期末冲刺模拟 （基础卷）-2024-2025学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 期末冲刺模拟（基础卷） 题型一：填空题 1．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】/ 【分析】由圆心角定义得解. 【详解】根据圆心角定义可知，， 故答案为： 2. (2025上海黄浦区期中）若角的终边落在第三象限内，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用诱导公式得到，再利用余弦二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故答案为： 3．(2025上海普陀区期中）将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为______． 【答案】 【分析】横坐标缩短到原来的，将变为即可. 【解析】将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为. 故答案为：. 4．(2025上海黄浦区期中）在中，角、、的对边分别为、、，，则角 . 【答案】或 【分析】根据余弦的倍角公式，求得，进而求得的值，得到答案. 【解析】由，因为，可得， 因为，可得，所以或. 故答案为：或. 5．(2025上海浦东新区期中）已知复数 (为虚数单位)，则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据复数的除法运算可得答案. 【详解】， 所以复数的虚部是. 故选：C. 6．(2025上海松江区期中）关于的一元二次方程至少有一个实根，则实数的值是 ． 【答案】或 【分析】设方程有一实根和另一根，根据韦达定理，列出，解方程组，可得的值 【解析】设方程有一实根和另一根，其中均为实数，根据韦达定理， ，由①得，，，由②得，，； 故，，整理得，，，解得， 解得或 故答案为：或 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】利用投影向量的意义求解即可. 【详解】平面向量，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 8．（24-25高二上格致中学开学考试）已知向量的夹角为，且，，则 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】求得，，进而利用可求值. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 9．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）若平面向量，，，则向量，的夹角为 . 【答案】 【知识点】反三角函数、向量夹角的计算 【分析】根据数量积的定义可得夹角的余弦值，即可利用反三角函数的性质求解. 【详解】，，， 由于，故. 故答案为： 10．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_______ 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】因为与的夹角是锐角，所以且不共线，所以求出且即可得解. 【详解】因为与的夹角是锐角， 所以且， 所以且， 所以实数的取值范围是. 11．(2025上海黄浦区期末）若复数满足，则的最小值是 . 【答案】 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得. 【详解】 如图，设复数对应的点为,则由可知点到点的距离为1， 即点的轨迹为以点为圆心，以1为半径的圆， 而则表示动点到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为,故的最小值是1. 故答案为：1. 12.（23-24高一下松江·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由投影向量的定义得到当在上时，取得最大值，进而得到答案. 【解答过程】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故，， 故， 所以最大值为. 故选：B. 题型二：选择题 13.（2020·上海黄浦·高一期末）下列函数中，周期是的偶函数为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，周期为； B选项，函数的定义域为R，且，所以函数为奇函数，周期为； C选项，函数的定义与为R，且，所以函数为偶函数，周期为； D选项，函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，不具有周期性.故选：C 14.(2025上海闵行区期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【解答过程】由题意可得，， 所以， 所以向量对应的复数为. 故选：A. 15．（24-25高一下·上海闵行·期末）非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（    ） A．、、三点共线 B．是直角三角形 C．是等边三角形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】设，根据，可得，从而可将复数用表示，再判断各个选项即可. 【详解】解：设， 则，故， 因为，所以， 所以， 所以或， 故或， 当时，， 当时，， 所以，所以是直角三角形， 故、、三点不共线且不是等边三角形. 故选：B. 16．（2023华师大二附中高三模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（    ） A．直线是图像的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．的图像关于点对称 D．在上单调递增 【答案】C 【解析】由 ， 则图像向右平移个单位长度可得， ， 因为， 所以不是图像的一条对称轴，A错； 由，得的最小正周期为，B错； 由， 所以点是图像的一个对称中心，C正确； 由，则， 所以在上有增有减，D错. 故选：C 题型三：解答题 17．(2025上海闵行区高一期末）已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据平面向量的运算律和数量积的定义计算即可求解； （2）根据平面向量的运算律计算直接得出结果. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 解得，由，得. （2）由（1）得， . 19. (2025上海普陀区期中）已知. （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）在中，若，，求. 【答案】（1）函数的最小正周期为，最大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为的形式，再利用周期公式和正弦型函数的性质，即可求函数的最小正周期和最大值. （2）根据，，求解出，即可得. 【小问1详解】 ， 故函数的最小正周期为，最大值为. 【小问2详解】 由，解得. 又，从而， 因为，所以为锐角，. . 19.（23-24高一下复旦附中期末）已知复数，，其中为虚数单位，若. (1)若为的共轭复数，求在复平面内对应的点的坐标； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值. 【解题思路】（1）根据复数代数形式的除法运算化简，由求出，即可得到，再求出其共轭复数，最后根据复数的几何意义得解； （2）将代入方程，再由复数相等得到方程组，解得即可. 【解答过程】（1）， 又，所以，解得，所以， ，则在复平面内对应的点的坐标； （2）是关于的方程的一个根， ，得， 所以，解得. 20．（23-24高一下·上海·期末）如图，点分别是矩形的边上的两点，，. (1)若、分别为、的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）解法一，以、作为一组基底表示出，，再根据数量积的运算律求出，，，最后由夹角公式计算可得；解法2，建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得； （2）根据数量积的运算律得到，结合的范围计算可得； （3）建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，则，利用两角差的正切公式、锐角三角函数及基本不等式计算可得. 【解析】（1）解法1：因为，， 所以 ， ， ， . 解法2：以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系 则，，，， 所以，，， . （2）由，， 故，则， 所以 ， 由，故； （3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，即， 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故，所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且. 21．（23-24高一下·上海·期中）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”. (1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值； (3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得到，即可判断为“正弦周期函数”； （2）由题意条件得到，故，，由函数单调性得到不等式，求出，再证明不合要求，从而得到，并求出； （3）法1：，满足要求，若，则对任意，存在正整数，使得且，得到，，若，同理可证明，得到结论； 法2：反证法，假设不是周期函数，则与均不恒成立，存在，使得，再利用题目条件推出，故假设不成立，证明出结论. 【解析】（1），则， 故， 所以是正弦周期函数. （2）存在，使得，故， 因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”， 所以， 又，， 所以， 又， 则， 故，， 因为，所以，且严格增， 由于，， 故，解得， 则整数， 下证. 若不然，，则，由的值域为R知， 存在，，使得，， 则， ， 由严格单调递增可知， 又， 故，这与矛盾. 故，综上所述，； （3）法1：若，则由可知为周期函数. 若，则对任意，存在正整数，使得且. 因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且， 所以， 故，所以， 若，则同理可证（取为负整数即可）. 综上，得证. 法2：假设不是周期函数，则与均不恒成立. 显然. 因为不恒成立，所以存在，使得， 因为，所以存在，使得且， 其中若，取为负整数；若，取为正整数. 因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且， 由正弦周期性得， 即， 所以，矛盾，假设不成立， 综上，是周期函数. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 期末冲刺模拟（基础卷） 题型一：填空题 1．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 2. (2025上海黄浦区期中）若角的终边落在第三象限内，且，则___________. 3．(2025上海普陀区期中）将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为______． 4．(2025上海黄浦区期中）在中，角、、的对边分别为、、，，则角 . 5．(2025上海浦东新区期中）已知复数 (为虚数单位)，则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 6．(2025上海松江区期中）关于的一元二次方程至少有一个实根，则实数的值是 ． 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为 ． 8．（24-25高二上格致中学开学考试）已知向量的夹角为，且，，则 ． 9．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）若平面向量，，，则向量，的夹角为 . 10．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_______ 11．(2025上海黄浦区期末）若复数满足，则的最小值是 . 12.（23-24高一下松江·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型二：选择题 13.（2020·上海黄浦·高一期末）下列函数中，周期是的偶函数为（ ）. A． B． C． D． 14.(2025上海闵行区期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·上海闵行·期末）非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（    ） A．、、三点共线 B．是直角三角形 C．是等边三角形 D．以上都不对 16．（2023华师大二附中高三模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（    ） A．直线是图像的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．的图像关于点对称 D．在上单调递增 题型三：解答题 17．(2025上海闵行区高一期末）已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 19. (2025上海普陀区期中）已知. （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）在中，若，，求. 19.（23-24高一下复旦附中期末）已知复数，，其中为虚数单位，若. (1)若为的共轭复数，求在复平面内对应的点的坐标； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值. 20．（23-24高一下·上海·期末）如图，点分别是矩形的边上的两点，，. (1)若、分别为、的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 21．（23-24高一下·上海·期中）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”. (1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值； (3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$