专题06 二次根式（8大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题06 二次根式 ( 题型概览 01 二次根式有意义的条件 02 二次根式的性质与化简 03 最简二次根式 04 二次根式的乘除法 05 同类二次根式 06 二次根式的混合运算 07 二次根式化简求值 08 二次根式的应用 ) ( 二次根式有意义的条件 ) 1．（2024春•柘城县期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x≥1 C．x＞1 D．x≥0且x≠1 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件解答即可． 【解答】解：由二次根式有意义的条件得：x﹣1≥0， 由分式有意义的条件得：x﹣1≠0， ∴x﹣1＞0． 解得：x＞1， 故选：C． 2．（2024春•虞城县校级期末）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥2　 ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故答案为：x≥2． 3．（2024春•内黄县期末）已知是整数，则a的值可以是 　1（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【分析】根据是整数，可得17﹣a是完全平方数，从而可得答案． 【解答】解：∵是整数； ∴17﹣a是完全平方数； ∴17﹣a＝16， 解得a＝1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． ( 二次根式的性质与化简 ) 4．（2024春•确山县期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：∵|﹣3|＝3， ∴A选项的结论不正确； ∵3， ∴B选项的结论正确； ∵|﹣3|＝3， ∴C选项的结论不正确； ∵3， ∴D选项的结论不正确， 故选：B． 5．（2024春•西平县期末）当x＜1时，　1﹣x　 ． 【分析】利用二次根式的性质化简求出即可． 【解答】解：∵x＜1， ∴1﹣x． 故答案为：1﹣x． 6．（2024春•平舆县期末）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c||﹣b|＝　﹣2a　 ． 【分析】根据数轴得到a﹣c＞0，c﹣b＜0，根据二次根式的性质化简，合并同类项得到答案． 【解答】解：由数轴可知，c＜a＜0＜b， 则a﹣c＞0，c﹣b＜0， ∴|a﹣c||﹣b|＝﹣a﹣a+c+b﹣c﹣b＝﹣2a， 故答案为：﹣2a． 7．（2024春•滑县期末）计算：　π﹣2　 ． 【分析】首先判断2﹣π＜0，再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简． 【解答】解：∵2﹣π＜0， ∴π﹣2． 8．（2024春•平舆县期末）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且，则将变成（m±n）2然后开方，从而化简． 例如：化简． 解：． 仿照上例化简下列各式： （1）； （2）． 【分析】（1）把4+2化为（）2+212，然后利用完全平方公式进行解题即可； （2）把9﹣4化为（）﹣222，然后利用完全平方公式进行解题即可． 【解答】解：（1） ＝1； （2） 2． 9．（2024春•罗山县期末）【阅读材料】 嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 5+2（2+3）+2（）2+（）2+2（）2； 8+2（1+7）+212+（）2+2×1（1）2． 【类比归纳】 （1）请你仿照嘉嘉的方法将20+10化成另一个式子的平方； （2）请运用嘉嘉的方法化简：． 【变式探究】 若a±2（±）2，且a，m，n均为正整数，则a＝　22或10　 ． 【分析】【类比归纳】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式易得； （2）利用完全平方公式求解； 【变式探究】把右边等式展开可得到m+n＝a，mn＝21，利用整式的特征得到mn，于是得到m+n的值． 【解答】解：【类比归纳】 （1）； （2）； 【变式探究】∵（±）2＝m+n±2， ∴m+n＝a，mn＝21， ∵a，m，n均为正整数， ∴mn＝1×21＝3×7， ∴a＝22或10． 故答案为：22或10． ( 最简二次根式 ) 10．（2024春•罗山县期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案． 【解答】解：A、，不是最简二次根式，故此选项错误； B、，是最简二次根式，故此选项正确； C、2，不是最简二次根式，故此选项错误； D、，不是最简二次根式，故此选项错误． 故选：B． 11．（2024春•获嘉县期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式即可求出答案． 【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、2，不是最简二次根式，不符合题意； C、0.5，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 12．（2024春•洛阳期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义选择答案即可． 【解答】解：、、、四个数中只有是最简二次根式． 故选：B． ( 二次根式的乘除法 ) 13．（2024春•平舆县期末）如果•，那么（　　） A．x≥0 B．x≥3 C．0≤x≤3 D．x为任意实数 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则得出x的取值范围． 【解答】解：∵， ∴x≥0，x﹣3≥0， 解得：x≥3． 故选：B． 14．（2024春•新县期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【解答】解：12×3＝36， 故选：A． ( 同类二次根式 ) 15．（2024春•淮滨县期末）下列二次根式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将各式化为最简二次根式后即可判断． 【解答】解：（A）原式＝2，故不能合并， （B）原式＝3，故不能合并， （C）原式＝2，故能合并， （D）原式，故不能合并， 故选：C． 16．（2024春•新县期末）若2可以合并为一项，则n可以是（　　） A．9 B．18 C．27 D．54 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后被开方数相同的，即为同类二次根式，即可解答． 【解答】解：A、3，2与不能合并，故A不符合题意； B、3，2与不能合并，故B不符合题意； C、3，2与可以合并为一项，故C符合题意； D、3，2与不能合并，故D不符合题意； 故选：C． ( 二次根式的混合运算 ) 17．（2024春•固始县期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加减法与乘法、二次根式的化简逐项判断即可得． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 18．（2024春•安阳期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质及运算法则分别运算即可判断求解． 【解答】解：A、，故该选项错误，不合题意； B、，故该选项错误，不合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不合题意； 故选：C． 19．（2024春•禹州市期末）计算：　3　 ． 【分析】先计算二次根式的乘法，再算加法，即可解答． 【解答】解： ＝2 ＝3， 故答案为：． 20．（2024春•信阳期末）求值：　　 ． 【分析】先根据积的乘方得到原式，然后利用平方差公式计算． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 21．（2024春•新县期末）计算 （1）6； （2）（2）（2）+（）2 【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【解答】解：（1）原式＝224 ＝4； （2）原式＝4﹣3+3﹣22 ＝6﹣2． 22．（2024春•虞城县期末）计算： （1）． （2）． 【分析】（1）先将二次根式化简，最后合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 23．（2024春•红旗区校级期末）计算： （1）． （2）． 【分析】（1）先化为最简二次根式，然后运用二次根式的加减运算即可． （2）结合完全平方公式及平方差公式运算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ＝5﹣2+3﹣21 ＝7﹣2． 24．（2024春•三门峡期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 第一步 第二步 第三步 任务： （1）原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是 　、　 ； （2）第 　一　 步开始出错，错误的原因是 　去括号时，括号内的第二项没有改变符号　 ； （3）第一步中，去括号的依据是 　括号外是负号，去括号时，括号内的各项的符号都要改变　 ； （4）请写出正确的计算过程． 【分析】（1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可； （2）根据去括号法则分析即可； （3）根据去括号的依据解答即可； （4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1），不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 、是最简二次根式， 故答案为：、； （2）第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号内的第二项没有改变符号； 故答案为：一；去括号时，括号内的第二项没有改变符号； （3）第一步中，去括号的依据是括号外是负号，去括号时，括号内的各项的符号都要改变， 故答案为：括号外是负号，去括号时，括号内的各项的符号都要改变； （4） ． ( 二次根式的化简求值 ) 25．（2024秋•新安县期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2． 设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3n2　 ，b＝　2mn　 ． （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　21　 +　4　 （　1　 +　2　 ）2； （3）化简 【分析】（1）将（m+n）2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案； （2）设a+b，则m2+2mn+5n2，比较完全平方式右边的值与a+b，可将a和b用m和n表示出来，再给m和n取特殊值，即可得答案； （3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可． 【解答】解：（1）∵，m2+2mn+3n2 ∴a＝m2+3n2，b＝2mn 故答案为：m2+3n2，2mn． （2）设a+b 则m2+2mn+5n2 ∴a＝m2+5n2，b＝2mn 若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4 故答案为：21，4，1，2． （3） ( 二次根式的应用 ) 26．（2024春•虞城县期末）小明家装修，电视背景墙长BC为m，宽AB为m，中间要镶一个长为2m，宽为m的大理石图案（图中阴影部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式） 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：由题意可得： 2 ＝322 ＝62 ＝4（m2）， 答：壁布的面积为4m2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/29 11:10:16；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次根式 题型概览 01 二次根式有意义的条件 02 二次根式的性质与化简 03 最简二次根式 04 二次根式的乘除法 05 同类二次根式 06 二次根式的混合运算 07 二次根式化简求值 08 二次根式的应用 二次根式有意义的条件 1．（2024春•柘城县期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x≥1 C．x＞1 D．x≥0且x≠1 2．（2024春•虞城县校级期末）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 3．（2024春•内黄县期末）已知是整数，则a的值可以是 　 　 （写出一个即可）． 二次根式的性质与化简 4．（2024春•确山县期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•西平县期末）当x＜1时，　 　 ． 6．（2024春•平舆县期末）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c||﹣b|＝　 　 ． 7．（2024春•滑县期末）计算：　 　 ． 8．（2024春•平舆县期末）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且，则将变成（m±n）2然后开方，从而化简． 例如：化简． 解：． 仿照上例化简下列各式： （1）； （2）． 9．（2024春•罗山县期末）【阅读材料】 嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 5+2（2+3）+2（）2+（）2+2（）2； 8+2（1+7）+212+（）2+2×1（1）2． 【类比归纳】 （1）请你仿照嘉嘉的方法将20+10化成另一个式子的平方； （2）请运用嘉嘉的方法化简：． 【变式探究】 若a±2（±）2，且a，m，n均为正整数，则a＝　 　 ． 最简二次根式 10．（2024春•罗山县期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 11．（2024春•获嘉县期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 12．（2024春•洛阳期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 二次根式的乘除法 13．（2024春•平舆县期末）如果•，那么（　　） A．x≥0 B．x≥3 C．0≤x≤3 D．x为任意实数 14．（2024春•新县期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 同类二次根式 15．（2024春•淮滨县期末）下列二次根式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 16．（2024春•新县期末）若2可以合并为一项，则n可以是（　　） A．9 B．18 C．27 D．54 二次根式的混合运算 17．（2024春•固始县期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 18．（2024春•安阳期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 19．（2024春•禹州市期末）计算：　　 ． 20．（2024春•信阳期末）求值：　 　 ． 21．（2024春•新县期末）计算 （1）6； （2）（2）（2）+（）2 22．（2024春•虞城县期末）计算： （1）． （2）． 23．（2024春•红旗区校级期末）计算： （1）． （2）． 24．（2024春•三门峡期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 第一步 第二步 第三步 任务： （1）原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是 　 　 ； （2）第 　　 步开始出错，错误的原因是 　　 ； （3）第一步中，去括号的依据是 　　 ； （4）请写出正确的计算过程． 二次根式的化简求值 25．（2024秋•新安县期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2． 设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　　 +　　 （　　 +　　 ）2； （3）化简 二次根式的应用 26．（2024春•虞城县期末）小明家装修，电视背景墙长BC为m，宽AB为m，中间要镶一个长为2m，宽为m的大理石图案（图中阴影部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式） 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/29 11:10:16；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 1 学科网（北京）股份有限公司 $$