专题11 二次函数压轴题（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题11 二次函数压轴题 一、单选题 1．（2025·福建泉州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于点和点，其中a为常数，则该二次函数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质；根据题意得到展开整理成顶点式即可求出． 【详解】解：根据题意得， 当时，有最大值； 故选：C． 2．（2025·福建·一模）已知点为抛物线（a为常数，）上的两点，当时，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 当时，，则点、均为对称轴的右侧，再根据二次函数的增减性即可判定A；若，则点、在对称轴异侧或左侧，再分类求解即可判定B；当时，此时，即可判定C；若，则点、在对称轴异侧或左侧，即可判定D．灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 【详解】解：由(为常数，)知，其开口向上，对称轴为，当时，，且， A．当时，，则点、均在对称轴的右侧，故，故A错误，不符合题意； B．若，则点、在对称轴异侧或左侧， 当、在对称轴异侧时，则，解得：； 当、在对称轴左侧时，则，解得：， 综上，，故B错误，不符合题意； C．当时，则，此时，， ，故C错误，不符合题意； D．当时，，则点、均为对称轴的右侧，故，故D正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025·福建·一模）二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的增减性，对称轴和开口方向的问题，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．由题可知，对称轴为，进而分两种情况讨论：①；②，根据抛物线的增减性得出结论． 【详解】解：对称轴为， 当时， ，，， 与互为相反数， ，故A，B不正确，不符合题意； 同理当时，，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 4．（2025·福建·一模）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 二、填空题 5．（2025·福建三明·一模）设二次函数，已知函数的图象经过点，，，设方程的正实数根为，下列说法正确的是 ．（填写序号） ①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则 【答案】④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的性质可得点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，再由二次函数图象与方程的关系可得二次函数的图象与直线的右侧的交点的横坐标为m，再结合图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数关于y轴对称， ∴点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为， ∵方程的正实数根为m， ∴二次函数的图象与直线的右侧的交点的横坐标为m，且， 如图， 当时，，故①、②错误，不符合题意； 当，时，，故③错误，不符合题意；④正确，符合题意； 故答案为：④ 6．（2025·福建·一模）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵分别位于抛物线对称轴的两侧， 假设点在对称轴的右侧，则，解得， ∴ ∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧， ∴ 解得： 又∵， ∴ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（2025·福建·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过矩形的顶点和，轴．若将抛物线向左（右）平移不超过个单位长度，使其经过点，可与抛物线重合，记抛物线和在该矩形内部的部分为图象，点在图象上，则点的横坐标的取值范围是 ．（表达式中可含有，，） 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数与一元二次方程、矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识点，学会利用数形结合的思想解决问题．代入和到抛物线可得，，得到点在点的上方，利用矩形的性质得到，，利用二次函数的对称性得到抛物线也经过点，得到抛物线在、之间的部分图象在矩形内部；结合图象可得将抛物线向左平移个单位，可使其经过点，可与抛物线重合，则有抛物线，令可得抛物线恰好经过点，再利用二次函数的对称性得到抛物线也经过点，得到抛物线在、之间的部分图象在矩形内部，根据题意即可得出结论． 【详解】解：代入和到抛物线得， ，，即， 点在点的上方， 矩形，，，轴， ，， ，， 抛物线对称轴为直线，点关于直线的对称点为， 抛物线也经过点， 在矩形的边上， 抛物线在、之间的部分图象在矩形内部，且随的增大而减小； ，， 将抛物线向左平移个单位，可使其经过点，可与抛物线重合， 抛物线， 令，则， ， 解得：，， 抛物线经过点，即恰好经过点， 抛物线对称轴为直线，点关于直线的对称点为， 抛物线也经过点， 在矩形的边上， 抛物线在、之间的部分图象在矩形内部，且随的增大而增大； 记抛物线和在该矩形内部的部分为图象，点在图象上， 点在、之间的抛物线图象上，或在、之间的抛物线图象上， 点的横坐标的取值范围是或． 故答案为：或． 三、解答题 8．（2025·福建·一模）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】(1)抛物线的表达式 (2)水火箭距离地面的竖直高度米 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得， 则抛物线的表达式， （2）解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 9．（2025·福建·一模）抛物线（，，是常数，）的顶点坐标为，与轴交于． (1)当时，求此抛物线的解析式； (2)若此抛物线经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2)，且 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）由题意得：顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将代入求出，即可求解； （2）先求出对称轴为直线，再根据抛物线的对称性可得，即，结合，点不在坐标轴上，即可得到答案； （3），则，即可求接． 【详解】（1）解：当时，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，将代入得： ， 解得：， 此抛物线的解析式为； （2）抛物线的对称轴为直线，且，， ， ， ， ， 点不在坐标轴上， ，且； （3），理由如下： ，则， 则， ． 10．（2025·福建·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点是． (1)有下列结论，其中正确的是____．(填写序号) ①抛物线的对称轴为直线； ②； ③； ④当时，y随x的增大而增大． (2)若抛物线的顶点在直线上． ①求抛物线的解析式； ②若直线分别与抛物线、抛物线：相交，交点自左向右依次为A，B，C，D，直接写出线段，之间的数量关系． 【答案】(1)①②③ (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的联系，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据二次函数的性质逐一判断即可； （2）①运用待定系数法求函数解析式即可； ②设点 的横坐标分别为 则有 令 得 则有，令 即，代入即可解题． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线，故正确； ②∵对称轴为，则，故正确； ③把代入得到， 则，故正确； ④∵开口方向不确定，故增减性无法确定，故错误； 故答案为：①②③． （2）①根据题意,得，即 ， ∴当 时， ， 即 ， 解得 ， ∴ 抛物线 的解析式为 ②，理由为：                 设点 的横坐标分别为 ， ， 令 得 它对应的两个根应为： ， 令 得 它对应的两个根应为 ， ， 即 ． 11．（2025·福建·一模）已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，． (1)用含k的代数式表示b； (2)求证：； (3)在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)是，2． 【分析】（1）令，得到，由直线与抛物线有且只有一个交点，根据根的判别式等于0，即可得到答案； （2）联立，求得点A坐标，再用喊k的代数式表示出，的长，即得答案； （3）设直线的表达式为，将点A坐标是代入，得到，联立 ，求出点D坐标，再分别用含k的代数式表示和，即可得到答案． 【详解】（1）令， 整理得 ， 直线与抛物线有且只有一个交点， ， ； （2）由题意可知，联立， 解得， 点A坐标是， 又点B坐标是，点C坐标是， ， 由勾股定理，得， ； （3）点A在抛物线上运动的过程中，是定值．理由如下： 设直线的表达式为， 将点A坐标是代入， 得 ，即， 联立 ， 解得（舍去），， 点D坐标是， 又点A坐标是，点B坐标是，点C坐标是， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与线段的综合问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与几何图形的面积问题，准确的字母运算是解题的关键． 12．（2025·福建·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长； (3)直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积是定值，的面积为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出 ， 即可求解； （3）设点的坐标分别为： ，由点Q的坐标得，直线的表达式中的值为：则 再求出直线的表达式为：的表达式为：，求出 即可求解. 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得： ， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为，代入得： ，解得 则直线的表达式为： 设点 则点 ， 则 ， 由题意知，为等腰直角三角形， ∴，则， 由直线的表达式知，其和轴的夹角为， 则 ， 同理可得：， ， 则 解得： (舍去)或， 当 时，则 ； （3）的面积是定值， 理由： 设点的坐标分别为： ， 由点的坐标得，直线的表达式中的值为： 则 由点的坐标得，直线的表达式为：， 同理可得，的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得： ， ， 则， 则的面积为定值． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形的面积的综合，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 13．（2025·福建·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后代入，求出b、c的值即可； （2）由对顶角的性质性质知，若存在和相似，则有和两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可； （3）设点，，，，则，，根据菱形的性质得出，可求出，过点作于，可得，利用等角的余弦值相等得出，求出，根据菱形的性质得出，解方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：令，则，则；令，则 ∴， 把，代入，得： 解得： ∴这条抛物线所对应的函数表达式为：； （2）解：存在点，使得和相似． 设点，则，， ∴，，，， ∵和相似， ∴或 ①如图1，当时， ∴ ∴点纵坐标为6 ∴，解得：或 ∴ ②如图2，当时， 过B作于H ∴ ∴ ∴ ∴，解得：（舍去）或 ∴ 综上所述，点的坐标为或． （3）如图3，∵四边形为菱形 ∴，， 设点，，， ∴， ∴，即 ∵ ∴，即或 ∵， ∴， ∴ 过点作于 ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（不合题意，舍去）或 故 答：点的横坐标为 【点睛】本题是常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多；主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，菱形的性质；解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类讨论． 14．（2025·福建泉州·一模）已知抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为第一象限内该抛物线上的一动点，且在直线的上方，过点作轴于点，交直线于点，以为直径作． ①如图1，当与轴相切时，求点的坐标； ②如图2，直线与轴交于点，交直线于点，求弦的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由待定系数法代值解方程即可得到答案； （2）①设点的坐标为，则点的坐标为，求出，由与轴相切时，，得到求解即可得到答案； ②在中，解直角三角形得到，在中，由勾股定理，连接，由相似三角形的判定定理得到，由相似比得到，由抛物线性质求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线经过和两点，则 ， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：①如图所示： 设点的坐标为，则点的坐标为． ∵点在直线的上方， ∴， ∵当与轴相切时，， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； ②如图2所示： 由直线可得：点的坐标为． 由（2）得：，， ∴，， 在中， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， 连接所示： 则． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，弦的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数与圆、两点之间距离公式、二次函数图象与性质、解一元二次方程、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法是解决问题关键． 15．（2025·福建三明·一模）已知抛物线与轴分别交于点，点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，连接，取中点，连接并延长交抛物线于点，在直线下方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，、是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线、分别交轴于、两点，若，求证：直线必经过一定点． 【答案】(1) (2)或 (3)直线必经过定点 【分析】（1）设抛物线的函数解析式为，可得，得出的值即可． （2）先根据点、两点坐标得出点的坐标，从而求出的解析式，与抛物线解析式联立求出，过P作轴交于S点，设，则，可得，再解方程即可； （3）过E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H，设，，先证得，得出，从而证得 ，令直线的解析式为，与抛物线解析式联立得出，得出直线的解析式即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于点，点． ∴设抛物线的函数解析式为， ∴，即， 解得：， 抛物线的函数解析式： （2）解：∵抛物线， 当，， ∴， 由（1）知，点； ∵ ， ∴， ∵， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立抛物线解析式得： 解得：或， ∴， 如图，过P作轴交于S点， 设，则， ∴ ∴， ∴或． ∴或； 即：在直线下方的抛物线上存在点P，使． （3）解：如图，过E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 同理可得， ∴， ∴ ， 令直线的解析式为， ∴， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线必经过定点. 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线解析式的求法和性质，相似三角形的性质和判定，二次函数与面积，一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识，选择合适的方法解题是关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 二次函数压轴题 一、单选题 1．（2025·福建泉州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于点和点，其中a为常数，则该二次函数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2025·福建·一模）已知点为抛物线（a为常数，）上的两点，当时，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2025·福建·一模）二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2025·福建·一模）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（2025·福建三明·一模）设二次函数，已知函数的图象经过点，，，设方程的正实数根为，下列说法正确的是 ．（填写序号） ①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则 6．（2025·福建·一模）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ． 7．（2025·福建·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过矩形的顶点和，轴．若将抛物线向左（右）平移不超过个单位长度，使其经过点，可与抛物线重合，记抛物线和在该矩形内部的部分为图象，点在图象上，则点的横坐标的取值范围是 ．（表达式中可含有，，） 三、解答题 8．（2025·福建·一模）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 9．（2025·福建·一模）抛物线（，，是常数，）的顶点坐标为，与轴交于． (1)当时，求此抛物线的解析式； (2)若此抛物线经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 10．（2025·福建·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点是． (1)有下列结论，其中正确的是____．(填写序号) ①抛物线的对称轴为直线； ②； ③； ④当时，y随x的增大而增大． (2)若抛物线的顶点在直线上． ①求抛物线的解析式； ②若直线分别与抛物线、抛物线：相交，交点自左向右依次为A，B，C，D，直接写出线段，之间的数量关系． 11．（2025·福建·一模）已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，． (1)用含k的代数式表示b； (2)求证：； (3)在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 12．（2025·福建·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长； (3)直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 13．（2025·福建·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 14．（2025·福建泉州·一模）已知抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为第一象限内该抛物线上的一动点，且在直线的上方，过点作轴于点，交直线于点，以为直径作． ①如图1，当与轴相切时，求点的坐标； ②如图2，直线与轴交于点，交直线于点，求弦的最大值． 15．（2025·福建三明·一模）已知抛物线与轴分别交于点，点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，连接，取中点，连接并延长交抛物线于点，在直线下方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，、是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线、分别交轴于、两点，若，求证：直线必经过一定点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$