第09讲 成比例线段（3知识点+11考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第09讲 成比例线段 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：11心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解线段的比的概念，会计算两条线段的比； 2.理解成比例线段的概念； 3.理解并掌握比例的基本性质，并能运用比例的基本性质解决一些实际问题； 4.理解黄金分割的定义，对黄金分割进行简单运用. 知识点 1 比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 【解题思路】判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段按照从小到大或从大到小的顺序排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等，比值相等的四条线段成比例； 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. . 1．（24-25八年级下·吉林长春·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 7．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为 厘米． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知线段，，满足． (1)求的值． (2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 知识点 2 比例的基本性质 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 4）等比性质：如果 . 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则 ． 2．（19-20九年级上·全国·单元测试）若，则 ． 3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知，且，那么 ． 3．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 知识点 3 黄金分割 黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. . 1．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观，已知一条分割线的端点分别在习字格的边上，且，“善”字的笔画“，”的位置在的黄金分割点处，且，若，则的长为 cm．（结果保留根号） 4．（2025·云南昆明·一模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”．如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（   ） A．0到0.5之间 B．0.5到1之间 C．1到1.5之间 D．1.5到2之间 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若cm，求的长． 考点一： 成比例线段的判断 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在下列四组线段中，成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）下列各组线段，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 考点二： 由成比例线段直接求值 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（24-25六年级下·上海崇明·期中）已知是和的比例中项，则= ． 3．（24-25九年级下·江苏无锡·开学考试）如果，且是和的比例中项，那么等于 ． 4．（2024·浙江宁波·二模）已知两条线段的长度、满足 ，且，若另一线段长度是、的比例中项，则 ． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 6．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 考点三： 比例尺 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知A、B两地的实际距离是，量得两地在地图上的距离是．若在该地图上量得A、C两地间的距离是，则A、C两地间的实际距离是 ． 3．（24-25九年级上·山西运城·期中）地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 4．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 考点四： 由比例的性质判断结论正误 1．（2025·甘肃·一模）已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）已知，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22九年级上·河南平顶山·期中）下列结论中，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若（b﹣d≠0），则 D．若，则a＝3，b＝4 4．（2025·福建龙岩·一模）已知正实数，，，，满足，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·甘肃陇南·一模）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（   ） 舞蹈社 溜冰社 魔术社 上学期 3 4 5 下学期 4 3 2 A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变 考点五： 由比例的性质求参数的值 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 2．（2024·安徽安庆·二模）已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知为的三边长，且满足，，求的周长． 4．（24-25九年级上·四川·期中）已知：，且，求，，的值． 考点六： 由比例的性质求代数式的值 1．（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）若，则 ． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知 ，且，求的值 4．（22-23九年级下·四川内江·期中）已知非负实数a，b，c满足，设的最大值为m，最小值为n，则的值为 ． 考点七： 由比例的性质进行证明 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知，，均为正实数，且，求证：． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证：． 3．（2025·上海松江·一模）已知： (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 4．（20-21八年级上·重庆渝中·期末）阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：． 证明：∵，∴．∴． 根据以上方法，解答下列问题：（1）若，求的值； （2）若，且a≠b，c≠d，证明． 5．（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数，，即，. 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 考点八： 由比例的性质比较大小 1．（22-23九年级上·河北保定·期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知：，设，，，求、、的值，并且比较它们大小． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如果，，满足，则，，之间的关系是（　　） A． B． C． D． 考点九： 比例的应用 1．（24-25七年级下·河南·自主招生）《周髀算经》是中国古代数学著作，其中记载：“勾广三，股修四，径隅五”，意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，斜边（即最长的边）为5（弦），后人简单地把这个事实说成“勾3股4弦5”．已知一个直角三角形三条边的长度比是3：4：5，且斜边的长度是，则这个直角三角形的面积是 ． 2．（24-25九年级上·天津河西·期末）在比例尺为的图纸上，量得一正方形的草地边长为，则这个正方形草地的实际边长为 ． 3．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，以O为支点，木棍所受的重力为G．根据杠杆原理，在A处需一竖直向上的拉力F才能保持木棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为，，则的长为 ．    4．（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 考点十： 由黄金分割求值 1．（24-25九年级下·山东淄博·期中）若线段，且点C是的黄金分割点，则等于（   ） A． B． C． D．或 2．（2025·山西朔州·模拟预测）两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好．若舞台长25米，设主持人从点登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为 ． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在截取，点就是线段的黄金分割点．若，则 ． 考点十一： 黄金分割的运用 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置，即．如图，若该车车身总长约为5米，则车头与后视镜的水平距离约为 米．    2．（2025九年级下·全国·专题练习）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为，那么它的下部应设计的高度为 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某班级组织元旦晚会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若某中学舞台长为，试计算主持人应走到离A点 m处最佳（离A较近的位置）．（，结果精确到） 4．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）综合与实践．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵，  ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． (2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 1．（2025·浙江·模拟预测）若，则的值为（　　） A． B．4 C． D． 2．（2025·山西临汾·一模）大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段AB的黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知是成比例线段，且，其中，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 5（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 6．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）沈阳市中山广场的毛主席雕像是中国保存最完整的毛主席雕像之一，具有深厚的历史和艺术交织．雕像总高约为20米，毛主席塑像高度和基座的比为黄金比例，那么毛主席塑像高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（2025·广东广州·二模）我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，已知长为2米，则的长是 米． 8．（2025·辽宁铁岭·三模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 ． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果的值是，那么的值为 ． 10．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）阅读材料： 已知，求的值． 解：设，则，，．（第一步） ________．（第二步） (1)回答下列问题： 第二步的结果是____________，由求得结果利用了________的基本性质； (2)模仿材料解题： 已知，求的值： 11．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）（1）若，请在①，②，③中任意选择一个代数式求值； （2）已知某天某一时刻某地物体高度与其影长的比值为，在当地同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为多少？ 12．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）探究比例的性质．已知：a，b，c，d，是一组不为0的数，且分式成立（即a，b，c，d成比例）．试猜想和两分式之间的关系，并证明你的猜想． 13．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 成比例线段 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：11心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解线段的比的概念，会计算两条线段的比； 2.理解成比例线段的概念； 3.理解并掌握比例的基本性质，并能运用比例的基本性质解决一些实际问题； 4.理解黄金分割的定义，对黄金分割进行简单运用. 知识点 1 比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 【解题思路】判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段按照从小到大或从大到小的顺序排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等，比值相等的四条线段成比例； 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. . 1．（24-25八年级下·吉林长春·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解： A．，这四条线段不成比例，故不符合题意； B．，这四条线段成比例；符合题意； C．，这四条线段不成比例，故不符合题意； D．，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 7．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为 厘米． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段， 能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题． 根据实际距离×比例尺=图上距离，代入数据计算即可． 【详解】解：100千米厘米， 厘米， 故答案为：2． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例中项，成比例线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：线段，线段是线段的比例中项， ， ， ， ， 是线段， ， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了比例尺的性质，科学记数法，设、两地的实际距离是米，根据比例尺的性质列出方程，求出的值，再用科学记数法表示出答案．解题的关键是根据题意列出方程． 【详解】解：设、两地的实际距离是米， 比例尺为，、两地的图上距离是0.15米， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知线段，，满足． (1)求的值． (2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 【答案】(1)的值为 (2)的值为 【分析】本题考查了比例的性质，比例中项的定义．熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例的性质求解即可； （2）根据比例中项的定义，即可得到，再根据即可求解． 【详解】（1）解：设，， 则原式． （2）解：当时，， ∵是线段，的比例中项， ∴ ∵线段， ∴． 知识点 2 比例的基本性质 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 4）等比性质：如果 . 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据可得，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（19-20九年级上·全国·单元测试）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的相关性质是解题的关键．设，利用比例的性质可得出，，，再代入求值即可． 【详解】解：设，则，，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出b的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理，熟知比例的性质是解题的关键． （1）设，则，据此计算求解即可； （2）同（1）得，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出的值，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且两直角边的长为10，24， ∴． 知识点 3 黄金分割 黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. . 1．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵点C、D是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 根据黄金分割的概念，可得，由此列方程即可求解． 【详解】解：如图：设米， 由题意知 米，米， 由黄金分割可得：， ， 故答案为：． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观，已知一条分割线的端点分别在习字格的边上，且，“善”字的笔画“，”的位置在的黄金分割点处，且，若，则的长为 cm．（结果保留根号） 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的判定和性质，理解黄金分割知识是解答关键． 根据正方形的性质和平行线的性质得到四边形是矩形，再利用矩形的性质和黄金分割来求解． 【详解】解：四边形是正方形， ． 又， ， ， 四边形是矩形， ． 又， ． 故答案为：或． 4．（2025·云南昆明·一模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”．如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（   ） A．0到0.5之间 B．0.5到1之间 C．1到1.5之间 D．1.5到2之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算．由题意知，，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，则， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若cm，求的长． 【答案】cm 【分析】根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，cm， cm， cm， 的长为cm. 考点一： 成比例线段的判断 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在下列四组线段中，成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例线段，熟练掌握成比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的性质可直接进行排除选项即可． 【详解】解：A、，故3、4 、5 、6不是成比例线段，不符合题意； B、，故不是成比例线段，不符合题意； C、，故是成比例线段，符合题意； D、，故不是成比例线段，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）下列各组线段，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查比例线段．解题的关键是掌握比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，简称比例线段．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．据此解答即可． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段成比例问题，根据比例线段的概念，最小线段长与最大线段长的积，另外两条线段长的积，两个结果是否相等即可即可求解． 【详解】解：A、，不成比例，不符合题意； B、，则，不成比例，不符合题意； C、，不成比例，不符合题意； D、，成比例，符合题意； 故选：D ． 考点二： 由成比例线段直接求值 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段．根据成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质可求出． 【详解】解：线段，，，是成比例线段， ， 即， 解得． 故选：C． 2．（24-25六年级下·上海崇明·期中）已知是和的比例中项，则= ． 【答案】18 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是理解两个数的比例中项，然后列出比例式进一步解答． 根据题意，2与x的比例中项为6，也就是，然后再进一步解答即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， 故答案为：18． 3．（24-25九年级下·江苏无锡·开学考试）如果，且是和的比例中项，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的概念，理解比例中项的概念是解题的关键，根据比例中项的概念可得，则可求得的值． 【详解】解：，且是和的比例中项， 设，，则， 即， 解得：， ． 故答案为：． 4．（2024·浙江宁波·二模）已知两条线段的长度、满足 ，且，若另一线段长度是、的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，比例中项，熟练掌握解二元一次方程组的方法和比例中项的定义是解题的关键．由题给出了关于、满足的二元一次方程组，可以解得，由比例中项的定义即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∵是、的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，，． 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可． （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值． 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 6．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 【答案】(1)9，6，12 (2) (3) 【分析】（1）设比值为，然后用表示出再代入等式进行计算即可得； （2）根据比例中项的定义列式求解即可得 （3）根据黄金分割比的结论列式求解即可得 【详解】（1）解：设， 则， 解得：， 则：； （2）∵线段 x 是线段 a 、b 的比例中项， ∴， ∴， ∴； （3）∵线段b按黄金分割比例分为两条线段， ∴长边长度为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，黄金分割比，熟记比例中项的概念、黄金分割比的比值结论是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出可以使计算更加简便． 考点三： 比例尺 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例尺，在求比值时注意对单位进行统一，这是解题的关键．根据该地图上距离与实际距离的比，就是东海大桥地图上的长度与实际长度的比值解答即可． 【详解】解：32.5千米厘米， 所以该地图上距离与实际距离的比为． 故选C． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知A、B两地的实际距离是，量得两地在地图上的距离是．若在该地图上量得A、C两地间的距离是，则A、C两地间的实际距离是 ． 【答案】480 【分析】本题考查了比例尺“比例尺就是图上长度与实际长度的比”，熟练掌握比例尺的定义是解题关键．先求出比例尺，再根据比例尺的定义求解即可得． 【详解】解：由题意得：比例尺为， 则、两地间的实际距离是， 故答案为：480． 3．（24-25九年级上·山西运城·期中）地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺的定义，根据比例尺图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握比例尺的定义是解此题的关键． 【详解】解：设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， ∴， 解得， ∴设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， 故选：B． 4．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意知，按比例尺缩小后，其面积大约为，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，上海人民广场占地面积约为，按比例尺缩小后，其面积大约为，相当于《中学生报》的一个版面的面积， 故选：C． 考点四： 由比例的性质判断结论正误 1．（2025·甘肃·一模）已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例中的两个内项之积等于两个外项的积，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 2．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）已知，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴不成立， 故选：D． 3．（21-22九年级上·河南平顶山·期中）下列结论中，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若（b﹣d≠0），则 D．若，则a＝3，b＝4 【答案】D 【分析】根据比例性质，化为乘积变形可判断A正确，利用先化积，再化比例可判定B，利用换元计算可判断C，设比值，取k=1与k≠1，可判断D． 【详解】解：A、若，则，而，正确，不合题意； B、若，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则，正确，不合题意； C、若（b﹣d≠0），则，正确，不合题意； D、若，设，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1， a，b的值不是3与4，故此选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查比例性质，等积化比例，比例化等积，合分比性质，掌握比例性质是解题关键． 4．（2025·福建龙岩·一模）已知正实数，，，，满足，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，能够灵活对比例式进行变形是解本题的关键．根据比例的性质，进行解答即可． 【详解】解：∵ ∴①，正确； ②，正确； ③，正确； ④当时，，正确 故选：D． 5．（2024·甘肃陇南·一模）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（   ） 舞蹈社 溜冰社 魔术社 上学期 3 4 5 下学期 4 3 2 A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变 【答案】D 【分析】若甲：乙：丙=a：b：c，则甲占全部的，乙占全部的，丙占全部的． 【详解】由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下： ∴舞蹈社增加，溜冰社不变． 故选D． 【点睛】本题考查了比例的性质．找出各社团人数占全部人数的比例是解题的关键． 考点五： 由比例的性质求参数的值 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， 答：的三边长分别为，，． 2．（2024·安徽安庆·二模）已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，，，结合求出的值即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知为的三边长，且满足，，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质．设，利用，求得，再利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 4．（24-25九年级上·四川·期中）已知：，且，求，，的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了比例的性质．设得出，，根据题意求得，即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴，，． 考点六： 由比例的性质求代数式的值 1．（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）若，则 ． 【答案】/0.2 【分析】根据比例的基本性质，把比例式转换为等积式后，用其中一个字母表示另一个字母，代入原式后以达到约分的目的即可． 【详解】解：设， ∴， ∴． 故答案为： 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 【答案】(1)1； (2)，，． 【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力． （1）令，，，把，，，代入，即可计算； （2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令，，， ， ． （2）， ， ， ， ，，． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知 ，且，求的值 【答案】33 【分析】本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值． 先设，可得，，，而，那么，易求，进而可求、、的值，代入计算即可． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 4．（22-23九年级下·四川内江·期中）已知非负实数a，b，c满足，设的最大值为m，最小值为n，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设，则，，，可得；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求． 【详解】解：设，则 ∴． ∵a，b，c为非负实数， ∴； 解得：． ∴当时，S取最小值，当时，S取最大值． ∴，． ∴， 故答案为：． 考点七： 由比例的性质进行证明 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知，，均为正实数，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 根据比例的基本性质即可得出结论． 【详解】解：∵ 又∵ ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了比例的性质： （1）先根据已知条件得到，再分别代入进行求解即可； （2）设，则，，再代入计算即可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：设，则，， ∴，， ∴． 3．（2025·上海松江·一模）已知： (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】本题考查比例， （1）根据题意得出，再结合即可解决问题； （2）在等式两边都减去，再进行变形即可解决问题； 解题的关键是掌握比例的基本性质：比例的内项之积与外项之积相等．也考查了恒等变形． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴， ∴， 又∵， ∴，； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（20-21八年级上·重庆渝中·期末）阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：． 证明：∵， ∴． ∴． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，且a≠b，c≠d，证明． 【答案】（1）；（2）证明过程见解析 【分析】（1）根据计算即可； （2）先在等式两边同时减去1再结合计算即可； 【详解】（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键． 5．（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【答案】（1）k=；（2）见解析． 【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立． 【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足， ∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y）， ∴x+y+z=3k（x+y+z）， ∵x、y、z均为正数， ∴k=； （2）证明：设=k， 则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a）， ∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a）， ∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0， ∴8a+9b+5c=0． 故答案为（1）k=；（2）见解析． 【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键． 考点八： 由比例的性质比较大小 1．（22-23九年级上·河北保定·期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可． 【详解】解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a， ∴=， ==1， ==2． ∴A＜B＜C． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知：，设，，，求、、的值，并且比较它们大小． 【答案】，理由见解析 【分析】令，则，，，把x、y、z的值分别代入A、B、C中求值后，比较即可解答. 【详解】解：令， 则，，， 故， ， ， 故． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是设出一个系数，用这个系数表示出x、y、z的值后代入即可求解． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如果，，满足，则，，之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，先分别得出b，c与a的关系式，再比较即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选． 考点九： 比例的应用 1．（24-25七年级下·河南·自主招生）《周髀算经》是中国古代数学著作，其中记载：“勾广三，股修四，径隅五”，意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，斜边（即最长的边）为5（弦），后人简单地把这个事实说成“勾3股4弦5”．已知一个直角三角形三条边的长度比是3：4：5，且斜边的长度是，则这个直角三角形的面积是 ． 【答案】150 【分析】本题考查比的应用及直角三角形面积公式的应用，解题的关键是根据三边比例关系求出两条直角边的长度． 先根据三边比例和斜边长度求出直角边长度，再利用直角三角形面积公式计算面积． 【详解】 () () () () 故答案为：150 2．（24-25九年级上·天津河西·期末）在比例尺为的图纸上，量得一正方形的草地边长为，则这个正方形草地的实际边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的应用，由比例尺可知，图上在实际中表示，由此即可求解，掌握比例尺的意义是解题的关键． 【详解】解：∵比例尺为， ∴图上在实际中表示， ∴正方形的草地边长为，则这个正方形草地的实际边长为， 故答案为：． 3．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，以O为支点，木棍所受的重力为G．根据杠杆原理，在A处需一竖直向上的拉力F才能保持木棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为，，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据杠杆平衡原理可得，则，求得，即可得到的长． 【详解】解：∵，， 根据杠杆平衡原理，可得， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了比例的基本性质、杠杆平衡原理，正确列式和计算是解题的关键． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 【答案】公里 【分析】此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一． 根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里． 【详解】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有： ：：， 解得． 答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里． 考点十： 由黄金分割求值 1．（24-25九年级下·山东淄博·期中）若线段，且点C是的黄金分割点，则等于（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分、两种情况，根据黄金比值计算即可．本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【详解】解：∵线段，且点C是的黄金分割点， ∴当时，， 当时， ， 故选D． 2．（2025·山西朔州·模拟预测）两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好．若舞台长25米，设主持人从点登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．点是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则， ， ， 故选：A． 3．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割数，实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值是解题的关键． 分别运算出两数的近似值再作比较即可． 【详解】解：∵黄金分割数，， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系．利用黄金分割点可得，进而得解． 【详解】解：由题意知：N是的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在截取，点就是线段的黄金分割点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割，勾股定理；利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，， ． 又， ． 又， ， 则， ． 故答案为：． 考点十一： 黄金分割的运用 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置，即．如图，若该车车身总长约为5米，则车头与后视镜的水平距离约为 米．    【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．设车头与后视镜的水平距离约为x米，由题意得：，即，求解即可得出答案． 【详解】解：设车头与后视镜的水平距离约为x米， 由题意得：，即， 解得：， ∵不符合题意， ∴， 故答案为：． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为，那么它的下部应设计的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割，设它的下部应设计的高度为，则雕像的上部为，根据题意得到，解方程即可求解． 【详解】解：设它的下部应设计的高度为，则雕像的上部为， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴它的下部应设计的高度为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某班级组织元旦晚会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若某中学舞台长为，试计算主持人应走到离A点 m处最佳（离A较近的位置）．（，结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，黄金分割比为．根据黄金分割即可求解． 【详解】解：依题意，主持人应走到离点至少． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）综合与实践．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵，  ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． (2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键． （1）根据比例的性质得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． （2）则令“千斤”下面一截琴弦长为，利用黄金分割数的定义，得出，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 整理得： 解得：，（舍去）， 故黄金分割数为； （2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短， 则令“千斤”下面一截琴弦长为， 所以， 解得， 所以“千斤”下面一截琴弦长为． 1．（2025·浙江·模拟预测）若，则的值为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行变形求解即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025·山西临汾·一模）大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段AB的黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割．把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中． 根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长． 【详解】解：∵为的黄金分割点， 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的有关计算．根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知是成比例线段，且，其中，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键． 根据题意得到即，求出，即可得到答案． 【详解】解：是成比例线段，且， ， ， ， 故选：C． 5（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质及求代数式的值，根据条件利用“设法”是解题的关键． 设，则、、，代入已知等式中，即可求得结果． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 故选：A． 6．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）沈阳市中山广场的毛主席雕像是中国保存最完整的毛主席雕像之一，具有深厚的历史和艺术交织．雕像总高约为20米，毛主席塑像高度和基座的比为黄金比例，那么毛主席塑像高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割、解分式方程等知识点，理解黄金分割的定义是解题的关键． 设毛主席的塑像高为x米，则基座的高度为米，然后根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：设毛主席的塑像高为x米，则基座的高度为米， 根据题意可得：， 解得：． 经检验是分式方程的解， 所以毛主席塑像高度是米． 故选B． 7．（2025·广东广州·二模）我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，已知长为2米，则的长是 米． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义并结合图象计算即可得解，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米， 故米， 故答案为：． 8．（2025·辽宁铁岭·三模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故答案为： 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果的值是，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要运用了比例性质，根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）阅读材料： 已知，求的值． 解：设，则，，．（第一步） ________．（第二步） (1)回答下列问题： 第二步的结果是____________，由求得结果利用了________的基本性质； (2)模仿材料解题： 已知，求的值： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． （1）根据比例的基本性质即可得到答案； （2）设，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第二步的结果是，由求得结果利用了比例的基本性质； 故答案为：，比例； （2）解：设， ， ． 11．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）（1）若，请在①，②，③中任意选择一个代数式求值； （2）已知某天某一时刻某地物体高度与其影长的比值为，在当地同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为多少？ 【答案】（1）选择①，；选择②，，选择③，；（2）20米 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）设，代入代数式进行计算即可； （2）设这栋楼高，根据题意列出方程即可得到答案． 【详解】解：（1）设， 选择①：； 选择②：； 选择③：； （2）设这栋楼高， 由题意得： ， 答：这栋楼的高度为米． 12．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）探究比例的性质．已知：a，b，c，d，是一组不为0的数，且分式成立（即a，b，c，d成比例）．试猜想和两分式之间的关系，并证明你的猜想． 【答案】；见解析 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例的性质能够灵活对一个比例式进行变形．根据比例和分式的基本性质，进行各种演变即可得到结论． 【详解】解：猜想：，理由是： ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 【答案】(1)等比；合比 (2) 【分析】（1）根据题意，利用等比和合比的基本性质解答即可； （2）由题意可设，由此得出，，，所以得出，，进而得出答案． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等比的基本性质，在第二步解题过程中应用了合比的基本性质； 故答案为：等比；合比． （2）解：依题意，设， 则，，， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$