第04讲 命题、定理、定义（2个知识点+4大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第04讲 命题、定理、定义 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点二：定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 题型一：命题的概念 【例1】下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【答案】CD 【解析】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题． 【变式1-1】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.问乙一定去过哪个（    ）城市? A．D城市 B．C城市 C．B城市 D．A城市 【答案】D 【解析】由题意可判断出甲去过两个城市，乙去过一个城市， 因为甲没去过B城市，所以甲去过A和C城市， 又因为乙没去过C城市且和甲去过同一城市，所以乙一定去过A城市， 故选：D. 【变式1-2】下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【解析】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 【变式1-3】下列语句是命题的个数为（   ） ①空集是任何集合的真子集；②x2－3x－4＝0； ③3x－2>0；④把门关上；⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】因为能够判断真假的陈述句为命题， 所以只有①符合定义， 故选：A 【变式1-4】给出下列语句：①．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】命题是指可以判断真假的陈述句，所以②⑥是命题， ①不能判断真假，不是命题； ③“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题； ④是祈使句，不是命题； ⑤是感叹句，不是命题． 故选：A 题型二：命题真假的判断 【例2】（2025·高一·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【解析】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，假命题. 故选：B 【变式2-1】设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【解析】命题①对于任意，都有； 若，则即，,或，，，即， 若，则时即即， 或时即即，故总有， 故命题①为真命题； 命题②对于任意，都有. 若，则，而，故即，故； 若，则当，一定成立，即，此时， 当时，，此时也成立， 故命题②为真命题； 故选：A. 【变式2-2】对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【解析】对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 【变式2-3】下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 【答案】C 【解析】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误， 对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误， 对于C，是命题，且是真命题，所以C正确， 对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误， 故选：C 【变式2-4】下列命题是真命题的是（　　） A．若xy＝1，则x，y互为倒数 B．平面内，四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】A 【解析】对于A，由倒数定义知：若xy＝1，则x，y互为倒数，真命题； 对于B，平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，假命题； 对于C，平行四边形两组对边互相平行，梯形只有一组对边互相平行，故平行四边形不是梯形，假命题； 对于D，当时，有，假命题. 故选：A 题型三：命题的结构形式 【例3】把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【解析】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． （2）若，则，是真命题． （3）已知、为正整数，若，则且，是假命题． 【变式3-1】判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 【解析】（1）是能被4整除的自然数，即，所以是偶数．即， 但．反例：是偶数，但不能被4整除． （2）实数满足方程，可得或，即； 同样，如果或，则有，即． （3）若，必有，即． 但满足，而不满足，即． 【变式3-2】写出下列命题的条件与结论. （1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等； （2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等； （4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例. 【解析】（1）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：两个三角形全等 结论：这两个三角形的对应高相等 （2）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等 结论：这两个三角形全等 （3）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：一个四边形是菱形 结论：这个四边形的四边相等 （4）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：两条直线被一组平行线所截 结论：所得的对应线段成比例 【变式3-3】将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）绝对值相等的数也相等； （2）矩形的对角线相等； （3）角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）两角分别相等的两个三角形相似. 【解析】（1）条件是：两个数的绝对值相等，结论是：它们相等．“若p，则q”的形式： 若两个数的绝对值相等，则它们也相等； （2）条件是：两条线段是一个矩形的两条对角线，结论是：这两条线段相等，“若p，则q”的形式： 若两条线段是一个矩形的两条对角线，则它们相等； （3）条件是：平面上的点在一个角的角平分线上，结论是：这个点到角的两边的距离相等．“若p，则q”的形式： 若平面上的点在一个角的角平分线上，则这个点到角的两边的距离相等； （4）条件是：两个三角形的两个角分别相等，结论是：这两个三角形相似．“若p，则q”的形式： 若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似． 【变式3-4】写出下列命题的条件和结论. （1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等； （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等； （3）若a，b都是偶数，则是偶数； （4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同； （5）若，则； （6）若，则方程有实数解. 【解析】（1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等； 条件：两个三角形相似；结论：两个三角形的对应角相等. （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等； 条件：四边形是平行四边形；结论：四边形的对角相等. （3）若a，b都是偶数，则是偶数； 条件：a，b都是偶数；结论：是偶数. （4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同. 条件：两个实数的积为正数；结论：两个实数的符号相同. （5）若，则 条件：；结论：. （6）若，则方程有实数解. 条件：；结论：方程有实数解. 题型四：根据命题的真假求参数 【例4】（2025·高一·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【解析】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 【变式4-1】命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 【变式4-2】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【解析】（1）若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 【变式4-3】已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围． 【解析】设为的两个不等的负根，则， 解得，记集合， 而，解之得，记集合， 若p真q假，则， 若p假q真，则， 综上：若、一真一假，则或. 1．已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 【答案】B 【解析】根据条件，显然都是关于原点对称的集合，所以对，，有. 同时，对，只要包含，则对，有，反之亦然，故. 这表明，只要中有任何一个包含，中就至少有两个相等. 与此同时，对于，设满足，若，，则，所以，据的对称性有，同理，故，同理. 同时，设，则，所以. 故，所以，同理. 有了这些准备工作，下面分别研究两个命题①和②： 对于①，如果中的每个数都是偶数，则可以不断对每个元素除以（这个过程不能无限进行），直至中不全为偶数. 所以不妨设中至少有一个包含奇数，不妨设奇数，此时任取. 根据前面已经证明的结论，可知对任意整数，有，. 再结合前面证明的结论，可知对任意整数，有，. 从而对任意整数，据，，有. 这表明对任意整数，只要不全是偶数，就有. 由于是奇数，故不全是偶数，从而. 根据前面证明的结论，可知中至少有两个相等，故①正确； 对于②，设，，. 则满足全部条件，但两两不相等，故②错误. 故选：B. 2．（2025·高一·湖北·期中）已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 【答案】B 【解析】由题可知“方程至少有两个解”为真命题， ， ， ， 综上且． 故选：B. 3．（2025·高一·四川成都·开学考试）老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（    ） A．任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果 B．不努力学习也可能有好结果 C．努力学习一定有好结果 D．如果没有取得好结果，那么一定没有努力 【答案】A 【解析】对于A，由给定的语句知，努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果，A正确. 对于B，由给定的语句知，不努力学习一定没有好结果，B错误； 对于C，由给定的语句知，努力学习不一定有好结果，C错误； 对于D，命题“如果没有取得好结果，那么一定没有努力”，等价于：如果努力，就能取得好结果，D错误. 故选：A 4．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 【答案】B 【解析】对于甲， ，故命题甲正确； 对于乙，如图所示： 所以，，故命题乙不正确. 故选：. 5．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【解析】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A 6．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 【答案】D 【解析】把命题改为“若，则”的形式为 “若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”， 故命题的条件为“两个平面垂直于同一条直线”． 故选：D. 7．下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于①：可得,①正确； 对于②：可得,②正确； 对于③：则或,③错误； 对于④：可得,④正确. 故选：C. 8．（2025·高一·北京昌平·期末）高一年级某班30名同学参加体能测试，给出下列三个判断： ①有人通过了体能测试： ②同学甲没有通过体能测试； ③有人没有通过体能测试. 若这三个判断中只有一个是真，则下列选项中正确的是（   ） A．只有1名同学通过了体能测试 B．只有1名同学没有通过体能测试 C．30名同学都通过了体能测试 D．30名同学都没通过体能测试 【答案】C 【解析】“有人通过了体能测试”与“有人没有通过体能测试”不可能都为真， 若“同学甲没有通过体能测试”为真，则“有人没有通过体能测试”必真，不符合题意， 因此“同学甲没有通过体能测试”是假的，即同学甲通过了体能测试，②假，①真，③假， 由“有人没有通过体能测试”是假的判断，得30名同学都通过了体能测试，C正确. 故选：C 9．（多选题）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】AD 【解析】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误． 10．（多选题）下面命题正确的是（ ） A．若且，则，至少有一个大于1 B．直角三角形的外心一定不在斜边上 C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值 D．任何分数都是有理数 【答案】ACD 【解析】对A：假设，都小于或等于，则， 与已知矛盾，故假设错误，故A正确； 对B：直角三角形的外心在斜边中点,故B错误； 对C：假设非空集合中的元素无最大值，则集合必为无限集， 这与实数集的非空子集是有限集矛盾，故中的元素必然有最大值，故C正确； 对D：由有理数定义可知，任何分数都是有理数，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选题）（2025·高一·重庆·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 【答案】AD 【解析】对于A，所有平行四边形的对角线互相平分，所以A正确； 对于B，当时，是无理数，所以B错误； 对于C，由关于的方程有两个负根，得解得，所以C错误． 对于D，两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比，所以D正确． 故选：AD 12．（2025·高一·上海闵行·期末）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 【答案】 【解析】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 13．（2025·高一·浙江·期末）当一个非空数集G满足“如果，则，，，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的命题：①0和1都是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③任何一个有限数域的元素个数必为奇数；④有理数集是一个数域；⑤偶数集是一个数域，其中正确的命题有 . 【答案】①②③④ 【解析】①当时，由数域的定义可知， 若，则有，即，，故①是真命题; ②因为，若，则，则，， 则2019，所以，故②是真命题； ③，当且时，则，因此只要这个数不为就一定成对出现， 所以有限数域的元素个数必为奇数，所以③是真命题； ④若，则，且时,，故④是真命题； ⑤当时，，所以偶数集不是一个数域，故⑤是假命题； 故答案为：①②③④ 14．（2025·高二·北京·期末）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题： ①；     ②； ③； ④. 则假命题是 (填上所有假命题的序号). 【答案】①②③ 【解析】举出反例可判断①②③，按照、分类，即可判断④，即可得解.对于①，由，可得，故①为假命题； 对于②，由，可得，故②为假命题； 对于③，由，可得，故③为假命题； 对于④，当时，，， 此时满足； 当时，，， 此时满足；故④为真命题； 故答案为：①②③. 15．（2025·高三·上海宝山·开学考试）定义：若对非空数集中任意两个元素、，实施“加减乘除”运算（如、、、），其结果仍然是P中的元素，则称数集是一个“数域”.下列四个命题：①有理数集是数域；②若有理数集，则数集是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域；上述命题错误的序号是 . 【答案】② 【解析】根据题意，由数域的定义可知， 对于①，从有理数集中任取两个有理数、， 则、、、都是有理数，故有理数是数域，故命题①正确； 对于②，已知有理数集，若,则, 此时数集不是数域，故命题②错误； 对于③，设数域，(假设)，则，则， 同理，故数域必为无限集，所以命题③正确； 对于④，形如为无理数这样的数集都是数域， 故存在无穷多个数域，所以命题④正确， 所以上述命题错误的序号是：②. 故答案为：②. 16．已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【解析】若命题为真命题，则，解得或， 若命题为真命题，则，即， 若真假，则，可得或， 若假真，则，此时，. 综上所述，或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 命题、定理、定义 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点二：定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 题型一：命题的概念 【例1】下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【变式1-1】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.问乙一定去过哪个（    ）城市? A．D城市 B．C城市 C．B城市 D．A城市 【变式1-2】下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【变式1-3】下列语句是命题的个数为（   ） ①空集是任何集合的真子集；②x2－3x－4＝0； ③3x－2>0；④把门关上；⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-4】给出下列语句：①．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二：命题真假的判断 【例2】（2025·高一·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【变式2-1】设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【变式2-2】对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【变式2-3】下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 【变式2-4】下列命题是真命题的是（　　） A．若xy＝1，则x，y互为倒数 B．平面内，四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 题型三：命题的结构形式 【例3】把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【变式3-1】判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 【变式3-2】写出下列命题的条件与结论. （1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等； （2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等； （4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例. 【变式3-3】将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）绝对值相等的数也相等； （2）矩形的对角线相等； （3）角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）两角分别相等的两个三角形相似. 【变式3-4】写出下列命题的条件和结论. （1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等； （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等； （3）若a，b都是偶数，则是偶数； （4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同； （5）若，则； （6）若，则方程有实数解. 题型四：根据命题的真假求参数 【例4】（2025·高一·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【变式4-1】命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【变式4-2】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【变式4-3】已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围． 1．已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 2．（2025·高一·湖北·期中）已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 3．（2025·高一·四川成都·开学考试）老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（    ） A．任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果 B．不努力学习也可能有好结果 C．努力学习一定有好结果 D．如果没有取得好结果，那么一定没有努力 4．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 5．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 6．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 7．下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025·高一·北京昌平·期末）高一年级某班30名同学参加体能测试，给出下列三个判断： ①有人通过了体能测试： ②同学甲没有通过体能测试； ③有人没有通过体能测试. 若这三个判断中只有一个是真，则下列选项中正确的是（   ） A．只有1名同学通过了体能测试 B．只有1名同学没有通过体能测试 C．30名同学都通过了体能测试 D．30名同学都没通过体能测试 9．（多选题）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 10．（多选题）下面命题正确的是（ ） A．若且，则，至少有一个大于1 B．直角三角形的外心一定不在斜边上 C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值 D．任何分数都是有理数 11．（多选题）（2025·高一·重庆·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 12．（2025·高一·上海闵行·期末）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 13．（2025·高一·浙江·期末）当一个非空数集G满足“如果，则，，，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的命题：①0和1都是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③任何一个有限数域的元素个数必为奇数；④有理数集是一个数域；⑤偶数集是一个数域，其中正确的命题有 . 14．（2025·高二·北京·期末）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题： ①；     ②； ③； ④. 则假命题是 (填上所有假命题的序号). 15．（2025·高三·上海宝山·开学考试）定义：若对非空数集中任意两个元素、，实施“加减乘除”运算（如、、、），其结果仍然是P中的元素，则称数集是一个“数域”.下列四个命题：①有理数集是数域；②若有理数集，则数集是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域；上述命题错误的序号是 . 16．已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$