第03讲 二次函数与一元二次方程（知识清单+10大题型+好题必刷） 【暑假预习】-2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第03讲 二次函数与一元二次方程（知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 抛物线与x轴的交点问题 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型六 求x轴与抛物线的截线长 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 题型八 图象法解一元二次不等式 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型十 根据交点确定不等式的解集 知识清单 知识点1．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点2．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点3．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 题型方法 【题型一】求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数的图象与坐标轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知抛物线为常数，且，关于抛物线的下列说法中，不正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则抛物线与轴有两个交点 C．若点在抛物线上，则 D．若点在抛物线上，且，则 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的对称轴是直线 ． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于，，三点． (1)求，，三点的坐标； (2)当时，求函数的取值范围． 【题型二】求抛物线与y轴的交点坐标 【例2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）当一个函数的图像关于轴成轴对称图形时，我们称这个函数为偶函数．若二次函数是偶函数，该函数的图像与轴交于点，（点在点的左边），顶点为，则的面积是 ． 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知抛物线． (1)当时，求抛物线与坐标轴的交点坐标． (2)若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像．经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点，求此时m的值： (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差是3，求m的值． 【题型三】已知二次函数的函数值求自变量的值 【例3】（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点． （1）若点的横坐标为，则的值为 ； （1）若点，点均在轴的上方，则的取值范围为 ． 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线交轴的负半轴于点，点是轴的正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知点是抛物线上的一个动点，点的坐标为． 【特例探究】 （1）如图1，直线过点且平行于轴，过点作，垂足为点，连接． ①当时，______，______； ②当时，______，______． 【猜想验证】 （2）对于取任意一实数，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 【拓展应用】 （3）请利用（2）的结论解决下面的问题：如图2，点的坐标为，连接，问是否存在最小值？如果存在，请说明理由，并求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型四】抛物线与x轴的交点问题 【例4】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象的顶点坐标是 B．当时y随x的增大而增大 C．当时，函数有最小值是4 D．函数图象与x轴有两个交点 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线和x轴交于、 2．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”如：、都是“整点”．抛物线与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【题型五】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例5】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，若关于x的方程的解为，，关于x的方程的解为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽·期中）二次函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数的图象与二次函数的图象交于两点． （1）若点的横坐标为，则的值为 ； （2）若点，点均在轴的上方，则的取值范围为 ． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)直接写出不等式的解集； (2)若关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【题型六】求x轴与抛物线的截线长 【例6】（24-25九年级上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，下列命题中不成立的是（   ） A．、两点之间的距离为4个单位长度 B．若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，则 C．若、在该抛物线上，当时，则 D．若，当时，的最大值与最小值的差为4，则 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．若，则 ． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【题型七】图象法确定一元二次方程的近似根 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 那么方程的一个近似根是（精确到0.1）（   ） A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（   ）     A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 【题型八】图象法解一元二次不等式 【例8】（九年级上·安徽合肥·期中）抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图，若y＞0，则x的取值范围是（  ） A．-2＜x＜1 B．-3＜x＜1 C．x＜-2或x＞1 D．x＜-3或x＞1 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，则下列结论：①；②；③；④不等式的解集是． 其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点．动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动．过点P作，垂足为Q，再将绕点P按逆时针方向旋转．设点P的运动时间为t秒． （1）若旋转后的点B落在该抛物线上，则t的值为 ． （2）若旋转后的与该抛物线有两个公共点，则t的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数． (1)用配方法将上述二次函数的表达式化为的形式； (2)画出此函数的图象（不用列表），并直接写出当时x的取值范围． 【题型九】利用不等式求自变量或函数值的范围 【例9】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的、的部分对应值如下表： 0 1 2 3 5 1 1 下列结论中正确的个数有（    ） ①；②抛物线的对称轴是直线；③方程有一个根，且；④不等式的解集是；⑤是方程的根． A．4 B．3 C．2 D．1 【举一反三】 1．（九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若点在二次函数的图像上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象的顶点 C 的坐标为，与 x 轴交于、，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有实数根，写出实数 k 的取值范围． (4)当 时，求 y 的取值范围． 【题型十】根据交点确定不等式的解集 【例10】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线的大致图像如图所示，那么不等式的解为（   ） A．或 B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，已知抛物线与直线交于、两点，与x轴交于，当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线的顶点为C，与x轴交于A，B两点（设点A在B的左侧），其中B点的横坐标为4，一次函数经过A、C两点，若，则x的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)利用图象回答：当时，请直接写出的取值范围． (2)将该抛物线向右平移个单位长度，该函数图象恰好经过原点，请直接写出的值． (3)将线段绕着点顺时针旋转后，点的对应点恰好是抛物线与轴的交点，求该抛物线的解析式． 好题必刷 一、单选题 1．抛物线与轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．根据抛物线与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（   ） A． B． C． D． 3．y=3（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，2） B．（0，5） C．（2，0） D．（5，0） 4．根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（   ） x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c 1 3.5 7 A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2 5．如图，抛物线交x轴于，两点，则下列判断中，错误的是（    ） A．图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时， D．一元二次方程的两个根是和3 6．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，则a的取值范围是（    ） A．a＜0 B．－3＜a＜0 C． D． 7．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如上表，以下结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x增大而增大 C．当时，x的取值范围是 D．方程的根为0和2 8．如图，抛物线过点（1，0）和点（0，－2），且顶点在第三象限，设p＝a－b＋c，则下列判断错误的是（    ） A．a＋b＝2 B．方程有两个不相等的实数根 C．0＜b＜2 D．－1＜p＜0 9．已知关于x的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或 10．抛物线的对称轴为直线，图象过点，部分图象如图所示，下列各式中：①②③④其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．若抛物线与轴有公共点，则的取值范围为 ． 12．若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 13．已知抛物线与直线的两个不同交点分别为，．若和均为整数，则实数k的值为 ． 14．已知二次函数与x轴有两个交点，把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线有三个不同的公共点，则m的值为 ． 三、解答题 15．已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 16．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程无实数根，写出的取值范围． 17．已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为． (1)填空：b=________；（用含a的代数式表示） (2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值； (3)若抛物线过点（−2，−2），当时，二次函数的最值是−2，求k的取值范围； (4)当a=−1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围． 18．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根； （2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集； （3）求y的取值范围． 19．一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来． 20．求下列二次函数的图象与x轴的交点，并画草图验证： （1）； （2）； （3）； （4）． 21．如图，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D，求的值． 22．已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“和谐点”． （1）求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标； （2）若抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1上有“和谐点”，且“和谐点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W=x12+x22的最小值； （3）若函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值． 23．对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数()的对折函数为． (1)求函数()的对折函数； (2)若点在函数()的对折函数的图象上，求的值； (3)当函数()的对折函数与轴有不同的交点个数时，直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数与一元二次方程（知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 抛物线与x轴的交点问题 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型六 求x轴与抛物线的截线长 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 题型八 图象法解一元二次不等式 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型十 根据交点确定不等式的解集 知识清单 知识点1．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点2．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点3．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 题型方法 【题型一】求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数的图象与坐标轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】当时，，与y轴有一个交点；当时，，解得，故抛物线与x轴有2个交点，解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键． 【详解】解：当时，，与y轴有一个交点； 当时，， 解得， 故抛物线与x轴有2个交点， 故抛物线与坐标轴有3个交点． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知抛物线为常数，且，关于抛物线的下列说法中，不正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则抛物线与轴有两个交点 C．若点在抛物线上，则 D．若点在抛物线上，且，则 【答案】C 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识，关键是对二次函数的性质以及二次函数与方程根的关系的应用． 根据函数解析式求出对称轴即可判断A；设，是方程的两个根，由根与系数的关系得出，根据，，可以得出两根异号，从而判断B；根据抛物线对称轴和抛物线开口方向可以得出，再根据可以判断C；根据，和函数性质可以判断D． 【详解】解：A、， 抛物线的对称轴是直线，正确，故此选项不符合题意； B、令，则． 若， 则抛物线与轴有两个交点，正确，故此选项不符合题意； C、，顶点坐标为，抛物线开口向上， 若点在抛物线上，则，错误，故此选项符合题意； D、抛物线开口向上，若点在抛物线上，且， 则， ，正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的对称轴是直线 ． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题，令，求得二次函数图象与轴的交点，进而根据对称性求得对称轴，即可求解． 【详解】解：当时， ∴ ∴，是二次函数图象上两点， ∴对称轴为直线 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于，，三点． (1)求，，三点的坐标； (2)当时，求函数的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把、代入函数解析即可求出三点的坐标； （）求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的性质结合图象解答即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，函数有最小值为； 当时，的值随的增大而增大， 当时，的值随的增大而减小， ∵， ∴当时，， ∴当时，函数的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型二】求抛物线与y轴的交点坐标 【例2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了求二次函数与轴的交点坐标，令求出的值即可得解． 【详解】解：在中，当时，， 故二次函数与y轴的交点坐标是， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】题目主要考查抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 根据与y轴交点坐标的特点，即时，求解即可． 【详解】解：， 当时，， ∴与轴的交点坐标为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）当一个函数的图像关于轴成轴对称图形时，我们称这个函数为偶函数．若二次函数是偶函数，该函数的图像与轴交于点，（点在点的左边），顶点为，则的面积是 ． 【答案】8 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、求抛物线与y轴的交点坐标、求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了二次函数的性质，与坐标轴的交点问题，正确求出与坐标轴交点是解题的关键．根据题意先确定，求出，，即可求解面积． 【详解】解：由题意得：， ∴， 当，则， ∴， 当，则， 解得：或， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知抛物线． (1)当时，求抛物线与坐标轴的交点坐标． (2)若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像．经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点，求此时m的值： (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差是3，求m的值． 【答案】(1)轴交点，轴交点 (2) (3) 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求抛物线与y轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别令，解方程即可； （2）顶点为，由抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得顶点翻折至，由于经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点，则直线经过点即可，则，解方程即可； （3）当时，，当时，，由，得，故当时，，而当时，，则，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 时，， 解得：， ∴与轴交点为：，与轴交点为； （2）解：， ∴顶点为， ∵抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折， ∴顶点翻折至 ∵经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点， 则直线经过点即可，如图： ∴， ∴； （3）解：如图： 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴当时， ∵，抛物线的对称轴为直线，且， ∴当时，， ∴， 解得：． 【题型三】已知二次函数的函数值求自变量的值 【例3】（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题． 【详解】设当时， ∵当和时，函数值相等， ∴当时，的两个根为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是由二次函数转换到一元二次方程根与系数的关系． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点． （1）若点的横坐标为，则的值为 ； （1）若点，点均在轴的上方，则的取值范围为 ． 【答案】 / 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、抛物线与x轴的交点问题、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点，与一次函数图象的交点问题； （1）直接将代入两个函数解析式，再将它们联立求解即可； （2）先求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再分类讨论，当时，点，点均在轴的上方，当时，点，点均在轴的上方，分别求解即可． 【详解】（1）由题意得，当时，， 解得， 故答案为：； （2）当时，， 解得或， 当时，若点，点均在轴的上方， 当时，则恒成立， ∴； 当时，若点，点均在轴的上方， 当时，则， 解得， ∴； 综上，， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线交轴的负半轴于点，点是轴的正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、已知二次函数的函数值求自变量的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，轴对称的性质．明确各点横纵坐标的等量关系是解题的关键． 将代入得，，解得，或，即，由对称可得的横坐标为1，将代入得，，即，由与轴平行，可得点纵坐标为2，将代入得，，解得，或，进而可得点坐标． 【详解】解：将代入得，， 解得，或， ∴， ∵点、关于点对称，点是轴的正半轴上一点， ∴的横坐标为1， 将代入得，， ∴， ∵与轴平行， ∴点纵坐标为2， 将代入得，， 解得，或， ∴． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知点是抛物线上的一个动点，点的坐标为． 【特例探究】 （1）如图1，直线过点且平行于轴，过点作，垂足为点，连接． ①当时，______，______； ②当时，______，______． 【猜想验证】 （2）对于取任意一实数，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 【拓展应用】 （3）请利用（2）的结论解决下面的问题：如图2，点的坐标为，连接，问是否存在最小值？如果存在，请说明理由，并求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）①1,1 ②2,2 （2）相等，理由见解析 （3）存在，，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题主要考查了求二次函数的自变量或函数值，垂线段最短，勾股定理， 对于（1）①，令求出点P的坐标，可得，同理解答②； 对于（2），设点，表示点，进而得出，，再验证； 对于（3），先作轴，作，根据（2），得，可知，接下来得出当点P，B，C共线时，最小，此时，点P的横坐标是2，然后代入关系式求出答案． 【详解】（1）①当时，则， 将点P代入，得， ∴， ∴点B与点Q重合． ∵点，点，点， ∴； ②当时，则， 将点P代入，得， ∴． ∵点，点， ∴； 故答案为：1，1，2，2； （2）与相等，理由如下： 设点，则点， ∵， ， ∴； （3）过点Q作轴，过点P作于点B， 由（2），得，则． 当点P，B，C共线时，最小，此时，点P的横坐标是2， 当时，， 所以点． 【题型四】抛物线与x轴的交点问题 【例4】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象的顶点坐标是 B．当时y随x的增大而增大 C．当时，函数有最小值是4 D．函数图象与x轴有两个交点 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，将该二次函数化为顶点式，根据二次函数的图象及性质即可判断选项A，B，C；令，则，根据根的判别式可判断选项D． 【详解】解：二次函数， A、该二次函数的图象的顶点为，故本选项的说法错误； B、∵二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小．故本选项的说法错误； C、∵二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值是4．故本选项的说法错误； D、令，则 ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴该函数图象与x轴有两个交点．故本选项的说法正确． 故选：D 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线和x轴交于、 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线和x轴的交点等知识，根据二次函数的性质，抛物线和x轴的交点等逐项进行分析即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴， ∴抛物线开口向下， 故A正确，不符合题意； 当时，， 解得， ∴抛物线对称轴为直线， 故B正确，不符合题意； 又∵抛物线开口向下， 对称轴的右侧，y随x的增大而减小， 故C错误，符合题意； 抛物线和x轴交于、， 故D正确，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”如：、都是“整点”．抛物线与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法．画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围． 【详解】解：抛物线化为顶点式为， ∴函数的对称轴：， ∴M和N两点关于对称， 根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是，，，，， 如图所示： ∵当时，， ∴ 当时，， 即：， 解得，， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数与轴有两个不同交点，则，代入数值计算，即可作答． （2）先由得，分析函数的图象性质得开口向上，在对称轴处，有最小值，即，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 【题型五】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例5】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，若关于x的方程的解为，，关于x的方程的解为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】画出抛物线，直线，直线，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案．本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题． 【详解】解：依题意，∵， ∴， 关于的方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， 同理得关于的方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵，， ∴如图所示： 由图可知，， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽·期中）二次函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定 【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的根的情况，根据图象信息可解答． 【详解】解：由图知二次函数的图象顶点的纵坐标是2，即二次函数的最大值是2． 方程，即，可以看成抛物线与直线的交点， 由图象可得直线在顶点上方， ∴使函数的值为5的x值不存在， ∴关于x的方程没有实数根． 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数的图象与二次函数的图象交于两点． （1）若点的横坐标为，则的值为 ； （2）若点，点均在轴的上方，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点，与一次函数图象的交点问题； （1）直接将代入两个函数解析式，再将它们联立求解即可； （2）先求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再分类讨论，当时，点，点均在轴的上方，当时，点，点均在轴的上方，分别求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，当时，， 解得， 故答案为：； （2）当时，， 解得或， ①当时， 若点，点均在轴的上方， 当时，则恒成立， ∴； ②当时， 若点，点均在轴的上方， 当时，则， 解得， ∴； 综上，， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)直接写出不等式的解集； (2)若关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）根据图象在x轴上方时即可求得x的取值范围； （2）根据图象开口向下，最大值为y= 2可得k的取值范围． 【详解】（1）解∶由图象可得在时，抛物线在轴上方， 的解集为． （2）抛物线开口向下，且函数最大值为2， 当时，直线与抛物线有两个交点， 即当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【题型六】求x轴与抛物线的截线长 【例6】（24-25九年级上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，下列命题中不成立的是（   ） A．、两点之间的距离为4个单位长度 B．若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，则 C．若、在该抛物线上，当时，则 D．若，当时，的最大值与最小值的差为4，则 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了二次函数的图形与性质，熟练掌握二次函数的性质并能结合图象灵活应用是本题的解题关键．利用二次函数的图象及性质，逐条计算并判断即可． 【详解】解：A、令，即，解得，，，，、两点之间的距离为4个单位长度， 故A成立，不符合题意； B、将代入，得，解得， 将代入，得，解得， 求出的值为1和，当抛物线与线段有交点时，则， 故B成立，不符合题意； C、由得抛物线与横轴的交点为和，距离为4， 当时，， 当时，， 故C不成立，符合题意； D、若，当时，，若的最大值与最小值的差为4，则最小值是，令，解得，，当，最小值位于顶点，故舍去， ， 故D成立，不符合题意； 故选：C 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．若，则 ． 【答案】 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】设方程的两根分别为，， 可得，，利用，再解方程即可． 【详解】解：当，则， 设方程的两根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，经检验符合题意； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用建立方程求解是解本题的关键． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ． 【答案】6 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【答案】 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， ∴ 【题型七】图象法确定一元二次方程的近似根 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 那么方程的一个近似根是（精确到0.1）（   ） A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 【答案】B 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查由二次函数性质估算一元二次方程的近似根，熟练掌握二次函数性质及一元二次方程近似值求法是解决问题的关键．理解二次函数与的交点横坐标就是方程根，从而在交点左右两侧取得的自变量值代入函数求得异号，即可得到近似根的范围，结合选项即可得到答案． 【详解】解：由表可知，当时，； 当时，； 方程的一个近似根， 两个数中，更接近于0， 方程的一个近似根是1.2， 故选：B 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（   ）     A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据题意得方程的一个解，进而即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象上有两点分别为，， ∴方程的一个解， ∴方程的解为：， 即． 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，注意数形结合的思想方法． 【详解】解∶由可得： ， 当时，， 当时，， 故的一个近似根， 距离x轴更近， 的一个近似根是， 的另一个近似根是 故答案为：或 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 【答案】(1)向下， (2) (3) 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、图象法确定一元二次方程的近似根、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）根据表格中的数据，并结合二次函数图象的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象与性质进行求解即可； （3）找到点关于对称轴的对称点为，再由二次函数的图象过点和，即可求解． 【详解】（1）解：∵当，时，函数值都是9， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵当时，函数值随着的增大而增大， ∴该函数图象的开口向下， 故答案为：向下，； （2）解：∵点、关于对称轴的对称点为、， ∴方程的正根的范围为， 故答案为：； （3）解：∵点关于对称轴的对称点为，且该函数图象的开口向下， ∴不等式解集是， 故答案为：． 【题型八】图象法解一元二次不等式 【例8】（九年级上·安徽合肥·期中）抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图，若y＞0，则x的取值范围是（  ） A．-2＜x＜1 B．-3＜x＜1 C．x＜-2或x＞1 D．x＜-3或x＞1 【答案】B 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、抛物线与x轴的交点问题、图象法解一元二次不等式 【分析】根据对称轴求出抛物线和x轴的另一个交点的坐标为（3，0），再观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线和x轴其中一个交点坐标为（1，0）， ∴根据轴对称性可得抛物线和x轴的另外一个交点的坐标为（﹣3，0）， ∴从图象看，若y＞0，则x的取值范围是﹣3＜x＜1， 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法以及这些点代表的意义． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，则下列结论：①；②；③；④不等式的解集是． 其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、图象法解一元二次不等式 【分析】本题主要考查了抛物线图象和二次函数系数之间的关系，由函数图象可得，，，，即可判断①；根据对称轴可知抛物线还经过点，即可判断②；将代入解析式中，得，结合，即可判断③；要使得不等式，只需，即图象在轴下方，结合抛物线与轴有两个交点为，，即可判断④．解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质并结合图象． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，则， ∴， ∵抛物线与轴的交点在负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， 由对称轴可知：抛物线还经过点， 即：抛物线与轴有两个交点， ∴，故②正确； 将代入解析式中，得， 则，即：， ∴，故③正确； 要使得不等式，只需，即图象在轴下方， ∵抛物线与轴有两个交点为，， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点．动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动．过点P作，垂足为Q，再将绕点P按逆时针方向旋转．设点P的运动时间为t秒． （1）若旋转后的点B落在该抛物线上，则t的值为 ． （2）若旋转后的与该抛物线有两个公共点，则t的取值范围是 ． 【答案】 3 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、图象法解一元二次不等式、用勾股定理解三角形、其他问题(二次函数综合) 【分析】根据抛物线线与坐标轴的交点坐标的特点得、，，，由和得等腰直角三角形，根据勾股定理得，，可表示出，，点， （1）将代入二次函数即可求解． （2）利用，结合二次函数解析式列不等式，求出边、、与抛物线有交点的范围，进而可求解． 【详解】解：，当时，解得：， ， ， 当时，，解得：，， ，， ，， ，可知：， ， 是等腰直角三角形，， 运动t秒后，，运用勾股定理可求，将绕点P按逆时针方向旋转后，轴，过点Q作轴，垂足为M，可求， 由勾股定理可求：， 所以，，点， （1）把点坐标代入得：， 解得：，或（舍去） 所以：． 故答案为：3． （2）若与抛物线有交点，由于点，则有： 当时，，且， 代入得：， 解得：，或（舍去）， 若，与抛物线有两个不同交点，由于，则有；当时，，且，代入得：， 解得：，或（舍去）， 所以：当时，与与抛物线有交点；当时，和与抛物线有交点， 综上所述：若旋转后的与该抛物线有两个公共点，则t的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、二次函数与不等式、二次函数的综合，掌握基础知识，根据已知设点的坐标，结合题意列不等式是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数． (1)用配方法将上述二次函数的表达式化为的形式； (2)画出此函数的图象（不用列表），并直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见解析， 【知识点】图象法解一元二次不等式、画y=ax²+bx+c的图象、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数一般式化顶点式，画二次函数图象，二次函数的图象与性质，画出图象是解答本题的关键． （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）先画出图象，然后根据图象解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，；当时，；当时，；当时，； 如图，由图可知，当时，自变量的范围是． 【题型九】利用不等式求自变量或函数值的范围 【例9】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的、的部分对应值如下表： 0 1 2 3 5 1 1 下列结论中正确的个数有（    ） ①；②抛物线的对称轴是直线；③方程有一个根，且；④不等式的解集是；⑤是方程的根． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】根据表格确定二次函数图象的开口方向以及对称轴，结合表格数据即可对各个选项进行判断． 【详解】解：由表格可知：当越来越大，先减小后增大，即二次函数图象开口向上， 则，故①错误； 由表格可知：当，，当，，即抛物线的对称轴为，故②正确； 当，，当，，即在和0之间，函数值都大于0， 则方程的根不在之间，故③错误； 不等式，即，根据表格数据可知当时不等式，故④正确； 当时，，即，故⑤正确； 正确的选项有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据表格发现二次函数图象的对称轴以及开口方向，此题难度不大． 【举一反三】 1．（九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】根据二次函数与轴的交点的横坐标，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4， 根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 2．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若点在二次函数的图像上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】根据二次函数的性质可得顶点为，可得顶点到轴的距离小于，再令时，从而确定点到轴的距离等于时点的坐标为和，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图像开口向上，顶点为，对称轴是直线， ∴该图像的顶点到轴的距离小于， 当时，， 解得：，， ∴抛物线上到轴的距离等于的点为和， ∵点到轴的距离小于， ∴． 故答案为∶． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质．解题的关键是理解和掌握二次函数的图像及性质． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象的顶点 C 的坐标为，与 x 轴交于、，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有实数根，写出实数 k 的取值范围． (4)当 时，求 y 的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、利用不等式求自变量或函数值的范围、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查二次函数的性质和对应的方程，以及不等式的求解， （1）根据二次函数与x的交点即可求得方程的解： （2）结合二次函数的开口和x轴的交点即可求得不等式的解集； （3）结合二次函数的顶点和开口方向即可判定方程有实数根对应的取值范围； （4）结合二次函数的图象和与x轴的交点即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴的根为，； （2）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵，且二次函数的图象的顶点 C 的坐标为， ∴方程有实数根， 则； （4）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴当 时，则 【题型十】根据交点确定不等式的解集 【例10】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线的大致图像如图所示，那么不等式的解为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，明确二次函数与不等式的关系是解题的关键． 观察图象，找出抛物线在轴下方的部分，再确定这部分图象所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：观察图象可得，抛物线在轴下方的部分对应的自变量的取值范围是：， ∴不等式的解为：． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，已知抛物线与直线交于、两点，与x轴交于，当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用函数交点求不等式的解集是解题的关键．结合函数图象，找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量x的取值范围即可解答． 【详解】解：结合图象得，当时，x的取值范围是或． 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线的顶点为C，与x轴交于A，B两点（设点A在B的左侧），其中B点的横坐标为4，一次函数经过A、C两点，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．根据抛物线的顶点式即可求得点的坐标，利用抛物线的对称性求得点的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， 抛物线与轴交于，两点在的左侧，其中点的横坐标为， ， 如图， 由图可得：，则的取值范围是． 故答案为： 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)利用图象回答：当时，请直接写出的取值范围． (2)将该抛物线向右平移个单位长度，该函数图象恰好经过原点，请直接写出的值． (3)将线段绕着点顺时针旋转后，点的对应点恰好是抛物线与轴的交点，求该抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据交点确定不等式的解集、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程，平移变换等知识， （1）根据图象直接写出的取值范围即可； （2）设抛物线，再写出抛物线向右平移个单位长度后的解析式，再由函数图象恰好经过原点，列关于m的一元二次方程，解方程即可； （3）由题意得，进而可得，设抛物线，将代入得出a的值，进而可得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：由图象可得，当时，； （2）解：∵抛物线经过点和点， ∴可设抛物线， 将抛物线向右平移个单位长度后得，， ∵平移后的函数图象恰好经过原点， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， 设抛物线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 好题必刷 一、单选题 1．抛物线与轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】把代入求解即可得到交点坐标，也可以利用图像解决． 【详解】解：令，得， 抛物线与轴的交点是， 故选：B． 【点睛】本题考查图像交点个数，可以直接求解，也可以图像法解决，因为所有的二次函数与y轴有且只有一个交点． 2．根据抛物线与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】根据抛物线与x轴交点的坐标与对应的一元二次方程的解的关系进行解答即可． 【详解】解：要求与x轴的交点的坐标，令，解出x写出坐标即可，即一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点横坐标相对应，所以根据抛物线与x轴的交点的横坐标，可以求出的近似解． 故选：A. 【点睛】此题考查了二次函数的图象和一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点横坐标相对应是解题的关键． 3．y=3（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，2） B．（0，5） C．（2，0） D．（5，0） 【答案】B 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】求抛物线与y轴的交点坐标，可令x=0，求得y值即可. 【详解】∵当x=0时，y=3(x-1)2+2=3(0-1)2+2=5， ∴y=3（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标是（0，5）， 故选B. 【点睛】本题考查二次函数图像与y轴交点坐标的特点，掌握图像与y轴的交点的横坐标为0是解题关键. 4．根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（   ） x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c 1 3.5 7 A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2 【答案】B 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质． 【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1， ∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1． 故选：B． 【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 5．如图，抛物线交x轴于，两点，则下列判断中，错误的是（    ） A．图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时， D．一元二次方程的两个根是和3 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】根据对称轴的求解，二次函数的增减性，抛物线与x轴的交点问题，以及二次函数与一元二次不等式的关系对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、对称轴为直线x==1，正确，故本选项不符合题意； B、对称轴是直线x=1，当x＞2时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意； C、应为当-1＜x＜1时，y＞0，故本选项符合题意； D、一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-1和3，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键． 6．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，则a的取值范围是（    ） A．a＜0 B．－3＜a＜0 C． D． 【答案】B 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、二次函数的图象和性质 【分析】根据图象得出a<0,b<0,由抛物线与x轴交于A(1,0),与y轴交于点B (0,3),得出a+b=-3,得出-3<a<0即可. 【详解】根据图象得:a<0,b<0, ∵抛物线与x轴交于A(1,0),与y轴交于点B (0,3), , ∴a+b=-3, ∵b<0, ∴-3<a<0, 故选B. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是正确获取图象的信息. 7．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如上表，以下结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x增大而增大 C．当时，x的取值范围是 D．方程的根为0和2 【答案】D 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据表格中的数据，可以得到该抛物线的对称轴和顶点坐标，再观察表格中的数据，即可得到该函数图象开口方向，从而可以判断A；判断当x＜3时，y随x的增大如何变化，从而可以判断B；当y＞0时x的取值范围，从而可以判断C；写出方程ax2+bx+c=0的根，从而可以判断D． 【详解】解：由表格可得，二次函数的对称轴为直线， ∴顶点坐标为（1，1），该抛物线开口向上，故选项A错误，不符合题意； 当1＜x＜3时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项B错误，不符合题意； 当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，故选项C错误，不符合题意； 方程的根为0和2，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．如图，抛物线过点（1，0）和点（0，－2），且顶点在第三象限，设p＝a－b＋c，则下列判断错误的是（    ） A．a＋b＝2 B．方程有两个不相等的实数根 C．0＜b＜2 D．－1＜p＜0 【答案】D 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式就可以判断A选项；利用方程系数之间的数量关系，结合根的判别式就可以判断B选项；利用抛物线解析式系数之间的数量关系和抛物线对称轴的性质可以判断C选项；利用抛物线解析式系数之间的数量关系，可以判断D选项． 【详解】解：根据题意可知：，抛物线的对称轴：，． 把点（1，0）和点（0，－2）代入抛物线解析式得，解得． A选项正确，不符合题意； 由知，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故B选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， 解得． ∴， ∴，即． 故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴． 故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图像及性质、根据函数图像判断相应一元二次方程根的情况、根据图像判断式子的符号等知识．能够准确地从函数图像中获取信息是解题的关键． 9．已知关于x的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或 【答案】A 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】令．根据题意画出的图象草图，再据此求解即可． 【详解】解：令． ∵关于x的一元三次方程的解为，，， ∴的图象与x轴的交点为，，． ∵的图象与x轴的交点不含， ∴当x=0时，． ∴的图象草图如下． 从图象上可以看出y>0时，即时，x的取值范围是或． ∴关于x的不等式的解集是或． 故选：A． 【点睛】本题考查函数与不等式的关系，正确应用数形结合思想是解题关键． 10．抛物线的对称轴为直线，图象过点，部分图象如图所示，下列各式中：①②③④其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次函数的对称性求函数值、根据二次函数的图象判断式子符号、图象法解一元二次不等式 【分析】①根据二次函数图像可得：a＞0，=-1，c＜0，据此判断即可； ②根据抛物线与x轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可； ③由图象可知抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴为直线x=-1，进而确定另一个交点，然后判断即可； ④根据对称轴为直线x=-1可得-=-1，进而可得b=2a，c=-3a，a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0． 【详解】解：①由图像知：a＞0，c＜0，抛物线对称轴x=-1， ∴-=-1 ∴b＞0， ∴abc＜0， 故①错误． ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0， 故②正确． ③∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是直线x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0）， ∴9a-3b+c=0， 故③正确． ④∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0）， ∴=-1，a+b+c=0， ∴b=2a，c=-3a， ∴5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0， ∴④正确． 故正确的是：②③④． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质． 二、填空题 11．若抛物线与轴有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】 根据抛物线与轴有公共点，可知，从而可以求得的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴有公共点， ， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 12．若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 【答案】0或-1/-1或0 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【详解】由于没有交待是二次函数，故应分两种情况： 当k=0时，函数是一次函数，与x轴仅有一个公共点． 当k≠0时，函数是二次函数，若函数与x轴仅有一个公共点，则有两个相等的实数根，即， 解得：， 故答案为：0或-1． 13．已知抛物线与直线的两个不同交点分别为，．若和均为整数，则实数k的值为 ． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】先联立两个函数的解析式可得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，从而可得，然后根据和均为整数可求出和的值，由此即可得． 【详解】解：联立， 整理得：， 抛物线与直线的两个不同交点分别为，， 和是一元二次方程的两个不相等的根． 由根与系数的关系可知，，， 则，即， 和均为整数， 和均为整数， 不妨设， 则， 解得， 所以，即， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程的联系是解题关键． 14．已知二次函数与x轴有两个交点，把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线有三个不同的公共点，则m的值为 ． 【答案】1或 【知识点】其他问题(二次函数综合)、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】先运用根的判别式求得k的取值范围，进而确定k的值，得到抛物线的解析式，再根据折叠得到新图像的解析式，可求出函数图象与x轴的交点坐标，画出函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①过交点（-1，0），根据待定系数法可得m的值；②不过点（一1，0），与相切时，根据判别式解答即可． 【详解】解：∵函数与x轴有两个交点， ∴，解得， 当k取最小整数时，， ∴抛物线为， 将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为（或）  ： ①因为为的，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过，把代入得所以， ②与相切时，图象有三个交点， ，，解得． 故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识点，掌握分类讨论和直线与抛物线相切时判别式等于零是解答本题的关键． 三、解答题 15．已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 【答案】见解析 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明． 【详解】证明：∵， ∴无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键． 16．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程无实数根，写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【知识点】根据交点确定不等式的解集、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根； （2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可； （3）根据图象可以看出k取值范围． 【详解】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，． （2）观察图象可知：不等式的解集为或． （3）由图象可知，时，方程无实数根． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可． 17．已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为． (1)填空：b=________；（用含a的代数式表示） (2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值； (3)若抛物线过点（−2，−2），当时，二次函数的最值是−2，求k的取值范围； (4)当a=−1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围． 【答案】(1)4a (2)0 (3)−6≤k≤0 (4)−4≤c＜5 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据题意可得，即可求解； （2）根据抛物线的顶点在x轴上，可得抛物线与x轴只有一个交点，从而得到16a2−4ac=0，进而得到c=4a，即可求解； （3）根据题意可得抛物线的顶点是（−2，−2），再由当k−2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是−2，可得，即可求解； （4）根据题意可得关于x的方程−x2−4x+c=0在−3＜x＜1的范围内有解，根据题意画出图象，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的，解得b=4a， 故答案为：4a； （2）解∶∵抛物线的顶点在x轴上， ∴抛物线与x轴只有一个交点， ∴Δ=b2−4ac=0， ∴16a2−4ac=0， ∵a≠0， ∴4a−c=0，即c=4a， ∴c−b=4a−4a=0； （3）解：∵抛物线过点（−2，−2），且对称轴为直线x=−2， ∴抛物线的顶点是（−2，−2）， ∵当k−2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是−2， ∴，解得：−6≤k≤0； （4）解：当a=−1时，b=−4， ∴抛物线y=−x2−4x+c， ∵关于x的方程式ax2+bx+c=0在−3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程−x2−4x+c=0在−3＜x＜1的范围内有解， c=x2+4x， 可以看作是抛物线y=x2+4x=（x+2）2−4与直线y=c在−3＜x＜1的范围内有交点， 当x=−2时，y=4−8=−4，x=1时，y=1+4=5， 如图所示，由图象得：c的取值范围：−4≤c＜5． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 18．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根； （2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集； （3）求y的取值范围． 【答案】（1）﹣5和1；（2）﹣5＜x＜1；（3）y≤9 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、图象法解一元二次不等式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据二次函数的图像与轴的交点，即可求解； （2）根据二次函数的图像，即可求解； （3）求得二次函数的解析式，根据二次函数的性质求得最大值，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示：方程ax2+bx+c=0的两个根为：﹣5和1； （2）如图所示：不等式ax2+bx+c＞0的解集为：； （3）∵抛物线与坐标轴分别交于点A（﹣5，0），B（1，0），C（0，5）， 设抛物线解析式为：， ∵抛物线过点C（0，5）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵， ∴当时， ， ∴y的取值范围为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解． 19．一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来． 【答案】一元二次方程的根是二次函数图象中时，所对应的的值；图见解析 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】画出二次函数的图象，则一元二次方程的根为图象中时的值． 【详解】解：一元二次方程的根是二次函数图象中时，所对应的的值； 当时，， 作出二次函数的图象如图，由图中可以看出，当时，或5.2， 故一元二次方程的根为，． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与一元二次方程近似根的关系，解题的关键是得到二次函数的图象，难点是判断出一元二次方程的根在图象中的位置． 20．求下列二次函数的图象与x轴的交点，并画草图验证： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；图象见解析． 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】对于函数表达式y＝ax2＋bx＋c，令y＝0，解方程求出x值即可． 【详解】解：令y＝0， （1）−（x＋2）（x−2）＝0，解得：x＝2或−2， 故与x轴交点坐标为（−2，0）、（2，0）； （2）9x2−49＝0，解得：x＝±， 故与x轴交点坐标为（，0）、（−，0）； （3）5＋x−4x2＝0，解得：x＝或−1， 故与x轴交点坐标为（，0）、（−1，0）； （4）（x＋1）2−9＝0，解得：x＝2或−4， 故与x轴交点坐标为（2，0）、（−4，0）； 依次对应的草图如下： 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 21．如图，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D，求的值． 【答案】= 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式得到AB、CD的值，即可求出结论． 【详解】解：将点P的纵坐标y=m2（m＞0）代入y=x2得x=±2m， ∴，， ∴AB=4m． 将y=m2（m＞0）代入：y=x2得x=±3m， ∴，， ∴CD=6m． ∴==； 【点睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程，根据P的坐标求得AB、CD的长是关键． 22．已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“和谐点”． （1）求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标； （2）若抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1上有“和谐点”，且“和谐点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W=x12+x22的最小值； （3）若函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值． 【答案】（1）；（2）w有最小值是；（3）t的值为3﹣或4+． 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据“和谐点”的坐标特征设出坐标，代入双曲线中，有解则有“和谐点”； （2）设抛物线“和谐点”的坐标为，代入抛物线的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有两个“和谐点”，则这两个“和谐点”的横坐标就是这个一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系得：两根和与两根据积的式子，得到w关于a的二次函数，求最小值即可； （3）设函数“和谐点”的坐标为，代入函数的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有一个“和谐点”，则，得到n=（m﹣t）2﹣t+2，把它看成一个二次函数，对称轴m=t，分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）设“和谐点”的坐标为， 将点坐标代入直线y=3x﹣2得：t=3t﹣2， 解得：t=1， 故“和谐点”的坐标为； （2）设抛物线“和谐点”的坐标为， 代入抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1中得： x=﹣x2+（a+1）x﹣a+1， ﹣x2+ax﹣a+1=0， ∵“和谐点”为和， ∴x1、x2是方程﹣x2+ax﹣a+1=0的两个根， 则x1+x2=﹣=，x1•x2==2a﹣2， w=x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（）2﹣2（2a﹣2）， w=﹣4a+4=（a﹣）2+， ∵＞0， ∴抛物线开口向上当a=时，w有最小值是； （3）设函数“和谐点”的坐标为， 代入函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2得： x=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2， x2+（m﹣t）x+n+t﹣2=0， ∵存在唯一的一个“和谐点”， ∴=（m﹣t）2﹣4××（n+t﹣2）=0， n=（m﹣t）2﹣t+2， 这是一个n关于m的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为m=t，对称轴左侧，n随m的增大而减小；对称轴右侧，n随m的增大而增大； ①t＜2，当2≤m≤3时，在对称轴右侧递增， ∴当m=2时，n有最小值为t， 即（2﹣t）2﹣t+2=t， t2﹣6t+6=0， 解得：t1=3+＞2（舍去），t2=3﹣， ②t＞3，当2≤m≤3时，在对称轴左侧递减， ∴当m=3时，n有最小值为t， 即（3﹣t）2﹣t+2=t， 解得：t1=4+，t2=4﹣＜3（舍）， ③当2≤t≤3，当2≤m≤3时，n有最小值为﹣t+2， ∴﹣t+2=t， t=1＜2（舍去）， 综上所以述：t的值为3﹣或4+． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及一元二次方程的根与二次函数的关系；明确一元二次方程根据与系数的关系，方程的解与根的判别式的关系；尤其是二次函数的最值问题，在自变量的所有取值中：①当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，函数有最小值；②当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断． 23．对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数()的对折函数为． (1)求函数()的对折函数； (2)若点在函数()的对折函数的图象上，求的值； (3)当函数()的对折函数与轴有不同的交点个数时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)时，与x轴有4个交点，时，与x轴有3个交点；时，与x轴有2个交点；时，与x轴有1个交点；时，与x轴无交点 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与性质，正确理解对折函数是解题的关键． （1）根据定义得出对折后函数的顶点坐标为，即可得到该函数表达式； （2）将点代入，求解出m的值即可； （3）)分，，，，等五种情况讨论，根据函数图像进行观察与x轴的交点个数即可． 【详解】（1）解：（1）令， 解得或3， 如图1：点的坐标为，， 因为抛物线的顶点坐标为， 所以对折后函数图象的顶点坐标为，该函数表达式为：， 即对折函数为； （2）解：将点代入， 得  ①，   ②， 解方程①，得或（舍去）， 解方程②，得（舍去）或 ， 所以或； （3）解：①当时，如图2： 此时在点的左侧，从图中可以看出：函数与轴有4个交点（A，B，C，D）； ②当时，过点A，从图1可以看出：函数与轴有3个交点； ③同理：当时，函数与轴有2个交点； ④同理：当时，函数与轴只有1个交点； ⑤同理：当时，无交点．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$