专题01 数与式（7大题型）（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题01 数与式 题型概览 题型01 正负数的意义 题型02 有理数大小比较 题型03 科学记数法 题型04 实数的运算 题型05 因式分解 题型06 分式化简求值 题型07 二次根式 ( 题型01 )正负数的意义 1．（2025·福建龙岩·一模）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（    ） A．收入36元 B．支出26元 C．收入10元 D．支出10元 【答案】C 【分析】本题考查正负数的意义，有理数加法的应用，掌握有理数的加法运算法则是解题关键．线列出算式再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：（元）， 即小陈当天微信收支的最终结果是收入10元． 故选：C． 2．（2025·福建三明·一模）某水库警戒水位为29.6米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31米记作米，那么水库水位为28.8米记作 米． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，理解正数和负数的实际意义是解题的关键．根据正数和负数的实际意义即可求得答案． 【详解】解：某水库警戒水位为29.6米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31米记作米，那么水库水位为28.8米记作米， 故答案为：． 3．（2025·福建三明·一模）在，0，，这四个数中，负数的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了负数“负数就是小于0的（实数）”，化简多重符号，熟练掌握负数的定义是解题关键．先化简多重符号，再根据负数的定义即可得． 【详解】解：是负数， 0既不是正数，也不是负数， ，是负数， ，是正数， 综上，负数的个数是2个， 故选：B． 4．（2024·福建龙岩·一模）钟表是指针逆时针方向转记作，顺时针方向转记作 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据逆时针旋转为正，则顺时针旋转为负解答． 【详解】解：钟表的指针逆时针方向转记作， 则顺时针方向转记作， 故答案为：． 5．（2017·福建厦门·一模）规定一个物体向右运动为正，向左运动为负.如果该物体向左连续运动两次，每次运动3米，那么下列算式中，可以表示这两次运动结果的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向右移动记为正，向左运动为负，该物体向左运动3 米得（-3）米，连续向左运动两次，就是再乘2，从而得出答案． 【详解】∵向右运动为正，向左运动为负，该物体向左连续运动两次，每次运动3 米， ∴这两次运动结果的是：（-3）×2； 故选B． 【点睛】此题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，解决本题的关键是熟记正负数的意义． ( 题型02 )有理数大小比较 6．（2025·福建泉州·一模）下列比小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．将每个选项中的有理数分别和比较大小即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．（2025·福建龙岩·一模）比较大小： （填：“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，零次幂的含义，掌握“”是解本题的关键． 先分别计算负整数指数幂，零次幂，再比较大小即可． 【详解】解： 故答案为：． 8．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）比较大小： （填“”、“<”、“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．根据两个负数比较大小的方法，进行比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：． ( 题型03 )科学记数法 9．（2025·福建·一模）2024年新福建建设在创造性转化、创新性发展中，八闽文化焕发出新的时代光彩．第九届福建艺术节线上线下参加活动人次超110000000．将数据110000000用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 10．（2025·福建泉州·一模）截至2025年4月9日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）已破156亿元，暂列全球影史票房榜第5位，将15600000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：A． 11．（2025·福建泉州·一模）据网络平台数据，至2025年3月9日，电影《哪吒之魔童闹海》全球电影票房（含预售及海外）进入全球票房榜前6名．突破15300000000元人民币，数据15300000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 12．（2025·福建泉州·一模）石墨烯是由石墨烯纤维纺织而成的，是目前已知世界上最薄、最坚硬，同时也是导热性和导电性最好的纳米材料．其厚度约为厘米．将数据用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握其一般形式是解题的关键．用科学记数法可以表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其使用的是负指数幂，指数由原数左边第一个不为零的数字前面的的个数决定，据此即可获得答案． 【详解】解：数据可以用科学记数法表示为， 故选：C． 13．（2025·福建泉州·一模）预计2024年福建省GDP比上一年的总增量约为亿元．将亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握科学记数法的表示，确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数的变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：亿， 故选：D ． 14．（2025·福建龙岩·一模）据文化和旅游部数据中心测算，2025年春节假期8天（1月28日至2月4日），全国国内出游亿人次，出游人次用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：亿， 故选：B． 15．（2025·福建·一模）《年福建省国民经济和社会发展统计公报》显示我省全年粮食产量约为万吨，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法表示数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：C． ( 题型0 4 )实数的运算 16．（2025·福建龙岩·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值，零指数幂，算术平方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关系．先利用绝对值，零指数幂，算术平方根化简，再进行加减即可． 【详解】解： 17．（2025·福建厦门·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂的意义、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义等计算即可． 【详解】解∶ 18．（2025·福建·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、算术平方根、绝对值，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简绝对值、计算负整数指数幂与算术平方根，再计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 19．（2025·福建龙岩·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，化简绝对值，乘方运算，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键．先计算特殊角的三角函数值，化简绝对值，乘方运算，再进行加减计算． 【详解】解：原式 ． ( 题型0 5 )因式分解 20．（2025·福建·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，找到公因式是解答本题的关键． 直接提公因式，进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 21．（2025·福建·一模）已知为两位正整数，其十位上的数字为，个位上的数字为，且满足． (1)写出符合条件的所有数； (2)当时，若可以写成两个整数的平方差，求这两个整数的积． 【答案】(1)为或或 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）由，对，进行取值即可解决问题． （2）由，得出，，进而得出的值，设（、为整数），则，分类讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：， ，或，或，， 或或， 为或或； （2）， ，， ． 设（、为整数）， ， 或或或或或， 解得：(舍去) 或(舍去)或或或 (舍去) 或 (舍去)， ． 22．（2025·福建泉州·一模）【观察发现】有些三位数，十位上的数字的两倍恰好等于百位上的数字与个位数字的和．如：345，147等，我们称这样的三位数为“和倍数”． 【猜想验证】猜想“和倍数”是哪个正整数（1除外）的倍数，并验证你的猜想． 【答案】“和倍数”是3的倍数，证明见解析 【分析】本题考查了新定义、整式加减的应用，正确理解“和倍数”的定义是解题的关键．设“和倍数”为，根据“和倍数”的定义可得，整理可得，即可得出结论． 【详解】解：“和倍数”是3的倍数，证明如下： 设“和倍数”为， 由题意得，， ， ， 是整数， 是整数， 是3的倍数， “和倍数”是3的倍数． ( 题型0 6 )分式化简求值 23．（2025·福建龙岩·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号内的分式减法，然后算分式乘法，再把代入求值即可，熟练掌握和运用分式的化简求值步骤和方法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 24．（2025·福建泉州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键；因此此题可先对分式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝； 当时， 原式． 25．（2025·福建三明·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． ( 题型0 7 )二次根式 26．（2025·福建龙岩·一模）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 【答案】(1) (2)作图见解析，不唯一 【分析】本题考查长方体的认识，二次根式的运算，正方形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握长方体的侧面和底面的关系是解题的关键． （1）设纸的长为，宽为，第一次翻折：由图可知，，得出，第一次翻折中，则，即可求解； （2）纸宽为，先利用图2的底面积得出，分别利用长方体的特征得到如图3和图4，再将底面积分别用含的代数式表示出来，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：设纸的长为，宽为， 第一次翻折：由图可知，， ∴四边形是正方形， ∴， 第一次翻折：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵纸的宽与长的比值为， ∴如图，设，， 由题可知， ∴底面积为， 得， 作法不唯一，如图3，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 如图4，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 27．（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： (1)______（用“”“”“”填空） (2)当，式子的最小值为______． (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）根据题意可知， （2）令，，则由，即可得出答案． （3）设，根据题意可得出，即可得出当且仅当，即时，，四边形面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为： （2）解：令，，则由， 得 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：6； （3）解：设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形的面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 28．（2025·福建·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根和零指数幂，解题的关键是掌握相关的运算法则．根二次根式、零指数幂、立方根化简，再算加减即可． 【详解】解： 29．（2025·福建泉州·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零次幂、二次根式及绝对值，熟练掌握各运算法则是解题得关键，先分别计算负整数指数幂、零次幂、二次根式及绝对值，然后再计算即可求值. 【详解】解：原式 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数与式 题型概览 题型01 正负数的意义 题型02 有理数大小比较 题型03 科学记数法 题型04 实数的运算 题型05 因式分解 题型06 分式化简求值 题型07 二次根式 ( 题型01 )正负数的意义 1．（2025·福建龙岩·一模）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（    ） A．收入36元 B．支出26元 C．收入10元 D．支出10元 2．（2025·福建三明·一模）某水库警戒水位为29.6米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31米记作米，那么水库水位为28.8米记作 米． 3．（2025·福建三明·一模）在，0，，这四个数中，负数的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·福建龙岩·一模）钟表是指针逆时针方向转记作，顺时针方向转记作 ． 5．（2017·福建厦门·一模）规定一个物体向右运动为正，向左运动为负.如果该物体向左连续运动两次，每次运动3米，那么下列算式中，可以表示这两次运动结果的是（    ） A． B． C． D． ( 题型02 )有理数大小比较 6．（2025·福建泉州·一模）下列比小的数是（   ） A． B． C．0 D． 7．（2025·福建龙岩·一模）比较大小： （填：“”、“”或“”） 8．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）比较大小： （填“”、“<”、“=”）． ( 题型03 )科学记数法 9．（2025·福建·一模）2024年新福建建设在创造性转化、创新性发展中，八闽文化焕发出新的时代光彩．第九届福建艺术节线上线下参加活动人次超110000000．将数据110000000用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·福建泉州·一模）截至2025年4月9日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）已破156亿元，暂列全球影史票房榜第5位，将15600000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 11．（2025·福建泉州·一模）据网络平台数据，至2025年3月9日，电影《哪吒之魔童闹海》全球电影票房（含预售及海外）进入全球票房榜前6名．突破15300000000元人民币，数据15300000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·福建泉州·一模）石墨烯是由石墨烯纤维纺织而成的，是目前已知世界上最薄、最坚硬，同时也是导热性和导电性最好的纳米材料．其厚度约为厘米．将数据用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·福建泉州·一模）预计2024年福建省GDP比上一年的总增量约为亿元．将亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·福建龙岩·一模）据文化和旅游部数据中心测算，2025年春节假期8天（1月28日至2月4日），全国国内出游亿人次，出游人次用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·福建·一模）《年福建省国民经济和社会发展统计公报》显示我省全年粮食产量约为万吨，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )实数的运算 16．（2025·福建龙岩·一模）计算：． 17．（2025·福建厦门·一模）计算： 18．（2025·福建·一模）计算：． 19．（2025·福建龙岩·一模）计算：． ( 题型0 5 )因式分解 20．（2025·福建·一模）分解因式： ． 21．（2025·福建·一模）已知为两位正整数，其十位上的数字为，个位上的数字为，且满足． (1)写出符合条件的所有数； (2)当时，若可以写成两个整数的平方差，求这两个整数的积． 22．（2025·福建泉州·一模）【观察发现】有些三位数，十位上的数字的两倍恰好等于百位上的数字与个位数字的和．如：345，147等，我们称这样的三位数为“和倍数”． 【猜想验证】猜想“和倍数”是哪个正整数（1除外）的倍数，并验证你的猜想． ( 题型0 6 )分式化简求值 23．（2025·福建龙岩·一模）先化简，再求值：，其中． 24．（2025·福建泉州·一模）先化简，再求值：，其中． 25．（2025·福建三明·一模）先化简，再求值：，其中． ( 题型0 7 )二次根式 26．（2025·福建龙岩·一模）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 27．（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： (1)______（用“”“”“”填空） (2)当，式子的最小值为______． (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 28．（2025·福建·一模）计算：． 29．（2025·福建泉州·一模）计算： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$