专题07 圆（4大题型）（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题07 圆 题型概览 题型01 垂径定理 题型02 圆周角 题型03 切线的判定与性质 题型04 圆内接四边形 ( 题型01 )垂径定理 1．（2025·福建泉州·一模）如图，已知A、B、C、D四点都在上，，在下列四个说法中，①；②；③；④，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·福建福州·一模）如图，为的直径，弦，连接，，为上一点，，连接并延长交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求． 3．（2025·福建·一模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 4．（2025·福建·一模）综合与实践 活动主题 扇面制作 活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 活动小组 甲组 乙组 制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀 制作材料 【任务一】确定弦的长度． 如图2，请你求出 所对弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． 如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用表格中所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据． 【任务三】确定卡纸大小． 如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）． ( 题型02 )圆周角 5．（2025·福建龙岩·一模）如图，四边形内接于，点是的中点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·福建泉州·一模）如图，在中，，，则的长为 ． 7．（2025·福建泉州·一模）如图，A，B，C是上的三点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·福建·一模）已知半圆以为直径，现将一块含的直角三角板如图放置，角的顶点在半圆上，斜边经过点，一条直角边交半圆于点．则等于（   ） A． B． C． D． ( 题型03 )切线的判定与性质 9．（2025·福建龙岩·一模）如图，是的弦．是延长线上一点． (1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 10．（2025·福建厦门·一模）如图，在的内接四边形中，，连接，．过点作的平行线，分别与，的延长线交于点，． (1)求证：是的切线； (2)如图，若是的直径，，，求的长． 11．（2025·福建泉州·一模）如图，已知为的直径，，，直线相交于点B． (1)求证：直线是的切线； (2)当时，求的半径． 12．（2025·福建三明·一模）如图，在中，，外接于． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径，求的面积． 13．（2025·福建泉州·一模）如图，四边形内接于，对角线是的直径，是的切线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 14．（2025·福建·一模）如图，为的切线，切点为，点在上，连接，，分别交于两点，且为的中点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求线段的长． 15．（2025·福建泉州·一模）一根钢管放在“V”形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则图中阴影部分的面积是 ． 16．（2025·福建·一模）如图，点在菱形的对角线上，与边相切，切点为点，点在边的延长线上，且，将射线绕着点逆时针旋转一个角度后与边，直线分别交于，两点． (1)当时，等于_____； (2)若与相切于点，连接，如图2． ①求证：平分； ②求证：，，三点共线． ( 题型0 4 )圆内接四边形 17．（2025·福建·一模）如图，在中，过三点的交于点，连结． (1)求证：是等腰三角形． (2)如图2，已知为的切线，连结并延长交于点． ①求证：； ②若，求的值． 18．（2025·福建泉州·一模）如图，在菱形中，，的外接圆交边于点E，则的大小为 ．（用含的代数式表示） 19．（2025·福建·一模）【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题：（完成该题，并解答习题改编） 12．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编． (1)如下是同学小安改编的题目： 如图1，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答同学小安改编的题目． (2)同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编： 如图2，连接交于点，若，，求的长．请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目． 20．（2025·福建·一模）如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 °． 21．（2025·福建·一模）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，．求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆 题型概览 题型01 垂径定理 题型02 圆周角 题型03 切线的判定与性质 题型04 圆内接四边形 ( 题型01 )垂径定理 1．（2025·福建泉州·一模）如图，已知A、B、C、D四点都在上，，在下列四个说法中，①；②；③；④，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故①正确； 连接， ，故②错误； ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④不正确； 故选：B． 2．（2025·福建福州·一模）如图，为的直径，弦，连接，，为上一点，，连接并延长交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，交于点，由等边对等角得到，根据对顶角相等，同弧所对圆周角相等得到，由垂径定理得到，则，由三角形的外角的性质得到，，由此即可求解； （2）根据证明可得，，则，证明所以有，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，弦， ∴，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ． 【点睛】本题主要考查垂径定理，等腰三角的性质，三角形外角的性质，同弧或等弧所对圆周角相等，平行线截线段成比例等知识的综合运用，掌握垂径定理，同弧或等弧所对圆周角相等，平行线截线段成比例等知识，数形结合分析思想是解题的关键． 3．（2025·福建·一模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆弧形水道外侧的半径为483米 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图： （1）如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）如图所示，连接，由垂径定理可得，米，则四点共线，设米，则米，由勾股定理得，解得，则米． 【详解】（1）解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）解：如图所示，连接， ∵C为的中点，点D为圆弧形道路内侧中点， ∴，米， ∴四点共线， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米． 答：圆弧形水道外侧的半径为483米． 4．（2025·福建·一模）综合与实践 活动主题 扇面制作 活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 活动小组 甲组 乙组 制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀 制作材料 【任务一】确定弦的长度． 如图2，请你求出 所对弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． 如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用表格中所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据． 【任务三】确定卡纸大小． 如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）． 【答案】任务一：任务二：见解析 任务三：最小规格矩形边长为、或． 【分析】任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解， 任务二：以直径为底边，构造底角为30度的等腰三角形，则得到的三角形和任务一三角形全等，再按要求取点，再以为圆心，分别以、为半径画弧，得到的扇面图形与图2相同； 任务三：分两种情况：①在上取一点使，以为圆心，为半径的圆与相切，此时点与点重合，在圆上取一点A，使，即可得到扇面．过点作，则矩形为最小规格矩形；②当矩形的边与相切于点M，且A、B两点分别在上，C、D在上；连接交于点N，连接；利用等腰三角形的性质，含度直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】任务一：解：过点O作，交于点，   ，， ， ， ，， ， 任务二：如图，是以直径为底边，底角为度，由任务一可知，，取，以O为圆心，分别以、为半径画弧，即可得到扇面．    任务三：分两种情况： ①如图所示：当与矩形两边相切时，过点作，则矩形为最小规格矩形， ∵，，， ∴，，， ∵当与矩形两边相切， ∴最小规格矩形的边长为、； ②如图，当矩形的边与相切于点M，且A、B两点分别在上，C、D在上；连接交于点N，连接； 由题意知，，， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴； 同理：， ∴， 此时最小规格边长分别为； 综上，最小规格矩形边长为、或． 【点睛】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． ( 题型02 )圆周角 5．（2025·福建龙岩·一模）如图，四边形内接于，点是的中点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形，平行线的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形，对角互补得，因为点是的中点，所以，结合圆周角定理，得，最后由两直线平行，内错角相等，即可作答． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：B 6．（2025·福建泉州·一模）如图，在中，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，运用弧长公式求解是解题的关键． 先根据圆周角定理得到，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 7．（2025·福建泉州·一模）如图，A，B，C是上的三点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．连接，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，再利用圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ． 故选：C． 8．（2025·福建·一模）已知半圆以为直径，现将一块含的直角三角板如图放置，角的顶点在半圆上，斜边经过点，一条直角边交半圆于点．则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：D． ( 题型03 )切线的判定与性质 9．（2025·福建龙岩·一模）如图，是的弦．是延长线上一点． (1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求； （2）连接，设，根据切线的性质，得到，进而得到，根据，得到，根据圆周角定理得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求，如图： 由作图可得：， ∴， ∴为的切线； （2）解：连接，如图： 设， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 10．（2025·福建厦门·一模）如图，在的内接四边形中，，连接，．过点作的平行线，分别与，的延长线交于点，． (1)求证：是的切线； (2)如图，若是的直径，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得，然后由垂径定理推论得，又，则，从而求证； （）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得，，则，即，故，从而有，然后由圆周角定理得，由直角三角形性质得性质，通过勾股定理求得，最后由平行线的性质和等角对等边即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，平行线的性质，等角对等边，直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 11．（2025·福建泉州·一模）如图，已知为的直径，，，直线相交于点B． (1)求证：直线是的切线； (2)当时，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)的半径长为 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，，则，可证明，得，即可证明直线是的切线； （2）由全等三角形的性质得，而，所以，则，由，求得，则的半径长为． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．（2025·福建三明·一模）如图，在中，，外接于． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的判定是解题关键． （1）连接，先证出，再设，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，延长交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，，再设，在和中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，最后利用平行四边形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接，延长交于点， 由（1）已证：， 设，则， 由（1）已得：， ∴， ∴， 又∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， 设， ∵的半径， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为． 13．（2025·福建泉州·一模）如图，四边形内接于，对角线是的直径，是的切线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 14．（2025·福建·一模）如图，为的切线，切点为，点在上，连接，，分别交于两点，且为的中点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质得到，由直角三角形的性质得到，则，据此可证明，再证明得到，再由圆周角定理得到，则，即，据此可证明结论； （2）过点O作于G，过点A作于H，连接，设，则，解得到，，则，解得到，则，解得到，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵为的切线，切点为， ∴，即， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图所示，过点O作于G，过点A作于H，连接，设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵为的中点， ∴． 15．（2025·福建泉州·一模）一根钢管放在“V”形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求不规则图形的面积、解直角三角形、切线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，由题意得都是的切线，得到，利用四边形的内角和定理得出，再证出，得到，利用正切的定义求出的长，最后利用阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，都是的切线， ，， ， ， ， ，，， ， ，， 在中，， ， ， 阴影部分的面积 ． 故答案为：． 16．（2025·福建·一模）如图，点在菱形的对角线上，与边相切，切点为点，点在边的延长线上，且，将射线绕着点逆时针旋转一个角度后与边，直线分别交于，两点． (1)当时，等于_____； (2)若与相切于点，连接，如图2． ①求证：平分； ②求证：，，三点共线． 【答案】(1) (2)① 见解析；② 见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得：，，平分，根据得到，推出，由可得，推出，结合平分，可得，即可求解； （2）① 点作于点，连接、，由 与相切于点和 与边相切，切点为点，可推出，，，根据平分，可得，推出，即可证明；②连接并延长交直线于点，由① 得 ：为的切线，结合，均为的切线，可得，，，设，，，，，，则，得到，即，根据菱形的性质和题意可得：为的中位线，且，得到，，推出，根据等腰三角形的额判定与性质可推出，得到与点重合，即可证明． 【详解】（1）解：当时，点与点重合，如图， 四边形是菱形， ，，平分， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ，即， ， 故答案为：； （2）① 如图，过点作于点，连接、， 与边相切，切点为点， ， 又平分， ， 与相切于点， ，， ， 又，， 平分； ② 由① 得 ：为的切线， ，均为的切线， ，，， 设，，，，，， 则， 解得：， ， 连接并延长交直线的延长线于点， ，， ， 为的中点， 为的中位线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点与点重合， ，，三点共线． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识正确添加辅助线． ( 题型0 4 )圆内接四边形 17．（2025·福建·一模）如图，在中，过三点的交于点，连结． (1)求证：是等腰三角形． (2)如图2，已知为的切线，连结并延长交于点． ①求证：； ②若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据同角的补角相等得，可得，最后根据等角对等边得出答案； （2）①延长 交 于点 ，连结 ， 根据切线的性质和平行线的性质，及垂径定理得是的垂直平分线，得，结合（1）证明，推出，再根据等腰三角形的性质得，即可得出结论； ②延长交的延长线于点M，设，则,进而得出再说明， 可求出，然后证明，可得，，接下来说明，再设，则，根据相似三角形的对应边成比例求出 ，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）①证明：如图，延长交于点，连结， 切于点， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图，延长交的延长线于点M，设，则． 由， ∴， ∴． 由，得， ， ， 解得． 由 得. ∵， ∴， ∴ ． ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴， ∴． 设，则，得 ， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，求余弦，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 18．（2025·福建泉州·一模）如图，在菱形中，，的外接圆交边于点E，则的大小为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆内接四边形的性质、菱形的性质、三角形的外角性质是解题的关键． 根据菱形的性质求出，根据圆内接四边形的性质求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解∶ 四边形为菱形， ，． ． ． 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是的外角， ． 故答案为∶ 19．（2025·福建·一模）【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题：（完成该题，并解答习题改编） 12．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编． (1)如下是同学小安改编的题目： 如图1，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答同学小安改编的题目． (2)同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编： 如图2，连接交于点，若，，求的长．请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，先判定，根据推出即可求解； （2）结合角平分线的性质得，运用圆内接四边形性质，得，证明，分别运用勾股定理算出，，，再结合直角三角形的正弦值列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ． 平分， ． ， ． ． ． ． ． 是的半径， 是的切线． （2）解：∵， ∴， 如图，过点作于点，连接 ∵平分，于点，于点， ∴， ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 则， ∵平分， ∴， 则， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线判定定理，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形等知识，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 20．（2025·福建·一模）如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 °． 【答案】50 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：50． 21．（2025·福建·一模）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，．求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证； （2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到， ∴， ∵为的直径，是切线， ∴， ∴； （2）解：∵是切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （3）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$