22.1 平行四边形的性质（2）课件 2024—2025学年冀教版八年级数学下册

平行四边形的性质（2） 22.1 学习目标 根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明. 掌握平行四边形对角线互相平分的性质 新知学习 知识点一 平行四边形对角线互相平分的性质 平行四边形的对角线互相平分. 已知：在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O. 求证：OA=OC OB=OD B A D C O 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD,AB=CD ∴∠BAO=∠DCO, 在△AOB和△COD中 ∠BAO=∠DCO ∠AOB=∠COD AB=CD ∴△AOB≌△COD（AAS） ∴OA=OC ,OB=OD 新知探究 平行四边形的性质定理 平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO DO=BO 归纳总结 A B C D O B A D C O 精讲例题1 解：在 ABCD中， ∵AC=24mm,BD=38mm ∴AO=12(mm) DO=19(mm) 又∵BC=28mm ∴AD=BC=28mm ∴△OAD的周长=AO+OD+AD=12+19+28=59(mm） 已知：在 ABCD中，O为两条对角线的交点,AC=24mm, BD=38mm,BC=28mm,求△OAD的周长. 变式训练 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm， ∴AB－AD＝5cm. 又∵ ABCD的周长为60cm， ∴AB＋AD＝30cm， 则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm. 平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差． 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长． 已知：在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，直线EF过点O，交DA于点E，交BC于点F,求证：OE=OF,AE=CF,DE=BF. 精讲例题2 B A D C O E F ∴OE=OF AE=CF 又∵AD=CB ∴DE=BF 解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC,AD//CB ∴∠EAO=∠FCO 在△AOE和△COF中， ∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF（对顶角相等） ∴△AOE≌△COF（ASA） 思 考 B A D C O E F 改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗？ B A D C O E F B A D C O E F 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等. 新知学习 知识点二 平行四边形的面积 精讲例题3 解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴CD=AB=10,BC=AD=8 又∵AC⊥BC ∴∠ACB=90° ∴AC= 又∵OA=OC ∴OA=3 ∴S ABCD=BC AC=8×6=48 如图，在　ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长以及　ABCD的面积． 思 考 平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？ 解：相等.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵△ADO与△ODC等底同高， ∴S△ADO=S△ODC. 同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB. 平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等 归纳总结 平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等 平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差． 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等. 学以致用 挑战自我 挑战自我 1.如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 B 挑战自我 2.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，则对角线AC、BD的长度的和是 （　　） A.9 B.18 C.27 D.36 B 挑战自我 3.在 ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是 ( ) A. 24<m<39 B.14<m<62 C.7<m<31 D.7<m<12 C 挑战自我 4、平行四边形相邻两边长分别为6和8，那么其对角线应（ ） A 、大于2 B、小于14 C、大于2小于14 D、大于2或小于12 C 挑战自我 5.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（　　） A.16 B.14 C.12 D.10 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等. C 挑战自我 6.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？ 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，BC=AD，OB=OD. ∵OE⊥BD， ∴BE=DE. ∵△CDE的周长为10， ∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10， ∴平行四边形ABCD的周长为2×(BC+CD)=20． 7、 挑战自我 根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解. 解：设BC=x，则DC=20-x. 根据平行四边形的面积公式可得4x=6(20-x)， 解得x=12． 则平行四边形ABCD的面积为4×12=48 课后作业 课本121页练习 课本121页A组 课本122页B组 1、已知一个平行四边形，其相邻两角的差是40°.求平行四边形各角的度数. 3、如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥BA，交BA延长线于点E，∠EAD=46°，求∠BCE和∠D的度数. B A D C E 2、已知一个平行四边形，AB=4cm,BC=7cm,求平行四边形的周长. 巩固练习 思 考 B A D C O E F 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？ B A D C O E F B A D C O E F 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分，且与对角线围成的三角形相对的两个全等. $$