专题10 尺规作图（4大题型）（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题10 尺规作图 题型概览 题型01 尺规作图——作角 题型02 作角平分线 题型03 作垂线 题型04 过圆外一点作圆的切线 ( 题型01 )尺规作图——作角 1．（2025·福建泉州·一模）如图，在中，．点在的延长线上，连结． (1)尺规作图：过点A求作的平行线，与、的交点分别为、； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，．试求的长度． 2．（2025·福建三明·一模）如图，已知． (1)求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的度数． 3．（2025·福建·一模）已知：如图，在中，是边上一点． 求作：在边上作一点，使得． 以下是小成和小亦两位同学的作法： 小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点． 小亦：如图2，先作的平分线，然后．．．．．． (1)请判断小成作法是否正确，并给出理由． (2)补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明． 4．（2025·福建·一模）如图，已知． (1)尺规作图：在边上求作一点P，使得；（不写作法，应保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的值． 5．（2025·福建·一模）已知中，． (1)过点作，与的平分线交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） (2)在（1）所作的图中连结，求四边形的周长． ( 题型02 )作角平分线 6．（2025·福建·一模）如图，在中，. (1)在线段上作点，使得点到的距离与点到的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求证：. 7．（2025·福建·一模）如图，为的直径，射线和相交于点F． (1)尺规作图：作的平分线交于点C，过点C作的切线交射线于点G．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接交于点E，，求证：． 8．（2025·福建·一模）如图，． (1)将线段绕点逆时针旋转得到线段，请作出；（要求：尺规作图，不作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，过点作于，求的值． 9．（2025·福建·一模）如图，在正方形中，对角线与相交于点． (1)在上求作点，使得点到，的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求点到的距离． ( 题型03 )作垂线 10．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，点在上． (1)求作矩形，使点在上，点在上方；（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接交于点．若，求的长．（参考数据：，） 11．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 12．（2025·福建三明·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若是的平分线，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 13．（2025·福建·一模）如图，在中，点从点出发沿方向运动，到达点时停止运动，连接，点关于直线的对称点为，连接，． (1)点位于何处时，？请用直尺和圆规在图中作出此时的（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求点运动过程中，点到直线距离的最大值． 14．（2025·福建·一模）如图所示，在的边上取点，以为圆心、长为半径作，过点A且交于点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)用无刻度直尺和圆规过点作，交的延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） (3)若，，求的长． ( 题型0 4 )过圆外一点作圆的切线 15．（2025·福建龙岩·一模）如图，是的弦．是延长线上一点． (1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 16．（2025·福建泉州·二模）如图，直线l，垂足为B，， (1)求作，使得与直线相切，切点为T；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求点T到直线l的距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 尺规作图 题型概览 题型01 尺规作图——作角 题型02 作角平分线 题型03 作垂线 题型04 过圆外一点作圆的切线 ( 题型01 )尺规作图——作角 1．（2025·福建泉州·一模）如图，在中，．点在的延长线上，连结． (1)尺规作图：过点A求作的平行线，与、的交点分别为、； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，．试求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，然后再以点A为圆心，根据角的尺规作图进行作图即可； （2）由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：为所求作的线，所作图形如下： （2）证明：， 四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 2．（2025·福建三明·一模）如图，已知． (1)求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求； （2）由，，证明， 可得，，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求； 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的作图是解本题的关键． 3．（2025·福建·一模）已知：如图，在中，是边上一点． 求作：在边上作一点，使得． 以下是小成和小亦两位同学的作法： 小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点． 小亦：如图2，先作的平分线，然后．．．．．． (1)请判断小成作法是否正确，并给出理由． (2)补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明． 【答案】(1)小成正确，理由见分析 (2)补全图形见详解，证明见解析 【分析】本题考查了作图－复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识解决问题． （1）利用平行四边形的判定和性质求解； （2）以为圆心，长为半径作弧交于点，作直线交于点，直线即为所求． 【详解】（1）解：小成作法正确． 理由：由作图可知，， 四边形是平行四边形， ． （2）解：如下图，直线即为所求． 理由：由作图可知平分，， ，， ， ． 4．（2025·福建·一模）如图，已知． (1)尺规作图：在边上求作一点P，使得；（不写作法，应保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为． 【分析】本题考查了尺规作图：作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，本题的关键是熟练掌握尺规作图：作一个角等于已知角． （1）作即可； （2）设，则，，由（1）中，得，再代入解一元二次方程即可． 【详解】（1）解；如图所示：   ； （2）解：设，则，， 由（1）中，得， ，且， 整理得， 解得：（负值已舍）， 故的值为． 5．（2025·福建·一模）已知中，． (1)过点作，与的平分线交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） (2)在（1）所作的图中连结，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是： （1）按照作一个角等于已知角的方法和作角平分线的方法画图即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，根据三线合一和线段的垂直平分线的性质可得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，平分， ∴， ∴四边形的周长为． ( 题型02 )作角平分线 6．（2025·福建·一模）如图，在中，. (1)在线段上作点，使得点到的距离与点到的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求证：. 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了作角平分线，相似三角形的性质与判定； （1）根据题意作的角平分线，交于点，则点即为所求； （2）根据已知可得，根据角平分线的定义可得，根据为公共角，证明，进而根据相似三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：， ， 由（1）知：平分， ， ， 又， ， ， 7．（2025·福建·一模）如图，为的直径，射线和相交于点F． (1)尺规作图：作的平分线交于点C，过点C作的切线交射线于点G．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接交于点E，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意尺规作的角平分线，连接，过作的垂线交射线于点G即可． （2）如图，过作于点，证明，得出，再证明，得出，即可得，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积得出．结合，即可得，即可证明． 【详解】（1）解：如图1，射线平分；切圆于点． （2）证明：如图2，过作于点， 为的直径， ， 平分， ， ， ， 又， ， ， ； 切圆于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ，， ． ， ， ， ． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点，证明三角形相似是解本题的关键． 8．（2025·福建·一模）如图，． (1)将线段绕点逆时针旋转得到线段，请作出；（要求：尺规作图，不作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，过点作于，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点A为角的顶点，在上方作，在射线上截取即可； （2）根据，，求出，根据勾股定理求出，得出答案即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作的线段． （2）解：如图： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 根据勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了基本作图，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是数形结合，熟练掌握基本作图方法． 9．（2025·福建·一模）如图，在正方形中，对角线与相交于点． (1)在上求作点，使得点到，的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，正方形的性质，勾股定理，正确作出图形是解题的关键． （1）如图，作的角平分线与的交点即为所求； （2）根据正方形的性质得出，，．过点作于点．由角平分线的性质得，得出．由勾股定理求出．设，则．由勾股定理求出，即可求出点到的距离． 【详解】（1）解：如图所示，点就是所求的点． （2）解：与是正方形的对角线， ，，． 过点作于点． 由（1）得， ． 由勾股定理，得， ． ． 设，则． 由勾股定理，得， ∴． 解得：（舍去）． 点到的距离为． ( 题型03 )作垂线 10．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，点在上． (1)求作矩形，使点在上，点在上方；（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接交于点．若，求的长．（参考数据：，） 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查基本尺规作图、矩形性质及解直角三角形求线段长，根据题意，准确作出矩形是解决问题的关键． （1）尺规作图过点作的垂线，再以为圆心、为半径画弧；以为圆心、为半径画弧；两条弧交于点，则四边形就是要求作的矩形； （2）根据题意，作出图形， 由矩形性质及解直角三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1所示： 四边形就是要求作的矩形； （2）解：如图2所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 11．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求； （）连接，由等腰三角形的性质得，即由勾股定理得，设的半径为，则，在中由勾股定理得，解方程即可求解； 本题考查了画三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：连接， ∵，， ∴，， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴外接圆的半径为． 12．（2025·福建三明·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若是的平分线，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）直接根据垂直平分线的作法作出的垂直平分线与交于点即可； （2）根据，得出，根据角平分线的性质得出，求出，根据直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求作的点． ∵垂直平分， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作一个线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握垂直平分线的性质． 13．（2025·福建·一模）如图，在中，点从点出发沿方向运动，到达点时停止运动，连接，点关于直线的对称点为，连接，． (1)点位于何处时，？请用直尺和圆规在图中作出此时的（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求点运动过程中，点到直线距离的最大值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形，熟练掌握以上内容是解题关键． （1）作的垂直平分线，可得，连接，，可得由对称可知可得，所以 ，,即可得出，即可得出 （2）作于点，从而由条件可知△为等腰直角三角形，利用三角函数可求，，，再推断点的运动轨迹为圆弧，从而可得当直线于点时，此时点到直线距离最大．根据，故，故． 【详解】（1）如图所示，即为所求 （2）作于点，如图1， ，则△为等腰直角三角形， ，， ，， 故， 由题意知，故点的运动轨迹为圆弧，如图2所示： 当直线于点时，此时点到直线距离最大． ，， ， 故， 故答案为：． 14．（2025·福建·一模）如图所示，在的边上取点，以为圆心、长为半径作，过点A且交于点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)用无刻度直尺和圆规过点作，交的延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） (3)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）连接．由为直径得出，再由等腰三角形的性质得，从而可证得，即可得出，由切线的判定定理可得出结论； （2）根据尺规基本作图—过一点作直线的垂线作法作出直线，交的延长线于点即可． （3）先由勾股定理得，则，即．从而求得，则．再由，得到．然后解即可求解． 【详解】（1）证明：连接．如图， ∵为直径， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：∵， ∴． ∴， 即． ∴， ∴，． ∵， ∴． 由（2）知：， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，尺规基本作图—过一点作直线的垂线，熟练掌握相关性质与判定定理、尺规基本作图、解直角三角形是解题的关键． ( 题型0 4 )过圆外一点作圆的切线 15．（2025·福建龙岩·一模）如图，是的弦．是延长线上一点． (1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求； （2）连接，设，根据切线的性质，得到，进而得到，根据，得到，根据圆周角定理得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求，如图： 由作图可得：， ∴， ∴为的切线； （2）解：连接，如图： 设， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 16．（2025·福建泉州·二模）如图，直线l，垂足为B，， (1)求作，使得与直线相切，切点为T；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求点T到直线l的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作的垂线，垂足为，再以点为圆心，为半径作圆，则即为所作； （2）连接，过点T作，垂足为H．在中，利用三角函数求得，再由勾股定理求得．再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，是所求作的圆： （2）解：如图，连接，过点T作，垂足为H． ∵是的切线， ∴， 即， ∴， 在中，，， 由勾股定理，得． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点T到直线的距离为． 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$