第02讲 集合间的基本关系（知识清单+3易错+3必考题型）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019必修一）

第02讲 集合间的基本关系 题型梳理 易错分析 易错点一 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 易错点二 忽视对空集的讨论而致错 易错点三 忽略端点的取值情况而致错 题型方法 题型一 子集、真子集的概念 题型二 根据集合间的关系求参数 题型三 集合相等与空集 知识清单 知识点1 子集 1．Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 知识点2 真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC. 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． 易错分析 【易错点一】混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 【例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可. 【详解】显然，，①③正确； ，②正确 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：D 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：D. 【变式2】（多选）（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】求出集合，利用元素与集合、集合与集合的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为，所以，，，，， 选项ACD正确，B错. 故选：ACD. 【变式3】（多选）（24-25高一上·安徽宿州·期中）下列关系正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据为整数，为无理数，集合元素与集合的关系判断AB，根据，为正整数集，为自然数集，为整数集，结合集合与集合的关系判断CD. 【详解】因为是整数，所以，A错误； 因为为无理数，所以，B正确； 因为，所以，C正确； 由于为正整数集，为自然数集，为整数集，所以，D正确. 故选：BCD. 【易错点二】忽视对空集的讨论而致错 【例2】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出集合，然后分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】由，得，解得或， 所以， 当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 【变式2】（多选）（24-25高一上·吉林白城·期中）已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 【答案】BCD 【分析】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误. 【详解】因是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 故需使或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 【变式3】（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）（1）设集合，，当时，集合的真子集有多少个？ （2）当时，实数的取值范围是多少？ 【答案】(1)15；（2） 【分析】（1）由题意可得中共8个元素，从而可得结果； （2）根据子集关系,分类列不等式即可求解. 【详解】（1）当时，,,0,，共4个元素， 的真子集的个数为个； （2）由，得①若，则，即， ②若，则解得. 综上，实数的取值范围是. 【易错点三】忽略端点的取值情况而致错 【例3】（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知集合，非空集合，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合间的包含关系，列出不等式，求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得， 故选：D. 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论： （1）当时，，合乎题意； （2）当时，，则， 因为时，解得； （3）当时，，则， 因为，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围. 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 【变式3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 题型方法 【题型一】子集、真子集的概念 【例1】（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的含义得到集合的元素，然后求非空子集个数即可 【详解】要使，，则，故B中含有三个元素， 所以B的非空子集有，，，，，，共7个． 故选：C. 解题技巧 判断集合间关系的常用方法 求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【答案】B 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 【变式2】（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 【答案】，，， 【分析】先求出集合，再列出它的子集即可. 【详解】∵， 所以集合的子集有：，，，. 故答案为：，，， 【变式3】（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 【答案】答案见解析 【分析】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得. 【详解】的子集有： 、、、、、、、； 的真子集有： 、、、、、、. 【题型二】根据集合间的关系求参数 【例2】（24-25高一上·甘肃武威·期中）若，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合包含关系得到实数的取值范围. 【详解】，故. 故选：B 解题技巧 利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 【答案】A 【分析】由已知可得，列方程求，结合元素的互异性排除不满足条件的值. 【详解】因为，且的元素个数相等， 所以，所以， 解得或， 当时，，不满足元素的互异性，舍去. 当时，，满足条件. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】根据集合相等解方程即可求得结果. 【详解】因为，所以； 依题意可得且. 即实数的值是. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 【题型三】集合相等与空集 【例3】（24-25高一上·贵州·期中）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合的性质逐个判断即可. 【详解】对①，正确； 对②，空集是集合，故正确； 对③，是无理数，故错误； 对④，两集合中元素不一样，故，故④错误. 综上①②正确. 故选：B 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（20-21高一上·浙江·阶段练习）已知数集，数集，且，求的值. 【答案】 【分析】根据集合相等的条件，列出等量关系式，求解得结果，验证其是否满足元素的互异性，得到正确答案. 【详解】因为数集，数集，且， 所以，所以， 当时，，不成立， 当时，，成立， 所以. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合相等的条件，集合中元素的互异性，属于基础题目. 【变式3】（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·四川成都·期中）设集合，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知集合，结合元素与集合、集合与集合关系判断各项正误. 【详解】由题设、、，只有C正确. 故选：C 2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得，所以， 故选：A 3．（21-22高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空集的定义，可得答案. 【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确； 对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误； 对于（3），，所以错误； 对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确． 所以正确的有：（1），（4）共2个． 故选：B． 4．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 5．（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合满足，则不同的的个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】列举出满足要求的集合，得到答案. 【详解】由可得， ，故不同的的个数为. 故选：C 6．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 【答案】B 【分析】根据题意求出集合A即可. 【详解】因为⫋， 都满足题意，共7个. 故选：B. 二、多选题 7．（24-25高一上·四川泸州·期中）下列说法中错误的是（    ） A． B．与{0}表示同一个集合 C．集合与表示同一个集合 D．已知集合，且，则m的取值构成的集合为{-1，1，4} 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合集合的相关概念逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，表示无任何元素的集合，而{0}有一个元素0，它们表示不同集合，B错误； 对于C，由集合元素的无序性知，与表示同一集合，C正确； 对于D，在中，，， 由，得或，则或，D错误. 故选：ABD 8．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知集合A满足，则集合A可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分析可知集合A中必有元素，可能含有元素，且，对比选项分析判断. 【详解】因为， 可知集合A中必有元素，可能含有元素，且， 对比选项可知：AB正确，CD错误. 故选：AB. 9．（24-25高一上·四川眉山·期中）设集合，若，则实数可以是（    ） A．0 B．3 C． D．2 【答案】ACD 【分析】先求得集合，分类讨论，确定集合，根据，确定实数的值，得到答案. 【详解】由方程，解得或，即， 因为，可得 对于方程，当时，此时集合，满足，符合题意； 当时，可得，若，可得或，解得或， 所以实数的可能取值为. 故选：ACD. 三、填空题 10．（24-25高一上·广东江门·期中）集合的非空子集的个数为 . 【答案】7 【分析】利用集合中的元素个数即可求得对应集合的子集个数，再去除空集即可得出结果. 【详解】易知集合中有3个元素，根据元素个数与子集个数之间的关系可得，集合的非空子集的个数为个. 故答案为：7. 11．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系得到不等式，求出. 【详解】，显然，故，解得， 故的取值范围为. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海松江·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 【答案】0 【分析】由，得到，再结合集合元素互异性即可求解. 【详解】因为， 所以．解得（舍，集合元素互异性）或0． 故答案为：0 四、解答题 13．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【分析】分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 14．（21-22高一上·山西·期末）已知集合. (1)若，求，的值； (2)若，且，求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案； （2）易得，再根据，列出方程组，解之即可得解. 【详解】（1）解：若， 则有，解得； （2）解：， 因为， 所以，解得. 15．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用非空集合思想来得到参数的不等式求解即可； （2）根据子集思想，讨论空集和非空集合两种情形，再进行端点值比较，得到不等式求解即可. 【详解】（1）由，则， 因为集合，所以， 解得：，故实数的取值范围是； （2）由，则， 当为空集时满足题意，此时有，即； 当，且，或．则, 而且还满足或，解得：或， 由于，所以此时只有， 综上可得：实数的取值范围是. 16．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【详解】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 17．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2) 【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 集合间的基本关系 题型梳理 易错分析 易错点一 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 易错点二 忽视对空集的讨论而致错 易错点三 忽略端点的取值情况而致错 题型方法 题型一 子集、真子集的概念 题型二 根据集合间的关系求参数 题型三 集合相等与空集 知识清单 知识点1 子集 1．Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 知识点2 真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC. 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． 易错分析 【易错点一】混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 【例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（24-25高一上·安徽宿州·期中）下列关系正确的有（   ） A． B． C． D． 【易错点二】忽视对空集的讨论而致错 【例2】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【变式2】（多选）（24-25高一上·吉林白城·期中）已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 【变式3】（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）（1）设集合，，当时，集合的真子集有多少个？ （2） 当时，实数的取值范围是多少？ 【易错点三】忽略端点的取值情况而致错 【例3】（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知集合，非空集合，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【变式3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 题型方法 【题型一】子集、真子集的概念 【例1】（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 解题技巧 判断集合间关系的常用方法 求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【变式2】（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 【变式3】（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 【题型二】根据集合间的关系求参数 【例2】（24-25高一上·甘肃武威·期中）若，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 解题技巧 利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 【变式2】（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【变式3】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【题型三】集合相等与空集 【例3】（24-25高一上·贵州·期中）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【变式2】（20-21高一上·浙江·阶段练习）已知数集，数集，且，求的值. 【变式3】（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·四川成都·期中）设集合，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（21-22高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合满足，则不同的的个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 二、多选题 7．（24-25高一上·四川泸州·期中）下列说法中错误的是（    ） A． B．与{0}表示同一个集合 C．集合与表示同一个集合 D．已知集合，且，则m的取值构成的集合为{-1，1，4} 8．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知集合A满足，则集合A可以是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·四川眉山·期中）设集合，若，则实数可以是（    ） A．0 B．3 C． D．2 三、填空题 10．（24-25高一上·广东江门·期中）集合的非空子集的个数为 . 11．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 12．（24-25高一上·上海松江·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 四、解答题 13．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 14．（21-22高一上·山西·期末）已知集合. (1)若，求，的值； (2)若，且，求，的值. 15．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 16．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 17．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$