第01讲 集合的概念（知识清单+3易错+3必考题型）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019必修一）

第01讲 集合的概念 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略集合中元素的互异性而致错 易错点二 不能正确理解集合的表示方法的致错 易错点三 不理解新定义的集合（运算）而致错 题型方法 题型一 集合的含义与元素的特征 题型二 元素与集合的关系 题型三 集合的表达方式 知识清单 知识点1 元素与集合的概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 知识点2 集合中元素的特征 1．集合中元素的特征：确定的，互不相同的，无序的． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． 知识点3 元素和集合之间的关系 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 注意点： (1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写． (2)0属于自然数集． 知识点4 用列举法表示集合 列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意点： (1)元素间用“，”隔开． (2)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可． (3)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5，…}． (4)这里集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． 知识点5 用描述法表示集合 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 注意点： (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． (5)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}． (6)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的，因为“{　}”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思． 易错分析 【易错点一】忽略集合中元素的互异性而致错 【例1】（24-25高一上·河北秦皇岛·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合元素互异性得到答案, 【详解】，若，此时，不满足集合中元素互异性，舍去， 若，解得或，显然舍去， 当时，满足集合中元素互异性，故. 故选：A 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·广东东莞·期中）若，则x的可能值为（    ） A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性，即可求解. 【详解】因为， 当时，，不满足元素的互异性， 当时，，满足互异性， 当时，即或（舍）时，，满足互异性， 所以或2. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【变式3】（22-23高一上·上海静安·期中）已知集合，若，求实数的值． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性原则分类讨论即可. 【详解】分情况讨论： ①若，则，，，不符合集合元素的互异性原则； ②若，则，，， 此时，符合题意； ③若，则或， 当时，，，不符合集合元素的互异性原则； 当时，，，不符合集合元素的互异性原则. 综上：. 【易错点二】不能正确理解集合的表示方法的致错 【例2】（24-25高一上·广西玉林·期中）集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据描述法转化为列举法得解. 【详解】由集合的描述法知，， 故选：C 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 【变式2】（多选）（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【分析】根据集合的表示法可以依次判断. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，R就表示实数集，实数集用为错误表示，另外花括号具有所有的意义，描述内容中不能再出现所有字眼，故B错误； 对于C，解集应为，原表示错误，故C错误； 对于D，集合为y的取值集合，集合表示上点的集合，所以两个集合不是同一个集合，故D错误； 故选：BCD. 【变式3】（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】先解方程可得，进而求解即可. 【详解】由，则，即， 又，所以， 则. 故答案为：. 【易错点三】不理解新定义的集合（运算）而致错 【例3】（24-25高一上·海南三亚·期中）设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、都有，（表示两个数中的较小者），则的最大值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意，首先分析出集合的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对的把握，即可得答案． 【详解】根据题意，对于集合,含2个元素的子集 共10个， 其中只能取一个， 故满足条件的2个元素的集合有9个. 故选：C. 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·湖南·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“间距置换”的定义，讨论的大小关系，并结合，求得，即可求解. 【详解】由题可知，，． 若x介于y，z之间，则． 由题可知，，所以，矛盾，舍去． 又因为，所以，结合，可得或． 若，由题可知，，， 上述三个式子相加可得，所以，，即，则，可得； 若，同理可得. 故选：A． 【变式2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 【答案】 【分析】根据题设定义，结合条件，即可求解. 【详解】由题设定义知， 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，将中的每个元素都乘以，再求和．例如，则可求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和为 ．（填数值） 【答案】 【分析】分析每个元素出现的总次数，然后根据题意求解即可. 【详解】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次， 则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作， 则这些和的总和是 ． 故答案为：. 题型方法 【题型一】集合的含义与元素的特征 【例1】（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解. 【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D, 无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误， 故选：C 解题技巧 (1)判断是否能够构成集合，关注能否满足确定性、互异性、无序性； (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】解出方程的根，再根据集合元素互异性可求得集合元素个数即可得解. 【详解】因为，解之可得或， ，解之可得或， 根据集合元素的互异性可知集合一共有3个元素. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知，若集合，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用集合相等，求出，再根据互异性求出的取值情况并检验即可． 【详解】根据题意，，故，则， 则,0,,,，由集合的互异性知且， 故,0,,,，则，即或（舍， 当，时，,0,,,，符合题意， 所以． 故选：A． 【变式3】（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 【题型二】元素与集合的关系 【例2】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 解题技巧 判断元素和集合关系的方法 直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可． 推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 【变式2】（24-25高一上·福建宁德·期中）用符号“”或“”填空：（1）若为所有亚洲国家组成的集合，则泰国 ；（2） ， . 【答案】 【分析】根据各集合的定义，判断各元素与集合间的关系. 【详解】因为泰国属于亚洲，所以泰国； 因为表示有理数，不是有理数，是有理数， 所以，， 故答案为：，，. 【变式3】（2022高一上·全国·专题练习）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，由，得，进而，得证； （2）反证法证明. 【详解】（1）若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2）若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 【题型三】集合的表达方式 【例3】（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设，应用列举法、描述法分析正确的集合表示方式，即可得答案. 【详解】方程的解为， 所以，，都可以表示该方程的解集， 表示的是含有点的集合． 故选：C 解题技巧 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 用描述法表示集合的3个步骤 (1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示． (2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围． (3)用花括号括起来：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}．其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能被8整除的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可. 【详解】能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除， 利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合， 由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除， 而选项B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确， 故选：B. 【变式2】（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【答案】(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}． (2)． (3){a|a是梯形}或{梯形}． (4)． 【分析】（1）（2）利用列举法表示集合. （3）利用描述法或列举法表示集合. （4）利用描述法表示集合. 【详解】（1）一年中有31天的月份的全体为：{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. （2）大于小于12.8的整数的全体为：. （3）梯形的全体构成的集合为：{a|a是梯形}或{梯形}. （4）所有能被3整除的数的集合为：. 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【答案】B 【分析】根据集合的元素不重复可解得. 【详解】因为，所以或，解得，或或， 当时，，又集合中不能有相同的元素，所以 故选：B 2．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可. 【详解】对于命题①，，所以命题①错误， 对于命题②，，所以命题②错误， 对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以命题④正确， 对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确， 故选：C. 4．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由集合的性质逐个判断即可； 【详解】二次方程的实数解组成的集合，有一个，两个或无，所以为有限集； 能被3整除的整数有无穷多个，所以组成的集合为无限集； 一年之中四个季节的名称为春季，夏季，秋季，冬季，所以组成的集合为有限集； 偶数组成的集合为无限集合； 所以有限集合共有2个， 故选：C. 5．（23-24高一上·广西南宁·期中）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4 【答案】B 【分析】根据构成集合元素的特征满足确定性、互异性判断各选项即可. 【详解】对于A，充分接近的所有实数不能满足集合元素的确定性，A不能； 对于B，所有的正方形可以构成一个集合，B能； 对于C，著名的数学家不能满足集合元素的确定性，C不能； 对于D，元素有重复，不满足集合元素的互异性，D不能. 故选：B 6．（24-25高一上·湖北·期中）下列说法正确的有（   ） A．10以内的质数组成的集合是 B．与是同一个集合 C．方程的解集是 D．集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 【答案】D 【分析】根据集合的概念和性质逐项判断即可. 【详解】选项A：10以内的质数组成的集合是，A说法错误； 选项B：表示空集，不含任何元素，所以与不是同一个集合，B说法错误； 选项C：由解得，根据集合中元素互异性可得方程的解集是，C说法错误； 选项D：根据集合中元素互异性可知互不相等，所以一定不是等腰三角形，D说法正确； 故选：D 二、多选题 7．（23-24高一上·浙江台州·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据常见集合的表示，以及集合与元素之间的关系注意判断即可. 【详解】对于A，因为不是自然数，所以A错误；对于B，因为0不是正整数，所以B正确； 对于C，因为不是有理数，所以C正确；对于D，因为不是有理数，所以D正确. 故选：BCD. 8．（24-25高一上·山东青岛·期中）定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（   ） A．的值域为 B．对任意，都有 C．存在无理数，对任意，都有 D．若，，则有 【答案】BD 【分析】由元素与常见集合的关系以及题目中的函数的定义即可判断各个选项. 【详解】因为实数分为有理数和无理数，所以由定义可知的值域为，故A 选项错误； 当时，，当时，，故，故B选项正确； 因为有理数加无理数一定为无理数，所以不存在无理数，对任意，都有，故C选择错误； 因为，则，因为，所以，所以D选择正确. 故选：BD 9．（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 【答案】CD 【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出和异号. 【详解】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误， 对于选项B，其中集合是数集，集合是点集， 所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误， 对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确， 对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即， 所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故选D正确， 故选：CD. 三、填空题 10．（23-24高一上·广东深圳·期中）用符号“”或“”填空：0 ； ；2.4 ； ；4 ． 【答案】 【分析】根据，和代表的数集，得到答案. 【详解】因为是自然数集，是有理数集，是整数集， 所以. 故答案为：. 11．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，则 【答案】 【分析】根据集合描述，应用列举法表示集合即可. 【详解】因为或或，所以. 故答案为： 12．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合，若，则实数的值为 【答案】/0.5 【分析】根据元素与集合的关系进行求解即可. 【详解】因为，， 所以或，解得或. 当时，，不符合元素的互异性，舍； 当时，，符合题意. 综上，. 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高一上·新疆·期中）用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据描述法的书写格式作答即可. 【详解】（1）解不等式得， 所以，原不等式的解集用描述法表示为. （2）所有的偶数组成的集合为. 14．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 【答案】 【分析】由题意，理解新定义，求得，通过定义，进而求得所有元素之和. 【详解】集合，则由定义可得，所以， 则可知所有元素的和为. 15．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为. 16．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据是空集，可知，解不等式组即可； （2）根据中只有一个元素，分和两种情况进行讨论. 【详解】（1）因为是空集，所以，即解得， 所以的取值范围为. （2）当时，集合，符合题意； 当时，即，解得，此时集合， 综上所述，的值为或， 当时，集合，当时，集合. 17．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 18．（23-24高一上·北京房山·期中）已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得，，从而可得，再分别求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）根据题意可得，, 所以. （2）令，且， 任取两个元素作和，可得：，共个， 任取两个元素作差，可得：，共个， 因此，，则有； 显然，当时，， 此时集合T中只有3个元素，因此， 对于是满足的任意4个实数， 必有， 显然，当时，集合S中只有5个元素， 因此，所以， 综上所述，的取值范围为. 19．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合的概念 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略集合中元素的互异性而致错 易错点二 不能正确理解集合的表示方法的致错 易错点三 不理解新定义的集合（运算）而致错 题型方法 题型一 集合的含义与元素的特征 题型二 元素与集合的关系 题型三 集合的表达方式 知识清单 知识点1 元素与集合的概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 知识点2 集合中元素的特征 1．集合中元素的特征：确定的，互不相同的，无序的． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． 知识点3 元素和集合之间的关系 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 注意点： (1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写． (2)0属于自然数集． 知识点4 用列举法表示集合 列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意点： (1)元素间用“，”隔开． (2)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可． (3)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5，…}． (4)这里集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． 知识点5 用描述法表示集合 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 注意点： (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． (5)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}． (6)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的，因为“{　}”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思． 易错分析 【易错点一】忽略集合中元素的互异性而致错 【例1】（24-25高一上·河北秦皇岛·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·广东东莞·期中）若，则x的可能值为（    ） A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2 【变式2】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【变式3】（22-23高一上·上海静安·期中）已知集合，若，求实数的值． 【易错点二】不能正确理解集合的表示方法的致错 【例2】（24-25高一上·广西玉林·期中）集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【变式3】（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 【易错点三】不理解新定义的集合（运算）而致错 【例3】（24-25高一上·海南三亚·期中）设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、都有，（表示两个数中的较小者），则的最大值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·湖南·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 【变式3】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，将中的每个元素都乘以，再求和．例如，则可求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和为 ．（填数值） 题型方法 【题型一】集合的含义与元素的特征 【例1】（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 解题技巧 (1)判断是否能够构成集合，关注能否满足确定性、互异性、无序性； (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知，若集合，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3】（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【题型二】元素与集合的关系 【例2】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 解题技巧 判断元素和集合关系的方法 直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可． 推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·福建宁德·期中）用符号“”或“”填空：（1）若为所有亚洲国家组成的集合，则泰国 ；（2） ， . 【变式3】（2022高一上·全国·专题练习）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【题型三】集合的表达方式 【例3】（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 用描述法表示集合的3个步骤 (1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示． (2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围． (3)用花括号括起来：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}．其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 2．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（23-24高一上·广西南宁·期中）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4 6．（24-25高一上·湖北·期中）下列说法正确的有（   ） A．10以内的质数组成的集合是 B．与是同一个集合 C．方程的解集是 D．集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 二、多选题 7．（23-24高一上·浙江台州·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东青岛·期中）定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（   ） A．的值域为 B．对任意，都有 C．存在无理数，对任意，都有 D．若，，则有 9．（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 三、填空题 10．（23-24高一上·广东深圳·期中）用符号“”或“”填空：0 ； ；2.4 ； ；4 ． 11．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，则 12．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合，若，则实数的值为 四、解答题 13．（23-24高一上·新疆·期中）用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 14．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 15．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 16．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合. 17．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 18．（23-24高一上·北京房山·期中）已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 19．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$