·福建·一模）某商店销售进价为元和元的，两种商品，其中商品的利润率为，商品的利润率为．当售出的商品的数量比商品的数量少时，该商店获得的总利润率为．则与的数量关系是（   ）（利润率利润成本） A． B． C． D． 5．（2025·福建三明·一模）综合与实践 【背景】住尤溪的小颖想给亲朋好友寄送尤溪特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 福建省内 江浙沪地区 首重 续重 素材2： 电子存单1 电子存单2 托寄物：尤溪特产 目的地：福州 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：尤溪特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)小颖给在厦门的朋友寄出了千克的尤溪特产，她需要支付快递费多少元？ (2)小颖给在杭州的外婆寄特产快递费花了72元，求这份特产重量的取值范围． 6．（2025·福建·一模）福建的传统手工艺品独具魅力，油纸伞和角梳是“福州三宝”之二．某工艺品店计划从当地手工艺人处购进油纸伞和角梳用于售卖，已知购买4把油纸伞的费用比购买1把角梳的费用多20元，购买5把油纸伞和2把角梳一共花费220元． (1)求每把油纸伞和角梳的进价分别是多少元？ (2)若油纸伞的售价为30元/把，角梳的售价为75元/把，该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把，且购进商品全部售出，求怎样进货可使利润最大，最大利润是多少？ 7．（2025·福建泉州·一模）某班有人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人数的倍，设有人挑水，人植树，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． ( 题型03 )解一元二次方程 8．（2025·福建龙岩·一模）关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为 ． 9．（2025·福建泉州·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 10．（2025·福建龙岩·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（    ） A．10 B． C．5 D． 11．（2025·福建三明·一模）已知实数、、，且满足，． (1)求证：的值是定值； (2)若，同号，求的取值范围； (3)当、同号时，设，求的取值范围． 12．（2025·福建泉州·一模）解方程：. ( 题型0 4 )一元二次方程的实际应用 13．（2025·福建·一模）2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·福建三明·一模）【问题情境】 九年级上册《综合与实践》中的“猜想、证明与拓广”中，对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【理解探究】 （1）小明同学分别研究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，因此得出结论：对于长为，宽为1的已知矩形，一定不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．你认为小明得出的结论是否正确？如果正确，请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证；如果不正确，请举例，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）若已知矩形的长为，宽为，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，写出与应满足的关系式；如果不存在，说明理由． ( 题型0 5 )分式方程 15．（2025·福建泉州·一模）为改善生活环境，减少污水排放，长青村准备筹集资金，购买甲，乙两种污水处理设备，安装在专门设置的场地，用于处理全村排放的污水．已知每套乙种设备价格比甲种设备少，用360万元单独购买甲种设备比乙种设备要少2套，安装一套甲种设备需占地，一套乙种设备需占地． (1)甲，乙两种污水处理设备每套分别是多少万元？ (2)长青村共筹集到资金500万元，准备购买20套甲，乙两种污水处理设备，经预算，安装设备的前期准备工程的费用不少于总资金的四分之一，求安装这20套污水处理设备占地的最大面积是多少？ 16．（2025·福建·一模）解分式方程： 17．（2025·福建·一模）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·福建·一模）化简代数式，然后判断它的值能否等于，并说明理由． ( 题型0 6 )解不等式（组） 19．（2025·福建龙岩·一模）不等式的解集是 ． 20．（2025·福建三明·一模）不等式的正整数解的个数有 个． 21．（2025·福建·一模）不等式的解集是 ． 22．（2025·福建龙岩·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·福建泉州·一模）解不等式组：． 24．（2025·福建泉州·一模）解不等式组： 25．（2025·福建三明·一模）解不等式组： 26．（2025·福建泉州·一模）解不等式组 ( 题型0 7 )不等式（组）的实际应用 27．（2025·福建·一模）“垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买，两种型号的垃圾桶，已知型垃圾桶的单价比B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾） (1)分别求A，B两种型号垃圾桶的单价． (2)根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费． 28．（2025·福建·一模）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 29．（2025·福建·一模）已知抛物线，，是抛物线上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围为 ． 30．（2025·福建·一模）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$