第02讲 三角形的边（2个知识点+5个题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第02讲 三角形的边 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 三角形的三边关系】 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三边中的任意两边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【知识点2 三角形的稳定性】 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【题型1 构成三角形的条件】 【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-1】老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【变式1-3】满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（   ） A． B．， C．，， D．，， 【题型2 确定第三边的取值范围】 【例2】若长度为的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（    ） A．2 B．5 C．10 D．12 【变式2-1】在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【变式2-2】在平面内，将长度分别为1，3，1，d的四条线段，首尾顺次相接组成一个凸四边形，如图所示，则d的值可能是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【变式2-3】已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ． 【题型3 三角形三边关系的应用】 【例3】已知a、b、c为的三边长． (1)化简； (2)若为等腰三角形，且周长为16，已知，求b、c的值． 【变式3-1】已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【变式3-2】老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形. （1）量出； （2）在点右侧取一点，使点满足； （3）将向右翻折，向左翻折. 若要使、两点能在点处重合，则长可能为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3-3】【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 (1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； (2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【题型4 利用三角形三边关系证不等关系】 【例4】如图，已知D、E是内的两点，问成立吗？请说明理由． 【变式4-1】如图所示，在中，是上一点，则成立吗？说明理由． 【变式4-2】已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【变式4-3】如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 【题型5 三角形的稳定性】 【例5】下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列五边形具有稳定性的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】用螺丝连接四根木条构成一个四边形，四根木条长度如图所示，现添加一根木条，使这个图形稳定，则添加的木条的长度不可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式5-3】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上 根木条．    1．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 3．如图，将长为的铁丝折成三段，已知第一段长为，第二段长为．若这三条线段恰好能围成一个三角形，则的值可以是（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 4．已知一个三角形的两边长分别为3和9，若第三边长为偶数，则第三边长为（   ） A．7或9 B．9或11 C．6或8 D．8或10 5．等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A．4或7 B．4 C．6 D．7 6．数学活动小组制作了四个小木棍，长度分别是，，，，任意选取其中三个，能组成的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，具有稳定性的图形有 ．（填序号）    9．定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 10．如图，线段和线段是三角形的两条边，点D在线段上，点E在线段上，将三角形沿所在直线裁去一个角得到四边形，则四边形的周长 （填“大于”，“等于”或“小于”）三角形的周长，理由是 ． 11．已知三角形三边的长均为整数，且，如果，则符合条件的三角形共有 个． 12．已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 13．在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 14．如图，在中，点在上，点在上．求证：． 15．如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 三角形的边 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 三角形的三边关系】 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三边中的任意两边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【知识点2 三角形的稳定性】 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【题型1 构成三角形的条件】 【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系，解题关键是熟练掌握三角形三边关系． 根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”逐项进行判断即可． 【详解】解：选项，，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误； 选项，符合三角形三边关系，能组成三角形，符合题意，选项正确； 选项，，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误； 选项，，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误． 故选：． 【变式1-1】老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系（构成三角形的条件），熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边；简便方法是：看较小的两个数之和是否大于第三个数． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不能组成三角形，故选项不符合题意； B. ，不能组成三角形，故选项不符合题意； C. ，，能组成三角形，故选项符合题意； D. ，不能组成三角形，故选项不符合题意； 故选：． 【变式1-2】从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，组合共有7种， 故选：D． 【变式1-3】满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（   ） A． B．， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三条边的关系．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：A、设a，b，c分别为，，，则有，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； B、当时，，，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； C、当，，时，，符合三角形的三边关系，故能构成三角形； D、，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形． 故选：C． 【题型2 确定第三边的取值范围】 【例2】若长度为的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（    ） A．2 B．5 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：∵长度为的三条线段能组成一个三角形， ∴，即， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 【变式2-1】在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系可得，即可确定的长度可以为3、4、5，再求出三角形的可能取值即可解答． 【详解】解：∵在中，若， ，即， ∴， ∵的长度为整数， ∴的长度可以为3、4、5， ∴的周长可能是9、10、11． 故选：B． 【变式2-2】在平面内，将长度分别为1，3，1，d的四条线段，首尾顺次相接组成一个凸四边形，如图所示，则d的值可能是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理．如图，设这个凸四边形为，连接，并设，先在中，根据三角形的三边关系定理可得，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，即从而可得，据此即可解答． 【详解】解：如图，设这个凸四边形为，连接，并设， 在中，，即， 在中，，即， 所以． 观察四个选项可知，只有选项B符合． 故选：B． 【变式2-3】已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，由此得到关于的不等式组，即可求出的取值范围．关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， 解①得， 解②得， 解③得， 不等式组的解集为． 故答案为：． 【题型3 三角形三边关系的应用】 【例3】已知a、b、c为的三边长． (1)化简； (2)若为等腰三角形，且周长为16，已知，求b、c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：，，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）对进行a为腰长或a为底边进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：因为a、b、c为的三边长， 所以，， 则，， 所以； （2）解：因为为等腰三角形，且周长为16， 所以当为腰长时，那么底边为， 因为，所以不能构成三角形，故为腰长舍去； 所以当为底边时，那么腰长为， 故4为底边，腰长为，符合三角形的三边关系， 则． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【变式3-1】已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式3-2】老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形. （1）量出； （2）在点右侧取一点，使点满足； （3）将向右翻折，向左翻折. 若要使、两点能在点处重合，则长可能为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， 将向右翻折，向左翻折， ， 符合三角形三边关系， ， 即， 解得， 解得， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【变式3-3】【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 (1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； (2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （3）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴，解得：． （2）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4． （3）解：设， 由题意可得：，解得：． 【题型4 利用三角形三边关系证不等关系】 【例4】如图，已知D、E是内的两点，问成立吗？请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】考查三角形的边的不等关系时，要注意三角形的三边关系结合图形，反复运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”进行证明． 【详解】解：，理由如下： 延长交于点F、延长交于G， 在中：①， 在中：②， 在中：③， ∵， ∴①②③得： ， 即：， ， ∴． 【变式4-1】如图所示，在中，是上一点，则成立吗？说明理由． 【答案】成立，理由见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，同时考查了不等式的性质．先根据三角形三边关系定理可得，，再将两式相加得，即． 【详解】 解：成立，理由如下： 在中，， 在中，， 两式相加得：， 即． 【变式4-2】已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 【变式4-3】如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，两点之间直线最短．连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小，在四边形内任找一点（如点，且与点不重合），比较它与点到四个顶点的距离之和即可得到结论． 【详解】解：连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小． 理由如下： ∵，且 ， ∴， ∴，即四边形对角线的交点到四边形四个顶点的距离之和最小，即我们所找的点． 【题型5 三角形的稳定性】 【例5】下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不稳定，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不稳定， ∴不容易变形的是：B， 故选：B 【变式5-1】下列五边形具有稳定性的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，解题的关键是理解只要图形由三角形构成，也具有稳定性．根据三角形具有稳定性，进行解答即可． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形由三角形构成，也具有稳定性，只有D选项中的图形都是由三角形构成． 故选：D． 【变式5-2】用螺丝连接四根木条构成一个四边形，四根木条长度如图所示，现添加一根木条，使这个图形稳定，则添加的木条的长度不可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】该题主要考查了三角形的三边关系的应用，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系得出的范围求解即可． 【详解】解：连接， 根据题意可得，在中，，即， 在中，，即， 则， 在中，，即， 在中，，即， 则， 故选：A． 【变式5-3】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上 根木条．    【答案】3 【分析】本题考查三角形的稳定性，三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．根据过边形的一个顶点作对角线，可以做条即可解答． 【详解】解：过六边形的一个顶点作对角线，有条对角线， 所以至少要钉上根木条． 故答案为． 1．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形稳定性和四边形不稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过转化为三角形而获得． 【详解】解：A，B，D是利用了三角形的稳定性，C是利用了四边形的不稳定性． 故选：C． 2．下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 3．如图，将长为的铁丝折成三段，已知第一段长为，第二段长为．若这三条线段恰好能围成一个三角形，则的值可以是（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键． 逐项求出第三段长，再根据三角形的三边关系判断，即可解答． 【详解】解：A．当时，第三段长为，由，得 3，4，7不能组成三角形，故该选项错误； B． 当时，第三段长为，由，得 4，4，6能组成三角形，故该选项正确； C． 当时，第三段长为，由，得 3，4，7不能组成三角形，故该选项错误； D． 当时，第三段长为，由，得 2，4，8不能组成三角形，故该选项错误； 故选B． 4．已知一个三角形的两边长分别为3和9，若第三边长为偶数，则第三边长为（   ） A．7或9 B．9或11 C．6或8 D．8或10 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长． 【详解】解：设第三边为x， 则， 即， ∵第三边长为偶数， ∴第三边长是8或10． 故选：D． 5．等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A．4或7 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三条边的关系和一元一次方程的应用的问题． 根据三角形的两边之和大于第三边，可得判断出底边是x，腰长是，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：若x是腰，则底边长是，应该满足两腰之和大于底，但是， 所以只能x是底边，则腰长是， 由题意得， 解得， ， 故答案为：D． 6．数学活动小组制作了四个小木棍，长度分别是，，，，任意选取其中三个，能组成的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形三边关系即可得到答案． 【详解】解： ， 长度分别是，，的三个小木棍能组成三角形； ， 长度分别是，， 的三个小木棍不能组成三角形； ， 长度分别是，，的三个小木棍能组成三角形； ， 长度分别是，，的三个小木棍能组成三角形； 能组成的三角形的个数是个， 故选：C ． 7．如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系和不等式的性质解答． 【详解】解：由三角形两边的和大于第三边， ；， A、B选项正确，不符合题意； 将不等式左边，右边分别相加， ， ． C选项正确，不符合题意； 将不等式左边，右边分别相加， D项无法推出，符合题意． 故选D． 8．如图，具有稳定性的图形有 ．（填序号）    【答案】 【分析】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 显然图具有稳定性． 故答案为：． 9．定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 10．如图，线段和线段是三角形的两条边，点D在线段上，点E在线段上，将三角形沿所在直线裁去一个角得到四边形，则四边形的周长 （填“大于”，“等于”或“小于”）三角形的周长，理由是 ． 【答案】 小于 三角形两边之和大于第三边 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边．直接根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：∵线段是的三条边， ∴根据三角形的两边之和大于第三边，得， ∴四边形的周长小于的周长． 故答案为：小于，三角形两边之和大于第三边． 11．已知三角形三边的长均为整数，且，如果，则符合条件的三角形共有 个． 【答案】21 【分析】本题考查三角形三边关系，要注意根据“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析计算．根据题意，可取的值为1、2、3、…7，由三角形的三边关系，有，对分情况讨论，分析可得可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数即可得答案． 【详解】根据题意，可取的值为1、2、3、…7， 根据三角形的三边关系，有， 当时，有，则值不存在， 当时，有，则，有1种情况， 当时，有，则，有2种情况， 当时，有，则，有3种情况， … 当时，有，则，有6种情况， 则符合条件的三角形共有． 故答案为：21． 12．已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． （1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，，三角形的周长为偶数，求解即可求得答案． 【详解】（1）解：由三角形三边关系可知： ，，， ∴原式； （2）∵，， ∴， ∵三角形得周长为偶数，为奇数， ∴； 13．在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 【答案】(1)第一段的长不能为，理由见解析 (2)符合条件的的整数长度为或或 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）先计算出三个木棒的长度，然后根据三角形三边关系判断即可得解； （2）设，则，先求出，即可得解． 【详解】（1）解：第一段的长不能为； 理由如下： 根据题意，第一段长，第二段的长，第三段的长为， 当时，，， ∵， ∴三个木棒不能制作一个三角形木框， ∴第一段的长不能为； （2）解：设，则， ∵、、能组成三角形， ∴且， 解得， ∴整数为或或， 即符合条件的的整数长度为或或． 14．如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论． 【详解】证明：延长交于点，如图． 在中，， ， 即． 在中，， ， 即， ． 15．如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题； （1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … （根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填 故答案为：． （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$