专题13 与球有关的切接问题综合3种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题13 与球有关的切接问题综合3种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何的外接球问题 题型02空间几何的内切球问题 题型03空间几何体中球的放置问题 ( 题型01 ) 空间几何体的外接球 1．（2024春•龙马潭区期末）如图，在四面体中，平面，，，则此四面体的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•凉山州期末）已知正三棱柱的侧面积为，若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•内江期末）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知某“鞠”的表面上有四个点、、、，其中平面，，，，则该球的体积为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•叙州区校级期末）如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•叙州区校级期末）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面．若，，则这个四棱锥的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 6．（2024春•德阳期末）体积为4的长方体中，则该长方体的最小外接球表面积为　　 A． B． C． D． 7．（2024春•新都区期末）四面体中，若，，，则此四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 8．（2024春•仁寿县期末）如图，在边长为6的正方形中，，分别为、的中点，现将△，△，△分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为 　　． ( 题型02 ) 空间几何的内切球问题 9．（2024春•攀枝花期末）正四面体外接球的体积为，则其内切球的表面积为 　　． 10．（2023秋•乐山期末）在多面体中，，且，，两两垂直，则该多面体的外接球半径为 　　，内切球半径为 　　． 11．（2024春•青羊区校级期末）如图，，分别是正方形的边，的中点，把，，折起构成一个三棱锥，，重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是　　． 12．（2023春•遂宁期末）如图，在正方体中，截去三棱锥，若剩余的几何体的表面积是，那么正方体的内切球的表面积和其外接球的体积分别是　　 A．， B．， C．， D．， 13．（2023春•泸县校级期末）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面、底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为　　 A． B． C． D． 14．（2023春•仁寿县校级期末）正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为　　 A． B． C． D． ( 题型03 ) 空间几何体中球的放置问题 15．（2024秋•内江期末）已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为　　 A． B． C． D． 16．（2022秋•船山区校级期末）阿基米德，公元前287年公元前212年）是古希腊伟大的数学家，物理学家和天文学家，在他墓碑上刻着的一个圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，如图所示，则在该几何体中，圆柱表面积与球表面积的比值为　　 A． B． C．或 D． 1．（2024春•峨眉山市校级期末）如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，，，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为　　 A． B． C． D． （多选）2．（2024秋•达州期末）已知三棱锥中，、、两两垂直，，，三棱锥的内切球（球心到各个面距离相等）半径为，三棱锥的外接球（球心到各顶点距离相等）半径为，三棱锥的表面积为，体积为，则　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•仁寿县期末）如图，在三棱锥中，，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•泸县校级期末）在三棱锥中，已知，，，是线段上的点，，．若三棱锥的各顶点都在球的球面上，则球的半径为　　 A．1 B． C． D． 5．（2024春•眉山期末）现有一个高为2的三棱锥被一个平行于底面的平面截去一个高为1的三棱锥，得到棱台．已知，，，则该棱台的外接球体积为 　　． 6．（2023秋•翠屏区校级期末）在三棱锥中，，，，点到底面的距离为，则三棱锥的外接球的表面积为 　　． （多选）7．（2024春•德阳期末）圆台的上下底分别是直径为2、4的圆，高为2，则　　 A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．圆台外接球表面积为 D．圆台能装下最大球的体积为 8．（2022秋•泸县校级期末）2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点、、、满足，，，则该足球的表面积为　　 A． B． C． D． 9．（2023春•翠屏区校级期末）在矩形中，，为的中点，将和沿，翻折，使点与点重合于点，若，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 与球有关的切接问题综合3种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何的外接球问题 题型02空间几何的内切球问题 题型03空间几何体中球的放置问题 ( 题型01 ) 空间几何体的外接球 1．（2024春•龙马潭区期末）如图，在四面体中，平面，，，则此四面体的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】将四面体补形成长方体，长、宽、高分别为2，1，2， 外接球直径等于体对角线长，故， 所以外接球表面积为． 故选：． 2．（2024春•凉山州期末）已知正三棱柱的侧面积为，若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可得，三棱柱的中心即为外接球的球心，设棱柱的底面边长为，高为， 则三棱柱的侧面积为，即， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得，，即， 则外接球半径，当且仅当时取等号， 外接球表面积． 故选：． 3．（2023秋•内江期末）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知某“鞠”的表面上有四个点、、、，其中平面，，，，则该球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示： 取的中点，的中点，设球的球心为， 由于平面，，，， 则：，， 过点作平面，过点作的垂直平分线与交于点， 故点为三棱锥外接球的球心， 所以外接球的半径， 所以． 故选：． 4．（2023秋•叙州区校级期末）如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】因为为等腰直角三角形，， 所以的外接圆的圆心为的中点，且， 连接与的中点，则，所以平面， 设球的球心为，由球的截面性质可得在上， 设，，半径为， 因为，所以， 所以，又， 所以， 因为，所以， 所以三棱锥的外接球表面积的最大值为． 故选：． 5．（2023秋•叙州区校级期末）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面．若，，则这个四棱锥的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】取中点，连接，，取中点，连接，， 等腰梯形中，，， 则，，四边形是平行四边形， ，，是等边三角形， ，是等边三角形， ， 点是等腰梯形的外接圆圆心， 中，，，则，， 底面，则底面，， ，， ， 点为四棱锥的外接球的球心， 球半径， 这个四棱锥的外接球表面积为． 故选：． 6．（2024春•德阳期末）体积为4的长方体中，则该长方体的最小外接球表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】设该长方体的长，宽分别为，，又其高为1， 长方体的体积为， 设该长方体的最小外接球的半径为， 则该球即为长方体的外接球， ，当且仅当时，取得等号， 该长方体的最小外接球表面积为． 故选：． 7．（2024春•新都区期末）四面体中，若，，，则此四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】设△外接圆的半径为，此四面体的外接球的半径为， 则根据正弦定理可得，， 到底面的距离为， ，，解得， 此四面体的外接球的表面积为． 故选：． 8．（2024春•仁寿县期末）如图，在边长为6的正方形中，，分别为、的中点，现将△，△，△分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为 　　． 【解析】根据题意，得三棱锥中，，， 、、两两互相垂直， 三棱锥的外接球的直径， 可得三棱锥的外接球的半径为， 根据球的表面积公式，得三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为：． ( 题型02 ) 空间几何的内切球问题 9．（2024春•攀枝花期末）正四面体外接球的体积为，则其内切球的表面积为 　　． 【解析】如图所示，将正四面体放入棱长为的正方体中， 则其外接球的半径为， 所以外接球的体积为，解得， 所以正四面体的棱长，设其内切球的半径为， 由等体积法有：，其中为正四面体的表面积， 所以，所以， 其内切球的表面积为． 故答案为：． 10．（2023秋•乐山期末）在多面体中，，且，，两两垂直，则该多面体的外接球半径为 　　，内切球半径为 　　． 【解析】如图，将多面体放置到正方体中， 则该多面体的外接球即为正方体的外接球， 易知正方体的棱长为， 设该多面体的外接球半径为， 则， 解得； ，且由正方体的性质可知平面， 设多面体的内切球半径为，球心为， 则根据多面体的等体积法思想可得： ， ， ， ． 故答案为：；． 11．（2024春•青羊区校级期末）如图，，分别是正方形的边，的中点，把，，折起构成一个三棱锥，，重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是　　． 【解析】设正方形的边长为2，则折起后，，两两垂直， 且，，则三棱锥的外接球半径等于以，，为长宽高的长方体的外接球半径， 所以， 设三棱锥的内切球的半径为，则三棱锥的体积为， 又三棱锥的体积为， 所以，则， 所以三棱锥的外接球半径与内切球的半径的比是， 故答案为：． 12．（2023春•遂宁期末）如图，在正方体中，截去三棱锥，若剩余的几何体的表面积是，那么正方体的内切球的表面积和其外接球的体积分别是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】设正方体的棱长为， 则截去三棱锥后剩余的几何体的表面积， 可得，即，． 正方体的内切球的半径为，外接球的半径为， 正方体的内切球的表面积为； 外接球的体积是． 故选：． 13．（2023春•泸县校级期末）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面、底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】设圆锥的内切球半径为，则，解得， 设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为， 内切球切母线于，底面半径，，则， 又，故， 又，故， 故该圆锥的表面积为，令， 则，当且仅当，即时取等号． 故选：． 14．（2023春•仁寿县校级期末）正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥， 设内切球的半径为，则根据等体积算法可得， 且正四棱锥的高为图中，易得， 即：， 解得，内切球的表面积为， 故选：． ( 题型03 ) 空间几何体中球的放置问题 15．（2024秋•内江期末）已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意可所求球即为该正方体的内切球， 该球的半径为正方体的棱长的一半，即， 所求球的体积为． 故选：． 16．（2022秋•船山区校级期末）阿基米德，公元前287年公元前212年）是古希腊伟大的数学家，物理学家和天文学家，在他墓碑上刻着的一个圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，如图所示，则在该几何体中，圆柱表面积与球表面积的比值为　　 A． B． C．或 D． 【解析】设圆柱的底面半径为，则高为，其内切球的半径为， 则圆柱的表面积为， ． 故选：． 1．（2024春•峨眉山市校级期末）如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，，，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意可得为等腰直角三角形，且， 的外接圆的圆心为的中点，且， 设的中点为，连接，则， 从而可得平面， 设三棱锥外接球的球心为，半径为， 由球的性质可得点在上， 设，，，， ，， 即，又，， ，， ． 故选：． （多选）2．（2024秋•达州期末）已知三棱锥中，、、两两垂直，，，三棱锥的内切球（球心到各个面距离相等）半径为，三棱锥的外接球（球心到各顶点距离相等）半径为，三棱锥的表面积为，体积为，则　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意可得、、两两垂直，且，， 所以可以将其补全为长方体，如下图所示： 对选项，易知， 所以， ， 所以，所以选项正确； 对选项，因为三棱锥的外接球的直径即为长方体的对角线长， 所以，所以选项正确； 对选项，因为，所以选项正确； 对选项，因为，所以选项错误． 故选：． 3．（2022秋•仁寿县期末）如图，在三棱锥中，，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 【解析】设点为的中点，连接，，由于，，所以，，所以为二面角的平面角； 由于二面角的正切值是， 所以，故； 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理； 所以， 由于， 所以、、两两垂直，将三棱锥体补成正方体， 如图所示： 正方体的棱长为2，则正方体的对角线长为， 故外接球的半径， 则外接球的表面积为． 故选：． 4．（2022秋•泸县校级期末）在三棱锥中，已知，，，是线段上的点，，．若三棱锥的各顶点都在球的球面上，则球的半径为　　 A．1 B． C． D． 【解析】如图， 在中，由，， 得， 则， ，， 在中，，，， 可得． ，即， 又，，平面，得， 而，，平面． 设外接圆的半径为，则，即． 三棱锥的外接球的球心到底面外心的距离等于， 球的半径为． 故选：． 5．（2024春•眉山期末）现有一个高为2的三棱锥被一个平行于底面的平面截去一个高为1的三棱锥，得到棱台．已知，，，则该棱台的外接球体积为 　　． 【解析】由题意，△，且， 设，△外接圆的圆心分别为，，半径分别为，，则， ，，， 由余弦定理得，，则， 由正弦定理得，，， 设棱台的外接球球心为，半径为， 若球心在棱台上下底面之间时， 在直角△中，，，， 在直角△中，，，， ，，此方程无解； 若球心不在棱台上下底面之间时， 在直角△中，，，， 在直角△中，，，， ，，解得， 则该棱台的外接球体积为． 故答案为：． 6．（2023秋•翠屏区校级期末）在三棱锥中，，，，点到底面的距离为，则三棱锥的外接球的表面积为 　　． 【解析】如图，设的中点为，连接，， 因为，所以， 因此为三棱锥外接球的球心， 因为，，所以， 所以，又，所以为等边三角形， 记点在底面内的射影为，则为的中心，连接，， 因为点到底面的距离为， 所以， 设，则， 在直角三角形中，， 所以，在直角三角形中，，即， 解得， 则三棱锥外接球的半径， 所以外接球的表面积． 故答案为：． （多选）7．（2024春•德阳期末）圆台的上下底分别是直径为2、4的圆，高为2，则　　 A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．圆台外接球表面积为 D．圆台能装下最大球的体积为 【解析】选项，圆台的上底面面积为，下底面面积为， 由题意得，，，过点作于点， 则，由勾股定理得， 故侧面积为， 故表面积为，错误； 选项，圆台的体积为，正确； 选项，设外接球球心为，连接，，则， 设，则， 由勾股定理得，即， 同理可得， 故，解得， 故，故圆台外接球表面积为，正确； 选项，当为球的直径时，即半径为1，此时球的体积为， 故圆台能装下最大球的体积不会大于，错误． 故选：． 8．（2022秋•泸县校级期末）2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点、、、满足，，，则该足球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，，，所以可以把，，，四点放到长方体的四个顶点上， 将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示： 则该足球的表面积为四面体外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积， 设长方体棱长为，，，则有，，， 设长方体外接球半径为，则有，解得， 所以外接球的表面积为：． 故选：． 9．（2023春•翠屏区校级期末）在矩形中，，为的中点，将和沿，翻折，使点与点重合于点，若，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可知，，． 又，平面，平面， 所以平面． 设的外接圆的半径为， 则由正弦定理可得， 即，所以， 设三棱锥的外接球的半径为， 则， 所以外接球的表面积为． 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$