专题14 立体几何初步全章综合16种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题14 立体几何初步全章综合16种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何体的结构特征 题型02空间几何体的展开图及最短距离问题 题型03立体几何中的截面问题 题型04空间几何体的直观图 题型05空间几何体的表面积 题型06空间几何体的体积 题型07与球有关的切、接问题 题型08直线与平面平行 题型09平面与平面平行 题型10直线与平面垂直 题型11平面与平面垂直 题型12线线垂直 题型13点到平面的距离 题型14异面直线所成角 题型15直线与平面所成角 题型16二面角 ( 题型01 ) 空间几何体的结构特征 1．（2023春•江油市校级期末）下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是　　 A．棱柱的侧棱互相平行 B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥 C．正三棱锥的各个面都是正三角形 D．棱台各侧棱所在直线会交于一点 2．（2017秋•内江期末）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终呈棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面所在四边形的面积为定值； ④棱始终与水面所在平面平行； ⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是　①②④⑤　． （多选）3．（2024春•内江校级期末）下列命题正确的是　　 A．一个棱柱至少有六个面 B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C．棱台的各侧棱延长后交于一点 D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 4．（2023春•遂宁期末）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是　　 A．是棱台 B．是圆台 C．是棱锥 D．不是棱柱 ( 题型02 ) 空间几何体的展开图及最短距离问题 5．（2022秋•船山区校级期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 　　 ． 6．（2022秋•资阳期末）已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形．若将该圆锥的侧面展开后，所得扇形的圆心角为 　　． 7．（2019春•攀枝花期末）如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为　　． 8．（2013秋•成都期末）一个三棱锥的木块，三条侧棱两两成，且侧棱长均为，若一只蚂蚁从点出发绕棱锥的侧面爬行，最后又回到点，则其最短路径的长　　 A． B． C． D． ( 题型03 ) 立体几何中的截面问题 9．（2024秋•龙马潭区校级期末）若一个轴截面为正三角形的圆锥的顶点在球的表面上，底面圆心与重合，则该圆锥的表面积与球的表面积之比为　　 A． B． C． D． （多选）10．（2024秋•宜宾期末）如图，正方体的棱长为2，、分别是棱，的中点，点是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是　　 A．过点，，的平面截该正方体所得截面面积为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，三棱锥的体积为 D．过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 11．（2023秋•郫都区校级期末）已知正方体的棱长为2，为的中点，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面的周长为　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•青羊区校级期末）已知直三棱柱的侧棱长为2，，．过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为　　 A． B． C． D． ( 题型04 ) 空间几何体的直观图 13．（2024春•四川期末）如图所示，在平行四边形中，，，则它的直观图面积是　　 A． B．2 C． D． 14．（2023秋•泸县校级期末）一个水平放置的平面图形用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角△，其中，则平面图形的面积为　　 A． B． C． D． 15．（2024春•凉山州期末）已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为　　 A．2 B． C．1 D． 16．（2024春•青羊区校级期末）如图，四边形在斜二测画法下得到平行四边形，，，则该四边形的周长为　　 A．2 B．4 C． D．8 ( 题型0 5 ) 空间几何体的表面积 17．（2024春•成都期末）如图所示，某圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为和，且木桶的体积为，则该木桶的侧面积为　　 A． B． C． D． 18．（2024春•成都期末）如图，圆锥的底面直径和高均为12，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱．则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为　　 A． B． C． D． 19．（2024春•青羊区校级期末）在矩形中，，，以该矩形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的空间几何体的表面积为　　 A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 空间几何体的体积 20．（2024春•凉山州期末）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•内江期末）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知某“鞠”的表面上有四个点、、、，其中平面，，，，则该球的体积为　　 A． B． C． D． ( 题型0 7 ) 与球有关的切、接问题 22．（2024春•仁寿县期末）圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为　　 A． B． C． D． 23．（2024春•新都区期末）四面体中，若，，，则此四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 24.（2023秋•泸州期末）已知正三棱柱的高为，它的六个顶点都在一个直径为4的球的球面上，则该棱柱的体积为　　 A． B． C． D． 25．（2024春•南充期末）如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为　　 A．1 B． C． D． 26．（2024春•龙马潭区期末）如图，在四面体中，平面，，，则此四面体的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•叙州区校级期末）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面．若，，则这个四棱锥的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 28．（2024春•攀枝花期末）正四面体外接球的体积为，则其内切球的表面积为 　　． 29．（2024春•青羊区校级期末）如图，，分别是正方形的边，的中点，把，，折起构成一个三棱锥，，重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是　　． ( 题型0 8 ) 直线与平面平行 30．（2022秋•眉山期末）如图所示，在四棱锥中，四边形是正方形，点，分别是线段，的中点． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得面面，若存在，请找出点并证明；若不存在，请说明理由． ( 题型0 9 ) 平面与平面平行 31．（2024春•成华区校级期末）如图，棱长为6的正方体中，是的中点，是的中点，点在上． （1）当是的中点时，证明：平面平面； （2）当是靠近的三等分点时，求异面直线与所成角的余弦值． 32．（2024春•郫都区校级期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，点，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）在棱上确定一点，使平面，并说明理由． 33．（2022秋•广安期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，，，，分别是，，的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面． ( 题型 10 ) 直线与平面垂直 34．（2023春•泸县校级期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求四棱锥的表面积． 35．（2023春•温江区校级期末）如图四边形是矩形，平面，，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 36．（2022秋•大英县校级期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，过的平面与侧棱，的交点分别是，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若底面，求证：平面． ( 题型 11 ) 平面与平面垂直 37．（2024春•成都期末）在平行四边形中，，，，，分别为，的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥 ． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 38．（2024春•青羊区校级期末）如图，在五面体中，，，平面平面，，，，． （1）证明：平面； （2）若点、分别为、的中点，证明：平面平面； （3）求该五面体的体积． 39．（2024春•成都期末）如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，为和的交点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． ( 题型 12 ) 线线垂直 40．（2024春•成都期末）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，是棱的中点，是棱上的动点． （1）求证：平面； （2）求证：． 41．（2024春•德阳期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍” 是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体，如图，五面体是一个刍甍，其中底面是矩形，侧面是直角三角形，．求证： （1）； （2）． 42．（2024春•三台县校级期末）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是上的中点，是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）求证：． ( 题型 13 ) 点到平面的距离 43．（2024春•成都期末）如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点．从条件①②中选择一个作为已知，①；②． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 44．（2024春•宜宾期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． ( 题型 14 ) 异面直线所成角 45．（2024春•凉山州期末）如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 46．（2024春•绵阳期末）如图，直三棱柱的侧面积为，底面为等腰直角三角形，，，，分别是和的中点． （1）求证：平面； （2）取的中点，连接与交于点，求异面直线与所成角的余弦值． 47．（2024春•新都区期末）在正四棱锥的所有棱长均相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． ( 题型 15 ) 直线与平面所成角 48．（2024春•成都期末）如图，在正方体中，点，分别为线段和线段的中点，则直线与平面所成角为　　 A． B． C． D． 49．（2024春•南充期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值． 50．（2024春•峨眉山市校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，分别为，的中点，且． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． ( 题型 16 ) 二面角 51．（2024春•凉山州期末）如图，四棱锥的底面是边长为3的菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的正切值． 52．（2024春•自贡期末）如图，在边长为4的菱形中，，，分别是，的中点，将△沿折起，使点到的位置，且． （1）若平面平面，判断与的位置关系并说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角大小的余弦值． 1．（2024春•合江县期末）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）求异面直线与所成角的大小． （3）求直线与平面所成角的正切值． 2．（2024春•攀枝花期末）如图，平面，，平面． （1）求证：； （2）若，，，求三棱锥的体积． 3．（2024春•雅安期末）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）平面与平面是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由； （2）求二面角的大小； （3）若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值． 4．（2024春•攀枝花期末）如图，在正方形中，点、分别是、的中点，将、分别沿、折起，使，两点重合于，连接，． （1）求证：； （2）点是上一点，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 5．（2024春•仁寿县期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，是线段的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积； （Ⅲ）求直线与底面所成角的正切值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 立体几何初步全章综合16种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何体的结构特征 题型02空间几何体的展开图及最短距离问题 题型03立体几何中的截面问题 题型04空间几何体的直观图 题型05空间几何体的表面积 题型06空间几何体的体积 题型07与球有关的切、接问题 题型08直线与平面平行 题型09平面与平面平行 题型10直线与平面垂直 题型11平面与平面垂直 题型12线线垂直 题型13点到平面的距离 题型14异面直线所成角 题型15直线与平面所成角 题型16二面角 ( 题型01 ) 空间几何体的结构特征 1．（2023春•江油市校级期末）下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是　　 A．棱柱的侧棱互相平行 B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥 C．正三棱锥的各个面都是正三角形 D．棱台各侧棱所在直线会交于一点 【解析】根据棱柱的性质可知正确； 当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故正确； 正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故错误； 棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，故侧棱所在直线必交于一点，正确． 故选：． 2．（2017秋•内江期末）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终呈棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面所在四边形的面积为定值； ④棱始终与水面所在平面平行； ⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是　①②④⑤　． 【解析】棱柱特征：有两个面是相互平行且是全等的多边形， 其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形 通过棱柱特征，①②正确． 水面所在四边形的面积， 从图2，图3我们发现，有条边长不变，而另外一条长随倾斜度变化而变化， 所在四边形的面积是变化的．③不对 棱 始终与平行，与水面始终平行，④正确． 水的体积是不变的，高始终是也不变．底面也不会，即是定值． ⑤正确． 所以正确的是：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． （多选）3．（2024春•内江校级期末）下列命题正确的是　　 A．一个棱柱至少有六个面 B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C．棱台的各侧棱延长后交于一点 D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 【解析】对于项，三棱柱只有5个面，故项错误； 对于项，因正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心，故侧棱都相等，从而每个侧面都是全等的等腰三角形，故项正确； 对于项，因棱台即是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后交于一点，故项正确； 对于项，根据圆锥母线的定义可知，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线必是圆锥的母线，故项正确． 故选：． 4．（2023春•遂宁期末）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是　　 A．是棱台 B．是圆台 C．是棱锥 D．不是棱柱 【解析】不满足棱台的定义；不满足圆台的定义；是棱锥正确；是棱柱，不正确； 故选：． ( 题型02 ) 空间几何体的展开图及最短距离问题 5．（2022秋•船山区校级期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 　　 ． 【解析】圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆， 所以， 解得， 所以该圆锥的母线长为． 故答案为：． 6．（2022秋•资阳期末）已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形．若将该圆锥的侧面展开后，所得扇形的圆心角为 　　． 【解析】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以圆锥的母线等于底面圆的直径； 将该圆锥的侧面展开后，所得扇形的半径为，弧长为， 所以扇形的圆心角为． 故答案为：． 7．（2019春•攀枝花期末）如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为　　． 【解析】根据正方体的平面展开图，画出它的直观图如图所示， 连接，，由，得是异面直线与所成的角， 则是正三角形，， ． 异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 8．（2013秋•成都期末）一个三棱锥的木块，三条侧棱两两成，且侧棱长均为，若一只蚂蚁从点出发绕棱锥的侧面爬行，最后又回到点，则其最短路径的长　　 A． B． C． D． 【解析】设过点作截面与、侧棱分别交于、两点，将三棱锥由展开，如图， 则图中， 为蚂蚁从点沿侧面先爬到棱上的点处，再爬到棱上的点处，然后回到点的最短距离， ， 由余弦定理可得． 故选：． ( 题型03 ) 立体几何中的截面问题 9．（2024秋•龙马潭区校级期末）若一个轴截面为正三角形的圆锥的顶点在球的表面上，底面圆心与重合，则该圆锥的表面积与球的表面积之比为　　 A． B． C． D． 【解析】设球的半径为，则圆锥的高为， 由正三角形的性质可得圆锥底面半径为，母线长为， 所以圆锥的表面积为， 又球的表面积为， 所以该圆锥的表面积与球的表面积之比为． 故选：． （多选）10．（2024秋•宜宾期末）如图，正方体的棱长为2，、分别是棱，的中点，点是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是　　 A．过点，，的平面截该正方体所得截面面积为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，三棱锥的体积为 D．过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 【解析】对选项，连接，易知， 所以过点，，的平面截该正方体所得截面为等腰梯形， 所以过点，，的平面截该正方体所得截面面积为： ，所以选项正确； 对选项，当平面时，可将平面拓展为平面，其中，，，为对应棱的中点， 从而可得的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，所以选项正确； 对选项，当时，易知，平面， 所以根据三垂线定理可得当在平面内的射影为时，满足， 所以在线段上，设，则易知平面， 所以当时，三棱锥的体积为： ，所以选项错误； 因为正方体的外接球的球心为的中点， 设过作正方体外接球的截面小圆的半径为，球的半径为， 则球的直径为正方体的体对角线长，所以， 所以根据球的几何性质可知： 当垂直于截面小圆时，截面小圆的面积最小， 此时，即，所以截面小圆半径的最小值为， 所以过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为，所以选项正确． 故选：． 11．（2023秋•郫都区校级期末）已知正方体的棱长为2，为的中点，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面的周长为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意，当点为的中点时，取，的中点，，连接，，，， 显然△△， 则，， 即有， 而平面，平面， 则， 又，，平面， 于是平面， 而平面， 因此， 同理， 显然，，平面， 所以△是平面截正方体所得截面，其周长为． 故选：． 12．（2023秋•青羊区校级期末）已知直三棱柱的侧棱长为2，，．过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为　　 A． B． C． D． 【解析】取的中点，连接，取的中点，连接，， 取的中点，连接，连接，并延长，与的延长线交于， 取的中点，连接，交于，连接，， 可得，，，即有， 又，可得， 平面，可得，所以平面， 可得平面， 由面面垂直的判定定理，可得平面平面， 则平面即为平面， 由，，，，， 可得所得截面周长为． 故选：． ( 题型04 ) 空间几何体的直观图 13．（2024春•四川期末）如图所示，在平行四边形中，，，则它的直观图面积是　　 A． B．2 C． D． 【解析】设原图的面积为，直观图的面积为，则，． 故选：． 14．（2023秋•泸县校级期末）一个水平放置的平面图形用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角△，其中，则平面图形的面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，在直观图等腰直角△，其中，则， 故其面积， 故原图平面图形的面积． 故选：． 15．（2024春•凉山州期末）已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为　　 A．2 B． C．1 D． 【解析】根据题意，直观图是边长为的正方形，则其直观图的面积， 则其原图的面积． 故选：． 16．（2024春•青羊区校级期末）如图，四边形在斜二测画法下得到平行四边形，，，则该四边形的周长为　　 A．2 B．4 C． D．8 【解析】根据斜二测画法的方法还原原图如下， 则原图为正方形，边长为2，则周长为8． 故选：． ( 题型0 5 ) 空间几何体的表面积 17．（2024春•成都期末）如图所示，某圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为和，且木桶的体积为，则该木桶的侧面积为　　 A． B． C． D． 【解析】圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为和， 圆台的上底面半径为，下底面半径， 设圆台的高为，母线长为， 则圆台的体积为， 解得， 则， 所以圆台的侧面积为． 故选：． 18．（2024春•成都期末）如图，圆锥的底面直径和高均为12，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱．则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】圆锥轴截面如图所示， 设圆柱的底面半径为，， 由可知，，即， 所以， 故被挖去的圆柱的侧面积为 当且仅当时取等号，被挖去的圆柱的侧面积最大值为． 故选：． 19．（2024春•青羊区校级期末）在矩形中，，，以该矩形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的空间几何体的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】矩形绕直线旋转一周所得旋转体为圆柱，其底面半径为1，母线长为2， 所以所求表面积． 故选：． ( 题型0 6 ) 空间几何体的体积 20．（2024春•凉山州期末）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，圆台的侧面展开图是个扇环， 而圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为， 则有， 所以圆台的高， 则． 故选：． 21．（2023秋•内江期末）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知某“鞠”的表面上有四个点、、、，其中平面，，，，则该球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示： 取的中点，的中点，设球的球心为， 由于平面，，，， 则：，， 过点作平面，过点作的垂直平分线与交于点， 故点为三棱锥外接球的球心， 所以外接球的半径， 所以． 故选：． ( 题型0 7 ) 与球有关的切、接问题 22．（2024春•仁寿县期末）圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，圆台的上底面面积为，下底面面积为， 则该圆台的上、下底面的半径分别为1和3， 又由其母线长为4， 则圆台的侧面积为． 故选：． 23．（2024春•新都区期末）四面体中，若，，，则此四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】设△外接圆的半径为，此四面体的外接球的半径为， 则根据正弦定理可得，， 到底面的距离为， ，，解得， 此四面体的外接球的表面积为． 故选：． 24.（2023秋•泸州期末）已知正三棱柱的高为，它的六个顶点都在一个直径为4的球的球面上，则该棱柱的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意可得正三棱柱的上下底面中心连线的中点到顶点的距离为2， 又该正三棱柱的高为，底面正三角形的外接圆的半径为， 底面正三角形的边长为， 该棱柱的体积为． 故选：． 25．（2024春•南充期末）如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为　　 A．1 B． C． D． 【解析】因为，，所以， ， 设外接圆的半径为，圆心为，则，即， 设三棱锥外接球的半径为，球心为，则，解得（负值已舍去）； 因为平面，所以， 即，即，解得（负值已舍去）； 所以． 故选：． 26．（2024春•龙马潭区期末）如图，在四面体中，平面，，，则此四面体的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】将四面体补形成长方体，长、宽、高分别为2，1，2， 外接球直径等于体对角线长，故， 所以外接球表面积为． 故选：． 27．（2023秋•叙州区校级期末）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面．若，，则这个四棱锥的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】取中点，连接，，取中点，连接，， 等腰梯形中，，， 则，，四边形是平行四边形， ，，是等边三角形， ，是等边三角形， ， 点是等腰梯形的外接圆圆心， 中，，，则，， 底面，则底面，， ，， ， 点为四棱锥的外接球的球心， 球半径， 这个四棱锥的外接球表面积为． 故选：． 28．（2024春•攀枝花期末）正四面体外接球的体积为，则其内切球的表面积为 　　． 【解析】如图所示，将正四面体放入棱长为的正方体中， 则其外接球的半径为， 所以外接球的体积为，解得， 所以正四面体的棱长，设其内切球的半径为， 由等体积法有：，其中为正四面体的表面积， 所以，所以， 其内切球的表面积为． 故答案为：． 29．（2024春•青羊区校级期末）如图，，分别是正方形的边，的中点，把，，折起构成一个三棱锥，，重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是　　． 【解析】设正方形的边长为2，则折起后，，两两垂直， 且，，则三棱锥的外接球半径等于以，，为长宽高的长方体的外接球半径， 所以， 设三棱锥的内切球的半径为，则三棱锥的体积为， 又三棱锥的体积为， 所以，则， 所以三棱锥的外接球半径与内切球的半径的比是， 故答案为：． ( 题型0 8 ) 直线与平面平行 30．（2022秋•眉山期末）如图所示，在四棱锥中，四边形是正方形，点，分别是线段，的中点． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得面面，若存在，请找出点并证明；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点， 故， 平面， 平面． （2）解：线段上存在一点满足题意，且点是中点， 理由如下：由点，分别为，中点可得：， 平面， 平面， 由（1）可知，平面， 且， 故面平面． ( 题型0 9 ) 平面与平面平行 31．（2024春•成华区校级期末）如图，棱长为6的正方体中，是的中点，是的中点，点在上． （1）当是的中点时，证明：平面平面； （2）当是靠近的三等分点时，求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：由正方体可知，，是，中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为是中点，是中点， 所以， 又由于平面，平面， 所以平面， 又，，平面， 故平面平面； （2）由知，异面直线与所成角即为或其补角， 由于平面，，平面， 则与，都垂直， 所以，由题意得， 在△中，由勾股定理可得， 易得， 在△中，由勾股定理可得， 在△中，，由余弦定理得， 在△中，由余弦定理可得， 代入解得， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 32．（2024春•郫都区校级期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，点，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）在棱上确定一点，使平面，并说明理由． 【解析】（1）证明：因为，，分别为，，的中点， 可得，， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得， ， 所以平面平面； （2）解：为的中点， 证明如下： 取的中点， 连接，，因为为的中点， 所以，，， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，同理可证得平面， ， 可证得平面平面， 又因为平面， 所以平面． 33．（2022秋•广安期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，，，，分别是，，的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面． 【解析】证明：（1）底面，平面， ， 又底面为正方形， ，且平面，平面，， 平面，平面， ， 又，分别是，的中点， ， ； （2），，分别是，，的中点， ，， 又平面，平面，平面，平面， 平面，平面，且，平面，平面， 平面平面． ( 题型 10 ) 直线与平面垂直 34．（2023春•泸县校级期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求四棱锥的表面积． 【解析】（1）证明：在四棱锥中，因为平面，平面，平面， 所以，，因为，，所以． 因为，， 所以，所以， ，由，，，可得平面． （2）解：四棱锥的表面积，是四个侧面积的面积与底面积的和． 由题意可知， ， 由（Ⅰ）可知，平面， 平面， 所以，同理可得， 又，， 所以， 所以四棱锥的表面积． 35．（2023春•温江区校级期末）如图四边形是矩形，平面，，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【解析】证明：（1）因为平面，平面，所以， 因为，，、平面， 所以平面． （2）连接交于点，连接，所以点为中点， 因为点为线段的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． 36．（2022秋•大英县校级期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，过的平面与侧棱，的交点分别是，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若底面，求证：平面． 【解析】（Ⅰ）证明：因为底面是正方形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 又因为平面，平面平面， 所以． （Ⅱ）证明：因为底面，底面， 所以， 因为底面是正方形， 所以， 因为，平面，， 所以平面． ( 题型 11 ) 平面与平面垂直 37．（2024春•成都期末）在平行四边形中，，，，，分别为，的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥 ． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，， 因为平行四边形中，，，，，分别为，的中点， 可得，且， ，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）证明：因为二面角为直二面角，，，， 在原四边形中，，即，， 所以，， 所以平面， 而平面，所以， 在原四边形中，可得，， 所以平面，而平面， 所以平面平面； （3）解：在原四边形中，，， 可得，为的中点，所以，且， 由（2）可得平面，而平面， 所以，而， 所以平面，所以为与平面所成的角， 在原四边形中，可得，，， 在中，由余弦定理可得， 所以． 即与平面所成角的正弦值为． 38．（2024春•青羊区校级期末）如图，在五面体中，，，平面平面，，，，． （1）证明：平面； （2）若点、分别为、的中点，证明：平面平面； （3）求该五面体的体积． 【解析】证明：（1）因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）因为， 所以为正三角形，所以， 因为， 所以， 又，在中，由余弦定理得，解得或（舍去）， 因为， 所以， 又，且， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 因为，所以为正三角形， 因为为正三角形，所以， 由梯形中位线得，且， 所以，，即四边形为平行四边形， 所以，，即， 所以， 又平面平面， 所以平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （3）解：过作直线，延长与交于点，与交于点，连接，， 因为为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，同理， 所以， 又，所以，所以， 所以多面体为三棱柱， 过作于点， 因为平面，平面， 所以平面平面，所以平面， 所以线段的长即三棱柱的高， 在中，， 所以三棱柱的体积为． 因为三棱锥与的体积相等，所以所求多面体的体积为． 39．（2024春•成都期末）如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，为和的交点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【解析】（1）证明：连接， 四边形是菱形， 是的中点，又是的中点， ，又平面，平面， 平面； （2）平面，平面， ， 四边形是菱形，， 又平面，平面，， 平面，又平面， 平面平面． ( 题型 12 ) 线线垂直 40．（2024春•成都期末）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，是棱的中点，是棱上的动点． （1）求证：平面； （2）求证：． 【解析】证明：（1）连接，交于，连接，在正方体中，可知为的中点， 因为为的中点，所以， 而平面，平面， 所以平面； （2）连接，因为，底面，底面， 所以，而， 所以平面， 因为为棱上的动点，即平面， 所以． 41．（2024春•德阳期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍” 是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体，如图，五面体是一个刍甍，其中底面是矩形，侧面是直角三角形，．求证： （1）； （2）． 【解析】证明：（1）因为底面是矩形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以； （2）由题意，，，平面，平面， 所以平面， 又，所以平面， 因为平面， 所以． 42．（2024春•三台县校级期末）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是上的中点，是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）求证：． 【解析】证明：（1）连接， 是上的中点，是的中点， 又是的中点，， 平面，平面， 平面； （2）由题意，，， 又，平面，且， 平面，而平面， ． ( 题型 13 ) 点到平面的距离 43．（2024春•成都期末）如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点．从条件①②中选择一个作为已知，①；②． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【解析】（1）证明：选择条件①：， 由平面，且、平面，知，， ，，，平面， 平面， 平面， ， 过点作于，则四边形是正方形，， ，， ，即， ，，， 又，平面． 选择条件②：， 过点作，交于点， ，四边形为平行四边形，，， ， ，，即，，， ， ，即， 由平面，且平面，知， ，， 又，平面． （2）解：由平面，且平面，知， ，， 由（1）知， ，平面， 平面，平面平面， 点到平面的距离等价于的底边上的高， 由勾股定理知，， 在中，由余弦定理知，， ， ， 点到平面的距离为． （3）解：过点作于点，则， 由（2）知平面， 平面， 平面平面， 在平面上的投影落在上， 直线与平面所成角为，则， ， 在中，， ， 或， 故线段的长为或． 44．（2024春•宜宾期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【解析】（1）连接交于，连接，则为的中点， 为侧棱的中点，， 平面，平面； 平面； （2）为侧棱的中点， 到平面的距离等于到平面的距离的一半， 到平面的距离， ， 底面，，面， ，， 又，， ， ，，，平面， 平面， 又平面，，， ，， ， 设点到平面的距离为， 由，得，所以， 即点到平面的距离为． ( 题型 14 ) 异面直线所成角 45．（2024春•凉山州期末）如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，， 在中，因为为的中点，为的中点， 所以，且， 由已知，， 得，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）解：取的中点，连接，， 则，且，即四边形为平行四边形，所以， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角， 由，，得， 又，，， 由勾股定理得， 在中，由余弦定理得， 即异面直线与所成的角的余弦值为． 46．（2024春•绵阳期末）如图，直三棱柱的侧面积为，底面为等腰直角三角形，，，，分别是和的中点． （1）求证：平面； （2）取的中点，连接与交于点，求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：连接，， 在直三棱柱中，，且，， 四边形是矩形， 是的中点， 过点且平分， 在△ 中，是的中点， 是△的中位线， ， 平面，平面， 平面． （2）点，分别是和的中点， 与的交点为△的重心， 连接并延长交的中点，记为点， 过作，交于点， 为的三等分点（靠近点）， 连接，则（或其补角）为异面直线与所成的角， 设，则直三棱柱的侧面积为，解得， 直三棱柱的底面为直角三角形，， ，， ，平面， ， 又， ， 又，， 在△中，， 异面直线与所成角的余弦值为． 47．（2024春•新都区期末）在正四棱锥的所有棱长均相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】取中点，连接，， 是的中点，是的中位线， 则， 则异面直线与所成角即为， 设正四棱锥的棱长为1， 则，， 则， 故选：． ( 题型 15 ) 直线与平面所成角 48．（2024春•成都期末）如图，在正方体中，点，分别为线段和线段的中点，则直线与平面所成角为　　 A． B． C． D． 【解析】取的中点，连接，， 因为点，分别为线段和线段的中点，正方体中，可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 平面， 所以， 可知为等腰直角三角形，所以． 故选：． 49．（2024春•南充期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值． 【解析】（1）证明：连接，在平行四边形中， 为与的交点， 为的中点，又为的中点，， 又平面，平面， 平面． （2）证明：平面，平面，， 在中，，，又，， 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面． （3）取的中点，连接，， 为的中点， ，且 由平面，得平面， 是直线与平面所成的角， ，，，， 在中，， ，从而， 在中，， 直线与平面所成角的正切值为． 50．（2024春•峨眉山市校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，分别为，的中点，且． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为四边形是矩形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以； （2）解：因为四边形是矩形，所以，， 因为平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 由（1）得平面，平面， 而， 所以三棱锥的体积； （3）解：过点作于点，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 由已知可得， 由得， 所以在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为． ( 题型 16 ) 二面角 51．（2024春•凉山州期末）如图，四棱锥的底面是边长为3的菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的正切值． 【解析】（1）证明：设，连接，因为底面为菱形， 所以为的中点，， 又，所以， ，平面，， 所以平面．又平面， 所以平面平面． （2）在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，，平面，所以平面， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在中，， 因为，所以， 因为，所以，， 在中，， 又平面，平面，所以， 所以， 所以二面角的正切值为1． 52．（2024春•自贡期末）如图，在边长为4的菱形中，，，分别是，的中点，将△沿折起，使点到的位置，且． （1）若平面平面，判断与的位置关系并说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角大小的余弦值． 【解析】（1），理由如下： 由，分别是，的中点，得，而平面，平面， 则平面，又平面平面，平面， 所以． （2）令，连接，由是菱形，，得△，△都是正三角形， 则，，，而，，平面， 于是平面，又平面，则平面平面， 在平面内过作于，由平面平面， 因此平面，连接， 则是直线与平面所成的角， 在正△中，，， ， 则， 于是， ， 所以直线与平面所成角的正弦值是． （3）在△中，， 即，显然，则有，同理， 取，的中点，，连接，，，则，有，， 因此是二面角的平面角， 而， 则， 所以二面角大小的余弦值是． 1．（2024春•合江县期末）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）求异面直线与所成角的大小． （3）求直线与平面所成角的正切值． 【解析】（1）证明： 如图，连接交于点， 因为，分别为，的中点，所以． 因为平面，且平面， 所以平面． （2）解：因，且， 易得平行四边形， 则有，由（1）得， 故与所成角为（或其补角）． 因为，所以， 即与所成角的大小为； （3）解：连接，过作于点． 因为平面，且平面， 所以，又且， 所以平面． 因为平面，所以， 又，且，，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为（或其补角）． 因为正方体的棱长为1，所以，， 所以． 2．（2024春•攀枝花期末）如图，平面，，平面． （1）求证：； （2）若，，，求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：由，平面，平面，得平面， 而平面，，，平面，则平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以； （2）由，平面，平面，得平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离， 由平面，平面，得，而， ，，平面，则平面， 由（1）知平面平面，则平面，即点到平面的距离为， 由已知得平面，平面，得，的面积， 三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为． 3．（2024春•雅安期末）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）平面与平面是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由； （2）求二面角的大小； （3）若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）平面平面． 理由如下： 证明：因为平面，平面， 所以， 因为，又，，平面， 所以平面，故， 在中，，为的中点，所以， 因为平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）不妨设，计算可得，， 又，，，所以， 则，作于，连结，又，， 可知， 所以， 所以是二面角的平面角， 在中，由， 得，则，， 连结，知，在中，根据余弦定理， 得， 所以； （3）因为直线平面，平面，平面平面， 所以直线直线， 又为线段的中点，所以为线段上的中点， 由（2）知，所以， 设与交点为，连结， 由（1）知，平面平面，平面平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为， 又由，为上的中点，可得为的中点， 可知，，又， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 4．（2024春•攀枝花期末）如图，在正方形中，点、分别是、的中点，将、分别沿、折起，使，两点重合于，连接，． （1）求证：； （2）点是上一点，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：在正方形中，连接，，，则， 因为点、分别是、的中点， 所以，所以， 因为，，， ，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． （2）解：由（1）平面，所以为直线与平面所成角， 所以， 令，，则，， 所以， 设，连接， 由（1）知平面， 因为平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为为的中点，，所以为等腰三角形， 所以， 因为， 所以， 所以，，， 在中，由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为． 5．（2024春•仁寿县期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，是线段的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积； （Ⅲ）求直线与底面所成角的正切值． 【解析】（Ⅰ）证明：如图，连接，设，连接， 底面是边长为1的正方形，是中点， 又是线段的中点，， 又平面，平面， 平面； （Ⅱ）根据题意可得三棱锥的体积为： ； （Ⅲ）取的中点，连接，则， 又底面，底面， 直线与底面所成角为， 又易知，， ， 故直线与底面所成角的正切值为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$