专题03 平面向量的综合应用5种常考题型总结（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题03 平面向量的综合应用5种常考题型总结 题型概览 题型01 求数量积的范围 题型02 求向量夹角的范围 题型03 求向量模长的范围 题型04 求向量系数的范围 题型05 三角形四心问题 ( 题型0 1 ) 求数量积的范围 1．（2023秋•裕安区校级期末）在梯形中，，，，为的中点，为上的动点（含端点），则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】因为在梯形中，，，，为的中点，为上的动点（含端点）， 则以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 所以，，，，，，， 所以， 因为的取值范围是，，所以的取值范围是． 故选：． 2．（2024春•安徽期末）若，，是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点的点使得：与同向且，则称点，，为可交换点组．已知点，，是可交换点组． （1）求； （2）若，，，，求的坐标； （3）记，，中的最小值为，，，若，，点满足，求的取值范围． 【解析】（1）因为与同向，设， 则， ， 又因为，，，且， 所以，所以， 由，得， 又因为，，所以， 所以； （2）由（1）知，， 所以， 因为，，，， 所以，， 则，解得或（舍， 所以的坐标为，； （3）设的中点为，则， 又因为，所以，即为△的重心， 又因为△是正三角形，点是△的中心， 所以，，， 由对称性，不妨设与的夹角为，如图所示， ， 由图可知，与，与的夹角分别为， 所以，的值分别为， 当时，， 所以，其取值范围是，， 所以的取值范围是，． 3．（2023春•宣城期末）已知中，，，，是的中点，为线段上的动点，则的取值范围是 　　；延长至，使，若为线段上的动点，且恒成立，则的最大值为 　　． 【解析】建立平面直角坐标系，如图所示：中，，，， 所以，，，即，，， 设，，，则，， 所以，由，，得，，所以的取值范围是，； 设，，，则， 所以，， 所以不等式化为， 则，，； 设，则，； 所以，当且仅当，即，即时取“”， 所以的最大值为． 故答案为：，，． 4．（2021秋•阜阳期末）点在边长为2的正三角形内（包括边界），满足，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】点在边长为2的正△一点，（包括边界）满足：， ， ，， 故选：． 5．（2021秋•安徽期末）在等腰梯形中，，，梯形的面积为6，为的中点，为线段上的动点（含端点），则的取值范围是 　　． 【解析】以为原点，所在直线为轴，垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 因为梯形的面积为6，所以，解得梯形的高， 所以，直线的方程为， 设为，其中，，则，， 所以， 令，对称轴为，开口向上， 所以，， 所以的取值范围是，． 故答案为：，． ( 题型0 2 ) 求向量夹角的范围 （多选）6．（2024春•蒙城县校级期末）若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则与同向的单位向量为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为4 【解析】由，， 选项：， 则，解得，则，， 所以，不共线，选项错误； 选项：，则，解得，， 即，，， 所以与同向的单位向量为，选项正确； 选项：时，， 又与的夹角为锐角， 则，解得，且， 即，选项错误； 选项：由，得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，选项正确． 故选：． （多选）7．（2024春•庐江县期末）若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则与同向的单位向量为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为4 【解析】对于，，则，解得， 则，，显然不存在，使，即，不共线，故错误； 对于，，则，解得，即，，， 则与同向的单位向量为，故正确； 对于，当时，，又与的夹角为锐角，则， 解得且，即，故正确； 对于，由，得，即，则， 当且仅当，即时取等号，故正确． 故选：． 8．（2023秋•迎江区校级期末）单位向量，满足． （1）求与夹角的余弦值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，， 所以，即， 则， 则， 即与夹角的余弦值； （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 当与共线时，有， 即， 由（1）知与不共线，所以，解得， 所以当与不共线时，， 由，得， 即，解得， 所以且， 即实数的取值范围为． （多选）9．（2023春•合肥期末）已知向量，，则下列命题正确的是　　 A．若，则 B．向量与夹角的取值范围是 C．与共线的单位向量为 D．存在，使得 【解析】对于，若，则，即， 又，，，故正确； 对于，假设存在，使得， 则，即， ，即， 又，，，故正确； 对于，与共线的单位向量为或，即，或，，故错误； 对于，设向量与的夹角为， 则， ，，，， ，， 即向量与夹角的余弦值范围是，，又，， ，，故正确． 故选：． 10．（2023春•庐江县期末）已知向量，，，． （1）求； （2）若，求实数的值． （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【解析】（1），，， ，，，，． （2），， 又， ，解得． （3）与的夹角是钝角， ，且， ，且，解得且， 故实数的取值范围为． ( 题型0 3 ) 求向量模长的范围 11．（2021春•庐阳区校级期末）已知平面向量均为单位向量，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，三个平面向量均为单位向量，， 设，，，则， 若为单位向量，则，表示单位圆上的任意一点， ． 它表示单位圆上的点到定点的距离， 其最大值是， 最小值是． 的取值范围是，． 故选：． 12．（2021春•庐阳区校级期末）已知向量、满足，，与的夹角为． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）， ， ， ，，， ，． （2） ， ，． 13．（2019秋•包河区校级期末）已知中，，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【解析】如图所示，建立直角坐标系． 则，，，． ，，及四边形为矩形， ． ． ， ． ． ， ． ．即． 点在直线上，． ， ，，，． ，即（当且仅当或时取等号）， 综上可得：． 故选：． ( 题型0 4 ) 求向量系数的范围 14．（2022春•迎江区校级期末）如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）求； （3）设，求的取值范围． 【解析】（1）依题意，， ， ． （2）设，则， ，，三点共线，，则， ，． （3）由已知， 因是线段上动点，则令， 则， 又不共线， 则有，，，， 在上递增， 当时，取得最小值为0， 当时，取得最大值为， 故的取值范围是． 15．（2021春•黄山期末）设为的重心，为的重心，过作直线分别交线段，（不与端点重合）于，．若． （1）求证：为定值； （2）求的取值范围． 【解析】（1）根据题意，连结并延长交于，则是的中点，设， 则，，， 所以①， 又②， 由于，，三点共线， 故存在实数，使，， ； （2），，，，即， 所以，当即时，有最大值，则有， 当即时，，则有， 于是的取值范围是，． ( 题型0 5 ) 三角形四心的问题 （多选）16．（2024春•宣城期末）中，下列说法正确的是　　 A．若，则为钝角三角形 B．若为重心，则 C．若点满足，则 D．若，则点的轨迹一定通过的内心 【解析】对于，若，则，因此角为钝角，所以一定为钝角三角形，故正确； 对于，若为的重心，设边的中点为，则，故正确； 对于，如图所示，设的中点为，若点满足，则点为外心，于是有， 又因为，， ，故错误； 对于，因为，分别表示，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致， 若，，，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故正确． 故选：． 17．（2022春•芜湖期末）如图，是的重心，是边上一点，且，，则　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，延长，与交于点， 是的重心，则为的中点，则， 又由是边上一点，且，则是的中点，则有， 则， 又由，则，， 故； 故选：． （多选）18．（2021春•黄山期末）点在所在的平面内，则以下说法正确的有　　 A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心 B．若，则点为的内心 C．若，则点为的外心 D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心 【解析】对于：根据正弦定理：，所以和共线，设点为的中点，所以，故动点的轨迹一定经过的重心，故错误； 对于：由于都为单位向量，满足菱形的性质特征，，故向量和角平分线垂直相交于点，则点为的内心，故正确； 对于：取的中点，由于，且满足，说明则点是垂直平分线上的点，故点为的外心，故正确； 对于：动点满足， 整理得， 所以， 故， 则动点的轨迹一定经过的垂心，故错误． 故选：． 19．（2020春•庐江县期末）已知是的重心，过点作直线与，交于点，，且，，，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【解析】设的中点为，则， ，，三点共线，故． ． 当且仅当即时取等号． 故选：． 20．（2022春•安徽期末）在中，，，是的外心，则的值为　　 A．8 B．6 C．4 D．3 【解析】如图，过点分别作于点，于点， 根据圆的性质可得，分别为，的中点， 故 ． 故选：． 1．（2023秋•亳州期末）已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 　　． 【解析】因为向量与的夹角为钝角， 所以，解得， 因为，所以对任意，都有与不共线， 所以的取值范围是． 故答案为：． （多选）2．（2024秋•迎江区校级期末）已知棱长为2的正四面体满足，，，，，．则下列选项正确的是　　 A． B．当时， C．当时，的最小值为 D．当时，的取值范围为 【解析】根据题意，作出正四面体，如下图所示： 对于．因为， 所以， 因此 ． 因为正四面体的棱长为2，所以， 因此． 所以，当且仅当时，等号成立，因此，故项正确； 对于．当时，由选项知：， 因此，故项正确； 对于，当时，由选项，可知，整理得， 根据基本不等式，可得， 即，可得， 因此，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，可知项错误； 对于．因为，所以，结合选项可得， 所以 ． 因为当时，由选项可知， 所以． 因为，，所以，因此， 即的取值范围为，故项正确． 故选：． 3．（2021春•安徽期末）已知点，，是平面内不共线的三点，是上靠近的三等分点．若，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】设点为中点，为， 因为点与不共线，则， 所以 ， 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量的综合应用5种常考题型总结 题型概览 题型01 求数量积的范围 题型02 求向量夹角的范围 题型03 求向量模长的范围 题型04 求向量系数的范围 题型05 三角形四心问题 ( 题型0 1 ) 求数量积的范围 1．（2023秋•裕安区校级期末）在梯形中，，，，为的中点，为上的动点（含端点），则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•安徽期末）若，，是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点的点使得：与同向且，则称点，，为可交换点组．已知点，，是可交换点组． （1）求； （2）若，，，，求的坐标； （3）记，，中的最小值为，，，若，，点满足，求的取值范围． 3．（2023春•宣城期末）已知中，，，，是的中点，为线段上的动点，则的取值范围是 　　；延长至，使，若为线段上的动点，且恒成立，则的最大值为 　　． 4．（2021秋•阜阳期末）点在边长为2的正三角形内（包括边界），满足，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 5．（2021秋•安徽期末）在等腰梯形中，，，梯形的面积为6，为的中点，为线段上的动点（含端点），则的取值范围是 　　． ( 题型0 2 ) 求向量夹角的范围 （多选）6．（2024春•蒙城县校级期末）若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则与同向的单位向量为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为4 （多选）7．（2024春•庐江县期末）若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则与同向的单位向量为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为4 8．（2023秋•迎江区校级期末）单位向量，满足． （1）求与夹角的余弦值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． （多选）9．（2023春•合肥期末）已知向量，，则下列命题正确的是　　 A．若，则 B．向量与夹角的取值范围是 C．与共线的单位向量为 D．存在，使得 10．（2023春•庐江县期末）已知向量，，，． （1）求； （2）若，求实数的值． （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． ( 题型0 3 ) 求向量模长的范围 11．（2021春•庐阳区校级期末）已知平面向量均为单位向量，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 12．（2021春•庐阳区校级期末）已知向量、满足，，与的夹角为． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围． 13．（2019秋•包河区校级期末）已知中，，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， ( 题型0 4 ) 求向量系数的范围 14．（2022春•迎江区校级期末）如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）求； （3）设，求的取值范围． 15．（2021春•黄山期末）设为的重心，为的重心，过作直线分别交线段，（不与端点重合）于，．若． （1）求证：为定值； （2）求的取值范围． ( 题型0 5 ) 三角形四心的问题 （多选）16．（2024春•宣城期末）中，下列说法正确的是　　 A．若，则为钝角三角形 B．若为重心，则 C．若点满足，则 D．若，则点的轨迹一定通过的内心 17．（2022春•芜湖期末）如图，是的重心，是边上一点，且，，则　　 A． B． C． D． （多选）18．（2021春•黄山期末）点在所在的平面内，则以下说法正确的有　　 A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心 B．若，则点为的内心 C．若，则点为的外心 D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心 19．（2020春•庐江县期末）已知是的重心，过点作直线与，交于点，，且，，，则的最小值是　　 A． B． C． D． 20．（2022春•安徽期末）在中，，，是的外心，则的值为　　 A．8 B．6 C．4 D．3 1．（2023秋•亳州期末）已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 　　． （多选）2．（2024秋•迎江区校级期末）已知棱长为2的正四面体满足，，，，，．则下列选项正确的是　　 A． B．当时， C．当时，的最小值为 D．当时，的取值范围为 3．（2021春•安徽期末）已知点，，是平面内不共线的三点，是上靠近的三等分点．若，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$