第6章 反比例函数（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第6章 反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数的几何最值 【解惑】如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、两点，为轴上一动点，连接、，当取得最小值时，的面积为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】联立，解得，，则，，如图，作关于轴的对称点，则，连接，连接与轴交点为，连接，由，可知当三点共线时，取得最小值，待定系数法求直线的解析式为，当，，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：联立，解得，， ∴，， 如图，作关于轴的对称点，则，连接，连接与轴交点为，连接，    由，可知当三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴， 当，， ∴， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，轴对称的性质，一次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．如图，点在反比例函数的图像上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点（C，D不同时与原点重合），则四边形的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先求出，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到，，PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短，此时四边形的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得． 【详解】∵点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴ 如图，作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q， ∴，， 连接分别交x轴、y轴于C点、D点， ∴四边形的周长 ∴当点P，D，C，Q四点共线时，四边形的周长最小，即的长度 ∴． ∴四边形的周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，轴对称性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点， 当时，，当时， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴点， ∵直线是第一象限的角平分线，且， ∴直线垂直直线， ∵对于，当时，， ∴在直线上， ∴当时，线段最小，此时点P在直线上， ∵点P在反比例函数的图象上， 联立与得： ，解得：或， ∴点， ∴，， ∴的最小值为． 故答案为： 类型二、反比例函数的增减性最值 【解惑】若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 【融会贯通】 1．已知反比例函数，当时，函数的最小值为，则当时，函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵当时，函数的最小值为， ∴当时，的值为， ∴， ∴当时，最小值为，最大值为； 故选：B． 2．若反比例函数，，当时，函数的最小值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质求出m，n的值是解题的关键，根据反比例函数的性质，可得函数的最值，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】解：∵反比例函数，，且 ∴把分别代入， 得 ∴的最小值是， ∴把分别代入， 得 ∴的最大值是， ∴， ∴， 故答案为：1． 3．已知反比例函数（为常数，），当时，的最大值与最小值的差为2，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．分两种情况讨论，利用反比例函数的增减性分别列方程求解即可． 【详解】解：①若，则反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 当时，的最大值与最小值的差为2， ， 解得：； ②若，则反比例函数在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， 当时，的最大值与最小值的差为2， ， 解得：； 综上可知，， 故答案为：． 类型三、反比例函数的新定义运算 【解惑】定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．该函数图象位于第一、三象限 B．当时， C．该函数图象经过点 D．函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算和反比例函数图象的性质，根据新定义运算得到反比例函数解析式，根据反比例函数图形性质一一判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴由可知，反例函数的图象位于第二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 当时，对应点都在左半支，随的增大而增大，所以，故选项B错误，不符合题意； 当时，，所以函数图象不经过点，故选项C错误，不符合题意； 反比例函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项D正确，符合题意； 故选：D 【融会贯通】 1．定义运算“※”为：，如：，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象，根据新定义可得的函数解析式，分x大于0与x小于0两种情况化简函数解析式，作出函数图象即可． 【详解】解：当时，函数解析式为， 当时，函数解析式为， 图象大致为 故选：C． 2．对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】由直线：可知是等腰直角三角形，则，设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，作轴交于，则，，则是等腰直角三角形，先找图形到直线的“距点”只有1个时，即只有1个解，亦即：或只有1个解，分两种情况来讨论可得当，时，为图形到直线的“距点”作出当，时的草图，通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，再根据这两个临界点求解即可． 【详解】解：令直线：与轴，轴分别交于点，点， 对于直线：，当时，，当时，， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形，则， 设点为图形到直线的“距点”，作交于，则， 作轴交于，则，， 则是等腰直角三角形， ∴，则， 即：， 先找图形到直线的“距点”只有1个时， 即：只有1个解， 亦即：或只有1个解， ∵，则， ∴， 若，即， 则，解得：， 此时，，解得，即为图形到直线的“距点” 若，即， 则，解得：， 此时，，解得，即为图形到直线的“距点” 作出当，时的草图，如下： 通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为， ∴当图形到直线的“距点”只有1个，当图形到直线的“距点”只有3个， 则当图形到直线的“距点”只有2个时，的取值范围， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，一元二次方程根的问题，利用数形结合的数学思想作出草图，找到满足条件的临界点是解决问题的关键． 3．定义：一次函数的特征数是．若一次函数的图象向下平移3个单位长度后与反比例函数的图象的其中一个交点A的坐标为，则一次函数的特征数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，一次函数的平移，新定义问题，熟练掌握一次函数的平移规律，灵活运用交点的意义是解题的关键．根据平移规律，确定解析式为，由反比例函数经过点，确定交点坐标，代入一次函数解析式，确定m值，后根据定义计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象向下平移3个单位长度， ∴一次函数的解析式为， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴一次函数的特征数是， 故答案为：． 类型四、反比例函数的平移 【解惑】在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将点向下平移2个单位长度得到点，再把点代入反比例函数，利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：点向下平移2个单位长度得到点，则， ∵点恰好在反比例函数的图像上， ∴， 故选A． 【融会贯通】 1．函数的图像可以由上的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到，根据所获信息判断，下列直线中与函数的图像没有公共点的是（   ） A．经过点且平行于轴的直线 B．经过点且平行于轴的直线 C．经过点且平行于轴的直线 D．经过点且平行于轴的直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求各个选项中的直线与反比例函数的交点即可得出答案． 【详解】解：．经过点且平行于轴的直线为，当时，解得：，存在实数解，有交点，故该选项不符合题意； ．经过点且平行于轴的直线为，当时，无解，没有交点，故该选项符合题意； ．经过点且平行于轴的直线为 ，当，存在实数解，有交点，故该选项不符合题意； ．经过点且平行于轴的直线为，当，存在实数解，有交点，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，以线段为边，在线段的左侧作正方形，点C在反比例函数的图象上，当正方形沿x轴正方向向右平移 个单位长度时，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上． 【答案】或5 【分析】根据题意直线关系式可先求出的坐标，再结合正方形的性质，全等三角形的性质求解点的坐标，进而求出反比例函数的k值，然后分类讨论正方形的哪个点恰好落在该反比例函数图象上进而解答. 【详解】解：∵， 当时，， ∴，即； 当时，即， ∴，∴，即； 过点C作轴，垂足为E，过点D作轴，垂足为F， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理可证，得，， ∴，， 将代入得：， ∴； ①当时，即， ∴， 即当正方形沿x轴正方向向右平移个单位，点A落在反比例函数的图象上； ②当时，即， ∴，D沿着x轴正方向向右平移个单位落在反比例的图象上，即当正方形沿x轴正方向向右平移5个单位，点D落在反比例函数的图象上； 故答案为：或5 【点睛】本题主要考查学生数形结合的和分类讨论问题的能力，反比例函数的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，掌握正方形的性质和平移的原理是解决此题的关键. 3．如图，已知，矩形中，，反比例函数的图象经过的中点，交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)若将直线向下平移个单位与反比例函数的图象上，之间的部分有交点，试求出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例数与一次函数交点问题，矩形的性质，坐标与图形，数形结合是解题的关键； （1）根据题得出，待定系数法求得解析式，根据的横坐标为，代入解析式，求得点的坐标； （2）先求直线的解析式，设向下平移个单位得到，联立反比例数解析式，根据图象有交点，得出的范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形中，，是的中点， ∴，， ∴的横坐标为， 将 代入， ∴， 解得： ∴反比例数的解析式为， 当时，， ∴， （2）解：将，代入直线 ∴ 解得： ∴的解析式为 向下平移个单位得到， 联立，即 当 解得：（舍去）或 ∴的取值范围为 类型五、反比例函数的翻折 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴正半轴上，，C为中点，将沿翻折，使点A落在反比例函数图象上的处，且，则k的值是（    ） A． B． C．-3 D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质得，，证明是等边三角形得，求出，，可得，进而可求出反比例函数解析式． 【详解】如图， 由折叠的性质得，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，C为中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及待定系数法求反比例函数解析式，求出是解答本题的关键． 【融会贯通】 1．如图，中，，，在x轴上，，点A在函数的图象上，将沿翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据折叠的性质可得，，根据含角的直角三角形的性质可得和的长，设，则点，，根据点和点在同一个反比例函数的图象上，列方程，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： ，， 根据折叠，可得，， ， ， ， 根据勾股定理，可得， ∵中，，，， ∴， 设， 则点，， 点和点在同一个反比例函数的图象上， ， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，双曲线经过四边形的顶点A、C，，平分与x轴负半轴的夹角，轴，将沿翻折后得到，点落在上，则四边形的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数比例系数，翻折变换等知识，先作辅助线，根据翻折的性质得到对应边相等，根据反比例函数的性质得到三角形面积以及点的坐标，即可求得结果，解题的关键是理解反比例函数的比例系数的几何意义． 【详解】解：延长交轴于一点E，延长交x轴于一点F，如图所示： ， ∵沿翻折后得到， ∴， ∴， ∵平分与x轴负半轴的夹角， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵双曲线经过四边形的顶点A、C， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点P作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】操作1：如图1：过点P作x轴的平行线l，将直线l上方的反比例函数图象沿直线l翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X图象”． 操作2：如图2，过点P作y轴的平行线m，将直线m左侧的反比例函数图象沿直线m翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y图象”． 操作3：如图3，过点P作直线n：，将第一象限内反比例函数的图象在直线n下方的部分沿直线n翻折得到新图象，与直线n下方的图象组成的封闭图象是“Z图象”． 【解决问题】 (1)如图1，求“X图象”与x轴的交点C的坐标 (2)过x轴上一点作Y轴的平行线，与“Y图象”交于点M，N．若，求t的值； (3)如图3，反比例函数的图象与直线n交于点E，F，已知点G和点H是Z图象上的两个动点，当以点E，G，F，H为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G和点H的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）作轴交反比例函数图象于点，根据折叠的性质可得，然后把代入反比例函数解析式即可求出点的坐标． （2）分点在轴正半轴和负半轴两种情况讨论．当点在轴负半轴时，根据折叠的性质先推出点的横坐标关于的表达式，然后由、两点的横坐标求出和的长度表达式，由建立关于的方程求解即可，点在轴正半轴时，情况类似． （3）先根据折叠的性质和三角形面积公式判断出当直线左右平移得到的两条直线正好与“图象”相切时，切点即为所求．然后分别设出两条直线的解析式，根据直线与反比例函数图象相切时只有一个交点，通过函数解析式建立方程由求出值，进而求出点坐标，再由直线直线并结合点坐标求出直线的解析式，再与直线的解析式联立求得点坐标即可． 【详解】（1）解：过点作直线的垂线交反比例函数的图象于点，交直线于点． 根据折叠的性质，． ． 把代入反比例函数得． 点的坐标为； （2）解：如图，点点坐标为． 当点在轴负半轴时，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． 根据折叠的性质，， ． 把和分别代入得：，． ， ． ， ，解得． 当点在轴正半轴时，如图，点、、、即、、、， 此时，，． ， ，解得． 故或6； （3）解：如图，当直线沿着轴分别向右和向左平移长度单位时，正好与“图象”在直线上、下半部分的图象相切，两条直线分别交轴于、，此时点到直线的距离最大． 根据折叠的性质，直线垂直平分，则． 故此时最大． 根据平移的性质，直线的解析式为：． 直线的解析式为：． 联立直线的解析式和反比例函数得：． 整理得：． 直线与反比例函数的图象相切只有一个交点． ， 即或18． 直线与轴交于点， 令，，则． ，， ． ，解得， 由得． 点坐标为． 设直线的解析式为， 把和平移，使交点正好处于坐标系原点O，直线解析式变成了，直线的解析式变为．在直线和上取点，轴，N为垂足，在x轴负半轴取点，轴交直线于点，如图： 在和中，，，． ∴， ∴， ∴． 则． 由点坐标可得：，则． 直线的解析式为：． 当时，直线的解析式为：， 联立直线和的解析式求解点坐标： ， 解得，． 点坐标为． 故当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，、两点坐标分别为、． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，图形折叠的性质，一元二次方程和二元一次方程组等知识点．根据折叠的性质得出函数图象折叠前后对应点的坐标关系是解答本题的关键． 类型六、反比例函数的旋转 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(1，1)、B(3，1)．当函数y＝（x＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以PA、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点，则k的值不可能为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分析图形可得，当函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点为M时，k取得最大值，设PB＝a，则Q（k，1+a），根据四边形APQM是矩形，可得M（1，1+a），而M在y＝上，可得1+a＝k，根据AP＝MQ，可得2﹣a＝k﹣1，进而求出k的值，即可判断． 【详解】解：分析图形可知： 当函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点为M时，k取得最大值， ∵P在y＝上且yP＝1， ∴P（k，1）， 设PB＝a，则Q（k，1+a）， ∵四边形APQM是矩形， ∴M（1，1+a）， 而M在y＝上， ∴1+a＝k， ∵AP＝MQ， ∴2﹣a＝k﹣1， 由， 解得， ∴0＜k≤2， ∴k＝不符合条件． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的结合，矩形的性质，解决本题的关键是正确理解题意，能够判断出当反比例函数图像和矩形在公共点M处时k取最大值． 【融会贯通】 1．已知点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上，将点绕原点旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．设点，根据将点绕原点旋转后得到点，可得，易得，，然后由四边形的面积求解即可． 【详解】解：如下图， 根据题意，点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上， 可设点， ∵将点绕原点旋转后得到点， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，，，， ∴四边形的面积 ． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，，点A的坐标为，将绕着点B旋转得到，若反比例函数的图象经过点D和点E，则k的值为 ． 【答案】； 【分析】本题考查了反比例函数的性质、旋转的性质、勾股定理及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，先设出B点坐标，表示出D，E点坐标代入反比例函数即可得到答案； 【详解】解：设， ∵点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵绕着点B旋转得到， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∵反比例函数的图象经过点D和点E， ∴，， 解得：， 故答案为：． 3．如图，已知反比例函数与直线交于点，点C是x轴上的一点，连接． (1)求反比例函数的表达式及直线的函数表达式； (2)若，求点C的坐标； (3)如图2，直线l绕若点旋转，直线l上有一动点P，过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N，连接，若在直线上刚好存在三个不同的P点且使得的面积为9时，请直接写出此时直线的斜率． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，设，根据，列出方程进行求解即可； （3）设直线的解析式为，把代入，得到，设，进而得到，，根据的面积为9，列出方程，根据直线上刚好存在三个不同的P点，得到有3个不相等的实数根，利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与直线交于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，解得：； ∴； （2）设直线与轴交于点，设， ∵， ∴当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴或， ∴或； （3）设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴， 设， ∵过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N， ∴到，， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， 整理，得：， 设，则：， ∴； ①当时，，解得：或， ∴或， 即：或， 当时，， ∴有2个不相等的实数根， ∵直线上刚好存在三个不同的P点， ∴有2个相等的实数根， ∴，解得：或； ②当时，则：，解得：或， ∴或， 当时，； 当时，； ∵直线上刚好存在三个不同的P点， ∴或， 当时，解得：或； 当，无解； 综上：或或或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，分割法求面积，根与系数的关系等知识点，综合性强，计算量大，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 类型七、反比例函数的的作图 【解惑】根据学习函数的经验，对函数的图象性质进行探究．下表列出了y与x的几组对应值： x … … 0 1 2 4 … y … … 2 a … (1)_________； (2)在下图所示的平面直角坐标系中，己画出该函数的部分图象，请画出另一部分图象； (3)观察图象，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是_________； (4)直接写出方程的解． 【答案】(1)1； (2)见解析； (3)或（或者写亦可）； (4)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，画函数图象，利用数形结合的思想是解题关键． （1）把代入解析式即可求出值， （2）根据列表描点连线即可， （3）观察图象即可得出结论， （4）根据图象可知，方程的解即与的交点横坐标． 【详解】（1）解：当时，代入得： ， 故答案为1； （2）解：如图， （3）观察图象可知：当或，当y随x的增大而减小时， （4）解：∵，可化为， 方程的解即与的交点横坐标． 由图可知：方程的解为或． 【融会贯通】 1．如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，过点作交轴于点，可知四边形是平行四边形，则有，从而，所以平行四边形即为所求； （2）连接并延长交反比例函数于，连接，由反比例函数的对称性可知，可得，所以即为所求． 【详解】（1）解：连接，过点作交轴于点，如图： 轴，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形即为所求； （2）解：连接并延长交反比例函数于，连接，如图： 由反比例函数图象的对称性可知，与关于点对称， ， ， ， ， ， 即为所求． 2．如图，平面直角坐标系中，点，在反比例函数（）的图象上，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)尺规作图：作的垂直平分线，交x轴于点C，垂足为点D；（保留作图痕迹，不写作法） (3)求点C的坐标． 【答案】(1) (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数，尺规作图，线段垂直平分线的性质． （1）利用待定系数法即可得解； （2）分别以A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交，过两弧交点作直线，交于点，交x轴于点C，直线即为所求； （3）先求出，设C点的坐标为，根据线段垂直平分线的性质得，则，解方程即可． 【详解】（1）解：是反比例函数的图象上的点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：把代入得，， ， 设C点的坐标为， 线段的垂直平分线交x轴于点C， ， ， 解得， 点C的坐标为． 3．学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．下表是函数部分自变量与对应的函数值． x 0 1 2 y a 1 2 b (1)填空：________，________； (2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出函数的一条性质：______________； (4)若点在这个函数的图象上，且，请写出的大小关系：________．（用“”连接） 【答案】(1)，1 (2)见解析 (3)当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小 (4) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出的值，再求出和的函数值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据图象，进行作答即可； （4）图象法进行判断即可． 【详解】（1）∵，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，； （2）根据表格，描点，连线，画出的图象如图． （3）由图象可知：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小； （4）由图象可知，当，； 类型八、反比例函数的的跨学科应用 【解惑】已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）将和代入解析式，求得，即可得出结果． 【详解】（1）解：设，把代入， 得，解得， ∴该品牌电动车电池的电压为． （2）解：由(1)知， 当时，， 当时，， ∴电阻值的范围是． 【融会贯通】 1．【问题提出】 在物理课上，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L亮度的实验，如图，已知串联电路中，电流与电阻R、灯丝的阻值之间关系为通过实验得出如下数据： ··· 1 2 3 4 6 ··· ··· a ··· ； （1）填空：的值为Ω，a的值为； 【问题探究】 根据以上实验，构建出函数结合表格信息，探究函数的图象与性质； （2）①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是（） A．不断增大 B．不断减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【问题升华】 （3）结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为．（结果精确到0.1） 【答案】（1）4，4；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的性质，不等式的解集，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题． （1）由已知列出方程，即可解得，的值； （2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案； （3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，， ， ， 故答案为：4，4； （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小， 故答案为：； （3）如图： 由函数图象知，当或时， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 2．阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，进而可得； （2）如图2，作于，于， 证明过程同题干； （3）如图3，作于，于，同理可得，，，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵ ∴， 解得，， 故答案为：2； （2）证明：如图2，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 3．综合与实践 【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子． 【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下： 实验组 风速v（） 旋转角速度ω（） 推力F（N） 1 5 4 24 【问题解决】 (1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度； (2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10． ①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由； ②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3） 【答案】(1) (2)①现有装置不能产生推力，详见解析；②当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力 【分析】本题主要考查实际问题与反比例函数和解一元一次方程， （1）根据和表中数据求得k，结合已知的推力即可求得旋转角速度； （2）①根据保持风速不变，可求得现有装置能产生的最大推力为60， ②根据求得圆柱体的高，在最高旋转角速度下，当时求得，进一步求得解得即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，， 解得旋转角速度； （2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为 ， 现有装置不能产生推力； ②， ， 解得圆柱体的高， 在最高旋转角速度下，当时，． 又， ， 解得 当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力． 类型九、反比例函数的绝对值 【解惑】为了探索函数与函数的图象和性质，我们通过研究得到以下结论： ①函数的图象可以看作是将函数的图象向左（其中，若，则向右）平移个单位长度，再向上（其中，若，则向下）平移个单位长度之后得到的． ②函数的图象可以看作是将函数的轴下方的图象沿轴翻折得到的． 请你根据该结论，解答下列问题： (1)下列说法中正确的是__________； A．的图象与直线有交点． B．当的自变量时，随的增大而减小 C．函数的因变量随自变量的增大而增大． D．无论取何值，始终成立． (2)已知对于的任意一个值，函数值都小于，求的取值范围； (3)已知的图象与的图象只有个交点，求的取值范围． 【答案】(1)D (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，利用反比例函数的性质、一次函数的性质、绝对值的性质即可解决问题； （2）根据题意，利用一次函数的性质分两种情况：当时；当时，分别求解即可； （3）根据题意，利用反比例函数的性质、一次函数的性质分两种情况：当时；当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：A．由题意知：的图象可以看作是将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到， ∵函数的图象与直线没有交点， ∴的图象与直线没有交点， 故该结论错误，不符合题意； B．当时，的图象在第二象限，随的增大而减小， 故该结论错误，不符合题意； C．当时，函数的因变量随自变量的增大而增大； 故该结论错误，不符合题意； D．∵和的图象完全重合， ∴无论取何值，始终成立， 故该结论正确，符合题意； 故选：D； （2）当时，， 当时，得，解得：， ∴函数的图象过点，， ∴，， ∵对于的任意一个值，函数值都小于， ∴， 则经过一、二、四象限，如图， ∴函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上， 过点作轴，交于点，过点作轴于点， ∴，，， 由题意知：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵对于的任意一个值，函数值都小于， ∴， 解得：； 综上所述，的取值范围为； （3）当时，得，解得：， ∴的图象过点， 当时， 当时，得， ∴的图象与轴的交点的坐标为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵的图象过点与的图象只有个交点， ∴直线：与的图象没有交点， 联立方程组， 整理得：， ∴， 解得：； 当时， ∵的图象过点与的图象只有个交点， ∴直线与的图象没有交点， 联立方程组， 整理得：， ∴， 解得：； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系的应用等知识点．正确理解题意，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【融会贯通】 1．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 【答案】(1)①1；②见解析；③见②图 (2)的图象关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； (3)①或；②或；③或． 【分析】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）①把代入解析式即可得的值；②③按要求描点，连线即可； （2）观察函数图象，可得函数性质； （3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案；③观察函数图象即得答案． 【详解】（1）解：①列表：当时，， 故答案为：1； ②描点，③连线如下： （2）观察函数图象可得：的图象关于轴对称，当时，y随x的增大而增大； 故答案为：的图象关于轴对称；当时，y随x的增大而增大； （3）①观察函数图象可得：当时，或， ∴方程的解是或， 故答案为：或； ②观察函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集或， 故答案为：或； ③观察函数图象可得，当或时，， 不等式与的解集或， 故答案为：或． 2．在探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． x … 0 1 2 3 4 5 … y … a b 9 … (1)写出函数关系式中m及表格中a、b的值：　　，　　，　　； (2)①根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ②当　　时，函数取得最小值为 　　； (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，，4 (2)①详见解析；②2； (3)或 【分析】（1）代入一对x、y的值即可求得m的值，然后代入x＝1求a值，代入x＝4求b值即可； （2）利用描点作图法作出图象并写出最值即可； （3）根据图象求出即可， 本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题关键． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得：m＝﹣10， ∴， 当时，， 当时，， 故答案为：，，4， （2）解：图象如图， 根据图象可知当时函数有最小值； 故答案为：2；， （3）解：根据当的函数图象在函数的图象上方时，不等式成立， ∴或． 3．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象和性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图1 ①列表；下表是与的几组对应值，其中_______； … 1 2 3 … … 1 2 4 4 2 … ②描点：根据表中各组对应值在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； (2)通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①___________________________________________________________； ②___________________________________________________________； (3)①观察发现：如图2，若直线交函数的图象于两点，连接，过点作交轴于点，则_______； ②探究思考：将①的直线改为直线，其他条件不变，则_______； ③类比猜想：若直线交函数的图象于两点，连接，过点作交轴于，则_______． 【答案】(1)①1，②见解析，③见解析； (2)①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (3)）①4，②4，③ 【分析】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）根据表格中的数据的变化规律得出当时，，而当时，，求出的值；补全图象； （2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质； （3）由图象的对称性，和四边形的面积与的关系，得出答案． 【详解】（1）解：当时，，而当时，， ， 故答案为：1； 补全图象如图所示： （2）根据（1）中的图象可得：①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）如图， ①由，两点关于轴对称，由题意可得四边形是平行四边形，且， ②同①可知：， ③， 故答案为：4，4，． 类型十、反比例函数的新定义应用 【解惑】阅读与思考 “美好点”的研究 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴，轴的垂线，若由点、原点、两个垂足，为顶点的长方形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”，即：． 【分析】 （1）①下面的点中是美好点的是_____； A．    B．    C．    D． ②若点是第二象限内的一个“美好点”，则______； 【应用】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值； ②在（2）①的条件下，在双曲线上，则的值为______． 【答案】（1）①B；②；（2）①18；② 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键． （1）①由新定义即可求解； ②是第二象限内的一个“美好点”，则，由新定义得，即可求解； （2）①是“美好点”，，求出，进而求解； ②由，即可求解． 【详解】解：（1）①由新定义知，，故点A不符合题意， 同理可得，点B符合题意，点C、D不符合题意， 故答案为：B； ②是第二象限内的一个“美好点”，则， 由新定义得：， 解得：， 故答案为：； （2）①是“美好点”， ， ∴， 解得， ． 将代入双曲线（，且为常数）， 得； ②， 双曲线的表达式是：． 在双曲线上， ， ， ， 设直线的表达式为：， 代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 令直线与轴交于点，当时，， 解得：， ，如图所示， ． 【融会贯通】 1．哈顿距离是一种重要的距离模型，用以标明在平面直角坐标系中两点间水平距离与竖直距离之和，其定义为：平面直角坐标系中两点和之间的曼哈顿距离记作，满足． (1)已知点，则__________； (2)函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标； (3)函数的图象如图②所示，请判断该函数的图象上是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在点，使，理由见解析 【分析】（1）根据曼哈顿距离公式求解即可； （2）设，则，根据一次函数得到、的范围，进而得到，联 立 ，求出、的值即可求解； （3）假设函数的图象上存在点，使，则，根据反比例函数的图象与性质可得、的范围，进而将化简并整理得，结合一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）设，则， ， ，    ，                    联立 ：， 解得：， 点； （3）不存在点，使，理由如下：                  假设函数的图象上存在点，使， 根据题意得：，                   ， ，   ， 化简并整理得：，                 ， 方程没有实数根，假设不成立， 函数的图象上不存在点，使． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，平面直角坐标系，一元二次方程，以及新定义，解题的关键是掌握相关知识． 2．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形A在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式． 【答案】(1)是矩形的“友好函数” (2)①；② 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； （2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即， ， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键． 3．定义：如果一个矩形的周长和面积都是矩形的周长和面积的倍，那么我们就称矩形是矩形的“倍矩形”． 【概念辨析】 （1）一个矩形的周长是12，面积是8，它的“2倍矩形”的周长为________，面积为________； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍矩形”，若存在，它的长和宽分别为多少？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意，，则，，在图中的平面直角坐标系中作出一次函数和反比例函数的图像来研究，有交点就意味着存在“2倍矩形”，交点的横坐标与纵坐标分别对应“2倍矩形”的长和宽． 请观察图像，则长为3，宽为2的矩形________（填“存在”或“不存在”）“2倍矩形”，它的长和宽分别约为________和________（结果精确到0.1） 我们还可以从方程（组）的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意：，，则，，请完成以下解答过程．（结果保留根号） 【答案】（1）24，16；（2）存在，，；， 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍矩形”，结合图像取近似数，即可作答． 联立方程组，求出，再求出，即可作答． 本题考查了一次函数与反比例函数综合题，认真阅读理解新定义“矩形B是矩形A的“2倍矩形”，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：（1）依题意，∵一个矩形的周长是12，面积是8， 则 ∴它的“2倍矩形”的周长为24，面积为16； 故答案为：24，16； （2）观察图像，两个函数有交点， 则长为3，宽为2的矩形存在“2倍矩形”， ∵， ∴结合图像，则它的长和宽分别约为和， 故答案为：存在，，； 依题意， 整理得 ∴， ∴ 解得或， ∵ ∴（舍去）， ∴宽为， 即． 【一览众山小】 1．如图，四边形是正方形，四边形是矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点与交于点．若四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，理解反比例函数系数与几何图形面积的关系是关键． 根据正方形的性质得到，设，由正方形的面积得到，设，则，得，由此得到点的坐标，则，代入计算得到的值，由即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设， ∴， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵四边形是矩形，点在反比例函数的图象上， ∴设，则， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 2．如图，点为反比例函数图象上的一点，点在反比例函数图象上，点与点关于原点对称，连接，，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过、分别作轴，轴于、，则，证明，得，由，，得，进而利用反比例函数的意义及相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：连接，过、分别作轴，轴于、，则， ∴， ∵点为反比例函数图象上的一点， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵反比例函数图象位于二四象限， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质及相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，中心对称的性质，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的判定及性是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，过轴正半轴上一点的直线轴，分别交反比例函数（）和（）的图象于点，，且，．则的值为（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，进而求得，由求得，即可求得，然后利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：过点M作轴于点，且， ∴， ∵， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积为，压敏电阻的阻值随所受液体压力的变化关系如图2所示（水深越深，压力越大），电源电压保持不变，当电路中的电流为时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式），则下列说法中正确的是 ． ①当水箱未装水时，压强为 ②当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力为 ③当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度是 ④若想使水深时报警，应使定值电阻的阻值为 【答案】①③④ 【分析】本题跨学科考查了反比例函数、一次函数的实际应用，理解每个变量的实际意义是解题的关键． 根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可． 【详解】解：①由图得：当时，，故此项说法正确； ② 当报警器刚好开始报警时，， 解得，由图可求得： ， 解得，故此项说法错误； ③当报警器刚好开始报警时，由上得， 则有， ， 由图求得， ∴， 解得：， 故此项说法正确； ④当报警器刚好开始报警时：， ， 当时，， ， ， ，故此项说法正确． 故答案为：①③④． 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接，．若四边形是菱形，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质、平移的性质、坐标与图形；根据平移性质和菱形性质得，设，根据两点坐标距离公式列方程求得，则，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求解k值即可． 【详解】解：由平移性质得， 当时，，则； ∵四边形是菱形， ∴， 由题意，设，则， 解得(负值已舍去)， ∴，则， ∵点N在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：8． 6．如图，点为反比例函数的图象上一点，点与点关于轴对称，轴于点，轴于点，点为上一点，连接、，若的面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，根据题意设，则，表示出的面积，得出，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，轴于点，轴于点， 故设，则， 则， ∵点为反比例函数的图象上一点， ∴， 故答案为：． 7．如图，平面直角坐标系中，有一面积为15的菱形，顶点A，B的坐标分别为，，反比例函数的图象经过点D． (1)求点D的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向上平移m个单位长度，当点B恰好落在反比例函数的图象上时，求平移的距离m． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）过D作于E，根据A、B的坐标求出，结合菱形的面积为15求出，根据勾股定理求出，则可求出点D的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）根据平移性质求出点B平移后的坐标，然后代入（1）中函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：过D作于E， ∵A，B的坐标分别为，， ∴， ∵菱形的面积为15， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 代入，得， ∴， ∴； （2）解：∵菱形ABCD向上平移m个单位长度， ∴点B平移后的坐标为， ∵平移后点B在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 即平移距离为1． 8．如图，已知反比例函数的图象经过，两点，的顶点在轴的正半轴上，点在平行四边形的对角线上． (1)求反比例函数的表达式． (2)若点的横坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点B的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线的表达式为：，代入点坐标得出的值，根据点的横坐标算出纵坐标，进而求解． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数中， 得：， ∴． ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：设直线的表达式为：， ∵点在直线上， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， ∵点的横坐标为， ∴把代入中，得：， 即点的纵坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点和点的纵坐标相等，都为， 把代入中，得：， ∴点的坐标为． 9．如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由题意易得，，求出直线的解析式，把的坐标代入求出的值，从而求得反比例函数的解析式； （2）当点在下面时，延长至，使，连接，过点作直线 交直线于，则，求出直线的解析式，进而得出直线的解析式，从而求出点的坐标；当点在上面时，在上取点，使，连接，则，，过点作直线 交直线的延长线于，则，求出直线的解析式，从而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的边在轴上，点的坐标分别为，， ∴，，， ∴，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：情况一：延长至，使，连接，则， 在 中，当 时，， ， ∴， 过点作直线 交直线于，则， 设直线的解析式为， 则，得 ， ， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 情况二：在上取点，使，连接，则，， 过点作直线 交直线的延长线于，则， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，数形结合是解题的关键． 10．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)如图2，过点与点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点，点，两垂线交于点，连接，求的面积； (3)如图3，延长交反比例函数在第三象限内的图象于点，连接，，将直线沿着轴向下平移若干个单位长度，使得直线经过点，平移后的直线与轴交于点，若在直线上存在点，使得，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； （1）将分别代入一次函数，得出的值，进而求得反比例函数表达式； （2）过点作轴于点，根据矩形的性质以及的坐标，分别求得进而根据的面积等于梯形的面积，即可求解； （3）根据中心对称得出，进而求得过点的直线解析式为，求得，设交轴于点，求得的坐标，得出，进而根据，求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将和分别代入一次函数 ∴ 解得： ∴，， 将代入 ∴ ∴； （2）解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴ （3）解：如图, 设交轴于点， ∵，延长交反比例函数在第三象限内的图象于点， ∴， ∵一次函数平移得到直线， 设直线的解析式为 将点代入得， 解得： ∴直线的解析式为 当时，，即 当时，，即 ∵，， ∴ 又∵ ∵， ∴重合，即 ∵ ∴在的中点位置， 即即 综上所述，点的坐标为或 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数的几何最值 【解惑】如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、两点，为轴上一动点，连接、，当取得最小值时，的面积为（    ）    A．1 B． C． D． 2．如图，点在反比例函数的图像上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点（C，D不同时与原点重合），则四边形的周长的最小值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 类型二、反比例函数的增减性最值 【解惑】若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【融会贯通】 1．已知反比例函数，当时，函数的最小值为，则当时，函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值 2．若反比例函数，，当时，函数的最小值是，函数的最大值是，则 ． 3．已知反比例函数（为常数，），当时，的最大值与最小值的差为2，则 ． 类型三、反比例函数的新定义运算 【解惑】定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．该函数图象位于第一、三象限 B．当时， C．该函数图象经过点 D．函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形 【融会贯通】 1．定义运算“※”为：，如：，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ． 3．定义：一次函数的特征数是．若一次函数的图象向下平移3个单位长度后与反比例函数的图象的其中一个交点A的坐标为，则一次函数的特征数是 ． 类型四、反比例函数的平移 【解惑】在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D．20 【融会贯通】 1．函数的图像可以由上的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到，根据所获信息判断，下列直线中与函数的图像没有公共点的是（   ） A．经过点且平行于轴的直线 B．经过点且平行于轴的直线 C．经过点且平行于轴的直线 D．经过点且平行于轴的直线 2．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，以线段为边，在线段的左侧作正方形，点C在反比例函数的图象上，当正方形沿x轴正方向向右平移 个单位长度时，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上． 3．如图，已知，矩形中，，反比例函数的图象经过的中点，交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)若将直线向下平移个单位与反比例函数的图象上，之间的部分有交点，试求出的取值范围． 类型五、反比例函数的翻折 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴正半轴上，，C为中点，将沿翻折，使点A落在反比例函数图象上的处，且，则k的值是（    ） A． B． C．-3 D． 【融会贯通】 1．如图，中，，，在x轴上，，点A在函数的图象上，将沿翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，则k的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，双曲线经过四边形的顶点A、C，，平分与x轴负半轴的夹角，轴，将沿翻折后得到，点落在上，则四边形的面积是 ． 3．某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点P作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】操作1：如图1：过点P作x轴的平行线l，将直线l上方的反比例函数图象沿直线l翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X图象”． 操作2：如图2，过点P作y轴的平行线m，将直线m左侧的反比例函数图象沿直线m翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y图象”． 操作3：如图3，过点P作直线n：，将第一象限内反比例函数的图象在直线n下方的部分沿直线n翻折得到新图象，与直线n下方的图象组成的封闭图象是“Z图象”． 【解决问题】 (1)如图1，求“X图象”与x轴的交点C的坐标 (2)过x轴上一点作Y轴的平行线，与“Y图象”交于点M，N．若，求t的值； (3)如图3，反比例函数的图象与直线n交于点E，F，已知点G和点H是Z图象上的两个动点，当以点E，G，F，H为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G和点H的坐标． 类型六、反比例函数的旋转 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(1，1)、B(3，1)．当函数y＝（x＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以PA、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点，则k的值不可能为（　　） A． B．2 C． D． 【融会贯通】 1．已知点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上，将点绕原点旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，，点A的坐标为，将绕着点B旋转得到，若反比例函数的图象经过点D和点E，则k的值为 ． 3．如图，已知反比例函数与直线交于点，点C是x轴上的一点，连接． (1)求反比例函数的表达式及直线的函数表达式； (2)若，求点C的坐标； (3)如图2，直线l绕若点旋转，直线l上有一动点P，过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N，连接，若在直线上刚好存在三个不同的P点且使得的面积为9时，请直接写出此时直线的斜率． 类型七、反比例函数的的作图 【解惑】根据学习函数的经验，对函数的图象性质进行探究．下表列出了y与x的几组对应值： x … … 0 1 2 4 … y … … 2 a … (1)_________； (2)在下图所示的平面直角坐标系中，己画出该函数的部分图象，请画出另一部分图象； (3)观察图象，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是_________； (4)直接写出方程的解． 【融会贯通】 1．如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 2．如图，平面直角坐标系中，点，在反比例函数（）的图象上，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)尺规作图：作的垂直平分线，交x轴于点C，垂足为点D；（保留作图痕迹，不写作法） (3)求点C的坐标． 3．学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．下表是函数部分自变量与对应的函数值． x 0 1 2 y a 1 2 b (1)填空：________，________； (2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出函数的一条性质：______________； (4)若点在这个函数的图象上，且，请写出的大小关系：________．（用“”连接） 类型八、反比例函数的的跨学科应用 【解惑】已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 【融会贯通】 1．【问题提出】 在物理课上，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L亮度的实验，如图，已知串联电路中，电流与电阻R、灯丝的阻值之间关系为通过实验得出如下数据： ··· 1 2 3 4 6 ··· ··· a ··· ； （1）填空：的值为Ω，a的值为； 【问题探究】 根据以上实验，构建出函数结合表格信息，探究函数的图象与性质； （2）①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是（） A．不断增大 B．不断减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【问题升华】 （3）结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为．（结果精确到0.1） 2．阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 3．综合与实践 【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子． 【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下： 实验组 风速v（） 旋转角速度ω（） 推力F（N） 1 5 4 24 【问题解决】 (1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度； (2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10． ①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由； ②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3） 类型九、反比例函数的绝对值 【解惑】为了探索函数与函数的图象和性质，我们通过研究得到以下结论： ①函数的图象可以看作是将函数的图象向左（其中，若，则向右）平移个单位长度，再向上（其中，若，则向下）平移个单位长度之后得到的． ②函数的图象可以看作是将函数的轴下方的图象沿轴翻折得到的． 请你根据该结论，解答下列问题： (1)下列说法中正确的是__________； A．的图象与直线有交点． B．当的自变量时，随的增大而减小 C．函数的因变量随自变量的增大而增大． D．无论取何值，始终成立． (2)已知对于的任意一个值，函数值都小于，求的取值范围； (3)已知的图象与的图象只有个交点，求的取值范围． 【融会贯通】 1．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 2．在探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． x … 0 1 2 3 4 5 … y … a b 9 … (1)写出函数关系式中m及表格中a、b的值：　　，　　，　　； (2)①根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ②当　　时，函数取得最小值为 　　； (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的图象，直接写出不等式的解集． 3．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象和性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图1 ①列表；下表是与的几组对应值，其中_______； … 1 2 3 … … 1 2 4 4 2 … ②描点：根据表中各组对应值在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； (2)通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①___________________________________________________________； ②___________________________________________________________； (3)①观察发现：如图2，若直线交函数的图象于两点，连接，过点作交轴于点，则_______； ②探究思考：将①的直线改为直线，其他条件不变，则_______； ③类比猜想：若直线交函数的图象于两点，连接，过点作交轴于，则_______． 类型十、反比例函数的新定义应用 【解惑】阅读与思考 “美好点”的研究 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴，轴的垂线，若由点、原点、两个垂足，为顶点的长方形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”，即：． 【分析】 （1）①下面的点中是美好点的是_____； A．    B．    C．    D． ②若点是第二象限内的一个“美好点”，则______； 【应用】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值； ②在（2）①的条件下，在双曲线上，则的值为______． 【融会贯通】 1．哈顿距离是一种重要的距离模型，用以标明在平面直角坐标系中两点间水平距离与竖直距离之和，其定义为：平面直角坐标系中两点和之间的曼哈顿距离记作，满足． (1)已知点，则__________； (2)函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标； (3)函数的图象如图②所示，请判断该函数的图象上是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 2．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形A在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式． 3．定义：如果一个矩形的周长和面积都是矩形的周长和面积的倍，那么我们就称矩形是矩形的“倍矩形”． 【概念辨析】 （1）一个矩形的周长是12，面积是8，它的“2倍矩形”的周长为________，面积为________； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍矩形”，若存在，它的长和宽分别为多少？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意，，则，，在图中的平面直角坐标系中作出一次函数和反比例函数的图像来研究，有交点就意味着存在“2倍矩形”，交点的横坐标与纵坐标分别对应“2倍矩形”的长和宽． 请观察图像，则长为3，宽为2的矩形________（填“存在”或“不存在”）“2倍矩形”，它的长和宽分别约为________和________（结果精确到0.1） 我们还可以从方程（组）的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意：，，则，，请完成以下解答过程．（结果保留根号） 【一览众山小】 1．如图，四边形是正方形，四边形是矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点与交于点．若四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C．4 D．3 2．如图，点为反比例函数图象上的一点，点在反比例函数图象上，点与点关于原点对称，连接，，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，过轴正半轴上一点的直线轴，分别交反比例函数（）和（）的图象于点，，且，．则的值为（   ） A．12 B． C．16 D． 4．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积为，压敏电阻的阻值随所受液体压力的变化关系如图2所示（水深越深，压力越大），电源电压保持不变，当电路中的电流为时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式），则下列说法中正确的是 ． ①当水箱未装水时，压强为 ②当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力为 ③当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度是 ④若想使水深时报警，应使定值电阻的阻值为 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接，．若四边形是菱形，则k的值为 ． 6．如图，点为反比例函数的图象上一点，点与点关于轴对称，轴于点，轴于点，点为上一点，连接、，若的面积为6，则的值为 ． 7．如图，平面直角坐标系中，有一面积为15的菱形，顶点A，B的坐标分别为，，反比例函数的图象经过点D． (1)求点D的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向上平移m个单位长度，当点B恰好落在反比例函数的图象上时，求平移的距离m． 8．如图，已知反比例函数的图象经过，两点，的顶点在轴的正半轴上，点在平行四边形的对角线上． (1)求反比例函数的表达式． (2)若点的横坐标为，求点的坐标． 9．如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 10．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)如图2，过点与点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点，点，两垂线交于点，连接，求的面积； (3)如图3，延长交反比例函数在第三象限内的图象于点，连接，，将直线沿着轴向下平移若干个单位长度，使得直线经过点，平移后的直线与轴交于点，若在直线上存在点，使得，直接写出点的坐标． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$