2.3　函数的奇偶性（1大考点+6大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

2.3　函数的奇偶性 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、函数的奇偶性 3 常用二级结论 3 03 探究核心题型 5 题型一：常见函数奇偶性的判断 5 题型二：抽象函数奇偶性的判断 7 题型三：中值模型 10 题型四：利用奇偶性求值(解析式) 12 题型五：利用奇偶性解不等式 13 题型六：求参数问题 16 04 好题赏析（一题多解） 19 05 数学思想方法 21 ①数形结合 21 ②转化与化归 24 ③分类讨论 26 06 课时精练（真题、模拟题） 28 基础过关篇 28 能力拓展篇 35 1、了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2、会依据函数的性质进行简单的应用. 一、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 常用二级结论 1、常用结论 ①奇偶函数四则运算与复合 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ②奇函数的定义域若包括0，则必有. ③为偶函数 ④若，且的定义域关于原点对称，则既是奇函数也是偶函数. ⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. ⑥的定义域关于原点对称，为偶函数，为奇函数，为偶函数. ⑦奇函数：；偶函数： ⑧若是偶函数，则奇次项系数为0. 若是奇函数，则偶次项系数为0. 2、常用奇偶函数模型 (1)奇函数模型 ①函数或函数. ②函数． ③函数或函数 ④函数或． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． (2)偶函数模型 ①函数； ②函数； ③函数类型的一切函数． 3、中值模型 基本模型：，其中为奇函数，为常数 （1） （2） 题型一：常见函数奇偶性的判断 【例1】（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于函数，定义域为，而，∴该函数不是奇函数.故A错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是偶函数，不是奇函数.故B错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为，不是.故C错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，值域为.故D正确. 故选:D. 【解题总结】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断与是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式((奇函数)或(偶函数))是否成立. 【变式1-1】下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，函数的定义域为， 因为，，故， 所以，函数不是奇函数，A不满足； 对于B选项，对于函数，由可得，解得， 所以，函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数， 因为内层函数在上单调递减， 外层函数为增函数，故函数在定义域上单调递减，B不满足； 对于C选项，函数的定义域为，， 故函数为偶函数，C不满足； 对于D选项，对任意的，，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 因为， 内层函数为增函数，外层函数在上为增函数， 所以，在定义域上为增函数，D满足. 故选：D. 【变式1-2】（2025·广东深圳·二模）已知函数（a为常数），则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为增函数 D．为减函数 【答案】B 【解析】对于A，首先求：已知， 若为奇函数，则恒成立，即恒成立. 因为恒成立，所以，解得，所以为奇函数，选项A错误. 对于B，接着求：已知， 若为偶函数，则恒成立，即恒成立. 因为不恒为，所以，解得，所以为偶函数，选项B正确.   对于C，D，对求导得. 当时，，，所以，则为增函数. 当时，令，即，则，，解得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以选项C、D错误.   故选：B. 【变式1-3】（2025·河北秦皇岛·三模）已知定义域为的函数不是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若是奇函数，则； 若不是奇函数，则． 故选：B． 题型二：抽象函数奇偶性的判断 【例2】（多选题）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】BCD 【解析】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确. 故选：BCD. 【解题总结】 性质法判断 【变式2-1】（多选题）设为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】， ， ， A，B，C均正确. ，D错误. 故选：ABC. 【变式2-2】（多选题）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 【答案】ABD 【解析】设， 因为，是定义在上，所以的定义域为， ，所以为偶函数，故A正确； 设， 因为是定义在上，所以的定义域为， ， 所以为奇函数，故B正确； 设， 因为，都是定义在上，所以定义域为， 因为为奇函数，为偶函数， 所以， 所以为偶函数，故C错误； 设， 因为，都是定义在上，所以定义域为， ， 因为是不恒为0的函数， 所以不恒成立， 所以不是奇函数， ， 因为是不恒为0的函数， 所以不恒成立， 所以不是偶函数， 所以是非奇非偶函数，故D正确. 故选:ABD. 【变式2-3】（多选题）已知函数的定义域为R，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABD 【解析】A选项，中，令得，，A正确； B选项，中，令得，， 解得，B正确； CD选项，中，令得，， 解得， 中，令得， ， 函数的定义域为R，故为偶函数，C错误，D正确. 故选：ABD 【变式2-4】（多选题）已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（    ） A．不是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．是奇函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】BC 【解析】令，得，令，得，则， 所以既是奇函数又是偶函数． 由，得， 因为，所以是奇函数． 故选：BC 题型三：中值模型 【例3】（2025·山东济南·三模）已知函数，则 ． 【答案】3 【解析】由题意有， 又，所以， 故答案为：3. 【解题总结】 ，其中为奇函数，为常数 （1） （2） 【变式3-1】已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【解析】由  ， 令，则， 所以函数在上为奇函数，则， 即，所以． 故答案为：2. 【变式3-2】若对于，，令，则在上的最大值和最小值之和为 【答案】 【解析】令，则，所以 令，则，所以为奇函数， 令，则， 所以， 所以为奇函数，在上的最大值与最小值的和为：， 所以. 故答案为： 【变式3-3】若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 . 【答案】4048 【解析】令得，所以， 令得，所以， 令，则，， 因为，又定义域关于原点对称，所以是奇函数， 所以，即，所以. 故答案为：4048 【变式3-4】已知，为导函数，若，则 ． 【答案】2025 【解析】因为，则， 所以，得， 又，故． 故答案为：2025． 题型四：利用奇偶性求值(解析式) 【例4】（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数为奇函数，即， 所以，可得①， 因为函数是偶函数，即， 所以，可得②， 联立①②可得，因此. 故选：C. 【解题总结】 利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. 【变式4-1】已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】令，， 依题意可得是奇函数，是偶函数， 则，， 即，解得， 则. 故选：B 【变式4-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知是定义域为的奇函数．若以点为圆心，半径为2的圆在轴上方的部分恰好是图像的一部分，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点为圆心，半径为2的圆的方程为， 则该圆在轴上方的部分的方程为， 由是定义域为奇函数，得， 当时，， 故选：D 【变式4-3】已知奇函数在上的解析式为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为奇函数在0处有定义， 所以， 所以在上的解析式为， 则， 又因为函数为奇函数， 所以. 故选：C 题型五：利用奇偶性解不等式 【例5】已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 【解题总结】 利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题. 【变式5-1】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，,因为， 所以， 由，则，所以为奇函数. 易知， 因为（当且仅当，即时等号成立）， （当且仅当，即时等号成立），所以，所以在上单调递增. 由，得，故， 所以， 即，令，求导得, 因为，所以恒成立，且，所以解，得：， 故选:B. 【变式5-2】（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当、且时，都有成立， 不妨设，则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 【变式5-3】（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，易知其定义域为， 由 ，则函数为偶函数， ， 由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 由，则，即， 整理可得，分解因式可得， 解得. 故选：A 【变式5-4】已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，解得，所以，即 ， 易得在上单调递增．因为，所以为奇函数． 又，故等价于， 则，解得. 故选：B. 题型六：求参数问题 【例6】（2025·安徽·三模）已知函数的图象关于原点对称，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】易知的定义域为，且是奇函数， 则对任意均成立， ， 即 解得． 故选：D. 【解题总结】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 【变式6-1】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】因为为奇函数，故，故， 所以即为偶函数，故， 故，故，， 而，故， 故选：A. 【变式6-2】（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意知：， 则， 化简为，则，解得． 故选：A． 【变式6-3】（2025·高三·广西·期中）若为奇函数，则实数的值等于（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【解析】，由，得或， 所以函数的定义域为， 因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，则，此时， ， 即，函数为奇函数，所以． 故选：C． 【变式6-4】若函数为偶函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】由题可得的定义域为. 因为为偶函数，所以其定义域关于原点对称，所以，. 所以，则， 因为对任意的，恒成立， 所以，所以. 故选：C. 1．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 法1：因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称． 由在上单调递减，得在上单调递增， 且，所以当或时，， 当时，等价于，或 即或解得或， 故选 法2：当时，，所以排除C；因为函数是偶函数， 所以的图象关于直线对称，又在上单调递减， 所以在上单调递增， 又，所以，，所以当时，，故排除A， 故选： 2．已知定义在R上的函数满足，的图象关于y轴对称．当时，对任意，满足，且，则      A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 方法一：因为的图象关于y轴对称，所以， 即有①又因为②，所以由①②得， 所以，所以，所以的最小期周期为 当时，对任意，，且， 令，则， 所以，所以当时， 所以 方法二特殊值法易知的最小正周期为见方法一解析 当时，对任意，有， 取，，则， 将代入，可得， 所以 故选 ①数形结合 1．已知函数，对任意，都有恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】函数，定义域为R， 且，所以函数为奇函数， 当时，函数， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，函数值恒为正， 且函数在上的最大值为， 所以函数的图象大致如下： 由对任意，都有恒成立， 即对任意，都有， ， 因为，所以，且， 结合图象可得， 即在上恒成立， 所以， 易知在上的最大值为3， ，当且仅当时等号成立， 则在上的最小值为4， 所以， 故选： 2．已知定义在R上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则a的值不可能是    A． B．2025 C． D．3 【答案】D  【解析】若，则函数在R上单调递增，又，所以，即恒成立，故满足题意，故排除选项 若，则，函数在R上不单调，图象如图所示，又，即，可理解为函数的图象在函数的图象下方，所以，即，令，则，， 故选： 3．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是    A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 定义在R上的奇函数在上单调递减，且，， 根据题意，画出函数示意图： 则等价于或 所以或 解得 故本题选： ②转化与化归 4．已知为奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为          ． 【答案】  【解析】因为，所以， 设，因为，所以， 则是增函数，且， 因为为奇函数，所以为奇函数，所以，， 不等式可转化为，即， 所以，即的解集为 故答案为： 5．已知函数，则不等式的解集是          ． 【答案】  【解析】 构造函数，则 是单调递增函数， 且向左移动一个单位得到， 的定义域为R，且， 所以为奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称． 不等式等价于， 等价于， 结合单调递增可知， ，所以不等式的解集是 故答案为： 6．设函数的最大值为M，最小值为m，则           ． 【答案】2  【解析】 显然函数的定义域为R 函数可化为， 令，定义域为R， 因为 则为奇函数， 的最大值与最小值的和为 函数的最大值与最小值的和为 即 故答案为： ③分类讨论 7．设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为          ． 【答案】  【解析】 令， 因为是定义在上的奇函数， 则， 故函数为偶函数， 因为对任意的，，，满足， 则在上为单调递增函数， 故在上为单调递减函数， 因为， 则， 所以， 当时，，即，所以； 当时，，即，所以 综上所述，不等式的解集为 故答案为： 8．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是          ． 【答案】  【解析】函数的定义域为R，且， 所以为偶函数，又当时，， 所以在上单调递增， 所以不等式对任意恒成立， 转化为，即， 所以且在R上恒成立， ①若在R上恒成立，则，解得 ②若在R上恒成立，则，解得， 综上所述，实数a的取值范围是 故答案为 9．已知函数为偶函数，则           ． 【答案】2  【解析】 因为函数是偶函数，所以有 ， 当 时，， 所以， 故，  ，  ， 从而有  故答案为： 基础过关篇 1．（2025·安徽·模拟预测）函数．若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为R，， 存在，函数为奇函数，则或， 当时，为奇函数，则函数是偶函数， 于是，解得，当时，，C符合，ABD不符合； 当时，，此时 或，当且仅当时为奇函数，与矛盾， 所以实数的值可以是. 故选：C 2．（2025·四川·三模）函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【解析】由题意可得，解得， 则. 故选：C 3．（2025·山东济南·二模）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】 因为时，单调递增， 又因为为偶函数，故可以做出的图像如图所示， 由图像可知，若，则或. 故选：C 4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以， 故选：A． 5．（2025·江西·模拟预测）函数是（   ） A．奇函数，且最大值为5 B．奇函数，且最小值为 C．偶函数，且最大值为5 D．偶函数，且最小值为 【答案】C 【解析】因为，所以是偶函数，故AB错误； 又因为， 令（），， 则在上单调递减，， 故选：C. 6．（2025·江西·模拟预测）已知函数同时满足以下三个条件：①在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③在内单调递增．函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项中的四个函数对应的大致图象如图下图所示． 对于选项A：在区间不单调，故A错误； 对于选项B：没有零点，故B错误； 对于选项C：是奇函数，有3个零点，在上单调递增，故C正确； 对于选项D：有2个零点，故D错误. 故选：C 7．（2025·安徽·三模）已知函数，，若下图是函数图象的一部分，则可能等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，，所以不合题意，排除C； 定义域内没有，不合题意，排除D； 当时，，故B错误； 故选:A. 8．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是奇函数，则可化为． 又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减． 则，解得或， 即实数a的取值范围是． 故选：C 9．（2025·天津河西·二模）已知函数是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是偶函数，且，则， 故. 故选：D. 10．（2025·江西·二模）已知函数，是偶函数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由是偶函数，得， 展开并整理得：， 根据二倍角公式得：， 整理得：，结合，得， 代入，，则 ， 利用积化和差公式： 化简得：， 当时，取得最大值. 故选：B 11．（多选题）（2025·云南曲靖·二模）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设，，， 对于A项，易知定义域为R， 且，所以为偶函数. 根据二次函数的性质可知，在上单调递增.故A正确； 对于B项，定义域为R， 且，所以不是偶函数.故B错误； 对于C项，定义域为， 且. 当时，在上单调递增.故C正确； 对于D项，定义域为， 且，所以为奇函数.故D错误. 故选：AC. 12．（多选题）（2025·湖南·模拟预测）若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【解析】函数的定义域都为， 对于A，因为，所以是偶函数，故A正确； 对于B，因为为奇函数，所以，则是偶函数，故B正确； 对于C，因为偶函数，则，即是偶函数，故C错误； 对于D，因，则为偶函数，又因为为奇函数，则是奇函数，故D正确. 故选：ABD. 13．（多选题）（2025·山东菏泽·一模）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 【答案】ABD 【解析】对于B：令，由题设可知，故是奇函数.故B正确； 对于A：又的定义域为R，所以，故A正确. 对于C：不妨取，则满足，且，故C错误. 对于D：令，则；令，则， 故，故D正确. 故选:ABD 14．（多选题）（2025·江苏盐城·三模）已知函数是奇函数，且，则（    ） A． B． C．在R上单调递增 D．若对任意实数，不等式恒成立，则 【答案】ACD 【解析】对于A、B，由已知可得，， 又函数为奇函数， 所以有， 即， 所以有， 所以有，解得. 当时，有， 此时有，不满足题意； 当时，有， 此时有，满足题意. 故.故A正确，B错误； 对于C项，，定义域为R. 当时，易知函数，在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增； 而为奇函数，故在R上单调递增.故C正确； 对于D项，由已知结合C项可知，在R上单调递增，且为奇函数， 所以由可得， ， 所以有， 所以有在R上恒成立. 易知，当时，取得最小值为. 要使在R上恒成立， 所以.故D正确. 故选：ACD. 15．（2025·广东茂名·二模）已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是 .（写出一个满足条件的函数即可） 【答案】(答案不唯一) 【解析】根据题意只要函数是上单调递增的奇函数即可符合题意，所以，即可以是， 故答案为：(答案不唯一). 16．（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 【答案】 【解析】因为函数为偶函数， 而是偶函数，是奇函数， 所以为奇函数， ，得； 若，函数，定义域为,不关于原点对称，函数不是偶函数， 若，代入验证符合题意. 故答案为： 能力拓展篇 17．（2025·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，则 . 【答案】 【解析】因为，所以. 令，则的定义域为，且，所以为奇函数.又因为，所以在上单调递增. 令，则，故，即，则， 故. 故答案为：. 18．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 【答案】 【解析】当时，，，； 当时，，，；当时，， 因此函数为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递减，则， 于是，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 19．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数是偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ．（用区间表示） 【答案】 【解析】当时，， 则不等式可化为或， 解之得或，即， 又函数是偶函数，则当时， 由不等式可得，. 综上，不等式的解集为. 故答案为： . 20．（2025·甘肃白银·二模）已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则 . 【答案】/ 【解析】因为①， 所以 由题意可化简②， ①-②可得，所以. 又③，④， ③+④可得，即. 故答案为： 21．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由是定义在上的奇函数，得， 是上的偶函数，由，得， 则，由在上递增，得在上递减， 当时，，不等式成立，因此； 当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 22．（2025·山东·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵是奇函数，是偶函数，在中， 用去代换x，得， ∴，，∵， ∴由，可得， 令，则在上单调递增． 若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向上，符合题意； 若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向下， 则需，即；若，则在上单调递增，符合题意． 综上，． 故答案为：. 23．（2025·宁夏银川·二模）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意可得函数在上单调递减，，， 则当时，，当时，， 由，则，解得， 由，则，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 24．（2025·全国·一模）已知函数，则的解集为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 当时，，得，在上单调递减， 当时，，得，在上单调递增， 又 ，故为上的偶函数， 故等价于， 即，两边平方解得或. 所以不等式解集为， 故答案为： 25．（2025·湖南·二模）若函数，，若，为偶函数，则 .若为奇函数，则 . 【答案】 ， ， 【解析】当时，， 若为偶函数，则， ， 整理得恒成立， 恒成立， 因此，， 若为奇函数，则，即 整理得： ， 因此，此时，. 故答案为：. 26．（2025·陕西西安·二模）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于函数是定义在上的偶函数， 所以的图象关于对称， 且在上的单调递增，在区间上单调递减. 由， 得， 所以， 所以，即， 所以. 故答案为： 27/27 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3　函数的奇偶性 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、函数的奇偶性 3 常用二级结论 3 03 探究核心题型 5 题型一：常见函数奇偶性的判断 5 题型二：抽象函数奇偶性的判断 5 题型三：中值模型 6 题型四：利用奇偶性求值(解析式) 7 题型五：利用奇偶性解不等式 8 题型六：求参数问题 8 04 好题赏析（一题多解） 10 05 数学思想方法 11 ①数形结合 11 ②转化与化归 11 ③分类讨论 12 06 课时精练（真题、模拟题） 13 基础过关篇 13 能力拓展篇 15 1、了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2、会依据函数的性质进行简单的应用. 一、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 常用二级结论 1、常用结论 ①奇偶函数四则运算与复合 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ②奇函数的定义域若包括0，则必有. ③为偶函数 ④若，且的定义域关于原点对称，则既是奇函数也是偶函数. ⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. ⑥的定义域关于原点对称，为偶函数，为奇函数，为偶函数. ⑦奇函数：；偶函数： ⑧若是偶函数，则奇次项系数为0. 若是奇函数，则偶次项系数为0. 2、常用奇偶函数模型 (1)奇函数模型 ①函数或函数. ②函数． ③函数或函数 ④函数或． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． (2)偶函数模型 ①函数； ②函数； ③函数类型的一切函数． 3、中值模型 基本模型：，其中为奇函数，为常数 （1） （2） 题型一：常见函数奇偶性的判断 【例1】（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断与是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式((奇函数)或(偶函数))是否成立. 【变式1-1】下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·广东深圳·二模）已知函数（a为常数），则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为增函数 D．为减函数 【变式1-3】（2025·河北秦皇岛·三模）已知定义域为的函数不是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型二：抽象函数奇偶性的判断 【例2】（多选题）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【解题总结】 性质法判断 【变式2-1】（多选题）设为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选题）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 【变式2-3】（多选题）已知函数的定义域为R，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【变式2-4】（多选题）已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（    ） A．不是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．是奇函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 题型三：中值模型 【例3】（2025·山东济南·三模）已知函数，则 ． 【解题总结】 ，其中为奇函数，为常数 （1） （2） 【变式3-1】已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【变式3-2】若对于，，令，则在上的最大值和最小值之和为 【变式3-3】若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 . 【变式3-4】已知，为导函数，若，则 ． 题型四：利用奇偶性求值(解析式) 【例4】（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. 【变式4-1】已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C． D．0 【变式4-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知是定义域为的奇函数．若以点为圆心，半径为2的圆在轴上方的部分恰好是图像的一部分，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知奇函数在上的解析式为，则（    ） A． B． C． D． 题型五：利用奇偶性解不等式 【例5】已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题. 【变式5-1】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型六：求参数问题 【例6】（2025·安徽·三模）已知函数的图象关于原点对称，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解题总结】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 【变式6-1】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式6-2】（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式6-3】（2025·高三·广西·期中）若为奇函数，则实数的值等于（    ） A．－1 B． C． D．1 【变式6-4】若函数为偶函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 1．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知定义在R上的函数满足，的图象关于y轴对称．当时，对任意，满足，且，则      A． B． C． D． ①数形结合 1．已知函数，对任意，都有恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知定义在R上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则a的值不可能是    A． B．2025 C． D．3 3．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是    A． B． C． D． ②转化与化归 4．已知为奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为          ． 5．已知函数，则不等式的解集是          ． 6．设函数的最大值为M，最小值为m，则           ． ③分类讨论 7．设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为          ． 8．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是          ． 9．已知函数为偶函数，则           ． 基础过关篇 1．（2025·安徽·模拟预测）函数．若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·三模）函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．4 D．6 3．（2025·山东济南·二模）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 5．（2025·江西·模拟预测）函数是（   ） A．奇函数，且最大值为5 B．奇函数，且最小值为 C．偶函数，且最大值为5 D．偶函数，且最小值为 6．（2025·江西·模拟预测）已知函数同时满足以下三个条件：①在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③在内单调递增．函数可以是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽·三模）已知函数，，若下图是函数图象的一部分，则可能等于（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·天津河西·二模）已知函数是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·江西·二模）已知函数，是偶函数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 11．（多选题）（2025·云南曲靖·二模）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2025·湖南·模拟预测）若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 13．（多选题）（2025·山东菏泽·一模）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 14．（多选题）（2025·江苏盐城·三模）已知函数是奇函数，且，则（    ） A． B． C．在R上单调递增 D．若对任意实数，不等式恒成立，则 15．（2025·广东茂名·二模）已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是 .（写出一个满足条件的函数即可） 16．（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 能力拓展篇 17．（2025·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，则 . 18．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 19．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数是偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ．（用区间表示） 20．（2025·甘肃白银·二模）已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则 . 21．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 . 22．（2025·山东·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 ． 23．（2025·宁夏银川·二模）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 24．（2025·全国·一模）已知函数，则的解集为 . 25．（2025·湖南·二模）若函数，，若，为偶函数，则 .若为奇函数，则 . 26．（2025·陕西西安·二模）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是 ． 27/27 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$