第二章 第9课时　专题强化：动态平衡和临界、极值问题（知识点梳理+分层练习）-【2026年高考物理一轮复习讲义·学霸专练】（新高考通用）

第二章相互作用 第9课时　专题强化：动态平衡和临界、极值问题 目录 考点一　动态平衡问题 1 1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 1 2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 3 3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 4 考点二　平衡中的临界、极值问题 6 1.临界问题 6 2.极值问题 6 3.解题方法 6 【限时训练】（限时：60分钟） 8 【考情分析·探规律】 考 情 分 析 知识点 年份 试卷及题号 动态平衡和临界、极值问题 2024 2024·重庆 2023 山东卷 T2 2022 2022·河北、2022·湖南、2022·浙江 2021 广东卷 T11 试 题 情 境 生活实践类 生活中的摩擦力的应用，索桥、千斤顶、刀、木楔的工作原理 学习探究类 探究弹簧弹力与形变量的关系，探究两个互成角度的力的合成规律，共点力平衡条件及应用，平衡中的临界问题 【知识梳理】 考点一　动态平衡问题 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 矢量三角形法:其中一个力大小方向固定，另一个力方向固定，第三个力大小方向均不固定 水平拉力F逐渐增大，绳的拉力也逐渐增大 挡板对球的作用力F1先减小后增大，斜面对球的支持力F2逐渐减小 相似三角形法:矢量三角形与几何三角形相似 辅助圆法: (1)一个力大小、方向固定，另两个力间的夹角固定。 (2)一个力大小、方向固定，另一个力大小固定，第三个力大小、方向均不固定 正弦定理 1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 (1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 (2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 【小试牛刀】 【典例】1.如图所示，装有足球的轻网兜系在钉子上，墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后，则(　　) A．网绳上的拉力变小 B．网绳上的拉力不变 C．墙壁对足球的支持力变大 D．墙壁对足球的支持力不变 【答案】C 【解析】方法一：解析法 对足球受力分析如图所示： 设网绳与竖直方向的夹角为θ，将网绳在钉子上多绕几圈后，绳子长度减小，θ增大，由平衡条件可得G＝FT2＝FTcos θ，网绳的拉力FT随着θ的增大而增大，A、B错误；由平衡条件可得FN＝FT1＝FTsin θ，解得FN＝Gtan θ，所以墙壁对足球的支持力随着θ的增大而增大，C正确，D错误。 方法二：图解法 把三力放在一个矢量三角形中，如图所示，当网绳长度减小时，θ增大，矢量三角形中，随着θ角增大，FT变大，FN变大，故C正确。 2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：＝＝。 【小试牛刀】 【典例】1.(2025·山东烟台市龙口市校考)如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有小滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用轻质钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　) A.大小不变 B.逐渐增大 C.先增大后减小 D.先减小后增大 【答案】A 【解析】以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，G、FN的合力F合与F大小相等、方向相反。 根据三角形相似得，得FN＝ G ∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，则FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A。 3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 【典例】2.如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐减小 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 【答案】D 【解析】方法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以D正确，A、B、C错误。 方法二：正弦定理 把三力F1、F2、G放在一个矢量三角形中，如图所示 根据正弦定理有＝＝ 易证明∠3＋∠α＝180°，∠2＋∠γ＝180°，∠1＋∠β＝180°，故有＝＝ 在OM由竖直被拉到水平的过程中，α角保持不变，β由钝角减小至90°，γ由锐角增大至钝角，故可判断F1逐渐增大，F2先增大后减小，故D正确。 【解题技巧】 分析动态平衡问题的流程 受力分析画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形 考点二　平衡中的临界、极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好伸直，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 极限法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学分析法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) 物理分析法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 【小试牛刀】 【典例】1.如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对光滑球体受力分析如图甲所示 根据平衡条件可得 FN2cos θ＝mg， 对支架受力分析如图乙所示 根据牛顿第三定律可知FN3＝FN2，对支架由平衡条件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，Ff＝FN3sin θ，又达到最大静摩擦力时Ff＝μFN4， 联立以上各式解得μ＝，可知支架和地面间的动摩擦因数至少为，故选D。 【典例】2.(2025·山东烟台市开学考)如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2。求所需拉力F的最小值。 【答案】2 N 【解析】方法一　三角函数法 设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得F＝(其中sin β＝)，当θ＝－β时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin＝＝2 N。 方法二　利用“摩擦角”法 设FN与Ff的合力与FN方向的夹角为α，则tan α＝＝μ ① 再设FN与Ff的合力为F'。 如图所示，当拉力F与F'垂直时有最小值 即Fmin＝mgsin α ② 由①②得Fmin＝2 N。 【解题技巧】 在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。【典例】如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α＝＝μ，则Fmin＝mgsin α，此时θ＝α。 【限时训练】（限时：60分钟） 【基础必刷题】1~7题每小题7分，共49分 1.如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态。若用两段更长的等长细绳重新将书拴住，两环位置不变。环与书本仍处于静止状态，则横杆对A环的作用力与原来相比(　　) A．大小不变、方向不变 B．大小减小、方向改变 C．大小减小、方向不变 D．大小增大、方向改变 【答案】B 【解析】杆对环的作用力包括支持力和摩擦力，根据环受力平衡可知，两者的合力大小与绳的拉力大小相等，设书本质量为m，细绳与竖直方向间的夹角为θ，绳的拉力大小F＝＝，用更长的等长细绳重新将书拴住，θ减小，cos θ增大，拉力大小减小，方向改变，故B正确。 2．如图甲所示，笔记本电脑支架一般有多个卡位用来调节角度，某人将电脑放在该支架上，由卡位4缓慢调至卡位1(如图乙)，电脑与支架始终处于相对静止状态，则(　　) 　 A．电脑受到的支持力变大 B．电脑受到的摩擦力变大 C．支架对电脑的作用力减小 D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力大小 【答案】A 【解析】根据题意，电脑始终处于平衡状态，对电脑受力分析，如图所示，由平衡条件可得，电脑受到的支持力大小为FN＝Gcos θ 电脑受到的摩擦力大小Ff＝Gsin θ 由卡位4缓慢调到卡位1，θ减小，故FN增大，Ff减小，故B错误，A正确。 支架对电脑的作用力即为电脑受到的支持力与摩擦力的合力，支持力与摩擦力的合力大小等于电脑的重力，保持不变，根据“三角形两边之和大于第三边”可知，电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和大于其重力大小，C、D错误。 3．抖空竹是我国传统文化中一株灿烂的花朵，既极具观赏性，又可健身。如图甲所示，若抖空竹者保持一只手不动，另一只手沿图乙中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和绳子间的摩擦力，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是(　　) A．沿虚线a向左移动时，细线的拉力将增大 B．沿虚线b向上移动时，细线的拉力将减小 C．沿虚线c斜向上移动时，细线的拉力将增大 D．沿虚线d向右移动时，细线的拉力将减小 【答案】C 【解析】对空竹受力分析如图所示： 由平衡条件有2Fsin θ＝mg 若设绳长为L，由几何关系可知cos θ＝ 当B沿虚线a缓慢向左移动时，dAB减小，cos θ减小，sin θ增大，F将减小，A错误； 同理可知当沿虚线d向右移动时，dAB增大，cos θ增大，sin θ减小，F将增大，D错误； 当沿虚线b向上移动时，dAB不变，cos θ不变，sin θ不变，F不变，B错误； 当沿虚线c斜向上移动时，dAB增大，cos θ增大，sin θ减小，F将增大，C正确。 4．如图所示，某健身者右手拉着抓把沿水平方向从图示位置B缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中(　　) A．绳子的拉力逐渐增大 B．该健身者所受合力逐渐减小 C．该健身者对地面的压力逐渐减小 D．该健身者对地面的摩擦力逐渐增大 【答案】D 【解析】由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg，A、B错误；对健身者受力分析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有FTsin θ＋FN＝Mg，又有FT＝mg，可得FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，则有FTcos θ＝Ff，当从B缓慢移到A时，θ角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确。 5.在水平外力F的作用下，A、B两个圆柱体按如图所示的方式分别放在水平地面、靠在竖直墙面，将A缓慢向右移动一小段距离(B未与地面接触)，不计一切摩擦，则在此过程中，关于水平地面对A的弹力FN1、竖直墙面对B的弹力FN2，下列说法正确的是(　　) A．FN1不变，FN2变大 B．FN1变小，FN2变大 C．FN1变大，FN2变小 D．FN1不变，FN2变小 【答案】A 【解析】以圆柱体B为研究对象，分析受力如图所示 当将A缓慢向右移动一小段距离，F1与竖直方向的夹角增大，由图看出墙对B的弹力FN2增大；以圆柱体A、B整体为研究对象，根据平衡条件，在竖直方向有FN1＝(mA＋mB)g，当将A缓慢向右移动一小段距离，水平地面对A的弹力FN1不变，故A正确，B、C、D错误。 6.如图所示，物体甲放置在水平地面上，通过跨过光滑定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个系统处于静止状态。现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲保持静止，甲受到地面的摩擦力为Ff，则该过程中(　　) A．Ff变小，F变大 B．Ff变小，F变小 C．Ff变大，F变小 D．Ff变大，F变大 【答案】D 【解析】以小球乙为研究对象受力分析，设绳与竖直方向的夹角为α，根据平衡条件可得，水平拉力F＝mgtan α，夹角α逐渐增大，则水平拉力F逐渐增大，绳子的拉力为FT＝，故绳子的拉力逐渐增大；以物体甲为研究对象受力分析，根据平衡条件可得，物体甲受到的地面的摩擦力与绳子拉力水平方向的分力等大反向，Ff＝FTcos θ＝，逐渐增大，故选D。 7.(2025·山东济宁市开学考)一轻质杆两端分别固定有质量均为m的小球A、B，两小球由细线OE、FC悬挂于水平天花板及竖直墙壁上，如图所示。OE和FC的拉力分别用F1和F2表示，初始时，F1与竖直方向的夹角θ=30°，F2水平，重力加速度为g。现保持A球位置不变，将细线FC的C端缓慢上移至FC与水平方向成α=60°角的位置的过程中，下列说法正确的是(　　) A.F1一直减小且减小了mg B.F2一直减小且减小了mg C.F2先减小后增大，其最小值为mg D.轻杆的弹力一直减小，其最小值为mg 【答案】D 【解析】取两小球及轻杆整体为研究对象，整体受重力2mg、细线OE的拉力F1及细线FC的拉力F2作用处于平衡状态。此三力满足图甲所示关系，当C端缓慢上移时，由图知细线OE的拉力一直减小，最初其大小为F1==mg，移动后其大小为F1'==mg，减小了mg，故A错误；由图甲知细线FC的拉力先减小后增大，其最小值为F2min=2mgsin 30°=mg，故B、C错误；取A球为研究对象，其所受重力、细线OE的拉力F1及轻杆的弹力F满足图乙所示关系，因为末态时OE的拉力大小为mg=，所以最后杆的弹力正好沿水平方向，由图乙知杆的弹力一直在减小，最小值为F'=mgtan 30°=mg，故D正确。 【巩固必刷题】8~11题每小题10分，共40分 8.(多选)如图，一斜面粗糙的斜面体置于粗糙地面上，斜面顶端装有一光滑轻质定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，M与滑轮间细绳与斜面平行，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M与斜面体始终保持静止，则在此过程中(　　) A.水平拉力的大小可能保持不变 B.M所受细绳的拉力大小一定一直增大 C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增大 D.斜面体所受地面的摩擦力一定增大 【答案】BD 【解析】方法一　图解法 对N进行受力分析，因为N的重力与水平拉力F的合力和细绳的拉力FT是一对平衡力，在力的矢量三角形中(如图甲所示)可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，选项A错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMgsin θ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若mNg<mMgsin θ，则M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大，选项C错误；对整体受力分析，可知斜面所受地面摩擦力等于水平拉力F，一定增大，选项D正确。 方法二　解析法 以物块N为研究对象，受到重力G、水平拉力F和细绳的拉力FT，设细绳与竖直方向的夹角为α，如图乙所示，根据平衡条件可得F=Gtan α，FT=，随着α的增大，F和FT都增大，故A错误，B正确；对于M，受重力GM、支持力FN、绳的拉力FT以及斜面可能对它的摩擦力Ff，如果开始摩擦力方向沿斜面向上，如图丙所示，则有FT+Ff=GMsin θ，当FT不断增大的时候，Ff减小；当FT>GMsin θ时，有FT=GMsin θ+Ff，随着FT的增大，Ff将增大，所以沿斜面的摩擦力Ff可能先减小后增大，C错误；对整体受力分析，可知斜面体所受地面摩擦力等于水平拉力F，一定增大，选项D正确。 9.如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加拉力F使重环从A点缓慢上升到B点。设杆对重环的弹力大小为FN，整个装置处于同一竖直平面内，在此过程中(　　) A.F逐渐增大，FN逐渐增大 B.F逐渐增大，FN先减小后增大 C.F先减小后增大，FN逐渐增大 D.F先减小后增大，FN先减小后增大 【答案】B 【解析】由题意知，轻绳对重环的拉力和杆对环的弹力的合力与重力等大反向，受力分析并构建力的矢量三角形如图所示，由图可知，在拉力到达竖直方向前，与竖直方向的夹角越来越小，拉力F增大，FN减小，拉力经过竖直方向后，与竖直方向夹角又逐渐变大，拉力F继续增大，FN也增大，B正确。 10.小李发现小区的消防通道被一质量为m的石墩挡住了，为了移开石墩小李找来一根结实的绳子，将绳的一端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为θ，小李对绳施加的最大拉力为0.6mg，g为重力加速度，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是(　　) A.无论θ取何值，小李都不可能拖动石墩 B.小李能拖动石墩，且当θ=时最省力 C.小李能拖动石墩，且当θ=时最省力 D.小李能拖动石墩，且当θ=时最省力 【答案】C 【解析】对石墩进行受力分析如图所示 Fcos θ=μFN FN+Fsin θ=mg 解得2F(cos θ+sin θ)=mg 即F=，可解得，当θ=时，F最小为0.5mg，故小李能拖动石墩，且当θ=时最省力，故选C。 11.(多选)(2025·山东菏泽市段考)如图所示，一倾角θ=30°的斜面体固定于水平地面上，一质量m=1.0 kg的小物块恰好能够静止于斜面上。若给物块施加一平行于斜面且与斜面内的水平虚线成α=60°角的推力F，在推力F由0逐渐增大的过程中，小物块始终保持静止，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　) A.小物块与斜面之间的动摩擦因数为 B.小物块所受的静摩擦力逐渐减小 C.小物块所受静摩擦力的最小值为2.5 N D.推力F的最大值为5 N 【答案】ACD 【解析】质量m=1.0 kg的小物块恰好能够静止于斜面上，则有mgsin θ=μmgcos θ，解得μ=，故A正确；小物块始终处于静止状态，对小物块受力分析可知，沿斜面方向受力平衡，根据力的平行四边形定则可知静摩擦力先减小后增大，故B错误；当静摩擦力与推力垂直时，静摩擦力最小，为Ffmin=mgsin 30°×sin 30°=2.5 N，故C正确；当静摩擦力达到滑动摩擦力时，推力F最大，根据几何关系可知Fmax=2mgsin 30°×cos 30°=5 N，故D正确。 【尖子拔高题】(11分) 12.(多选)(2024·山东省一模)粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一个质量为2m的物块B，B通过平行于斜面的轻绳绕过定滑轮P与结点O连接，结点处悬挂一质量为m的小球A。初始时OP间轻绳水平，拉力F与OP绳的夹角α=135°，如图所示。现让拉力F顺时针缓慢转动90°且保持α大小不变，转动过程B、C始终保持静止。下列说法正确的是(　　) A.拉力F一直减小 B.绳对B的拉力一直增大 C.B、C间的摩擦力先增大后减小 D.物体C对地面的压力先增大后减小 【答案】AC 【解析】对题图右侧结点处受力分析，α角大小不变，可以使用辅助圆方法判断力的动态变化情况，如图所示，通过分析可得绳子拉力FT先增大后减小，拉力F一直减小，故A正确，B错误；初始状态，对O分析可得绳子拉力大小为FT=mg，对B分析，可发现FT=2mgsin 30°，即一开始B与C间的静摩擦力为零，故当绳子拉力FT从mg先增大后减小到mg，B、C间的静摩擦力方向一直沿斜面向下且先增大后减小，故C正确；将B、C看成整体，竖直方向有FN地+FTsin 30°=(2m+M)g，由于FT先增大后减小，故FN地先减小后增大，即物体C对地面的压力先减小后增大，故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章相互作用 第9课时　专题强化：动态平衡和临界、极值问题 目录 考点一　动态平衡问题 1 1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 1 2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 2 3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 3 考点二　平衡中的临界、极值问题 4 1.临界问题 4 2.极值问题 4 3.解题方法 5 【限时训练】（限时：60分钟） 6 【考情分析·探规律】 考 情 分 析 知识点 年份 试卷及题号 动态平衡和临界、极值问题 2024 2024·重庆 2023 山东卷 T2 2022 2022·河北、2022·湖南、2022·浙江 2021 广东卷 T11 试 题 情 境 生活实践类 生活中的摩擦力的应用，索桥、千斤顶、刀、木楔的工作原理 学习探究类 探究弹簧弹力与形变量的关系，探究两个互成角度的力的合成规律，共点力平衡条件及应用，平衡中的临界问题 【知识梳理】 考点一　动态平衡问题 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 矢量三角形法:其中一个力大小方向固定，另一个力方向固定，第三个力大小方向均不固定 水平拉力F逐渐增大，绳的拉力也逐渐增大 挡板对球的作用力F1先减小后增大，斜面对球的支持力F2逐渐减小 相似三角形法:矢量三角形与几何三角形相似 辅助圆法: (1)一个力大小、方向固定，另两个力间的夹角固定。 (2)一个力大小、方向固定，另一个力大小固定，第三个力大小、方向均不固定 正弦定理 1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 (1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 (2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 【小试牛刀】 【典例】1.如图所示，装有足球的轻网兜系在钉子上，墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后，则(　　) A．网绳上的拉力变小 B．网绳上的拉力不变 C．墙壁对足球的支持力变大 D．墙壁对足球的支持力不变 2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：＝＝。 【小试牛刀】 【典例】1.(2025·山东烟台市龙口市校考)如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有小滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用轻质钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　) A.大小不变 B.逐渐增大 C.先增大后减小 D.先减小后增大 3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 【典例】2.如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐减小 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 【答案】D 【解析】方法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以D正确，A、B、C错误。 方法二：正弦定理 把三力F1、F2、G放在一个矢量三角形中，如图所示 根据正弦定理有＝＝ 易证明∠3＋∠α＝180°，∠2＋∠γ＝180°，∠1＋∠β＝180°，故有＝＝ 在OM由竖直被拉到水平的过程中，α角保持不变，β由钝角减小至90°，γ由锐角增大至钝角，故可判断F1逐渐增大，F2先增大后减小，故D正确。 考点二　平衡中的临界、极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好伸直，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 极限法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学分析法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) 物理分析法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 【小试牛刀】 【典例】1.如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　) A. B. C. D. 【典例】2.(2025·山东烟台市开学考)如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2。求所需拉力F的最小值。 【限时训练】（限时：60分钟） 【基础必刷题】1~7题每小题7分，共49分 1.如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态。若用两段更长的等长细绳重新将书拴住，两环位置不变。环与书本仍处于静止状态，则横杆对A环的作用力与原来相比(　　) A．大小不变、方向不变 B．大小减小、方向改变 C．大小减小、方向不变 D．大小增大、方向改变 2．如图甲所示，笔记本电脑支架一般有多个卡位用来调节角度，某人将电脑放在该支架上，由卡位4缓慢调至卡位1(如图乙)，电脑与支架始终处于相对静止状态，则(　　) 　 A．电脑受到的支持力变大 B．电脑受到的摩擦力变大 C．支架对电脑的作用力减小 D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力大小 3．抖空竹是我国传统文化中一株灿烂的花朵，既极具观赏性，又可健身。如图甲所示，若抖空竹者保持一只手不动，另一只手沿图乙中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和绳子间的摩擦力，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是(　　) A．沿虚线a向左移动时，细线的拉力将增大 B．沿虚线b向上移动时，细线的拉力将减小 C．沿虚线c斜向上移动时，细线的拉力将增大 D．沿虚线d向右移动时，细线的拉力将减小 4．如图所示，某健身者右手拉着抓把沿水平方向从图示位置B缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中(　　) A．绳子的拉力逐渐增大 B．该健身者所受合力逐渐减小 C．该健身者对地面的压力逐渐减小 D．该健身者对地面的摩擦力逐渐增大 5.在水平外力F的作用下，A、B两个圆柱体按如图所示的方式分别放在水平地面、靠在竖直墙面，将A缓慢向右移动一小段距离(B未与地面接触)，不计一切摩擦，则在此过程中，关于水平地面对A的弹力FN1、竖直墙面对B的弹力FN2，下列说法正确的是(　　) A．FN1不变，FN2变大 B．FN1变小，FN2变大 C．FN1变大，FN2变小 D．FN1不变，FN2变小 6.如图所示，物体甲放置在水平地面上，通过跨过光滑定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个系统处于静止状态。现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲保持静止，甲受到地面的摩擦力为Ff，则该过程中(　　) A．Ff变小，F变大 B．Ff变小，F变小 C．Ff变大，F变小 D．Ff变大，F变大 7.(2025·山东济宁市开学考)一轻质杆两端分别固定有质量均为m的小球A、B，两小球由细线OE、FC悬挂于水平天花板及竖直墙壁上，如图所示。OE和FC的拉力分别用F1和F2表示，初始时，F1与竖直方向的夹角θ=30°，F2水平，重力加速度为g。现保持A球位置不变，将细线FC的C端缓慢上移至FC与水平方向成α=60°角的位置的过程中，下列说法正确的是(　　) A.F1一直减小且减小了mg B.F2一直减小且减小了mg C.F2先减小后增大，其最小值为mg D.轻杆的弹力一直减小，其最小值为mg 【巩固必刷题】8~11题每小题10分，共40分 8.(多选)如图，一斜面粗糙的斜面体置于粗糙地面上，斜面顶端装有一光滑轻质定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，M与滑轮间细绳与斜面平行，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M与斜面体始终保持静止，则在此过程中(　　) A.水平拉力的大小可能保持不变 B.M所受细绳的拉力大小一定一直增大 C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增大 D.斜面体所受地面的摩擦力一定增大 9.如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加拉力F使重环从A点缓慢上升到B点。设杆对重环的弹力大小为FN，整个装置处于同一竖直平面内，在此过程中(　　) A.F逐渐增大，FN逐渐增大 B.F逐渐增大，FN先减小后增大 C.F先减小后增大，FN逐渐增大 D.F先减小后增大，FN先减小后增大 10.小李发现小区的消防通道被一质量为m的石墩挡住了，为了移开石墩小李找来一根结实的绳子，将绳的一端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为θ，小李对绳施加的最大拉力为0.6mg，g为重力加速度，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是(　　) A.无论θ取何值，小李都不可能拖动石墩 B.小李能拖动石墩，且当θ=时最省力 C.小李能拖动石墩，且当θ=时最省力 D.小李能拖动石墩，且当θ=时最省力 11.(多选)(2025·山东菏泽市段考)如图所示，一倾角θ=30°的斜面体固定于水平地面上，一质量m=1.0 kg的小物块恰好能够静止于斜面上。若给物块施加一平行于斜面且与斜面内的水平虚线成α=60°角的推力F，在推力F由0逐渐增大的过程中，小物块始终保持静止，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　) A.小物块与斜面之间的动摩擦因数为 B.小物块所受的静摩擦力逐渐减小 C.小物块所受静摩擦力的最小值为2.5 N D.推力F的最大值为5 N 【尖子拔高题】(11分) 12.(多选)(2024·山东省一模)粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一个质量为2m的物块B，B通过平行于斜面的轻绳绕过定滑轮P与结点O连接，结点处悬挂一质量为m的小球A。初始时OP间轻绳水平，拉力F与OP绳的夹角α=135°，如图所示。现让拉力F顺时针缓慢转动90°且保持α大小不变，转动过程B、C始终保持静止。下列说法正确的是(　　) A.拉力F一直减小 B.绳对B的拉力一直增大 C.B、C间的摩擦力先增大后减小 D.物体C对地面的压力先增大后减小 学科网（北京）股份有限公司 $$