期末冲刺模拟 （培优卷）-2024-2025学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 期末冲刺模拟（培优卷） 题型一：填空题 1．（2024位育中学高三模拟）函数的最小正周期是 . 2．（2024黄浦区三模）如果复数z满足（1﹣2i）•z＝4﹣3i（i为虚数单位），则|z|＝　　． 3. （2025七宝中学高三阶段练习）若是实系数方程的一个虚根，且，则_________． 4. （2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______． 5. （2023育才中学期末）已知向量，，向量与垂直，则实数的值为__________． 6. （2024上海第二中学高一期末）的三内角所对边的长分别是，设向量，若向量与向量共线，则角______. 7．（2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 8．（2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）已知是锐角的外心，，若，则实数 . 9．（2024上海育才中学期末）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 10．（2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）已知在一个平面上过点作单位圆的两条切线和，点和点分别为切点，则的最小值是 . 11．（2024天津实验中学高一期末）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数，，．当，方程：时，x＝ ；当时，若，f（x）的最小值为 ． 12．（2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ． 题型二：选择题 13．（2024闵行区高三模拟）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 14.（2024普陀区高三模拟）列有关复数的说法正确的是（    ） A． B． C．若则 D．若，则的取值范围为 15．（2024嘉定区高三模拟）已知，下列命题中错误的是（    ） A．函数的图象关于直线对称； B．函数在上为严格增函数； C．函数的图象关于点对称； D．函数在上的值域是. 16. （2024华师大二附中高一期末）给定方程：，给出下列4个结论： ①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解； ③该方程在内有且只有一个实数根； ④若是方程的实数根，则. 其中正确结论的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 题型三：解答题 17．（2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）已知a，b∈R，i是虚数单位，z1＝a﹣i，z2＝2+bi在复平面上对应的点分别为A，B． （1）若z12+z22是实数，求||的最小值； （2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角． 18. （2024大同中学高三三模）设，. （1）求函数的单调增区间； （2）设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 19. （2024建平中学高一期末）已知复数，，其中为虚数单位，. （1）当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求、的值. （2）求的值域. 20．（2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 21．（21-22高三上·上海普陀·期中）已知函数，.若对于给定的非零常数，存在非零常数﹐使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为. (1)已知函数是上周期为1的“2级类周期函数”，且当时，，求的值﹔ (2)已知函数是上周期为1的“级类周期函数”，且当时，.若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围； (3)是否存在非零实数，使得函数是上周期为的“级类周期函数”？若存在，求出实数和的值；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 期末冲刺模拟（培优卷） 题型一：填空题 1．（2024位育中学高三模拟）函数的最小正周期是 . 【答案】 【分析】由余弦函数的最小正周期公式即可得出答案. 【解析】函数的最小正周期是:. 故答案为：. 2．（2024黄浦区三模）如果复数z满足（1﹣2i）•z＝4﹣3i（i为虚数单位），则|z|＝　　． 解：因为（1﹣2i）•z＝4﹣3i， 所以， 则＝． 故答案为：． 3. （2025七宝中学高三阶段练习）若是实系数方程的一个虚根，且，则_________． 【答案】4 【解析】 【详解】设,则方程的另一个根为,且， 由韦达定理直线 所以 4. （2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得向量，的坐标，再根据数量投影的定义即可求得答案. 【详解】， 所以向量在方向上的数量投影为. 故答案为：. 5. （2023育才中学期末）已知向量，，向量与垂直，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为所以由向量与垂直得： 考点：向量垂直坐标表示 6. （2024上海第二中学高一期末）的三内角所对边的长分别是，设向量，若向量与向量共线，则角______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标运算得，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】因为向量共线， 所以，即， 在中，由余弦定理得，，又，所以. 故答案为：. 7．（2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 【答案】13 【分析】设，则，结合韦达定理可得，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解. 【解析】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得， 由根与系数的关系可得， 整理得， 设、、在复平面上对应的点分别为、、， 则， 可知A，B关于x轴对称， 若复平面上、、对应点构成直角三角形，则， 即，解得， 所以. 故答案为：13. 8．（2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）已知是锐角的外心，，若，则实数 . 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、数量积的运算律 【分析】设的外接圆半径为，化简得，结合正弦定理求出值. 【详解】在锐角中，，则， 设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，所以，， 又因为， 所以. 所以由外接圆圆心的特点及向量数量积的几何意义可得： ， 所以， 由正弦定理可得， . 故答案为：. 9．（2024上海育才中学期末）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【答案】 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【解析】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 10．（2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）已知在一个平面上过点作单位圆的两条切线和，点和点分别为切点，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】设，把用表示出来，然后求最小值． 【详解】设，，则，. 从而，故. 故. 当时，. 所以的最小值是. 故答案为：． 11．（2024天津实验中学高一期末）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数，，．当，方程：时，x＝ ；当时，若，f（x）的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用一元二次方程的解法，以及复数的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】当，可得， 由，可得，整理得，解得； 当时，，设，因为，所以， 可得 ， 当且仅当时，取等号，所以的最小值为． 故答案为：；. 12．（2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据，可得，利用平面直角坐标系取则，设，结合已知条件可得，，利用平面向量的坐标运算可得，故可得的取值范围. 【解析】解：因为，所以， 则，所以，于是有， 因为，所以 则如图所示，在平面直角坐标系中， 则，设， 因为，所以，则，即， 因为，所以 则，即，解得， 则 因为 所以在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，，当时，，所以 故的取值范围是. 故答案为：. 题型二：选择题 13．（2024闵行区高三模拟）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐个分析各个函数的周期和单调性即可 【解析】对于A，的最小正周期为，而不在函数的定义域内，所以A错误， 对于B，的最小正周期为，当时，是严格减函数，所以B正确， 对于C，的最小正周期为，而此函数在上是增函数，所以C错误， 对于D，的最小正周期为，所以D错误， 故选：B 14.（2024普陀区高三模拟）列有关复数的说法正确的是（    ） A． B． C．若则 D．若，则的取值范围为 【答案】C 【分析】对于A，举例判断，对于B，令，分别计算进行判断，对于C，设对应的向量分别为，利用向量的几何意义分析判断，对于D，令，则由已知可得点在以为圆心，2为半径的圆上，根据圆的性质分析判断. 【详解】对于A，因为时，所以A错误， 对于B，令，则， 所以， 因为，所以，所以B正确， 对于C，设对应的向量分别为，则, ， 因为，所以，所以C正确， 对于D，令，则由，得 ，， 所以点在以为圆心，2为半径的圆上， 所以的最小值为，最大值为， 即的取值范围为，所以D正确， 故选：C 15．（2024嘉定区高三模拟）已知，下列命题中错误的是（    ） A．函数的图象关于直线对称； B．函数在上为严格增函数； C．函数的图象关于点对称； D．函数在上的值域是. 【答案】C 【分析】根据正弦函数的性质结合整体思想逐一判断即可. 【解析】对于A，因为为最小值， 所以函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以函数在上为严格增函数，故B正确； 对于C，因为， 所以点不是函数的对称中心，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以，故D正确. 故选：C. 16. （2024华师大二附中高一期末）给定方程：，给出下列4个结论： ①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解； ③该方程在内有且只有一个实数根； ④若是方程的实数根，则. 其中正确结论的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：作函数和的图像，显然是增函数，且当时，，而是周期函数，且，，因此与的图像有无数个交点，即方程有无数个实数解，②正确；当时，，方程无解，也不是方程的解，④正确；从图像上看，时，两图像有一个交点，即方程有一解，因此①错，③正确．故选C． 考点：函数的的零点，方程的解． 【名师点睛】本题考查函数图像的综合应用，考查数形结合思想．在解决方程的根的个数问题时，通常把方程根的个数与函数图像交点个数问题进行转化，转化时要注意简单化原则，本题直接作函数图像几乎不可能，可把方程的解转化为函数和的图像的交点问题，通过作出函数图像，观察结论，得出图像交点变化规律． 题型三：解答题 17．（2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）已知a，b∈R，i是虚数单位，z1＝a﹣i，z2＝2+bi在复平面上对应的点分别为A，B． （1）若z12+z22是实数，求||的最小值； （2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角． 解：（1）因为z1＝a﹣i，z2＝2+bi在复平面上对应的点分别为A，B， 所以A（a，﹣1），B（2，b）， 因为z12+z22＝a2﹣b2+3+（4b﹣2a）i是实数， 则a＝2b， 所以＝， 故||的最小值为； （2）设C（0，y）， 因为，则（0，y）＝（a，﹣1）+（2，b）＝（a+2，b﹣1）， 所以a+2＝0，y＝b﹣1， 则a＝﹣2， 又， 所以，可得b＝2a＝﹣4，则y＝﹣5， 所以，， 故＝， 所以与的夹角为arccos． 18. （2024大同中学高三三模）设，. （1）求函数的单调增区间； （2）设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，，令求解； （2）由可得，再利用余弦定理求得c，再利用求解. 【小问1详解】 解：，， 令，解得， 所以其单调增区间为. 【小问2详解】 由即， 因为是锐角，所以，得，即. 由余弦定理，，整理得，解得或. 当时，，最大角是钝角，为钝角三角形，舍去； 当时，，最大角是锐角，为锐角三角形，符合题意. . 19. （2024建平中学高一期末）已知复数，，其中为虚数单位，. （1）当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求、的值. （2）求的值域. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由于、是方程的两个虚根，得出，求出的值，再根据根与系数的关系可求出、； （2）直接求出的表达式，利用三角函数以及二次函数的性质，求出值域即可. 【详解】（1）已知复数，， 、是方程的两个虚根，所以，即， 所以，所以，， 由韦达定理可得， ； （2） 【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法： ①利用和的最值直接求； ②把形如的三角函数化为的形式求最值； ③利用和的关系转换成二次函数求最值； ④形如或转换成二次函数求最值. 20．（2022杨浦区上海理工大学附中高一下期末）已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 【答案】（1）；（2）12；（3）． 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，（1）可得代入，即可求的坐标；（2）可得代入，即可求其的最值；（3）求、的坐标，进而可得、，结合题设有，应用三角恒等变换及三角函数的性质，可得、，由分类讨论的方式求的所有可能值． 【解析】（1）由题意，， ∴， ， ∴由，则、，故； （2）由题意，， ∴， ， ∴由，则、，即， ∴当时，的最大值为12； （3）， ， ∴，， ∵△为等边三角形， ∴， ∴， ， 整理得：且， ∴或， 综上， 当，时，或； 当，时，或； 所以的所有可能值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，首先求出、的坐标，再由，结合三角恒等变换、三角函数性质求出的可能值，进而求对应值. 21．（21-22高三上·上海普陀·期中）已知函数，.若对于给定的非零常数，存在非零常数﹐使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为. (1)已知函数是上周期为1的“2级类周期函数”，且当时，，求的值﹔ (2)已知函数是上周期为1的“级类周期函数”，且当时，.若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围； (3)是否存在非零实数，使得函数是上周期为的“级类周期函数”？若存在，求出实数和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)3 (2) (3)存在，或 【分析】（1）由题意知，结合条件即求； （2）由题可得当时，，再结合函数的单调性可求； （3）结合条件及三角函数的性质即求. 【解析】（1）由题意知对恒成立， 故． （2）由题意知对恒成立． 对于任意自然数，当时， ． 由于在上单调递增，故在上单调递增， 因此对于任意自然数均有，解得． 进一步，对于任意自然数均有， 化简得，又，解得， 综上知实数的取值范围是． （3）若存在，则对恒成立． 注意，故函数的值域为，函数的值域为， 因此，． 当时，有对恒成立，故； 当时，有对恒成立，故． 综上可知或 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$