专题08 图形的变化（6大题型）（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题08 图形的变化 题型概览 题型01 轴对称、平移、旋转 题型02 相似三角形的判定与性质综合 题型03 相似三角形的实际应用 题型04 解直角三角形 题型05 解直角三角形的应用 题型06 投影与三视图 ( 题型01 )轴对称、平移、旋转 1．（2025·福建·一模）已知，在中，，点在边的延长线上，沿平移线段得到线段．已知点在边上，当时，是以为斜边的等腰直角三角形，则线段的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（2025·福建·一模）2025年春节联欢晚会主题为“巳巳如意，生生不息”．将两个“巳”字对称摆放，似中国传统的如意纹样，下列纹样图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建泉州·一模）综合与实践：如何设计广场花圃，优化绿化面积（计算结果保留）． 素材：学校欲将一个长为、宽为的矩形场地设计成广场花圃，其中． 素材：如图是小明的设计方案，中间个半径相等的圆形花圃，其余部分是空地． 素材：小颖准备设计成块直径均为的半圆花圃，其余部分是空地．          【问题解决】 (1)试用含，的代数式表示图中空地的面积； (2)请你设计出一种广场花圃的方案，并画出示意图， 要满足以下个条件： ①四个半圆的花圃都要使用，且形状不变（保持半圆的形状）； ②花圃可相切，不可以出现重叠； ③设计图要呈现对称美，中间应预留空地作为通道． 4．（2025·福建·一模）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 ( 题型02 )相似三角形的判定与性质综合 5．（2025·福建泉州·一模）已知，正方形中，点O是对角线的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点O重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点G，连接，补全图形，并求出在旋转过程中的最小值． 6．（2025·福建龙岩·一模）如图1，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，过点D在的右侧作，且，连接、． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)如图2，若A、E、O三点共线，求点F到直线的距离； (4)直接写出线段的最小值． 7．（2025·福建龙岩·一模）根据以下素材，探索完成任务． 折纸确定矩形一边上的三等分点 素材1 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将正方形沿对角线折叠，展开； 第三步：将正方形沿折叠，展开，折痕、交于点G； 第四步：过点G折叠正方形，使点D落在边上，折痕为； 则点M即为边的三等分点． 素材2 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将边沿折叠到的位置； 第三步：将点A沿折叠到点H的位置，折痕交正方形的边于点M； 则点M即为边的三等分点． 问题解决 任务1 证明素材1中方法的正确性． 任务2 证明素材2中方法的正确性． 任务3 已知矩形，通过折纸找出边上的一个三等分点，画出折痕，并简要说明折叠方法． 8．（2025·福建龙岩·一模）如图，中，，则的长为 ． 9．（2025·福建龙岩·一模）在中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，． (1)如图1，若点是的中点，，则___________； (2)如图2，当时，求证：； (3)若，在点的运动过程中，当长取到最小值时，求的长． 10．（2025·福建厦门·一模）如图，在边长为10的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为 ． 11．（2025·福建厦门·一模）在中，，，点是边上一点，点是边上一点，连接、，且． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，为延长线上一点，连接，且，求证：； (3)如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点，连接、，当最小时，请直接写出的值． 12．（2025·福建·一模）如图①，在正方形中，为上一点，连接，将线段绕正方形中心顺时针旋转得到线段，其中点对应点是，点对应点是点，与相交于点． (1)求证：点在上； (2)是上一点，连接，． ①如图②，若平分，求证：； ②如图③，若，以下结论：①；②．你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 13．（2025·福建泉州·一模）如图，的外接圆的直径交于点，过点作于点，延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)若平分． ①已知，，求的长； ②若点为的中点，且，，三点在同一直线上，试猜想与的数量关系，并证明你的结论． 14．（2025·福建泉州·一模）已知抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为第一象限内该抛物线上的一动点，且在直线的上方，过点作轴于点，交直线于点，以为直径作． ①如图1，当与轴相切时，求点的坐标； ②如图2，直线与轴交于点，交直线于点，求弦的最大值． 15．（2025·福建泉州·一模）如图，点A、E在上，与的夹角为，连结，过A点作的切线． (1)试求的度数（用含有n的代数式表示）； (2)在的延长线上取一点D，以线段为一边作矩形，点C在射线上． ①当时，在n的变化过程中，探究线段与、之间是否存在某固定的数量关系？若存在，试求出它们的数量关系；若不存在，请说明理由； ②连结，当时，试求出的值． ( 题型03 )相似三角形的实际应用 16．（2025·福建·一模）身高均为的小明与小强在学校球场的照明灯和照明灯之间，两盏灯的高度均为，如图所示．已知小明的身影的顶部正好在灯的底部处，小强的身影的顶部正好在灯的底部处，已知两灯之间的距离为，则两人的距离是 ． 17．（2025·福建·一模）小敏想用学过的知识来测量小区楼下花坛中央的雕塑的高度．如图所示，小敏在花坛边缘与雕塑在太阳光下的影子交汇处的空地上选择一点，并在点处安装了测倾器，测得雕塑的顶端的仰角为，小敏沿的方向向后移动，移动2米时恰好到达雕塑顶端在太阳光下的影子点处，小敏站在处，测得她在太阳光下的影长米．已知测倾器的高度米，小敏的身高米，点在同一水平直线上，且、均垂直于，求雕塑的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 18．（2025·福建·一模）如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为 m．    19．（2025·福建·一模）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m． ( 题型0 4 )解直角三角形 20．（2025·福建·一模）如图，为的切线，切点为，点在上，连接，，分别交于两点，且为的中点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求线段的长． 21．（2025·福建泉州·一模）在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 22．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，点在上． (1)求作矩形，使点在上，点在上方；（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接交于点．若，求的长．（参考数据：，） 23．（2025·福建三明·一模）如图，在菱形中，点分别在边上，． (1)求证：； (2)为中点，交于点，，垂足为． ①求证：； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并给予证明． ( 题型0 5 )解直角三角形的应用 24．（2025·福建泉州·一模）阅读下列材料，解答问题． 【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，原来经过小土坡铺设的水管（）由于风吹日晒，老化损坏，现在李叔准备从土坡下直接埋一条水管（D，B，C，E在同一直线上）． 【问题】为了计算新水管的长度，需要测量B，C之间的距离； 要了解水管承受的压力，需要测量土坡的高度． 【工具】一把皮尺和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小． 【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度，，再用测角仪测得． 解答问题： (1)求的长度；（结果用含a，b，的代数式表示） (2)若测得，，，求出小土坡的高度． 25．（2025·福建泉州·一模）如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知，，，，自行车的坐垫，平行地面，垂直地面，自行车轮子的半径等于，则坐垫到地面的距离为 ．（结果精确到，已知，，） 26．（2025·福建泉州·一模）如图，滨海办公区东、西两栋办公楼的高度相等，且水平距离为．下午3时太阳光线与地面所成的角是．这时东楼二层离地的阳台与西楼的楼顶、太阳恰好在一条直线上，则这两栋办公楼的高度为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )投影与三视图 27．（2025·福建龙岩·一模）如图1，鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，由多根木条通过榫卯咬合而成，也是一种广泛流传的益智玩具．如图2是鲁班锁中的一个构件，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·福建泉州·一模）如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 29．（2025·福建·一模）下面选项中由四个小正方体搭建的几何体，左视图与主视图完全一样的是（   ） A． B． C． D． 30．（2025·福建泉州·一模）由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其右视图为（   ） A． B． C． D． 31．（2025·福建·一模）如图是由一个长方体和一个三棱柱组成的几何体，则它的主视图是（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 图形的变化 题型概览 题型01 轴对称、平移、旋转 题型02 相似三角形的判定与性质综合 题型03 相似三角形的实际应用 题型04 解直角三角形 题型05 解直角三角形的应用 题型06 投影与三视图 ( 题型01 )轴对称、平移、旋转 1．（2025·福建·一模）已知，在中，，点在边的延长线上，沿平移线段得到线段．已知点在边上，当时，是以为斜边的等腰直角三角形，则线段的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，由平移的性质可得，，则可证明，再证明，得到，则． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·福建·一模）2025年春节联欢晚会主题为“巳巳如意，生生不息”．将两个“巳”字对称摆放，似中国传统的如意纹样，下列纹样图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 3．（2025·福建泉州·一模）综合与实践：如何设计广场花圃，优化绿化面积（计算结果保留）． 素材：学校欲将一个长为、宽为的矩形场地设计成广场花圃，其中． 素材：如图是小明的设计方案，中间个半径相等的圆形花圃，其余部分是空地． 素材：小颖准备设计成块直径均为的半圆花圃，其余部分是空地．          【问题解决】 (1)试用含，的代数式表示图中空地的面积； (2)请你设计出一种广场花圃的方案，并画出示意图， 要满足以下个条件： ①四个半圆的花圃都要使用，且形状不变（保持半圆的形状）； ②花圃可相切，不可以出现重叠； ③设计图要呈现对称美，中间应预留空地作为通道． 【答案】(1)图中空地的面积表示为； (2)示意图见解析． 【分析】本题考查的知识点是列代数式、设计轴对称图案，解题关键是熟练掌握列代数式． （1）根据空地面积等于长方形面积减去三个圆的面积进行求解即可； （2）根据题意设计出方案，符合题意即可． 【详解】（1）解：由题意得，空地面积为：， ； （2）解：（答案不唯一）如下图： 4．（2025·福建·一模）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．由对称可得：，，，，进而得到是等腰三角形，即可判断． 【详解】解：其主体部分关于所在的直线对称（四边形，）， ，，，， 是等腰三角形， 故A、B、C正确；D不正确； 故选：D． ( 题型02 )相似三角形的判定与性质综合 5．（2025·福建泉州·一模）已知，正方形中，点O是对角线的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点O重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点G，连接，补全图形，并求出在旋转过程中的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)①，证明见解析 ②补全图形见解析，旋转过程中的最小值为 【分析】（1）证明得出，又，等量代换即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据题意补全图形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，当M，D重合时，最小，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，取中点G，连接， ∵，则， 又， ∴当取得最小值时最小， ∴当E与点B重合时，F在上，此时N点与A点重合， ∴， 又， ∴， ∴旋转过程中的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2025·福建龙岩·一模）如图1，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，过点D在的右侧作，且，连接、． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)如图2，若A、E、O三点共线，求点F到直线的距离； (4)直接写出线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）连接，由题意可得，由勾股定理可得，，最后由全等三角形的性质即可得解； （3）过点作交的延长线于点，由（2）知，结合全等三角形的性质可得，证明，由相似三角形的性质求解即可； （4）连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则由题意可知点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，连接，证明得出，再由，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，是边的中点， ∴， 在中，则， 在中，，则， 由（1）中可知； （3）解：过点作交的延长线于点，如图所示： 由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点F到直线的距离为； （4）解：连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则由题意可知点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵，，点在以点为圆心、长为半径的圆上运动， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 7．（2025·福建龙岩·一模）根据以下素材，探索完成任务． 折纸确定矩形一边上的三等分点 素材1 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将正方形沿对角线折叠，展开； 第三步：将正方形沿折叠，展开，折痕、交于点G； 第四步：过点G折叠正方形，使点D落在边上，折痕为； 则点M即为边的三等分点． 素材2 第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将边沿折叠到的位置； 第三步：将点A沿折叠到点H的位置，折痕交正方形的边于点M； 则点M即为边的三等分点． 问题解决 任务1 证明素材1中方法的正确性． 任务2 证明素材2中方法的正确性． 任务3 已知矩形，通过折纸找出边上的一个三等分点，画出折痕，并简要说明折叠方法． 【答案】任务1：见解析；任务2：见解析；任务3：见解析 【分析】任务1：由折叠和正方形的性质可证，有，同理，有，结合矩形的性质可得，则，即可证明点M是的三等分点； 任务2：连接，设正方形边长为a，由折叠可得，，由折叠和正方形的性质可证，有，设，则，，在中，利用勾股定理求得，即可判定点M是三等分点 任务2：方法一：参照任务一的方法即可折出矩形的一个三等分点；方法二：首先两次对折矩形形成新的矩形，再结合任务一的方法即可找到三等分点；方法三：参照任务二的方法即可折出矩形的一个三等分点． 【详解】解：任务1： ∵四边形为正方形， ∴， 由折叠可得：， ， ∵， ∴， ，   同理， ， ， 则， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， 即点M是的三等分点； 任务2：连接，如图， 设正方形边长为a，由折叠可得， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ， 设，则，， 在中，， ，解得， ， 即点M是三等分点 任务3： 方法一： 第一步：对折矩形，展开，折痕为； 第二步：沿对角线折叠矩形，展开，再沿折叠矩形， 展开，折痕，交于点G， 第四步：过点G折叠矩形，使折痕； 则点H即为的一个三等分点．          方法二： 第一步：两次对折矩形，展开，折痕分别为、； 第二步：沿折叠矩形，展开；再沿折叠矩形，展开，交折痕于点N； 第三步：沿折叠矩形，折痕交于点M， 则点M即为所求作的三等分点． 方法三： 第一步：将边沿折叠到落到边的位置； 第二步：折叠矩形，使点A与点E重合，点B与点F重合，展开，折痕为； 第三步：将点E沿折叠到点N的位置，将点A沿折叠到点P的位置，折痕交边于点M； 则点M即为边的一个三等分点． . 【点睛】本题主要考查折叠的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质和找到对应的等分点． 8．（2025·福建龙岩·一模）如图，中，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，等边对等角结合三角形的外角的性质，得到，进而得到，再结合，得到，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， 则：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（2025·福建龙岩·一模）在中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，． (1)如图1，若点是的中点，，则___________； (2)如图2，当时，求证：； (3)若，在点的运动过程中，当长取到最小值时，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质得到，得到，求出，即可求解； （2）过点作于点，则，证明，得到，证明，得到，即可得出结论； （3）过点作于点，在上截取，连接，则和都是等腰直角三角形，得到，，证明，得到，根据点在上运动时，对应的点在过点且满足的直线上运动，当时，长最小，此时是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得：，， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：过点作于点，则，如图： 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ， ； （3）解：如图，过点作于点，在上截取，连接，则和都是等腰直角三角形， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上运动时，对应的点在过点且满足的直线上运动， 当时，长最小，此时是等腰直角三角形， 在中，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 10．（2025·福建厦门·一模）如图，在边长为10的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查轴对称在的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点．如图：过点M作于F，推出的最小值为的长，证明四边形为菱形，然后利用相似三角形的判定和性质求得的长即可． 【详解】解：作点P关于的对称点， 由折叠的性质知是的平分线， ∴点在上， 过点M作于F，交于点G， ∵， ∴的最小值为的长， 连接， 由折叠的性质知为线段的垂直平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 11．（2025·福建厦门·一模）在中，，，点是边上一点，点是边上一点，连接、，且． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，为延长线上一点，连接，且，求证：； (3)如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点，连接、，当最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）勾股定理得出，进而可得，证明，根据全等三角形的性质，得出，进而即可求解； （2）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点，则，，证明，即可得证； （3）先证明得出，在中，，得出，进而得出当最小时，则最小，当时，最小，此时如图所示，连接，证明是直角三角形，得出，进而可得是等腰直角三角形，则得证明得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，而是定值， ∴当最小时，则最小， ∴当时，最小，此时如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，正切的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2025·福建·一模）如图①，在正方形中，为上一点，连接，将线段绕正方形中心顺时针旋转得到线段，其中点对应点是，点对应点是点，与相交于点． (1)求证：点在上； (2)是上一点，连接，． ①如图②，若平分，求证：； ②如图③，若，以下结论：①；②．你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②正确，证明见解析 【分析】（1）先根据旋转的性质和正方形的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，由此即可得证； （2）①连接，交于点，先证出，，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得证； ②先证出是锐角三角形，再设，，过点作于点，过点作于点，解直角三角形分别求出的值，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 又∵为上一点，将线段绕正方形中心顺时针旋转得到线段，点对应点是， ∴点一定在右侧， ∴点在上． （2）证明：①如图，连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ②正确，证明如下： ∵， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， 由上已证：， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ， 如图，过点作于点，过点作于点， ∴，， ，， ∴，， ∴， ， ∵在中，，， ∴， 又∵，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和解直角三角形的方法是解题关键． 13．（2025·福建泉州·一模）如图，的外接圆的直径交于点，过点作于点，延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)若平分． ①已知，，求的长； ②若点为的中点，且，，三点在同一直线上，试猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，见解析 【分析】（1）由三角形内角和定理得到，进而即可得解； （2）①过点B作于点M，则，先证，可得，所以，利用勾股定理求出，再利用等面积求出，，，，最后再证，利用相似比求解即可； ②先证都是等腰直角三角形，过点F作于点M，可证，，所以，设，则，，进而即可得解． 【详解】（1）证明：如图1． ∵是的直径，， ∴， ∵对的圆周角是和， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图2，过点B作于点M，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，，由勾股定理，得：． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． ②与的数量关系是，理由如下： 如图． ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 过点F作于点M， ∵平分， ∴， 在中，， 由①，得：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设，则，， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14．（2025·福建泉州·一模）已知抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为第一象限内该抛物线上的一动点，且在直线的上方，过点作轴于点，交直线于点，以为直径作． ①如图1，当与轴相切时，求点的坐标； ②如图2，直线与轴交于点，交直线于点，求弦的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由待定系数法代值解方程即可得到答案； （2）①设点的坐标为，则点的坐标为，求出，由与轴相切时，，得到求解即可得到答案； ②在中，解直角三角形得到，在中，由勾股定理，连接，由相似三角形的判定定理得到，由相似比得到，由抛物线性质求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线经过和两点，则 ， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：①如图所示： 设点的坐标为，则点的坐标为． ∵点在直线的上方， ∴， ∵当与轴相切时，， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； ②如图2所示： 由直线可得：点的坐标为． 由（2）得：，， ∴，， 在中， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， 连接所示： 则． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，弦的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数与圆、两点之间距离公式、二次函数图象与性质、解一元二次方程、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法是解决问题关键． 15．（2025·福建泉州·一模）如图，点A、E在上，与的夹角为，连结，过A点作的切线． (1)试求的度数（用含有n的代数式表示）； (2)在的延长线上取一点D，以线段为一边作矩形，点C在射线上． ①当时，在n的变化过程中，探究线段与、之间是否存在某固定的数量关系？若存在，试求出它们的数量关系；若不存在，请说明理由； ②连结，当时，试求出的值． 【答案】(1) (2)①存在，；② 【分析】（1）由题意易得，然后根据切线的性质可进行求解； （2）①连结交于点，由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； ②连结，由题意先得到点在线段上，过作，垂足为，则，，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：①存在，； 连结交于点， 在矩形中，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； ②连结， ∵， ∴不妨设，则，，， ， 又， ， 点在线段上； 过作，垂足为，则，， 方法一： 又矩形中，， ， ， ，， ， ， ， 在矩形中，，， ； 方法二： ，， ， ， 设，则， ， 在中，， 在中，， ， 解得， ，， 在矩形中，， ． 【点睛】本题主要考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、矩形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、矩形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． ( 题型03 )相似三角形的实际应用 16．（2025·福建·一模）身高均为的小明与小强在学校球场的照明灯和照明灯之间，两盏灯的高度均为，如图所示．已知小明的身影的顶部正好在灯的底部处，小强的身影的顶部正好在灯的底部处，已知两灯之间的距离为，则两人的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关在知识．由题意可得：，，推出，，进而得到，，可求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，，，， ，， ，， 即，， ， ， 即两人的距离是， 故答案为：． 17．（2025·福建·一模）小敏想用学过的知识来测量小区楼下花坛中央的雕塑的高度．如图所示，小敏在花坛边缘与雕塑在太阳光下的影子交汇处的空地上选择一点，并在点处安装了测倾器，测得雕塑的顶端的仰角为，小敏沿的方向向后移动，移动2米时恰好到达雕塑顶端在太阳光下的影子点处，小敏站在处，测得她在太阳光下的影长米．已知测倾器的高度米，小敏的身高米，点在同一水平直线上，且、均垂直于，求雕塑的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】雕塑的高度为11米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，矩形的判定与性质；过D作于H，则四边形是矩形，有米；在中，由正切函数关系得；再由，得，即可求解． 【详解】解：如图，过D作于H， ∵， ∵四边形是矩形， ∴米； 在中，， ∴； 而， 即； 由题意知，， ∴， 即， 解得：， 答：雕塑的高度为11米． 18．（2025·福建·一模）如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为 m．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图，    由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得： 球拍击球的高度为， 故答案为：． 19．（2025·福建·一模）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m． 【答案】5.5 【详解】在△DEF和△DBC中，， ∴△DEF∽△DBC， ∴， 40cm=0.4m，20cm=0.2m， 即， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m 故答案为：5.5m 【点睛】考点：相似三角形 ( 题型0 4 )解直角三角形 20．（2025·福建·一模）如图，为的切线，切点为，点在上，连接，，分别交于两点，且为的中点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质得到，由直角三角形的性质得到，则，据此可证明，再证明得到，再由圆周角定理得到，则，即，据此可证明结论； （2）过点O作于G，过点A作于H，连接，设，则，解得到，，则，解得到，则，解得到，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵为的切线，切点为， ∴，即， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图所示，过点O作于G，过点A作于H，连接，设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵为的中点， ∴． 21．（2025·福建泉州·一模）在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证法一：连接．根据折叠的性质和垂直平分线的性质，证明是等边三角形，即可得到结论；证法二：利用锐角三角函数，得到，，即可得到结论； （2）连接．设，证明，从而得出，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：证法一：如图，连接． 由图形折叠的特征可得：，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴． 证法二： 由图形折叠的特征可得：，，， 在中，， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，连接． 设，则． 由图形折叠的特征可得：，，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 22．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，点在上． (1)求作矩形，使点在上，点在上方；（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接交于点．若，求的长．（参考数据：，） 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查基本尺规作图、矩形性质及解直角三角形求线段长，根据题意，准确作出矩形是解决问题的关键． （1）尺规作图过点作的垂线，再以为圆心、为半径画弧；以为圆心、为半径画弧；两条弧交于点，则四边形就是要求作的矩形； （2）根据题意，作出图形， 由矩形性质及解直角三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1所示： 四边形就是要求作的矩形； （2）解：如图2所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 23．（2025·福建三明·一模）如图，在菱形中，点分别在边上，． (1)求证：； (2)为中点，交于点，，垂足为． ①求证：； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； ②延长，交于点，先证出，再证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后在中，解直角三角形可得，最后根据和等量代换即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：①如图，连接， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ②，证明如下： 如图，延长，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 由上已证：， ∵， ∴， ∴，即， 由上已证：， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，综合性强，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键． ( 题型0 5 )解直角三角形的应用 24．（2025·福建泉州·一模）阅读下列材料，解答问题． 【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，原来经过小土坡铺设的水管（）由于风吹日晒，老化损坏，现在李叔准备从土坡下直接埋一条水管（D，B，C，E在同一直线上）． 【问题】为了计算新水管的长度，需要测量B，C之间的距离； 要了解水管承受的压力，需要测量土坡的高度． 【工具】一把皮尺和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小． 【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度，，再用测角仪测得． 解答问题： (1)求的长度；（结果用含a，b，的代数式表示） (2)若测得，，，求出小土坡的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作交延长线于点，设，在中利用三角函数的定义求出和的长，得出的长，在中利用勾股定理表示出的长，再根据平角的定义得到，即可求解； （2）过点作于点，结合（1）中的结论，代入数据求出和的长，再利用等面积法得到，求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作交延长线于点，则， 设， 在中，，， ，， ， 在中，， ， ， ，即， ， 的长度为． （2）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， ， 答：小土坡的高度为． 25．（2025·福建泉州·一模）如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知，，，，自行车的坐垫，平行地面，垂直地面，自行车轮子的半径等于，则坐垫到地面的距离为 ．（结果精确到，已知，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点A作交的延长线于点J，过点D作于点H，过点C作于点N，过点K作于P．解直角三角形求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点J，过点D作于点H，过点C作于点N，过点K作于P． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的竖直距离为， ∴， ∴坐垫到地面的距离． 故答案为：． 26．（2025·福建泉州·一模）如图，滨海办公区东、西两栋办公楼的高度相等，且水平距离为．下午3时太阳光线与地面所成的角是．这时东楼二层离地的阳台与西楼的楼顶、太阳恰好在一条直线上，则这两栋办公楼的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意得，，再根据正切的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得，，， 在中，， ， 这两栋办公楼的高度为． 故选：B． ( 题型0 6 )投影与三视图 27．（2025·福建龙岩·一模）如图1，鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，由多根木条通过榫卯咬合而成，也是一种广泛流传的益智玩具．如图2是鲁班锁中的一个构件，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．利用俯视图的定义：俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，找到从上面看所得到的图形即可，注意看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线． 【详解】解：图2的俯视图如下： 故选：B． 28．（2025·福建泉州·一模）如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图的意义，判断解答即可． 【详解】解：“斗”的俯视图的是： 故选：C． 29．（2025·福建·一模）下面选项中由四个小正方体搭建的几何体，左视图与主视图完全一样的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，左视图是从左边看到的图形，主视图是从正面看到的图形，据此分别画出对应选项中的主视图和左视图即可得到答案． 【详解】解：A、主视图和左视图分别如下，二者不一致，不符合题意； B、主视图和左视图分别如下，二者不一致，不符合题意； C、主视图和左视图分别如下，二者不一致，不符合题意； D、主视图和左视图分别如下，二者一致，符合题意； 故选：D． 30．（2025·福建泉州·一模）由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其右视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了视图的定义，根据右视图为从右面看到的平面图形，进行解答即可． 【详解】解：从右面看到有两列，左侧一列为1个正方形，右边一列为2个正方形，如图所示： 故选：B． 31．（2025·福建·一模）如图是由一个长方体和一个三棱柱组成的几何体，则它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形的三视图，三视图是指主视图，俯视图，左视图，解答此题的关键是弄清三视图的定义．主视图是指从正面看所得的图形，根据主视图的定义解答即可． 【详解】 解：由图知该几何图形的主视图为， 故选：B． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$