专题02 平面向量的基本定理及坐标运算9种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题02 平面向量的基本定理及坐标运算9种常考题型总结 题型概览 题型01 基底的判断 题型02 用基底表示向量 题型03 向量线性运算的坐标表示 题型04 利用坐标求向量共线问题 题型05 向量数量积的坐标表示 题型06 向量垂直的坐标表示 题型07 利用坐标求向量的夹角 题型08 利用坐标求向量的模长 题型09 利用坐标求投影向量 ( 题型01 ) 基底的判断 1．（2021春•庐阳区校级期末）下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是　　 A．， B．， C．， D．， ( 题型02 ) 用基底表示向量 2．（2021春•裕安区校级期末）如图，已知，用，表示，则等于　　 A． B． C． D． 3．（2019秋•马鞍山期末）如图，在中，点是边的中点，，则用向量表示为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•安徽期末）已知在梯形中，，，，若，则　　 A．， B．， C．， D．， 5．（2023秋•迎江区校级期末）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•萧县校级期末）如图，平行四边形中，，，点是的三等分点，则　　 A． B． C． D． 7．（2024春•宣城期末）在中，已知是边上靠近点的三等分点，是的中点，且，则　　 A． B． C． D．1 ( 题型03 ) 向量线性运算的坐标表示 8．（2024春•蜀山区校级期末）设平面向量，点，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 9．（2024春•金安区校级期末）如图，平面上，，三点的坐标分别为，，． （1）写出向量的坐标； （2）如果四边形是平行四边形，求点的坐标． ( 题型04 ) 利用坐标求向量共线问题 10．（2021春•安庆期末）已知向量，若，则实数的值为　　 A．2 B． C．8 D． 11．（2024秋•迎江区校级期末）已知向量，，下列选项正确的为　　 A．若，则 B．若，则 C．的最小值为6 D．若与垂直，则 12．（2024春•亳州期末）已知向量，若，则　　 A． B． C．10 D．4 13．（2024春•宣城期末）设，向量，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 14．（2024春•安徽期末）已知向量，，，若与共线，则实数　　 A． B． C． D．0 15．（2023秋•池州期末）已知向量，，若，则下列关系一定成立的是　　 A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 向量数量积的坐标表示 16．（2021秋•马鞍山期末）已知，，，，则　　． 17．（2023春•涡阳县期末）如图，已知平面向量的模均为4，且，则　　 A．4 B． C．8 D． ( 题型0 6 ) 向量垂直的坐标表示 18．（2024春•金安区校级期末）已知向量，若，则　　 A． B． C．1 D．2 19．（2024春•滁州期末）设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．在该坐标系下向量，，若有，则的值是　　 A．或 B．或2 C．或 D．或2 ( 题型0 7 ) 利用坐标求向量的夹角 20．（2023秋•瑶海区校级期末）已知向量，，，则　　 A． B． C． D． 21．（2024秋•铜陵校级期末）已知向量，满足，，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 22．（2024春•宣城期末）若向量，满足，，且，则与的夹角为　　 A． B． C． D． ( 题型0 8 ) 利用坐标求向量的模长 23．（2024春•庐阳区校级期末）已知平面向量满足，则　　． （多选）24．（2021春•庐阳区校级期末）已知向量，，则　　 A．若与垂直，则 B．若，则的值为 C．若，则 D．若，则与的夹角为 25.（2024春•大观区校级期末）已知向量满足． （1）求； （2）若，求的最小值． ( 题型0 9 )利用坐标求投影向量 26．（2024春•安徽期末）若向量，则在上的投影向量的坐标是　　 A． B． C． D． 27．（2024春•颍州区校级期末）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 28．（2024秋•宿州期末）已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则实数　　 A．1 B． C．2 D． 29．（2023秋•蜀山区校级期末）已知，，若在向量上的投影向量为，则向量　　 A． B． C． D． 30．（2024秋•太和县校级期末）若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 　　． 1．（2024春•怀宁县校级期末）在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为　　 A．3 B． C．1 D． 2．（2023春•蚌埠期末）如图，扇形中，点是上一点，且．若，则的最大值为　　 A． B． C． D．1 （多选）3．（2021春•庐阳区校级期末）下列说法中正确的为　　 A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为 （多选）4．（2023秋•亳州期末）已知向量满足，且，则的坐标可以为　　 A．， B．， C．， D．， （多选）5．（2024春•金安区校级期末）已知向量，则下列命题正确的有　　 A．若，则 B．若，则 C． D．的最大值为3 6．（2024秋•安徽期末）已知向量，若，则 　　． 7．（2024春•阜阳期末）若向量满足，则向量的夹角为 　　． 8．（2022春•定远县校级期末）已知向量，，，若，，，则　　． 9．（2024春•庐江县期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为 　　． 10．（2023春•滁州期末）在等腰梯形中，已知，，，，点在线段上，且，当点为线段中点时，　　；当点在线段上运动时，的最大值为 　　． 11．（2024春•滁州期末）如图，在矩形中，，，是上靠近的三等分点，是的中点，是与的交点． （1）用向量，表示，； （2）求的余弦值． 12．（2022春•迎江区校级期末）如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）求； （3）设，求的取值范围． 13．（2023春•合肥期末）已知向量，，． （1）求的值； （2）若，，且，求的值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量的基本定理及坐标运算9种常考题型总结 题型概览 题型01 基底的判断 题型02 用基底表示向量 题型03 向量线性运算的坐标表示 题型04 利用坐标求向量共线问题 题型05 向量数量积的坐标表示 题型06 向量垂直的坐标表示 题型07 利用坐标求向量的夹角 题型08 利用坐标求向量的模长 题型09 利用坐标求投影向量 ( 题型01 ) 基底的判断 1．（2021春•庐阳区校级期末）下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】选项：因为，所以向量共线，故不能作为基底， 选项：因为，所以向量共线，故不能作为基底， 选项：因为，由向量共线定理可得不共线，故正确， 选项：因为，所以向量共线，故不能作为基底， 故选：． ( 题型02 ) 用基底表示向量 2．（2021春•裕安区校级期末）如图，已知，用，表示，则等于　　 A． B． C． D． 【解析】由，可得， 则，所以， 故选：． 3．（2019秋•马鞍山期末）如图，在中，点是边的中点，，则用向量表示为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可得，， ． 故选：． 4．（2024春•安徽期末）已知在梯形中，，，，若，则　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】由题可得：， 所以， 因为，所以． 故选：． 5．（2023秋•迎江区校级期末）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则　　 A． B． C． D． 【解析】． 故选：． 6．（2024秋•萧县校级期末）如图，平行四边形中，，，点是的三等分点，则　　 A． B． C． D． 【解析】平行四边形中，，， ， ， ， 故选：． 7．（2024春•宣城期末）在中，已知是边上靠近点的三等分点，是的中点，且，则　　 A． B． C． D．1 【解析】因为是边上靠近点的三等分点，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 因为，所以，，， 所以． 故选：． ( 题型03 ) 向量线性运算的坐标表示 8．（2024春•蜀山区校级期末）设平面向量，点，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【解析】设点的坐标为， 因为，点， 所以， 所以，解得， 所以点的坐标为． 故选：． 9．（2024春•金安区校级期末）如图，平面上，，三点的坐标分别为，，． （1）写出向量的坐标； （2）如果四边形是平行四边形，求点的坐标． 【解析】（1），，，， ，，，， ，，，． （2）设，由可得，，，即， 所以，，． ( 题型04 ) 利用坐标求向量共线问题 10．（2021春•安庆期末）已知向量，若，则实数的值为　　 A．2 B． C．8 D． 【解析】向量，且， 所以， 解得， 所以实数的值为． 故选：． 11．（2024秋•迎江区校级期末）已知向量，，下列选项正确的为　　 A．若，则 B．若，则 C．的最小值为6 D．若与垂直，则 【解析】对于，由，得，则，错误； 对于，由，得， 与联立， 解得，错误； 对于， ， ，所以的最小值4，错误． 对于，由题意知：，且， 则，， ，正确． 故选：． 12．（2024春•亳州期末）已知向量，若，则　　 A． B． C．10 D．4 【解析】，， 则，解得， 故， ， 则． 故选：． 13．（2024春•宣城期末）设，向量，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 【解析】， 若， 则，解得， 若， 则，解得， 故是的必要不充分条件． 故选：． 14．（2024春•安徽期末）已知向量，，，若与共线，则实数　　 A． B． C． D．0 【解析】根据题意，向量，，， 则， 因为与共线，所以，解得． 故选：． 15．（2023秋•池州期末）已知向量，，若，则下列关系一定成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】向量，， ，， 由，可得， 整理得． 故选：． ( 题型0 5 ) 向量数量积的坐标表示 16．（2021秋•马鞍山期末）已知，，，，则　　． 【解析】， ， 解得， 所以， 又， 所以， 故答案为：0． 17．（2023春•涡阳县期末）如图，已知平面向量的模均为4，且，则　　 A．4 B． C．8 D． 【解析】已知平面向量的模均为4，且， 则． 故选：． ( 题型0 6 ) 向量垂直的坐标表示 18．（2024春•金安区校级期末）已知向量，若，则　　 A． B． C．1 D．2 【解析】因为，， 所以，所以． 故选：． 19．（2024春•滁州期末）设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．在该坐标系下向量，，若有，则的值是　　 A．或 B．或2 C．或 D．或2 【解析】由题可得，且， ，， ，， ，， ， ，解得或． 故选：． ( 题型0 7 ) 利用坐标求向量的夹角 20．（2023秋•瑶海区校级期末）已知向量，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】向量，，， ，， ，， 故，． 故选：． 21．（2024秋•铜陵校级期末）已知向量，满足，，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】向量，满足，， 则，， 故，，， 设与的夹角为，，， 则，解得． 故选：． 22．（2024春•宣城期末）若向量，满足，，且，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，设与的夹角为， 由于，则， 若，变形可得，即， 解可得， 又由，故． 故选：． ( 题型0 8 ) 利用坐标求向量的模长 23．（2024春•庐阳区校级期末）已知平面向量满足，则　　． 【解析】， ， 解得． 故答案为：． （多选）24．（2021春•庐阳区校级期末）已知向量，，则　　 A．若与垂直，则 B．若，则的值为 C．若，则 D．若，则与的夹角为 【解析】对于，解得，故错； 对于，故，故，故正确； 对于得，故，故正确； 对于得，故，故错． 故选：． 25.（2024春•大观区校级期末）已知向量满足． （1）求； （2）若，求的最小值． 【解析】（1）向量满足， 解得，， ，， 则，； （2）若，可设，， 则， 当时，取得最小值，且为． ( 题型0 9 )利用坐标求投影向量 26．（2024春•安徽期末）若向量，则在上的投影向量的坐标是　　 A． B． C． D． 【解析】， 则在上的投影向量为． 故选：． 27．（2024春•颍州区校级期末）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】向量，满足，且， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：． 28．（2024秋•宿州期末）已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则实数　　 A．1 B． C．2 D． 【解析】平面向量，，在方向上的投影向量为， 则，解得． 故选：． 29．（2023秋•蜀山区校级期末）已知，，若在向量上的投影向量为，则向量　　 A． B． C． D． 【解析】由题意． 故选：． 30．（2024秋•太和县校级期末）若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 　　． 【解析】向量， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为： ．． 故答案为：． 1．（2024春•怀宁县校级期末）在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为　　 A．3 B． C．1 D． 【解析】因为，，， 所以， 因为，，共线， 所以， 所以， 当且仅当且，即时取等号， 此时的最小值为3． 故选：． 2．（2023春•蚌埠期末）如图，扇形中，点是上一点，且．若，则的最大值为　　 A． B． C． D．1 【解析】由题意，建立如图所示的坐标系，设扇形半径为2， 由，可得，， 设，， 由，可得，，， 所以，整理得：， 则，其中， 所以当时，有最大值． 故选：． （多选）3．（2021春•庐阳区校级期末）下列说法中正确的为　　 A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为 【解析】对于：已知，，由于与的夹角为锐角， 故，且，故实数的取值范围是，故错误； 对于：向量，，满足，所以和共线，所以不能作为平面内的一组基底，故正确； 对于：非零向量，，满足且与同向，则是错误的，向量不能比较大小，故错误； 对于：非零向量和，满足，则以这三边构成的三角形为等边三角形，所以与的夹角为，故正确． 故选：． （多选）4．（2023秋•亳州期末）已知向量满足，且，则的坐标可以为　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，若，，而，则有，，，，无解，不符合题意； 对于，若，，而，则有，，，，当时等号成立，符合题意； 对于，若，，而，则有，，，，当时等号成立，符合题意； 对于，若，，而，则有，，，，当时等号成立但不符合，不符合题意． 故选：． （多选）5．（2024春•金安区校级期末）已知向量，则下列命题正确的有　　 A．若，则 B．若，则 C． D．的最大值为3 【解析】．，故，选项正确，符合题意； ．当，则，有，故，选项正确，符合题意； ．，则，选项错误，不符合题意； ．， 当时，的最大值为3，选项正确，符合题意． 故选：． 6．（2024秋•安徽期末）已知向量，若，则 　　． 【解析】若，向量， 则，解得． 故答案为：3． 7．（2024春•阜阳期末）若向量满足，则向量的夹角为 　　． 【解析】因为，， 所以，，； ，； 设向量的夹角为，则， 所以， 因为，所以． 故答案为：． 8．（2022春•定远县校级期末）已知向量，，，若，，，则　　． 【解析】，，， ， ，，， ，即，解得． 故答案为：5． 9．（2024春•庐江县期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为 　　． 【解析】因为，不妨设，因此， 又由题意可得， 所以， 因此， 延长交于， 记，， 则， 所以， 又由题意易知，则， 在三角形中，由正弦定理可得：， 即， 因此， ， 所以， 因为，即， 整理得， 所以， 又因为， 由平面向量的基本定理可得，， 所以， 另解：由，可得，① 由，可得，② 由，可得， 将②代入①，可得， 化为， 设， 则，， ． 故答案为：． 10．（2023春•滁州期末）在等腰梯形中，已知，，，，点在线段上，且，当点为线段中点时，　　；当点在线段上运动时，的最大值为 　　． 【解析】如图， 因为，，， 所以，故， 当点在线段上运动时， ， 当点为线段中点时，， 又，所以，， 由，，三点共线可知，，即， 所以， 又，即，所以， 所以，即的最大值为． 故答案为：；． 11．（2024春•滁州期末）如图，在矩形中，，，是上靠近的三等分点，是的中点，是与的交点． （1）用向量，表示，； （2）求的余弦值． 【解析】（1）由题意可得：，， 所以，； （2）由（1）得：， 且， 所以． 12．（2022春•迎江区校级期末）如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）求； （3）设，求的取值范围． 【解析】（1）依题意，， ， ． （2）设，则， ，，三点共线，，则， ，． （3）由已知， 因是线段上动点，则令， 则， 又不共线， 则有，，，， 在上递增， 当时，取得最小值为0， 当时，取得最大值为， 故的取值范围是． 13．（2023春•合肥期末）已知向量，，． （1）求的值； （2）若，，且，求的值． 【解析】（1），， ． ， ． （2），，且， ，且． 又，， ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$