第01讲 一元二次方程（知识清单+7大题型+好题必刷） -【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第01讲 一元二次方程（知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 判断是否是一元二次方程 题型四 判断是否是一元二次方程的解 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 由一元二次方程的定义求参数 知识清单 知识点1一元二次方程的定义（重点） （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2一元二次方程的一般形式（重点） （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3一元二次方程的解（重点） （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 题型方法 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）关于的方程是一元二次方程，则满足（ ） A． B． C． D．为任意实数 2．（24-25九年级上·北京·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【题型二】化成一元二次方程的一般式 【例2】（22-23九年级上·广西河池·期末）一元二次方程常数项为（    ） A． B． C．1 D．2 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4 2．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 3．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【题型三】判断是否是一元二次方程 【例3】（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是 ． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）方程化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（   ）． A．2，5 B．2， C．2，3 D．2， 【题型四】判断是否是一元二次方程的解 【例4】（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 2．（24-25九年级上·广东佛山·期末）写出一个以为根的一元二次方程： ． 3．（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 【题型五】由一元二次方程的解求参数 【例5】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）若关于x的一元二次方程为的解是，则的值是（   ） A．1 B． C．5 D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知是一元二次方程的一个根，则代数式值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 2．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长，如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． 【题型六】一元二次方程的解的估算 【例6】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）在估算一元二次方程的根时，嘉淇列表如下：                                    则表示方程的一个根的点落在（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 2．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【题型七】由一元二次方程的定义求参数 【例7】（24-25九年级上·河南新乡·期中）将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数为（   ） A．4 B． C．5 D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ） A．1，，6 B．，2，6 C．1，2， D．1，2，6 2．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）写出一个二次项系数为1，一次项系数为，常数项为的一元二次方程是 ．（用一般形式表示） 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 好题必刷 一、单选题 1．已知关于x的一元二次方程(m+3)x2+5x+m2-9=0有一个解是0，则m的值为(    ) A．-3 B．3 C．±3 D．不确定 2．下列各数：，0，1，2中，是方程的根的是（    ） A． B．2 C．，2 D．1，2 3．一元二次方程3x2﹣3x=x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，a、b、c的值分别是（　　） A．3、﹣4、﹣2 B．3、﹣3、2 C．3、﹣2、2 D．3、﹣4、2 4．方程是关于x的一元二次方程，m满足的条件是（     ） A． B． C． D． 5．下列方程中不一定是一元二次方程的是(   ) A．(a-3)x2=8 (a≠3) B．ax2+bx+c=0 C．(x+3)(x-2)=x+5 D． 6．将方程化为一般形式后为（ ） A．.-8x-3=0 B．9.+12x-3=0 C．-8x+3=0 D．9.-12x+3=0 7．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 8．2是下列哪个方程的根（    ） A． B． C． D． 9．方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（　　） A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜ 10．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 二、填空题 11．如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ． 12．关于的一元二次方程有两个根0和3，写出这个一元二次方程的一个一般式为 ． 13．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1= ，x2= ． 14．一元二次方程（2+x）（3x﹣4）=5的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 15．若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 ． 16．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 17．若关于的一元二次方程的一个根为．则 ． 18．在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值． （1）方程的中点值是 ； （2）已知的中点值是3，其中一个根是2，则此时mn的值为 ． 三、解答题 19．当m为何值时，方程是关于x的一元二次方程． 20．简答题： （1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？ （2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值． （3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？ 21．先化简，再求值：，其中a是方程的根． 22．已知实数a是一元二次方程x2－2016x＋1＝0的根，求代数式a2－2015a－的值． 23．把关于x的方程+3x＝（x+1）化为一元二次方程的一般式，并指出二次项，一次项的系数和常数项． 24．已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根． （1）求a3﹣2a2+2a+1的值； （2）求a3﹣2a2﹣2a+1的值． 25．将方程化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a＞0）、b、c表示，请求式子的值． 26．方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0 (1)m为何值时，方程是一元二次方程； (2)m为何值时，方程是一元一次方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程（知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 判断是否是一元二次方程 题型四 判断是否是一元二次方程的解 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 由一元二次方程的定义求参数 知识清单 知识点1一元二次方程的定义（重点） （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2一元二次方程的一般形式（重点） （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3一元二次方程的解（重点） （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 题型方法 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，未知项的最高次数是的整式方程是一元二次方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：方程中只含有一个未知数，未知项的最高次数是，是整式方程，所以方程是一元二次方程，故A选项符合题意； B选项：方程中含有二个未知数，未知项的最高次数是，所以方程不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C选项：方程中的未知数在分母的位置，是分式方程，不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程整理后得到：，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）关于的方程是一元二次方程，则满足（ ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定式是解题的关键； 一般地形如（a，b，c都是常数，且）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 2．（24-25九年级上·北京·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得出，计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】一元一次方程的定义、一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 【题型二】化成一元二次方程的一般式 【例2】（22-23九年级上·广西河池·期末）一元二次方程常数项为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键，解题时要注意查看是否是一元二次方程一般形式． 任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：把化成一般式， 得， ∴常数项是 故选：D 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4 【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意，移项整理得，， ∴一次项系数和常数项分别为3和． 故选：C ． 2．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 3．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 【题型三】判断是否是一元二次方程 【例3】（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用平方差公式和完全平方公式将化简整理成一般式即可． 【详解】解：， ， 整理，得， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是 ． 【答案】3 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：方程的二次项是，其系数是3． 故答案为：3． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）方程化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（   ）． A．2，5 B．2， C．2，3 D．2， 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据“，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项”进行求解即可． 【详解】解：方程的二次项系数为2，常数项为； 故选D． 【题型四】判断是否是一元二次方程的解 【例4】（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义． 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 2．（24-25九年级上·广东佛山·期末）写出一个以为根的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解成为解题的关键． 以为根写一个一元二次方程即可． 【详解】解：以为根写一个一元二次方程可以为：． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程根，根据一元二次方程有一个正根和一个负根解答即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴这个方程可以是， 即， 故答案为：． 【题型五】由一元二次方程的解求参数 【例5】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）若关于x的一元二次方程为的解是，则的值是（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义得到即可． 【详解】解：把代入方程得， 所以． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知是一元二次方程的一个根，则代数式值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．把代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可． 【详解】解：把代入一元二次方程得， ， ， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程的解求参数．将代入得到关于的方程，解之可得． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长，如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形．见解析 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的解的定义．把代入一元二次方程得到，即可判断三角形的形状． 【详解】解：是等腰三角形， 理由如下：把代入得到， ， 则， ∴是等腰三角形． 【题型六】一元二次方程的解的估算 【例6】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）在估算一元二次方程的根时，嘉淇列表如下：                                    则表示方程的一个根的点落在（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法． 结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 故选：C． 2．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算、一元二次方程的解 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 【题型七】由一元二次方程的定义求参数 【例7】（24-25九年级上·河南新乡·期中）将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ） A．1，，6 B．，2，6 C．1，2， D．1，2，6 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，确定二次项系数、一次项系数和常数项，把方程化成一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据定义解答即可． 【详解】解：化成一元二次方程一般形式是， 它的二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是． 故选C． 2．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）写出一个二次项系数为1，一次项系数为，常数项为的一元二次方程是 ．（用一般形式表示） 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式：，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，进行作答即可． 【详解】解：由题意，可得方程为：； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 好题必刷 一、单选题 1．已知关于x的一元二次方程(m+3)x2+5x+m2-9=0有一个解是0，则m的值为(    ) A．-3 B．3 C．±3 D．不确定 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解 【分析】方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=0代入原方程即可求得m的值． 【详解】把x=0代入原方程得：m2-9=0； 解得：m=±3； 当m=-3时,原方程为：5x=0,不是一元二次方程，故舍去. 所以m=3. 故选B． 【点睛】考查的是方程的根即方程的解的定义，注意该题说明该方程是一元二次方程，所以m=-3不符合题意，所以m的值是3． 2．下列各数：，0，1，2中，是方程的根的是（    ） A． B．2 C．，2 D．1，2 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解 【分析】根据方程的根的定义，分别将，0，1，2代入方程左侧，即可获得答案． 【详解】解：将代入左侧，可得，等号左右两边相等，故是该方程的根； 将代入左侧，可得，等号左右两边不相等，故0不是该方程的根； 将代入左侧，可得，等号左右两边不相等，故1不是该方程的根； 将代入左侧，可得，等号左右两边相等，故2是该方程的根． 综上所述，，2是方程的根． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的知识，理解并掌握一元二次方程的根的定义是解题关键． 3．一元二次方程3x2﹣3x=x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，a、b、c的值分别是（　　） A．3、﹣4、﹣2 B．3、﹣3、2 C．3、﹣2、2 D．3、﹣4、2 【答案】A 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】直接利用移项、合并同类项，即可得出a，b，c的值． 【详解】一元二次方程3x2−3x＝x＋2整理，得3x2−4x−2＝0， 则a＝3，b＝−4，c＝−2． 故选A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键． 4．方程是关于x的一元二次方程，m满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义、平方根的性质即可得． 【详解】由一元二次方程的定义得：， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、平方根的性质，掌握理解一元二次方程的定义是解题关键． 5．下列方程中不一定是一元二次方程的是(   ) A．(a-3)x2=8 (a≠3) B．ax2+bx+c=0 C．(x+3)(x-2)=x+5 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【详解】本题根据一元二次方程的定义解答． 解：A. 由于a≠3，所以a−3≠0，故(a−3)x2=8(a≠3)是一元二次方程； B. 方程二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程； C. 方程展开后是：x2−11=0，符合一元二次方程的定义； D. 符合一元二次方程的定义. 故选B. 点睛：本题主要考查一元二次方程的定义.解题的关键要根据一元二次方程必须满足四个条件进行判断，即（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程； （4）含有一个未知数． 6．将方程化为一般形式后为（ ） A．.-8x-3=0 B．9.+12x-3=0 C．-8x+3=0 D．9.-12x+3=0 【答案】C 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】通过去括号、移项、合并同类项将已知方程转化为一般形式． 【详解】解：由原方程，得 2x-4x2=10x-5x2-3， 则x2-8x+3=0． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 7．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A. 化简完后为，是一元二次方程； B. 不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； C. 化简完后为是二元二次方程，不符合一元二次方程的定义； D. ，没有注明a≠0，故不一定是一元二次方程. 故答案选A 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 8．2是下列哪个方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解 【分析】把x=2代入方程检验即可． 【详解】解：A、把x=2代入方程得：左边=2，右边=0， ∵左边≠右边，∴x=2不是方程的解； B、把x=2代入方程得：左边=12，右边=0， ∵左边≠右边，∴x=2不是方程的解； C、把x=2代入方程得：左边=-4，右边=0， ∵左边≠右边，∴x=2是方程的解； D、把x=2代入方程得：左边=0，右边=0， ∵左边=右边，∴x=2是方程的解， 故选D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 9．方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（　　） A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜ 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解 【分析】当时，方程无解，可知，方程两边都除以x，得，根据可得的范围，从而得到缩小的x的范围，进一步根据，再得到缩小的的范围，进而可确定x的更小范围． 【详解】解：将代入方程得， ∴x≠0， ∴原方程可化为， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键． 10．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解与勾股定理，根据勾股定理得出方程是解题的关键．根据勾股定理得出方程，整理后即可得到结果． 【详解】解：由勾股定理得： ∵，， ∴ 整理得： ∵ ∴的长是方程 的一个正根 故选：C． 二、填空题 11．如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，根据一元二次方程的一般形式即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：． 12．关于的一元二次方程有两个根0和3，写出这个一元二次方程的一个一般式为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解 【分析】根据方程的解的定义可以得到方程． 【详解】解：根据题意，知方程符合题意， 即：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟悉相关性质是解题的关键． 13．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1= ，x2= ． 【答案】 9 -9 【知识点】一元二次方程的解 【分析】把方程化为 x2 ＝81容易推出x的值 【详解】∵ x2 ＝81，又∵ (±9) 2 ＝81，∴x＝±9 故答案为9，-9 【点睛】此题考查解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则 14．一元二次方程（2+x）（3x﹣4）=5的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 3 2 -13 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】首先去括号，然后移项，把等号右边化为0，再找到各项系数即可． 【详解】（2+x）（3x﹣4）=5， 6x−8+3x2-4x＝5， 3x2+2x-13＝0， 故答案为3，2，-13, 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 15．若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】由是一元二次方程的一个根得到，再整体代入即可得到答案． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2025． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 16．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2019 【知识点】一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得（a2-a）的值，然后整体代入即可求解． 【详解】解：根据题意，得 a2-a-2019=0， 解得，a2-a=2019， 所以2a2-2a-2019=2（a2-a）-2019=4038-2019=2019． 故答案是：2019 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 17．若关于的一元二次方程的一个根为．则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，根据题意求解即可． 【详解】解：将代入得 ，整理得， 解得或 当时，原方程二次项系数为零，不满足题意， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 18．在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值． （1）方程的中点值是 ； （2）已知的中点值是3，其中一个根是2，则此时mn的值为 ． 【答案】 4 48 【知识点】一元二次方程的解 【分析】（1）利用中点值的定义进行分析即可； （2）利用中点值的定义求出的值，将的值与方程的根代入方程即可求出，从而计算的值． 【详解】解：（1）由，得， ， 该方程的中点値为． （2）由，得， 该方程的中点值为， ，解得． 的一个根是， ，即， 解得． 符合题意． ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了新定义概念，解决本题的关键是充分理解新定义的含义． 三、解答题 19．当m为何值时，方程是关于x的一元二次方程． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解． 一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0． 由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】根据题意得：2m﹣1≠0，解得：m． 故答案为m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 20．简答题： （1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？ （2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值． （3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？ 【答案】（1）；（2）m=-3；（3）m=±2. 【知识点】一元二次方程的解 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知当时该方程是一元二次方程； （2）根据一元二次方程根的意义将x=0代入方程中求出m即可； （3）根据一元二次方程根的意义将x=1代入方程中求出m即可； 【详解】解：（1）∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得：； （2）∵关于的一元二次方程有一个根是0， ∴将x=0代入可得：，解得：m=-3； （3）∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴将x=1代入可得：，解得：m=±2. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程解的意义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 21．先化简，再求值：，其中a是方程的根． 【答案】，5 【知识点】一元二次方程的解、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．先把除法变形为乘法，再计算，然后根据一元二次方程的解的定义，可得，然后代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， ∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 22．已知实数a是一元二次方程x2－2016x＋1＝0的根，求代数式a2－2015a－的值． 【答案】－1 【知识点】一元二次方程的解 【分析】根据方程的解的定义把x=a代入一元二次方程x2－2016x＋1＝0，得到a2－2016a＋1＝0，变形可得a2＋1＝2016a，a2－2016a＝－1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可． 【详解】∵实数a是一元二次方程x2－2016x＋1＝0的根， ∴a2－2016a＋1＝0. ∴a2＋1＝2016a，a2－2016a＝－1. ∴a2－2015a－＝a2－2015a－＝a2－2015a－a＝a2－2016a＝－1. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；注意解题中的整体代入思想的应用． 23．把关于x的方程+3x＝（x+1）化为一元二次方程的一般式，并指出二次项，一次项的系数和常数项． 【答案】二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4． 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】解法一：先把分母去掉，即方程两边都乘2，再合并得方程的一般式，再根据一元二次方程的定义指出． 解法二：可以直接去括号，化成一般式．（一般一元二次方程都要化成整数系数，可以降低计算量）． 【详解】解：解法一：整理得，x2﹣2x+1+6x＝5x+5， 所以x2﹣x﹣4＝0． 二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4． 解法二：整理得：+3x＝+， ﹣﹣2＝0， 二次项，一次项系数为﹣，常数项为﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，进行整理合并． 24．已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根． （1）求a3﹣2a2+2a+1的值； （2）求a3﹣2a2﹣2a+1的值． 【答案】（1）6±2；（2）0 【知识点】一元二次方程的解 【分析】已知a是方程x2-3x+1=0的根，解方程就可以求出a的值，然后代入所求代数式就可求值．可先对所求代数式进行化简，然后再代入计算． 【详解】解：∵已知a是方程x2-3x+1=0的根， ∴a2-3a+1=0即a2-2a=a-1， ∴a= （1）a3-2a2+2a+1=a（a2-2a）+2a+1=a（a-1）+2a+1=a2+a+1=a2-2a+3a+1=a-1+3a+1=4a=6±2； （2）a3-2a2-2a+1=a（a2-2a）-2a+1=a（a-1）-2a+1=a2-2a-a+1=a-1-a+1=0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，本题的关键是正确对式子进行变形． 25．将方程化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a＞0）、b、c表示，请求式子的值． 【答案】 【知识点】一元二次方程的一般形式、二次根式的混合运算 【分析】首先利用多项式乘法把方程化为3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14，再整理可得2x2+x﹣1=0，从而得到a=2，b=1，c=﹣1，再代入式子即可求值． 【详解】解：， 3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14， 整理得：2x2+x﹣1=0， a=2，b=1，c=﹣1， ． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 26．方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0 (1)m为何值时，方程是一元二次方程； (2)m为何值时，方程是一元一次方程． 【答案】(1)m＝﹣3 (2)3或±2或± 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】（1）由一元二次方程的定义进行计算，即可求出答案； （2）由一元一次方程的定义进行计算，即可求出答案； 【详解】（1）解：根据题意，则 ∵方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0是一元二次方程， ∴且m﹣3≠0， 解得m＝﹣3． 故m为﹣3时，原方程是一元二次方程； （2）解：根据题意，则 ∵关于（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程， ∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或或， 解得m＝3或m＝±2或m＝± 故m为3或±2或±时，原方程是一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$