第10讲 指数（4个知识点+6大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第10讲 指数 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 题型一：根据根式意义确定取值范围 2．（2025·高一·全国·单元测试）若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】由题意可知， 且． 故选：B 3．若有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【解析】直接根据开偶次方根，被开方数大于等于0，0的0次幂无意义.要使原式有意义，则解得且. 故选：A. 13．若有意义，则是（    ） A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数 【答案】C 【解析】被开方数为负数时只能开奇数次方，所以n为正奇数， 故选：C. 14．若有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，要使得有意义，则满足，解得， 即实数的取值范围为． 故选：B． 15．若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，且，∴a的取值范围是且． 故选：B． 题型二：运用根式性质化简或计算 41．（2025·高一·福建莆田·期中） . 【答案】0 【解析】. 故答案为：0. 9．（2025·高一·湖北武汉·开学考试）已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】有意义，，， 又，，，. 故选：A. 10．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 11．式子的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】. 故选：A. 12．（2025·高一·全国·单元测试）若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数，可知②无意义； 当时，，此时④无意义． 因为，所以恒有意义， 因为任何数都可以开奇次方，所以恒有意义， 所以恒有意义的式子是①③． 故选：B． 题型三：带限制条件的根式化简 1．若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题可得，解得，又，所以， 则． 故选：B. 4．（2025·高一·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 所以. 故选：C. 5．（2025·高一·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 故选：B. 7．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 故选：A 8．已知a是的小数部分，则的值为（    ） A．2 B．4 C．‒2 D．4‒ 【答案】A 【解析】因为，故， 所以. 故选：A 题型四：根式与指数幂的相互转化 28．（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 29．（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 30．（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【解析】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C正确； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：BC 42．将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 43．用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 题型五：利用分数指数幂运算性质化简求值 45．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【解析】（1）由，得， 则． （2）因为，则， 则． 46．（2025·高一·内蒙古兴安盟·期中）（1）解不等式： ； （2）计算：； （3）计算： ； （4）计算：. 【解析】（1）由，可得：，所以， 所以不等式的解集为：； （2） ； （3）    ； （4）. 47．计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 48．（2025·高一·山西太原·期中）计算下列各式的值 (1)； (2). 【解析】（1）； （2）. 49．（2025·高一·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 【解析】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，，所以原式. 题型六：整体代换法处理分数指数幂 31．（多选题）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以A正确；，所以B错误；由可知，，所以，所以C正确；因为，又，所以原式，所以D正确． 32．（多选题）（2025·高一·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 33．（多选题）（2025·高一·江苏南京·期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 52．已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【解析】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 53．设，且．求的值． 【解析】因为，且， 所以 . 54．已知，计算：. 【解析】因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以，所以. 1．（2025·高一·云南昆明·期中）与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，所以． 故选：C 2．设，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得①；由得②．得，得． 3．计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 【答案】C 【解析】原式． 4．的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【解析】原式． 5．（2025·高一·吉林四平·期末）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确， 故选：D. 6．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原式． 故选：C． 7．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 故选：C. 8．（2025·高三·河南开封·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则， 所以. 故选：C. 9．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】． 故选：D. 10．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【解析】由题意，，∴， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 11．（多选题）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于选项AC：因为，，可知无意义，有意义； 对于选项BD：开3次方时，被开方数无限制，即 、均有意义； 故选：BCD. 12．（多选题）已知，且，则以下结论错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【解析】由，且知， 所以x，y异号，所以A，B正确，C，D错误． 故选：CD． 13．（多选题）（2025·高一·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，符合题意； 对于D，，符合题意. 故选：BCD 14．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．的运算结果是 B．16的4次方根是2 C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 【答案】CD 【解析】对于A，偶次根式的结果只能是正数，故A错误；对于B，正数的偶次方根的结果有正有负，故B错误；对于C，D，根据指数幂的运算法则可知C，D正确． 15．（多选题）设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因是正整数，且，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 16．（多选题）（2025·高一·全国·期中）已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，所以． 对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确； 对于选项C，当时，，只能，选项C正确； 对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确； 故选：BCD． 17．若有意义，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为有意义， 所以， 解得且， 所以的取值范围为. 故答案为：. 18．若，则 ． 【答案】 【解析】，则．又，所以，所以． 19．从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则第5次倒出的纯酒精的升数为 ． 【答案】 【解析】第一次倒出的酒精浓度为1，每次用水填满后的酒精浓度依次为，故每次倒出的纯酒精为，所以第5次倒出的纯酒精为． 20．（2025·高一·河南开封·期末）设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，得；由，得，则； 由，得，则；由，得，则， 而，， 所以的取值范围是. 故答案为： 21．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； 22．（2025·高一·福建莆田·期中）（1）将根式化简为指数式； （2）求值：； （3）已知，求的值． 【解析】（1）；         （2）原式； （3）因为， 所以， . 23．（2025·高一·北京平谷·期中）化简、计算 (1)计算：. (2)化简：； 【解析】（1）原式. （2）原式. 24．已知，求的值． 【解析】因为，所以所以， 所以 故 25．计算： (1)； (2)计算：． 【解析】（1）原式 . （2）原式. 26．（1）计算的值. （2）已知是正实数，且，求的最小值. 【解析】（1）由 ； （2），， ， 当且仅当，即，时等号成立. 故的最小值为. 27．（1）求值：； （2）已知，，求的值. 【解析】（1）， ， ； （2）因为，， 所以， 所以， 所以， 所以. 28．（1）计算：； （2）已知，求的值． 【解析】（1） . （2）因为， 所以， 所以， 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 指数 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 题型一：根据根式意义确定取值范围 2．（2025·高一·全国·单元测试）若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 3．若有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 13．若有意义，则是（    ） A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数 14．若有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：运用根式性质化简或计算 41．（2025·高一·福建莆田·期中） . 9．（2025·高一·湖北武汉·开学考试）已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 10．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．式子的值为（   ） A． B． C． D．1 12．（2025·高一·全国·单元测试）若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：带限制条件的根式化简 1．若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·高一·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 5．（2025·高一·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知a是的小数部分，则的值为（    ） A．2 B．4 C．‒2 D．4‒ 题型四：根式与指数幂的相互转化 28．（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 42．将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 43．用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 题型五：利用分数指数幂运算性质化简求值 45．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 46．（2025·高一·内蒙古兴安盟·期中）（1）解不等式： ； （2）计算：； （3）计算： ； （4）计算：. 47．计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 48．（2025·高一·山西太原·期中）计算下列各式的值 (1)； (2). 49．（2025·高一·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 题型六：整体代换法处理分数指数幂 31．（多选题）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 32．（多选题）（2025·高一·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（多选题）（2025·高一·江苏南京·期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 52．已知，求下列各式的值： (1)； (2) 53．设，且．求的值． 54．已知，计算：. 1．（2025·高一·云南昆明·期中）与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 2．设，那么（   ） A． B． C． D． 3．计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 4．的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 5．（2025·高一·吉林四平·期末）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（    ） A． B． C． D． 7．（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高三·河南开封·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 11．（多选题）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选题）已知，且，则以下结论错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 13．（多选题）（2025·高一·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．的运算结果是 B．16的4次方根是2 C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 15．（多选题）设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（多选题）（2025·高一·全国·期中）已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 17．若有意义，则的取值范围是 . 18．若，则 ． 19．从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则第5次倒出的纯酒精的升数为 ． 20．（2025·高一·河南开封·期末）设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是 ． 21．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（2025·高一·福建莆田·期中）（1）将根式化简为指数式； （2）求值：； （3）已知，求的值． 23．（2025·高一·北京平谷·期中）化简、计算 (1)计算：. (2)化简：； 24．已知，求的值． 25．计算： (1)； (2)计算：． 26．（1）计算的值. （2）已知是正实数，且，求的最小值. 27．（1）求值：； （2）已知，，求的值. 28．（1）计算：； （2）已知，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$