第2章 常用逻辑用语综合测试-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第2章 常用逻辑用语综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】是无理数，不一定是无理数，如，；而是无理数，一定是无理数， 故命题A是命题B的必要不充分条件. 故选：B 2．命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，原命题的否定为： . 故选：C 3．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【答案】D 【解析】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题. 故选：D 4．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确. 故选：D. 5．已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题， 可知其否定“”为真命题. 由，，移项可得， 因为，两边同时除以，得到在上恒成立. 在中，因为，所以2x和都是正实数，则， 当且仅当，即时等号成立. 因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值， 即，所以实数的取值范围是. 实数的取值范围是. 故选：A. 6．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题的否定为：“” 若该命题为真命题得，所以， 所以为该命题的一个必要不充分条件， 故选：C. 7．已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性的判断： 若，则或， 当时，关于的方程有两个相等的实数根，则， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为； 当时，关于的方程有两个不相等的实数根，不妨设， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为. 所以，由“”不能推出“关于的不等式的解集为”，充分性不成立. 必要性的判断： 若关于的不等式的解集为，因为二次函数开口向上，所以， 又因为关于的方程有两个实数根，则，则，必要性成立. 综上，“”是“关于的不等式的解集为”的必要不充分条件. 故选：B. 8．已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【解析】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个结论正确的是（    ） A．若，则或 B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．“是关于的方程有一正一负根的充要条件” 【答案】AD 【解析】对于A：或若，则或，A正确 对于B：的否定是，B错误 对于C：若，则一定成立反之，若，则或 “”是“”的充分不必要条件,故C错误， 对于D：对于方程有一正一负根， 其判别式，两根之积为，解得 反之，当时，，两根之积，方程有一正一负根 “是关于的方程有一正一负根的充要条件”，D正确 故选：AD 10．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意得解得．本题要求的是充分不必要条件，对照选项只有B，D符合题意． 11．十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，下列命题正确的为（    ） A．存在至少一组正整数组是关于x，y，z的方程的解； B．关于x，y的方程有正有理数解； C．关于x，y的方程没有正有理数解； D．当整数时，关于x，y，z的方程有正实数解. 【答案】CD 【解析】对于A：当整数时，关于x，y，z的方程没有正整数解， 故方程没有正整数解，A错误； 对于BC：没有正整数解，即，， 没有正有理数解，B错误，C正确； 对于D：方程，当满足条件，故有正实数解，D正确. 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则p是q的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】因为，所以，解得，所以，又，因为 ，故p是q的必要不充分条件． 13．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以． 14．已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【解析】由命题为真命题，得，解得， 由命题为真命题，得，解得， 因为命题、一真一假，所以真假，或假真， 当真假时，，得， 当假真时，，得， 综上，或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 16．（15分） 已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是． （2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是． 17．（15分） 设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【解析】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 18．（17分） 已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 19．（17分） 已知是的非空子集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，无需说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是为封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集. 【解析】（1）对于集合，因为，所以是封闭集； 对于集合， 令， 则，所以集合是封闭集. （2）对于命题令，， 令， 则， 所以集合是封闭集，同理集合是封闭集， 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题； 对于命题若，不妨令， 则有，又因为集合是封闭集， 则，同理， 因此，所以是封闭集， 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题. （3）非空集合是封闭集合， 当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合， 设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合， 同理当时，不是封闭集合， 所以A的补集不是封闭集. 第2页，共10页 第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 常用逻辑用语综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题的否定是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 4．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个结论正确的是（    ） A．若，则或 B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．“是关于的方程有一正一负根的充要条件” 10．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 11．十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，下列命题正确的为（    ） A．存在至少一组正整数组是关于x，y，z的方程的解； B．关于x，y的方程有正有理数解； C．关于x，y的方程没有正有理数解； D．当整数时，关于x，y，z的方程有正实数解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则p是q的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 13．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 14．已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16．（15分） 已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 17．（15分） 设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 18．（17分） 已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19．（17分） 已知是的非空子集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，无需说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是为封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集. 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$