24.4　弧长和扇形面积 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

24.4.1 弧长和扇形面积 人教版数学九年级上册 学习目标 （1）理解弧长和扇形面积公式，会计算弧长、扇 形面积. （2）在弧长和扇形面积公式的探究过程中，感受 转化、类比的数学思想. 重点：弧长和扇形面积公式 难点：弧长和扇形的面积公式的推导和应用。 ·创设情境 抽象定义· 问题1 左边的扇子能抽象出什么几何图形？ 追问 与扇形有关的要素有哪些？你能利用这些要素给扇形下个定义吗？ 定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形 （2）1º的圆心角所对的弧长 l 是： （4）nº的圆心角所对的弧长 l是： （1）在半径为R的圆中， 360º的圆心角所对的弧长就是: （3）60º的圆心角所对的弧长 l 是： 【弧长公式】在半径为R的圆中，nº的圆心角所对的弧长: 圆周长 . 公式推导 【例1】制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L（π取3.14，结果取整数）. 自主学习 【变式】如右图，若这个弧长为 的弯形软管部分所对圆心角∠AOB=120º，请求出半径R的长度． 在半径为 的圆中， 的圆心角所对弧长的计算公式为： 在公式中， 表示弧长， 表示弧所对的圆心角的度数， 表示圆的半径． 没有单位.弧长和半径单位一致。 公式解读： 弧 长 公 式 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 探究扇形面积公式： 如何求扇形的面积？ 360° 圆心角 扇形面积 (半径为R) 1° n° 90° 新知讲解 若圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，如何计算圆锥的侧面积？ 若圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，如何计算圆锥的全面积？ 圆锥全面积公式 圆锥侧面积公式 θ 合作学习 弧长公式：c= 计算圆心角n的度数： 如何计算圆锥侧面展开图的圆心角θ的度数呢？ 典例精讲 解： 根据题意，下部圆柱的底面积为 12 m2， 高 h2 = 1.8 m；上部圆锥的高 h1 = 3.2-1.8 = 1.4 ( m )． 圆柱的底面圆的半径 圆柱侧面积为 例 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建 20 个底面积为 12 m2，高为 3.2 m，外围高 1.8 m 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（ π 取 3.142，结果取整数）？ 由扇形的定义可知，扇形是圆的面积的一部分. 想一想，如何计算圆的面积？ O ● 圆的面积 S = πR² R 圆的面积可以看作多少度的圆心角所对的扇形的面积？ 360° 思考 13 圆的面积 S = πR² R 360° 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？ 1°的圆心角所对的扇形面积= . . . O ● 将圆的面积360等分 思考 14 O ● R n°的圆心角所对的扇形面积是多少呢？ n° 1°的圆心角所对的扇形面积= 1°的圆心角所对的扇形面积的n倍 n°的圆心角所对的扇形面积= 思考 15 如图，圆锥的底面半径为 1，母线长为 6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点 B 出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点 B，问它爬行的最短路线是多少？ 解：设圆锥的侧面展开图为扇形 ABB‘，∠BAB’＝n°， 连接 BB'，即为蚂蚁爬行的最短路线， 由 n＝＝，解得：n＝60， ∴△ABB' 是等边三角形， ∴BB'＝AB＝6， 答：蚂蚁爬行的最短路线为 6. A B C B' 例 4. 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的. 如果想用毛毡搭建 20 个底面积为 35 m2，高为 3.5 m，外围高 1.5 m 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？（π 取 3.14，结果精确到 1 m2.） r r h1 h2 解：如图是一个蒙古包的示意图， 依题意，下部圆柱的底面积 35 m2，高 h2＝1.5 m， 上部圆锥的高：h1＝3.5－1.5＝2 m， 圆柱底面圆半径：r＝ ≈ 3.34 m， 圆锥的母线长为：l＝ ≈ 3.89 m， 圆锥侧面积为：π×3.34×3.89 ≈ 40.80 m2， 圆柱侧面积为：2π×3.34×1.5＝31.46 m2， 因此，搭建 20 个这样的蒙古包至少需要毛毡： 20×(40.80+31.46) ≈ 1445 m2. 已知圆心角为120°，弧长为 cm，则半径为______ cm． 一个扇形的弧长为4，半径为3，则这个扇形的面积为 ____． 综合运用 如右图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离，它们的半径都是2，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD,则图中阴影部分的面积之和等于 . （结果保留π) $$