2025届高考数学解题思想方法大合集-以形助数的两大抓手讲义

第04节 以形助数的两大抓手 高中数学中，函数图象思想是指通过绘制函数的图象来直观地理解函数的性质、变化趋势和特征．图象可以帮助我们更好地把握函数的增减性、极值、对称性、周期性等重要特性．通过图象，我们还可以解决一些实际问题，如最值问题、函数的零点问题等．掌握函数图象思想，对于解决高中数学中的函数问题具有重要意义． 高中数学几何意义思想是指在数学学习中，通过几何图形的直观性和形象性来理解和掌握数学概念、定理和方法．这种思想强调利用图形的性质来解释抽象的数学问题，使学生能够更好地理解数学知识，并培养空间想象能力和逻辑推理能力．例如，在解析几何中，利用坐标系来研究几何图形的性质，通过代数方程来表达几何关系，从而将几何问题转化为代数问题来解决． 类型一 几何意义思想 【典例1】（2024届重庆巴蜀中学校高三3月高考适应性月考（七））已知圆上两点满足，则的最小值为（ ） A．    B． C．    D． 【解题策略】 本题解决的关键在于，将转化为两点到直线的距离之和的倍，从而得解． 根据题意，由发现，又的几何意义是两点到直线的距离之和的倍，进而利用数形结合即可求解． 【详细解析】 由得，即，则． 因为， 所以，由点到直线的距离公式可知表示两点到直线的距离之和的倍，如图所示： 设的中点分别为，易知，由梯形的中位线可得， 则，即点到直线的距离之和的4倍， 因为是直角三角形，所以， 则点在圆上运动， 显然，最小值为原点到直线距离与圆半径之差的4倍， 原点到直线距离，半径， 所以的最小值为． 故选：D． 【典例2】（1）若不等式的解集为区间，且，则______； （2）已知平面向量，（，）满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是______． 【解题策略】 第（1）问，设与，显见直线过点且，借助图形容易得出结果．第（2）问，易知C点在圆弧上运动且，在中结合正弦定理及正弦函数的有界性可得的取值范围． 【详细解析】 （1） 如图2-37所示，设与． 图2-37 直线过点．不等式 的解集就是图中直线在半圆上方的部分所对应的x的集合，这个集合为，且， ∴直线不可能是图中的m，这由所决定．∴直线就是图中的n． 在中，当时，，∴点B的坐标为． 把代入，得． （2） 如图2-38所示，数形结合知，，， C点在圆弧上运动，，设，由正弦定理知． ∴．当时取最大值．∴． 【典例3】（1）求的最大值、最小值； （2）已知，且，求的最大值与最小值． 【解题策略】 第（1）问，据和形式上的特点，构造动点，定点，则原问题求y的最值转化为求的最值．这就是通常所说的“图形的构造”，是数形结合思想的抓手之一． 第（2）问，表示半圆域，表示半圆域上的动点与定点连线的斜率．问题迎刃而解． 【详细解析】 （1） 据斜率公式构造两个点，即、． 把点视为直角坐标平面内的一个动点，这时 由此可得．如图2-35所示，的图像是线段， 端点、的坐标分别是、，点A在线段上移动． 直线的斜率为，直线的斜率为． y刚好是直线AB的斜率．∴y的最大值为，最小值为． 图2-35 （2） 如图2-36所示，不等式表示半圆域． 设．表示半圆域上的点与点连线的斜率， 当直线过时，有．当直线在切线位置时，k值最小． 由点到切线的距离等于半径，得，． 【方法归纳】 利用几何方法求最值问题，通常涉及构造图形、应用几何定理和不等式等策略．例如，可以使用三角形的性质、圆的性质、相似三角形、勾股定理等来解决．在具体问题中，可能需要将代数问题转化为几何问题，通过作图、构造辅助线等手段，将问题转化为几何图形的性质来求解． 例如，利用点到直线的距离公式，将函数最值问题转化为距离最值问题；可以利用斜率的意义，将函数最值表达为求斜率最值；还可以利用向量的几何意义和性质，通过向量运算来求解最值问题．在解决实际问题时，需要灵活运用几何知识，结合问题的具体条件，进行恰当的构造和推理． 【举一反三】 （2024福建泉州鲤城高三下期5月联考） 1． 若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（    ） A．0 B． C． D． （2024湖南永州高三第三次模拟） 2． 在中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 类型二 函数图象思想 【典例1】已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（ ） A.2.5    B.3    C.4    D.5 【解题策略】 在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象，根据函数的新定义可得的图象，由图象即可得最小值． 【详细解析】 如图：在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象， 因为，所以的图象如图实线所示： 由可得，由可得， 由图知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，， 所以的最小值为， 故选：B． 【典例2】已知是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数．设，若在内恰有个实数根，且这2n个实数根之和为380，则k的最小值为 ． 【解题策略】 根据题意求得的解析式， 作出函数的部分图象和直线，结合图象可得，，，…，，进而可求得n的值，从而可求得k的最小值． 【详细解析】 由是奇函数，是偶函数，可得， 解得． 如图，作出函数的部分图象和直线． 设的实数根从小到大依次为，，，，…，， 则数形结合可得，，，…，， 所以，解得， 结合图象可得k的最小值为． 故答案为：38． 【典例3】已知函数，求函数，所有零点之和． 【解题策略】 函数在所有零点和的问题可转化为函数与在上的图像所有交点横坐标和的问题，则解题的关键是一共有多少个零点．这些零点之间又有怎样的关系，所以对与图像具有某种对称的特征就显得很重要． 【详细解析】 在同一个平面直角坐标系中作出函数与的简图， 由图知函数与的图像都关于点成中心对称，且． 函数的零点共有9个，且9个零点的和为9． 【方法归纳】 在高中阶段，利用函数图象能够容易解决函数有关问题，比如函数的零点和最值问题．通过绘制出函数图象，观察图象与x轴的交点，每个交点的横坐标即为函数的一个零点．通过数图像与x轴交点的个数，就可以确定函数零点的个数．需要注意的是，函数图像与x轴的切点虽然在x轴上，但不计入零点个数．此外，还可以利用分参，将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题进而求解． 【举一反三】 （2024-2025吉林东北师大附中高三上期第一次摸底考试） 3． 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 4． 设函数． (1) 证明，其中k为整数； (2) 设为的一个极值点，证明； (3) 设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明． （2024-2025江苏徐州邳州高三上期10月份质量监测） 5． 在中，，D为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． （2024浙江省“数海漫游”高三下期第二次模拟考试） 6． 已知向量均为单位向量，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． （2024届西藏拉萨高三第二次模拟考试） 7． 已知点，动点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （2024届陕西洛南中学高三高考冲刺预测（一）） 8． 已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （2024北京门头沟高三下期3月综合练习（一模）） 9． 在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 （2024届河南信阳高三下期高考考前押题） 10． 已知（为常数），，，且的最小值为，若在区间上恰有8个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04节 以形助数的两大抓手 高中数学中，函数图象思想是指通过绘制函数的图象来直观地理解函数的性质、变化趋势和特征．图象可以帮助我们更好地把握函数的增减性、极值、对称性、周期性等重要特性．通过图象，我们还可以解决一些实际问题，如最值问题、函数的零点问题等．掌握函数图象思想，对于解决高中数学中的函数问题具有重要意义． 高中数学几何意义思想是指在数学学习中，通过几何图形的直观性和形象性来理解和掌握数学概念、定理和方法．这种思想强调利用图形的性质来解释抽象的数学问题，使学生能够更好地理解数学知识，并培养空间想象能力和逻辑推理能力．例如，在解析几何中，利用坐标系来研究几何图形的性质，通过代数方程来表达几何关系，从而将几何问题转化为代数问题来解决． 类型一 几何意义思想 【典例1】（2024届重庆巴蜀中学校高三3月高考适应性月考（七））已知圆上两点满足，则的最小值为（ ） A．    B． C．    D． 【解题策略】 本题解决的关键在于，将转化为两点到直线的距离之和的倍，从而得解． 根据题意，由发现，又的几何意义是两点到直线的距离之和的倍，进而利用数形结合即可求解． 【详细解析】 由得，即，则． 因为， 所以，由点到直线的距离公式可知表示两点到直线的距离之和的倍，如图所示： 设的中点分别为，易知，由梯形的中位线可得， 则，即点到直线的距离之和的4倍， 因为是直角三角形，所以， 则点在圆上运动， 显然，最小值为原点到直线距离与圆半径之差的4倍， 原点到直线距离，半径， 所以的最小值为． 故选：D． 【典例2】（1）若不等式的解集为区间，且，则______； （2）已知平面向量，（，）满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是______． 【解题策略】 第（1）问，设与，显见直线过点且，借助图形容易得出结果．第（2）问，易知C点在圆弧上运动且，在中结合正弦定理及正弦函数的有界性可得的取值范围． 【详细解析】 （1） 如图2-37所示，设与． 图2-37 直线过点．不等式 的解集就是图中直线在半圆上方的部分所对应的x的集合，这个集合为，且， ∴直线不可能是图中的m，这由所决定．∴直线就是图中的n． 在中，当时，，∴点B的坐标为． 把代入，得． （2） 如图2-38所示，数形结合知，，， C点在圆弧上运动，，设，由正弦定理知． ∴．当时取最大值．∴． 【典例3】（1）求的最大值、最小值； （2）已知，且，求的最大值与最小值． 【解题策略】 第（1）问，据和形式上的特点，构造动点，定点，则原问题求y的最值转化为求的最值．这就是通常所说的“图形的构造”，是数形结合思想的抓手之一． 第（2）问，表示半圆域，表示半圆域上的动点与定点连线的斜率．问题迎刃而解． 【详细解析】 （1） 据斜率公式构造两个点，即、． 把点视为直角坐标平面内的一个动点，这时 由此可得．如图2-35所示，的图像是线段， 端点、的坐标分别是、，点A在线段上移动． 直线的斜率为，直线的斜率为． y刚好是直线AB的斜率．∴y的最大值为，最小值为． 图2-35 （2） 如图2-36所示，不等式表示半圆域． 设．表示半圆域上的点与点连线的斜率， 当直线过时，有．当直线在切线位置时，k值最小． 由点到切线的距离等于半径，得，． 【方法归纳】 利用几何方法求最值问题，通常涉及构造图形、应用几何定理和不等式等策略．例如，可以使用三角形的性质、圆的性质、相似三角形、勾股定理等来解决．在具体问题中，可能需要将代数问题转化为几何问题，通过作图、构造辅助线等手段，将问题转化为几何图形的性质来求解． 例如，利用点到直线的距离公式，将函数最值问题转化为距离最值问题；可以利用斜率的意义，将函数最值表达为求斜率最值；还可以利用向量的几何意义和性质，通过向量运算来求解最值问题．在解决实际问题时，需要灵活运用几何知识，结合问题的具体条件，进行恰当的构造和推理． 【举一反三】 （2024福建泉州鲤城高三下期5月联考） 1． 若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，根据向量减法的几何意义，可得线段OB的中点C满足，即可求得，的夹角. 【详解】设，，则为直线OB上的点C与点A之间的距离， 由时，取得最小值，得C为线段OB的中点且， 由于，所以. 故选：B （2024湖南永州高三第三次模拟） 2． 在中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直BC的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，取的中点为，求得的轨迹方程，数形结合可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，由，可得是以为直径的圆， 所以的轨迹方程为， 取的中点为，设， 可得，所以，所以， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为， 由，所以，所以， 所以， 所以. 故选：A. 类型二 函数图象思想 【典例1】已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（ ） A.2.5    B.3    C.4    D.5 【解题策略】 在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象，根据函数的新定义可得的图象，由图象即可得最小值． 【详细解析】 如图：在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象， 因为，所以的图象如图实线所示： 由可得，由可得， 由图知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，， 所以的最小值为， 故选：B． 【典例2】已知是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数．设，若在内恰有个实数根，且这2n个实数根之和为380，则k的最小值为 ． 【解题策略】 根据题意求得的解析式， 作出函数的部分图象和直线，结合图象可得，，，…，，进而可求得n的值，从而可求得k的最小值． 【详细解析】 由是奇函数，是偶函数，可得， 解得． 如图，作出函数的部分图象和直线． 设的实数根从小到大依次为，，，，…，， 则数形结合可得，，，…，， 所以，解得， 结合图象可得k的最小值为． 故答案为：38． 【典例3】已知函数，求函数，所有零点之和． 【解题策略】 函数在所有零点和的问题可转化为函数与在上的图像所有交点横坐标和的问题，则解题的关键是一共有多少个零点．这些零点之间又有怎样的关系，所以对与图像具有某种对称的特征就显得很重要． 【详细解析】 在同一个平面直角坐标系中作出函数与的简图， 由图知函数与的图像都关于点成中心对称，且． 函数的零点共有9个，且9个零点的和为9． 【方法归纳】 在高中阶段，利用函数图象能够容易解决函数有关问题，比如函数的零点和最值问题．通过绘制出函数图象，观察图象与x轴的交点，每个交点的横坐标即为函数的一个零点．通过数图像与x轴交点的个数，就可以确定函数零点的个数．需要注意的是，函数图像与x轴的切点虽然在x轴上，但不计入零点个数．此外，还可以利用分参，将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题进而求解． 【举一反三】 （2024-2025吉林东北师大附中高三上期第一次摸底考试） 3． 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】构建，分析可知的定义域为，且在内恒成立，利用导数可得，整理可得，构建，利用导数求其最值即可. 【详解】设， 因为，可知的定义域为，所以在内恒成立， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，可得，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 即，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：C. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1） 分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2） 函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 4． 设函数． (1) 证明，其中k为整数； (2) 设为的一个极值点，证明； (3) 设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明． 【答案】(1)详见解析； (4) 详见解析； (5) 详见解析. 【分析】（1）根据函数解析式结合诱导公式即得； (6) 根据函数导数可得，然后根据同角关系式结合条件即得； (7) 由题可得极值点为第二或第四象限角，然后结合正切函数的性质讨论两极值点的差的范围即得. 【详解】（1）因为函数， 所以 ； (8) 因为函数， 所以， 令，则，对满足方程的有， 所以， 由函数与函数的图象可知此方程一定有解，    故的一个极值点满足， 所以； (9) 设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， (为奇数) 0 + (为偶数) + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根且满足， 所以， 因为，， 则， 由，可得， 所以. （2024-2025江苏徐州邳州高三上期10月份质量监测） 5． 在中，，D为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等面积法建立边的等量关系，再利用基本不等式求的最小值即可求解. 【详解】 如图，由已知，，且， 的面积， 又， 则有，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. （2024浙江省“数海漫游”高三下期第二次模拟考试） 6． 已知向量均为单位向量，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设向量的夹角为，化简，令，通过导数判断函数的单调性，即可求最小值. 【详解】由向量均为单位向量， 设向量的夹角为， 由，则， 所以 设， 令， 则， 令，则，所以在单调递增， 令，则，所以在单调递减， 所以的最小值为， 所以的最小值为. 故选：C. （2024届西藏拉萨高三第二次模拟考试） 7． 已知点，动点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可. 【详解】令，即求的最小值. 设，则， 整理，得点的轨迹方程为. 又点在圆上， 所以，解得，所以， 所以， 即的最小值为. 故选：. （2024届陕西洛南中学高三高考冲刺预测（一）） 8． 已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合二倍角的余弦公式列式，再借助点到直线距离求解即得. 【详解】圆的圆心，半径， 依题意，， 显然当取得最小值时，取得最小值， 的最小值即为点到直线的距离，即， 所以. 故选：B （2024北京门头沟高三下期3月综合练习（一模）） 9． 在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】由直线方程得到其过定点，而可看成单位圆上的一点，故可将求点到直线之距转化为求圆心到直线之距，要使距离最大，需使直线，此时最大距离即圆心到点的距离再加上半径即得. 【详解】由直线 整理得，可知直线经过定点， 而由知，点可看成圆上的动点， 于是求点 到直线 的距离最值可通过求圆心到直线的距离得到.    如图知当直线与圆相交时， 到直线 的距离最小值为， 要使点到直线距离最大，需使圆心到直线距离最大， 又因直线过定点，故当且仅当时距离最大，（若直线与不垂直，则过点作直线的垂线段长必定比短） 此时，故点到直线距离的最大值为，即的最大值与最小值之差为. 故选：D. （2024届河南信阳高三下期高考考前押题） 10． 已知（为常数），，，且的最小值为，若在区间上恰有8个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件得到方程组，求出，，得到函数解析式，从而令，得到，画出的图象，要想在区间上恰有8个零点，且取得最小值，数形结合得到方程组，求出答案. 【详解】由题意得，解得， 设的最小正周期为，故，解得， 因为，所以， 故， 当时，， 令，得， 画出的图象，如下：    要想在区间上恰有8个零点，且取得最小值， 故，， 且，两式相减得，. 所以的最小值为. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$