第02讲 解一元二次方程 （知识清单+9大题型+好题必刷） 【暑假预习】-2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第02讲 解一元二次方程 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 题型二 解一元二次方程——配方法 题型三 配方法的应用 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 题型六 公式法解一元二次方程 题型七 因式分解法解一元二次方程 题型八 换元法解一元二次方程 题型九 一元二次方程的根与系数的关系 知识清单 知识点1：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点3：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧， 知识点4、公式法 一、公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 二、求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 四、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 五、根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 知识点5：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点6：一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ． 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 题型方法 【题型一】解一元二次方程——直接开平方法 【例1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是 ． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为0，求实数的值； (2)当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根．请用配方法解此方程，并求出的周长． 【题型二】解一元二次方程——配方法 【例2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）用配方法解一元二次方程，方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）把方程配方，化为的形式应为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【题型三】配方法的应用 【例3】（24-25九年级上·河南周口·期中）若代数式可化为，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 3．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 【题型四】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例4】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知一元二次方程，则的值 ． 3．（24-25九年级上·广东阳江·期中）课本知识，关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)初步探究：判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； (2)拓展应用：求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【题型五】根据一元二次方程根的情况求参数 【例5】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A． B．1 C． D．4 【举一反三】 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）方程有实数根，则的取值应满足（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是_____； (2)关于的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【题型六】公式法解一元二次方程 【例6】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）从三个数中，任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．若，且中最小值为，则x的值为(   ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）计算题 (1)解方程（公式法） (2)已知关于x的一元二次方程有实数根，求出m的取值范围． 【题型七】因式分解法解一元二次方程 【例7】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）方程的根是(　　) A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）一元二次方程的根是（    ） A． B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·山西大同·期中）一元二次方程的解是 ． 3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【题型八】换元法解一元二次方程 【例8】（九年级上·山东青岛·阶段练习）若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）对于方程，用换元法解，可设，则原方程为 ． 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【题型九】一元二次方程的根与系数的关系 【例9】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）设一元二次方程的两个实数根为，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．3 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，，若，则k的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 好题必刷 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程x2+6x﹣1＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝8 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝10 D．（x+3）2＝10 2．解一元二次方程x2﹣2x﹣5=0，结果正确的是（　　） A．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣ B．x1=1+，x2=1﹣ C．x1=7，x2=5 D．x1=1+，x2=1﹣ 3．方程x2+4x=2的正根为（　　） A．2- B．2+ C．-2- D．-2+ 4．当b+c＝4时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（        ） A． B．或 C．或 D．或 6．将一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0配方，所得的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝11 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝11 D．（x+2）2＝3 7．若方程2x2+bx+c=0的两根分别是b，c（bc≠0），则bc的值为（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 8．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知，则m2+n2的值是（　　） A．3 B．3或-2 C．2或-3 D．2 10．关于x的方程的两个相异实根均大于-1且小于3，那么k的取值范围是 （  ）. A．-1＜k＜0 B．k＜0 C．k＞3或k＜0 D．k＞-1 二、填空题 11．方程的根是 ． 12．如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是 ． 13．已知三角形的两边长为1和2，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42－4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2－5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= ． 15．关于x的方程（x+1）2+2x=6的解是 ． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为 ． 17．如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式= ． 18．已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为 ． 三、解答题 19．解下列一元二次方程： （1）    （2） 20．解方程：x2﹣3x﹣1=0(用配方法) 21．解方程： (1)． (2) 22．解下列方程 (1) (2) 23．利用配方法解方程：． 24．有 n个方程：；；；．小静同学解第一个方程的步骤为：；；；； ；， ． (1)小静的解法是从步骤____开始出现错误的； (2)用配方法解第 个方程．（用含有的式子表示方程的根） 25．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题： （1）例：解方程． 解：当时，原方程可化为． 解得：，（不合题意，舍去） 当时，原方程可化为． 解得：，（不合题意，舍去） 原方程的解是，． （2）请参照上例例题的解法，解方程． 26．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得,我们称晓东这种解法为平均数法， （1）下面是晓东用平均数法解方程（x+2）（x+6）=5时写的解题过程， 直接开平方并整理，得，# 上述过程中的□，@，☆，＃表示的数分别为____、____、_____、____； （2）请用平均数法解方程： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 解一元二次方程 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 题型二 解一元二次方程——配方法 题型三 配方法的应用 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 题型六 公式法解一元二次方程 题型七 因式分解法解一元二次方程 题型八 换元法解一元二次方程 题型九 一元二次方程的根与系数的关系 知识清单 知识点1：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点3：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧， 知识点4、公式法 一、公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 二、求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 四、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 五、根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 知识点5：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点6：一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ． 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 题型方法 【题型一】解一元二次方程——直接开平方法 【例1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】该题考查了解一元二次方程，直接对方程的右边开平方即可． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的直接开平方法，利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：， 则， 所以． 故选：A． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是 ． 【答案】6 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】形如关于的方程，若，则，由两个不相等的实数根；若，则，即有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．据此即可获得答案． 【详解】解：若是一元二次方程的一个根，则另一个根是6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的知识，解题关键是熟练掌握直接开方法解一元二次方程． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为0，求实数的值； (2)当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根．请用配方法解此方程，并求出的周长． 【答案】(1)或 (2)13或11，详见解析 【知识点】由一元二次方程的解求参数、等腰三角形的定义、解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的定义以及三角形三边关系等知识点， （1）将代入原方程可得出关于a的一元二次方程，解方程求出a的值； （2）先求解方程的解，再结合（1）以及等腰三角形的定义和三角形的三边关系，即可找出三角形的腰长，再根据三角形的周长公式即可得出结论，将方程的解代入原方程求出a值是解题的关键． 【详解】（1）∵方程有一个根为0， ∴把代入方程得， ∴或； （2）当时，方程为， 整理得， 配方得， 直接开平方得或， 解得， 当的底为3时，则该三角形的三边长为3，5，5，其周长为13， 当的底为5时，则该三角形的三边长为5，3，3，其周长为11， 综上所述，的周长为13或11． 【题型二】解一元二次方程——配方法 【例2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）用配方法解一元二次方程，方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法，解答时熟练掌握配方法的步骤是关键．先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）把方程配方，化为的形式应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程；方程左右两边同时除以变形后，将常数项移动方程右边，方程左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，即可得到正确的选项． 【详解】解：， 二次项化为得：， 配方得：，即． 故选：D 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键；由题意可先对一元二次方程进行配方，然后可得、的值，进而问题可求解． 【详解】解：由方程可配方得：， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【答案】；；； ；（1）；；（2） ；；（3）此方程无实数根 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】利用配方法得，然后分三种情况讨论：（1）当时，（2）当时，（3）当时，分别求解即可． 本题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程，并进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ，； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为：，； （3）当时，此方程无实数根． 故答案为：；；； ；（1）；；（2） ；． 【题型三】配方法的应用 【例3】（24-25九年级上·河南周口·期中）若代数式可化为，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查的是配方法是应用，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式把原式变形，再根据题意求出，，计算即可． 【详解】解： ， 由题意得：，， 解得：，， 则， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】配方法的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．利用配方法判断出可得结论． 【详解】解：， ， ， 又可以配方成， ， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 【答案】4 【知识点】配方法的应用 【分析】此题考查了配方法的应用与平方式的非负性，解题的关键是熟练掌握配方法．由题意得，代入代数式可得，由此可知代数式的最小值是4． 【详解】解：， ，则， ， ， ∴（当时取等号）， 则， 当时，代数式有最小值等于4， 故答案为：4． 3．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 【答案】(1)4，2． (2)1 (3)最大值为． 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负数的性质解答是解题的关键． （1）根据完全平方公式的常数项为一次项系数绝对值一半的平方即可得出结论， （2）将多项式加再减，利用配方法后可得结论； （3）将多项式改写为，再配方可得结论． 【详解】（1）， 故答案为：4，2． （2） ， ． 当时，存在最小值1． （3）， ， ， 当时，代数式有最大值． 【题型四】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例4】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式可进行排除选项． 【详解】解：由A选项可知：，所以有两个不相等的实数根，故不符合题意； 由B选项可知：，所以有两个不相等的实数根，故不符合题意； 由C选项可知：，所以有两个相等的实数根，故不符合题意； 由D选项可知：，所以没有实数根，故符合题意； 故选D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：C． 2．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知一元二次方程，则的值 ． 【答案】5 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式的确定，代入根的判别式进行计算即可，注意首先确定一元二次方程的各项系数及常数项． 【详解】∵一元二次方程， ∴，， ∴． 故答案为：5． 3．（24-25九年级上·广东阳江·期中）课本知识，关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)初步探究：判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； (2)拓展应用：求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)过程见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了“勾系一元二次方程”，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点，读懂题意是解题的关键． （1）根据“勾系一元二次方程”的定义直接判断即可； （2）根据及根的判别式，再利用完全平方的非负性来判断即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， 方程是“勾系一元二次方程”； （2）证明：是关于的“勾系一元二次方程”， ， 关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【题型五】根据一元二次方程根的情况求参数 【例5】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根的判别式，对于一元二次方程，判别式，当时，方程有两个相等的实数根．根据题意得出，求出结果即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）方程有实数根，则的取值应满足（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得答案． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】为任意数 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况即可确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴的取值范围是任意数， 故答案：为任意数． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是_____； (2)关于的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、新定义下的实数运算 【分析】本题考查定义，一元二次方程根的判别式，正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定义是解题的关键． （1）根据“最值码”定义求解即可． （2）求出方程的判别式，再根据“全整根方程”得的值是一个完全平方数时，求出的值，从而求得b与c的值，代入中，即可求出最值码． （3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值． 【详解】（1）解：对于方程，可知： ，，， ， ， ， “全整根方程” 的“最值码”是． 故答案为：． （2）解：对于方程，，，， ， ， ． 方程是“全整根方程”， 是完全平方数， 又，且为整数， ， 完全平方数为36、49、63， 当时，不为整数，不符合， 当时，为整数且，符合， 当时，不为整数，不符合． 只有当时，才是完全平方数， ，， ， ， ， 一元二次方程的“最值码”为． （3）解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于，，，， ， ， ． 是的“全整根伴侣方程”， ， ， ， ， ， ， ， ， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， 故的值为2． 【题型六】公式法解一元二次方程 【例6】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出，，的值，从而可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴该一元二次方程为， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）从三个数中，任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．若，且中最小值为，则x的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解法及整式的运算是解题的关键．根据题中所给新定义运算及一元二次方程的解法可进行求解． 【详解】若， 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，解得：，； ∴综上所述：若，且中最小值为，则，； 故选：B． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 根据求根公式中的意义求解． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）计算题 (1)解方程（公式法） (2)已知关于x的一元二次方程有实数根，求出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键． （1）先将方程化为一般式，再用公式法求解即可； （2）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解： 移项：， ，，， ∵ ∴， 解得：，； （2）解：因为关于x的一元二次方程有实数根， 所以， 解得． 又因为是一元二次方程， 所以， 所以 综合知，m的取值范围是且． 【题型七】因式分解法解一元二次方程 【例7】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）方程的根是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，由题意推出，或，解方程即可求出的值，熟练掌握因式分解解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）一元二次方程的根是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解答本题要掌握因式分解法解方程的步骤，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解．利用解一元二次方程－因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴或， ∴，， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西大同·期中）一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． 根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】解：， 移项，得， ， 或， ，， 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 或 解得：，； （2）解：， ∴， ∴或， ∴，． 【题型八】换元法解一元二次方程 【例8】（九年级上·山东青岛·阶段练习）若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】D 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，把原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】设， 原方程变形为：， 或 解得或， ∵， ∴． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【知识点】换元法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）对于方程，用换元法解，可设，则原方程为 ． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．根据将原方程转化为，再将代入即可得． 【详解】解：， ， ， 设， 则原方程为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【答案】(1) (2)或 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 【题型九】一元二次方程的根与系数的关系 【例9】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）设一元二次方程的两个实数根为，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．3 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴， ∴． 故选：A 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，，若，则k的值为 ． 【答案】3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，．根据根与系数的关系和，可以求得k的值． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 当时，，方程有两个不相等的实数根； 即k的值是3． 故答案为：3． 3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据即可证明无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ， ， ， 无论为何值，， 无论为何值，该方程总有两个不等实根； （2）解：和恰好是方程的两个根， ，， 是直角三角形，斜边为， ， ， ， 化简得， 解得或， 又时，，不合题意舍去， ． 好题必刷 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程x2+6x﹣1＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝8 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝10 D．（x+3）2＝10 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再平方即可. 【详解】解：x2+6x﹣1＝0 移项得： 两边都加9得： 故选D 【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键. 2．解一元二次方程x2﹣2x﹣5=0，结果正确的是（　　） A．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣ B．x1=1+，x2=1﹣ C．x1=7，x2=5 D．x1=1+，x2=1﹣ 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】用配方法解方程，求出方程的解即可． 【详解】方程两边同加上1，得x2-2x-5+1=1， 即x2-2x+1=6， 配方得（x-1）2=6， 开方得x-1=± ∴x1=1+，x2=1﹣ 故选B. 【点睛】查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的是配方法． 3．方程x2+4x=2的正根为（　　） A．2- B．2+ C．-2- D．-2+ 【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【详解】解：∵x2+4x=2， ∴x2+4x-2=0， ∴△=16-4×1×（-2）=24， ∴ . ∴，（舍去） 故选D. 4．当b+c＝4时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、配方法的应用 【分析】用b+c=4，把根据判别式用一个字母表示，配方法即可求出答案． 【详解】由题意可知：△＝b2+12c， ∵b+c＝4， ∴b2+12（4﹣b）， ＝b2﹣12b+48， ＝b2﹣12b+36+12， ＝（b﹣6）2+12＞0， 故选择：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的情况，关键是b+c＝4把判别式用一个字母表示，掌握配方法来判断判别式的值与0的关系． 5．若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（        ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】配方法的应用 【分析】根据完全平方式a2±2ab+b2=（a±b）2的结构，而4x2=（2x）2，即可求解． 【详解】−(m−2)=±2×2×1， ∴m−2=±4，即m−2=4或m−2=−4， 得m=−2或m=6. 故选B. 【点睛】考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 6．将一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0配方，所得的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝11 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝11 D．（x+2）2＝3 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】把左边配成完全平方式，右边化为常数即可． 【详解】解：∵x2﹣4x﹣7＝0 ∴x2﹣4x＝7 ∴x2﹣4x+4＝7+4 ∴（x﹣2）2＝11 故选A． 【点睛】此题考查了解一元二次方程的解法，配方法；配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 7．若方程2x2+bx+c=0的两根分别是b，c（bc≠0），则bc的值为（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系,列出关于b,c的方程组,解得b,c的值,然后计算求值. 【详解】由题意有： ， ∵bc≠0，∴c≠0 由②得：b=， 把b=代入①得：c=- ∴bc=×（-）=-． 故选A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,根据根与系数的关系求出b,c的值,然后代入代数式求出代数式的值. 8．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配方法的应用 【分析】利用配方法把方程变形即可. 【详解】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17， 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键． 9．已知，则m2+n2的值是（　　） A．3 B．3或-2 C．2或-3 D．2 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解：，，，，∴或（舍去）．故选A． 10．关于x的方程的两个相异实根均大于-1且小于3，那么k的取值范围是 （  ）. A．-1＜k＜0 B．k＜0 C．k＞3或k＜0 D．k＞-1 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式组、根据一元二次方程根的情况求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】令y=x2+2kx+3k，由题意可得当x=-1时，y>0；当x=3时，y＞0；∆>0 同时成立，由此求得k的取值范围． 【详解】令y=x2+2kx+3k，其图像与x轴交点的横坐标就是方程y=0的解， 由图像可知，要使二根都在-1，3之间， 只需当x=-1时，y>0；当x=3时，y＞0；∆>0 同时成立， ∴ 解得-1＜k<0， 故答案选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，一元二次方程根的判别式，不等式组的解法，依题意列出不等式组是解题的关键． 二、填空题 11．方程的根是 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】原方程变形为：x(x-3)=0,解得x1="0" ，x2=3. 12．如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是 ． 【答案】m＞0 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】直接利用直接开平方法的定义得出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的方程mx2=3有两个实数根， ∴m＞0． 所以答案为：m＞0． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解方程的意义，正确把握开平方法解方程的定义是解题关键． 13．已知三角形的两边长为1和2，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】5 【知识点】三角形三边关系的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系定理看看是否符合，再求出三角形的周长即可． 【详解】解：方程x2-5x+6=0可化为：（x-2）（x-3）=0， 解得：x1=2，x2=3， ∵1+2=3， 则三角形的第三边为2， 则三角形周长为1+2+2=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程的应用，关键是正确求出第三边的值，注意：三角形的任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边． 14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42－4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2－5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= ． 【答案】3或2/2或3 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】先解出所给的一元二次方程的根，再根据新定义的运算法则分情况求即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ， 解得：或2， ①当，时，； ②当，时，． 故答案为：3或2． 【点睛】本题考查新定义实数运算、解一元二次方程，理解新定义运算法则是解答的关键． 15．关于x的方程（x+1）2+2x=6的解是 ． 【答案】﹣5或1 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】将方程化为一般式，用因式分解法解答即可． 【详解】方程可化为x2+4x-5=0， 因式分解得（x+5）（x-1）=0， 解得x1=-5，x2=1． 故答案为-5或1 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的能力和一元二次方程解的概念． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为 ． 【答案】3 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4k=0，然后解一元一次方程即可求解． 【详解】解：根据题意得△=（-2）2-4k=0， 解得k=3． 故答案为:3. 17．如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式= ． 【答案】2033 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据已知：是两个不相等的实数，且满足，可知m、n是一元二次方程的两个不相等的实数根，得，又，代入所求代数式得解． 【详解】解：是两个不相等的实数，且满足， m、n是一元二次方程的两个不相等的实数根， ， 又， = = = =2033． 故答案为：2033． 【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程的根与系数的关系把代数式化成两根和、积的形式是解此题的关键． 18．已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为 ． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4， ∴at2+bt+1=0， 由题意可知：t1=1，t2=2， ∴t1+t2=3， ∴x3+x4+2=3． 故答案为1． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 三、解答题 19．解下列一元二次方程： （1）    （2） 【答案】（1）x1=3，x2=-1；（2）x1=0，x2=-4 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】（1）直接开平方法求解可得； （2）先移项，再用因式分解法求解可得． 【详解】解：（1）， ， 解得：x1=3，x2=-1； （2）， ， ， 解得：x1=0，x2=-4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 20．解方程：x2﹣3x﹣1=0(用配方法) 【答案】x= 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】试题分析：先移项，然后配方解出x即可. 试题解析：x2﹣3x﹣1=0, 移项，得x2－3x=1， 配方，得x2－3x+（）2=1+（）2，即（x－）2=， 解得，x－=±， 即x=. 21．解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，学会用适当的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用十字相乘法进行因式分解即可求解；十字相乘法是把二次三项式形式的式子，分解因式为的方法．其中、、、是常数，且，，．通过寻找合适的数对来实现因式分解． （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：因式分解，得， 则有或， 解得，． （2）解： 则， 或， 解得：，． 22．解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）先整理，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：； （2）解：， 整理得：， ∴， 解得： 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法——直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题的关键． 23．利用配方法解方程：． 【答案】，． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】 所以原方程的解为，． 故答案为，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 24．有 n个方程：；；；．小静同学解第一个方程的步骤为：；；；； ；， ． (1)小静的解法是从步骤____开始出现错误的； (2)用配方法解第 个方程．（用含有的式子表示方程的根） 【答案】(1)； (2)，． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】（）移项要变号即可； （）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可； 此题考查了解一元二次方程的应用，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）方程移项，得，故小静的解法是从步骤开始出现错误的， 故答案为：； （2）， 移项，得：， 两边同时加上，得， 配方，得， 两边同时开平方，得， 移项，得， ∴，． 25．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题： （1）例：解方程． 解：当时，原方程可化为． 解得：，（不合题意，舍去） 当时，原方程可化为． 解得：，（不合题意，舍去） 原方程的解是，． （2）请参照上例例题的解法，解方程． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、绝对值方程 【分析】仿照第（1）题的解题过程，分两种情况：当时，当时，分别进行计算即可解答． 【详解】解：当时，即时， 原方程可化为：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），； 当时，即时， 原方程可化为：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），； 原方程的解是，． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元二次方程﹣因式分解法，理解例（1）的解法是解题的关键． 26．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得,我们称晓东这种解法为平均数法， （1）下面是晓东用平均数法解方程（x+2）（x+6）=5时写的解题过程， 直接开平方并整理，得，# 上述过程中的□，@，☆，＃表示的数分别为____、____、_____、____； （2）请用平均数法解方程： 【答案】（1）4；2；−1；−7．(2) x1=4，x2=−2 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的□，@，☆，＃表示的数即可； （2）根据题干中的“平均数法”解方程即可． 【详解】解：(1)解方程(x+2)(x+6)=5， 将原方程变形，得 [(x+4)−2][(x+4)+2]=5， (x+4)2−22=5， ∴(x+4)2=5+22， ∴(x+4)2=9， 直接开平方并整理，得x1=−1，x2=−7． 故□，@，☆，＃表示的数分别为4，2，−1，−7． 故答案为：4；2；−1；−7． （2）(x−3)(x+1)=5 原方程可变形，得[(x−1)−2][(x−1)+2]=5 整理，得(x−1)2−22=5 (x−1)2=5+22，即(x−1)2=9 直接开平方并整理，得x1=4，x2=−2 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$