专题01 平面向量的概念与运算9种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题01 平面向量的概念与运算9种常考题型总结 题型概览 题型01向量的相关概念辨析 题型02向量的线性运算 题型03用已知向量表示其他向量平面向量 题型04向量共线问题 题型05向量数量积的运算 题型06向量垂直的应用 题型07向量夹角相关计算 题型08向量模长相关计算 题型09向量的投影向量 ( 题型01 ) 向量的相关概念辨析 1．（2022春•黄山期末）以下说法正确的是　　 A．零向量与任意非零向量平行 B．若，则 C．若为实数），则必为零 D．若和都是单位向量，则 2．（2022春•芜湖校级期末）在下列说法中： ①若，，则； ②零向量的模长是0； ③长度相等的向量叫相等向量； ④共线是在同一条直线上的向量． 其中正确说法的序号是　　 A．①② B．②③ C．②④ D．①④ （多选）3．（2022春•合肥期末）如下四个命题中，说法正确的是　　 A．向量的长度与向量相等 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．两个公共终点的向量，一定是共线向量 D．向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上 4．（2024春•霍山县校级期末）已知非零向量与同向，则　　 A．必定与同向 B．必定与同向 C．必定与是平行向量 D．与不可能是平行向量 ( 题型02 ) 向量的线性运算 5．（2024春•蚌埠期末）　　 A． B． C． D． 6．（2024春•金安区校级期末）若四边形是平行四边形，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 7．（2024春•金安区校级期末）已知正方形的边长为2，则　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•裕安区校级期末）化简． （1）； （2）． ( 题型03 ) 用已知向量表示其他向量平面向量 9．（2024春•庐阳区校级期末）在平行四边形中，，则　　 A． B． C． D． 10．（2023春•谯城区校级期末）如图在梯形中，，，设，，则　　 A． B． C． D． 11．（2024春•大观区校级期末）在平行四边形中，是线段的中点，则　　 A． B． C． D． ( 题型04 ) 向量共线问题 12．（2024春•宣城期末）已知． （1）求； （2）当实数为何值时，与垂直？ （3）若不共线，与反向，求实数的值． 13．（2024春•金安区校级期末）已知向量，，． （1）若，求； （2）若与共线，求的值． 14．（2023春•合肥期末）已知向量，， （1）当实数为何值时，向量与共线 （2）当实数为何值时，向量与垂直 15．（2023秋•安徽期末）已知点，，，为坐标原点，若与共线，则　　 A．0 B．1 C．2 D．3 16．（2023春•田家庵区校级期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为　　 A．或 B．或1 C．或2 D．1或2 17．（2024春•霍山县校级期末）设是不共线的两个向量，．若，，三点共线，则的值为 　　． ( 题型0 5 ) 向量数量积的运算 18．（2023秋•合肥期末）已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则　　 A． B． C．2 D． 19．（2024春•庐江县期末）在△中，，，，点为边上一点，且，则　　 A．3 B．2 C． D． 20．（2024春•阜阳期末）已知平面向量，均为单位向量，且，则　　． 21．（2023秋•迎江区校级期末）已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 向量垂直的应用 22．（2024春•大观区校级期末）已知单位向量与的夹角为，则　　 A． B． C． D． （多选）23．（2023秋•裕安区校级期末）在直角坐标系中，，，若三角形是直角三角形，则的可能值是　　 A．1 B． C．3 D． 24．（2023秋•合肥期末）已知向量，，且，则　　 A． B． C．6 D．8 ( 题型0 7 ) 向量夹角相关计算 25．（2024春•宣城期末）若向量，满足，，且，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 26．（2024春•滁州期末）已知向量，满足，则与的夹角为 　　． 27．（2023秋•亳州期末）已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 　　． 28．（2024春•合肥期末）已知，，，，求： （1）； （2）与的夹角． ( 题型0 8 ) 向量模长相关计算 29．（2024春•金安区校级期末）已知向量与的夹角为，则　　 A．12 B．16 C． D．4 30．（2024秋•黟县校级期末）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则　　 A．2 B．3 C． D． 31．（2024秋•安徽校级期末）若向量，的夹角为，且，，则　　 A． B．2 C．4 D．3 32．（2024秋•阜阳期末）已知向量，且，则的值为　　 A． B． C． D． 33．（2024秋•黄山校级期末）设为非零向量与的夹角，定义：．若，，，则 　　． ( 题型0 9 ) 向量的投影向量 34．（2024春•怀宁县校级期末）已知△的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 35．（2024春•颍州区校级期末）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 36．（2024春•合肥期末）的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 37．（2023秋•金寨县校级期末）已知向量与的夹角为，且满足，，则在上的投影向量为　　 A．1 B． C． D． 1．（2023秋•蜀山区校级期末）已知，，若在向量上的投影向量为，则向量　　 A． B． C． D． 2．（2024春•颍州区校级期末）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则　　；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为 　　． 3．（2024春•铜陵期末）已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则　　． 4．（2024春•芜湖期末）在中，，，点在直线上，若的面积为4，则的最小值是 　　． 5．（2023秋•迎江区校级期末）单位向量，满足． （1）求与夹角的余弦值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 6．（2024春•蒙城县校级期末）已知向量，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求在上的单调递减区间． 7．（2024春•叶集区校级期末）如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．若，则的值是 　　． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量的概念与运算9种常考题型总结 题型概览 题型01向量的相关概念辨析 题型02向量的线性运算 题型03用已知向量表示其他向量平面向量 题型04向量共线问题 题型05向量数量积的运算 题型06向量垂直的应用 题型07向量夹角相关计算 题型08向量模长相关计算 题型09向量的投影向量 ( 题型01 ) 向量的相关概念辨析 1．（2022春•黄山期末）以下说法正确的是　　 A．零向量与任意非零向量平行 B．若，则 C．若为实数），则必为零 D．若和都是单位向量，则 【解析】，规定：零向量与任意向量平行，正确， ，若时，满足，，但与不一定共线，错误， ，当时，满足，错误， ，当与方向不相同时，，错误， 故选：． 2．（2022春•芜湖校级期末）在下列说法中： ①若，，则； ②零向量的模长是0； ③长度相等的向量叫相等向量； ④共线是在同一条直线上的向量． 其中正确说法的序号是　　 A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【解析】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若，，则，故③错误，①正确， 模为0的向量叫做零向量，故②正确， 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也称为共线向量，规定零向量和任意向量平行，故④错误； 故选：． （多选）3．（2022春•合肥期末）如下四个命题中，说法正确的是　　 A．向量的长度与向量相等 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．两个公共终点的向量，一定是共线向量 D．向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上 【解析】对于，向量的长度与向量的长度相等，故正确； 对于，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故正确； 对于，两个公共终点的向量，起点不一定相同，不一定是共线向量，故错误 对于，向量与向量是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，例如平行四边形，向量与向量是共线向量，但，，，四点不共线，故错误． 故选：． 4．（2024春•霍山县校级期末）已知非零向量与同向，则　　 A．必定与同向 B．必定与同向 C．必定与是平行向量 D．与不可能是平行向量 【解析】非零向量与同向， 则可能与同向，也可能与同向，故错误， 则必定与是平行向量，故正确． 故选：． ( 题型02 ) 向量的线性运算 5．（2024春•蚌埠期末）　　 A． B． C． D． 【解析】． 故选：． 6．（2024春•金安区校级期末）若四边形是平行四边形，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示： 对于，平行四边形对边平行且相等，所以，故正确； 对于，利用向量加法的平行四边形法则得，故正确； 对于，利用向量减法的三角形法则得，故正确； 对于，与是相等的非零向量，，故错误． 故选：． 7．（2024春•金安区校级期末）已知正方形的边长为2，则　　 A． B． C． D． 【解析】． 故选：． 8．（2023秋•裕安区校级期末）化简． （1）； （2）． 【解析】（1）原式； （2）原式． ( 题型03 ) 用已知向量表示其他向量平面向量 9．（2024春•庐阳区校级期末）在平行四边形中，，则　　 A． B． C． D． 【解析】在平行四边形中，， 则， 故． 故选：． 10．（2023春•谯城区校级期末）如图在梯形中，，，设，，则　　 A． B． C． D． 【解析】取中点，由可知， 四边形为平行四边形， 则． 故选：． 11．（2024春•大观区校级期末）在平行四边形中，是线段的中点，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为是线段的中点， 所以 ． 故选：． ( 题型04 ) 向量共线问题 12．（2024春•宣城期末）已知． （1）求； （2）当实数为何值时，与垂直？ （3）若不共线，与反向，求实数的值． 【解析】（1）因为，，， 所以，解得， 所以； （2）因为与垂直，且，，， 所以， 解得； （3）因为与反向， 所以存在，使得， 因为不共线，所以由平面向量基本定理得：， 解得或（舍去）， 所以． 13．（2024春•金安区校级期末）已知向量，，． （1）若，求； （2）若与共线，求的值． 【解析】（1）向量，，， ， ， ， 解得， ， ； （2）向量，，， ，， 与共线， ， 解得． 14．（2023春•合肥期末）已知向量，， （1）当实数为何值时，向量与共线 （2）当实数为何值时，向量与垂直 【解析】（1），， 向量与共线， 所以， 所以． （2），， 向量与垂直， 所以，解得． 15．（2023秋•安徽期末）已知点，，，为坐标原点，若与共线，则　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】，，， 则，， 与共线， 则，解得． 故选：． 16．（2023春•田家庵区校级期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为　　 A．或 B．或1 C．或2 D．1或2 【解析】不共线， ， 又与共线， 存在，使， ，解得或1． 故选：． 17．（2024春•霍山县校级期末）设是不共线的两个向量，．若，，三点共线，则的值为 　　． 【解析】，不共线，， ，，三点共线，与共线， 存在实数，使， ， ，解得． 故答案为：． ( 题型0 5 ) 向量数量积的运算 18．（2023秋•合肥期末）已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则　　 A． B． C．2 D． 【解析】，， 则向量在向量上的投影为， 解得，所以． 故选：． 19．（2024春•庐江县期末）在△中，，，，点为边上一点，且，则　　 A．3 B．2 C． D． 【解析】由，，，可得， 因为点为边上一点，且，可得， 所以， 所以． 故选：． 20．（2024春•阜阳期末）已知平面向量，均为单位向量，且，则　　． 【解析】因为，均为单位向量，且， 所以，所以， 所以则． 故答案为：． 21．（2023秋•迎江区校级期末）已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【解析】， ，， 如图， 设，则， ， ， 时，取最小值． 故选：． ( 题型0 6 ) 向量垂直的应用 22．（2024春•大观区校级期末）已知单位向量与的夹角为，则　　 A． B． C． D． 【解析】依题意，，由， 得， 所以． 故选：． （多选）23．（2023秋•裕安区校级期末）在直角坐标系中，，，若三角形是直角三角形，则的可能值是　　 A．1 B． C．3 D． 【解析】若，则无解； 若，则，； 若，则，； 综上，可能取，两个数． 故选：． 24．（2023秋•合肥期末）已知向量，，且，则　　 A． B． C．6 D．8 【解析】向量，， ， 又， ， 解得：， 故选：． ( 题型0 7 ) 向量夹角相关计算 25．（2024春•宣城期末）若向量，满足，，且，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，设与的夹角为， 由于，则， 若，变形可得，即， 解可得， 又由，故． 故选：． 26．（2024春•滁州期末）已知向量，满足，则与的夹角为 　　． 【解析】因为，所以， 所以，即， 所以， 则与的夹角为． 故答案为：． 27．（2023秋•亳州期末）已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 　　． 【解析】因为向量与的夹角为钝角， 所以，解得， 因为，所以对任意，都有与不共线， 所以的取值范围是． 故答案为：． 28．（2024春•合肥期末）已知，，，，求： （1）； （2）与的夹角． 【解析】（1）由已知，，所以，所以， 所以，所以； （2）与的夹角的余弦值为， 所以与的夹角为． ( 题型0 8 ) 向量模长相关计算 29．（2024春•金安区校级期末）已知向量与的夹角为，则　　 A．12 B．16 C． D．4 【解析】向量与的夹角为， ． 故选：． 30．（2024秋•黟县校级期末）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则　　 A．2 B．3 C． D． 【解析】，为单位向量，且在上的投影向量为， 则， 故， ． 故选：． 31．（2024秋•安徽校级期末）若向量，的夹角为，且，，则　　 A． B．2 C．4 D．3 【解析】由向量，的夹角为，且， 可得，， 又，所以， 即，解得． 故选：． 32．（2024秋•阜阳期末）已知向量，且，则的值为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可知，． 因为，即． 即，解得． 由，则所以． 故选：． 33．（2024秋•黄山校级期末）设为非零向量与的夹角，定义：．若，，，则 　　． 【解析】由已知，可得， 而，因此， 所以． 故答案为：6． ( 题型0 9 ) 向量的投影向量 34．（2024春•怀宁县校级期末）已知△的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，△中，，则是的中点， 所以为圆的直径，则有， 又，则△为等边三角形，， 则向量在向量上的投影向量为． 故选：． 35．（2024春•颍州区校级期末）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】向量，满足，且， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：． 36．（2024春•合肥期末）的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】由，知点为的中点，所以， 又因为，所以为等边三角形，即， 所以，如图所示： 设圆的半径为，则，， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：． 37．（2023秋•金寨县校级期末）已知向量与的夹角为，且满足，，则在上的投影向量为　　 A．1 B． C． D． 【解析】向量与的夹角为，且满足，， 则向量在上的投影为，向量在上的投影向量为． 故选：． 1．（2023秋•蜀山区校级期末）已知，，若在向量上的投影向量为，则向量　　 A． B． C． D． 【解析】由题意． 故选：． 2．（2024春•颍州区校级期末）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则　　；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为 　　． 【解析】由题意可知， ， ，，； 如图： 设， 则， 为中点， ， 正方形的边长为1， ，， ， 对于函数，对称轴为， 函数在，上单调递减， 当时，函数取得最小值， 即的最小为． 故答案为：；． 3．（2024春•铜陵期末）已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则　　． 【解析】由于，，所以，所以； 所以向量在向量上的投影向量为，解得． 故答案为：． 4．（2024春•芜湖期末）在中，，，点在直线上，若的面积为4，则的最小值是 　　． 【解析】在中，，，所以， 取的中点，连接，过点作于，是的高， 由的面积为4，所以，所以， 由，所以可得，所以， 由题意可得， 所以 ， 当且仅当，即且与重合时取等号． 所以的最小值是． 故答案为：． 5．（2023秋•迎江区校级期末）单位向量，满足． （1）求与夹角的余弦值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，， 所以，即， 则， 则， 即与夹角的余弦值； （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 当与共线时，有， 即， 由（1）知与不共线，所以，解得， 所以当与不共线时，， 由，得， 即，解得， 所以且， 即实数的取值范围为． 6．（2024春•蒙城县校级期末）已知向量，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求在上的单调递减区间． 【解析】（1）解：因为，且， 所以，即， 所以，解得； （2）解：因为，且， 所以，即，所以； （3）解：因为，所以， 所以 ， 即， 今，解得， 所以函数在上的单调递减区间为， 因为，所以函数在上的单调递减区间为． 7．（2024春•叶集区校级期末）如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．若，则的值是 　　． 【解析】设， ，， ， ， ， ， ，， ． 故答案为： 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$