第05讲 反比例函数（5知识点+12大考点+拓展训练+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第05讲 反比例函数 （5知识点+12大考点+拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 知识点 2 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 知识点 3 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 知识点 4 反比例函数与一次函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 知识点 5 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 考点一：反比例函数的定义及求参问题 例1．下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数是反比例函数，且正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值为 ． 【变式1-3】已知函数是反比例函数，则k的值为 ． 【变式1-4】已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 考点二：用反比例函数描述数量关系 例2．如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列问题中，两个变量间的函数关系是反比例函数的是(         ) A．小颖每分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花 B．体积为10cm3的长方体，高为hcm，底面积为Scm2 C．用一根长50 cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm，面积为Scm2 D．汽车油箱中共有油50升，设平均每天用油5升，x天后油箱中剩下的油量为y升 【变式2-2】一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为 ． 【变式2-4】计算 若长方形的两邻边长度分别为、，面积保持不变，下表给出了与的一些值求长方形的面积． (1)长方形的面积是多少？ (2)与之间是什么关系？用式子表示与之间的关系． (3)根据关系式完成上表． 考点三：反比例函数函数值 例3．反比例函数必过点（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如果y是x的反比例函数，那么当x增加它的时，y将（    ） A．减少它的 B．减少它的 C．增加它的 D．增加它的 【变式3-2】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【变式3-3】已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ． 【变式3-4】一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求的值． 考点四：反比例函数的解析式 例4．已知是的反比例函数，如表给出了与的一些值，表中“”处的数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】若反比例函数的图象经过点，则图象必经过另一点（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】已知点和均在双曲线（k为常数，且）上，则 ． 【变式4-3】已知，是同一个反比例函数图象上的两点，若，且，则这个反比例函数的表达式为 ． 【变式4-4】已知，其中与x成正比例．与x成反比例．且当和时，y的值都为19，求y与变量x的函数关系式． 考点五：反比例函数的图象 例5．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】在函数中，其图象是中心对称图形且对称中心是原点的有 个． 【变式5-3】表示关系式①，②，③，④的图象依次是 ， ， ， ． A． B． C． D． 【变式5-4】已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数表达式，并在平面直角坐标系中直接画出该图象； (2)若点在该函数图象上，求的值． 考点六：反比例函数的对称性 例6．如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　）    A． B． C． D． 【变式6-2】在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 【变式6-3】如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 【变式6-4】如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线在第一象限内交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标． (3)点在双曲线上，且是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点共有______个，任意写出一个满足条件的点的坐标，可以为______． 考点七：反比例函数的增减性 例7．反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，那么的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式7-1】对于反比例函数，若当时有最大值，则当时，有（　　） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【变式7-2】已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【变式7-3】反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ． 【变式7-4】已知函数． (1)在什么条件下，函数的图象分布在第一、第三象限？在什么条件下，函数的图象分布在第二、第四象限？ (2)在什么条件下，随的增大而减小？在什么条件下，随的增大而增大？ 考点八：反比例函数的象限问题 例8．若函数的图像在第二、四象限，则函数的图像过（   ） A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【变式8-1】数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-2】反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是 ． 【变式8-3】已知点在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是 ． 【变式8-4】已知常数a（a为整数）满足下面两个条件： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②反比例函数的图象在二、四象限． (1)求a的值； (2)根据自己所画的图象直接写出： ①当时，y的取值范围； ②当时，x的取值范围． 考点九：比较反比例函数值或自变量的大小 例9．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式9-2】已知点在反比例函数的图像上．当时，的取值范围是 ． 【变式9-3】已知反比例函数 ，下列结论∶①图象必经过；②图象在一、二象限内；③y随的增大而增大；④当 时，则 ，其中错误的结论有 ．(填序号) 【变式9-4】若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．请结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： (1)点，在函数图象上，则______；（填“>”、“=”或“<”） (2)当函数值时，自变量x的值为______； (3)当2时，求的最大值和最小值； (4)当关于x的方程有两个不同的解时，直接写出b的取值范围． 考点十：反比例函数的k值意义 例10．如图，点B，C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，且，．若面积为10，则k的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式10-1】反比例函数和在第一象限的图象如图所示，A，B分别为图象上两点，且轴，若的面积为2，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．10 D．12 【变式10-2】如图，函数与函数的图象交于点A，C，垂直于y轴，垂足为点B，连接，已知的面积为1，则k的值为 ． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点，点分别为的中点，连接，若的面积为4.5，则的值为 ． 【变式10-4】如图，A，B，C是反比例函数（k≠0）在第一象限的图象上的点，它的横坐标分别为2，4，6．过点A，B，C分别作x轴，y轴的垂线段，构成多个矩形．若图中阴影部分的面积为12，则k的值为 ．    考点十一：反比例函数与一次函数的交点问题 例11．已知一次函数与反比例函数的图像交于、两点，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式11-1】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式11-2】如图，一次函数（为常数）与反比例函数交于两点，其中点的坐标为，则当时，自变量的取值范围为 ． 【变式11-3】如图，一次函数和（和均为常数且）与反比例函数（为常数且）的图象交于两点，其横坐标为和3，则关于的不等式的解集是 ． 【变式11-4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 考点十二：反比例函数的实际应用 例12．电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． (2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 【变式12-1】春节期间燃放烟花爆竹是我国的传统习俗．经检测，烟花燃放后产生的有害气体浓度与扩散时间之间成反比例函数关系．当扩散5时，有害气体浓度为． (1)求关于的函数表达式； (2)按照环保标准，当有害气体浓度不高于时，对人体健康无危害，则至少需要扩散多长时间，对人体健康无危害？ 【变式12-2】在某一电路中，电源电压U（单位：V）保持不变，电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数图象如图所示． (1)写出I关于R的函数解析式； (2)如果该电路中的电流不得超过，那么电阻R的取值范围是多少？ 【变式12-3】大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【变式12-4】如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 拓展训练一：反比例函数的图象与性质综合 1．如图，矩形的面积为8，边在y轴上，E是边的中点，若B，E两点在函数的图象上，则m的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，一次函数与反比例函数交于C、D两点，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 4．如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为 ． 5．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展训练二：反比例函数中的翻折、旋转、最值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，是常数）在第一象限部分的图像与矩形的两边和分别交于，两点，将沿翻折得到，的延长线恰好经过点．若，则的值是 ．    2．如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 3．已知一次函数（）和反比例函数的图象如图所示． (1)一次函数必定经过点 ________．（写点的坐标） (2)当时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及的面积． (3)直线绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围． 拓展训练三：反比例函数与几何综合 1．如图，已知、，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． 2．如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点、． (1)反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出满足的取值范围； (3)若轴上的存在一点，使的周长最小，请直接写出点的坐标． 3．如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 拓展训练四：反比例函数与一次函数综合 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长； (3)是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)如图2，过点与点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点，点，两垂线交于点，连接，求的面积； (3)如图3，延长交反比例函数在第三象限内的图象于点，连接，，将直线沿着轴向下平移若干个单位长度，使得直线经过点，平移后的直线与轴交于点，若在直线上存在点，使得，直接写出点的坐标． 3．在平面直角坐标系xOy中，将任意两点与之间的“直距”定义为：．例如：点，点，则． (1)已知两点，则______； (2)已知点M在反比例函数第一象限的图像上，若线段，求； (3)已知两点，如果直线AB上存在点C，使得，请直接写出点C的坐标． 4．如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4． (1)k的值为_____，点B的坐标为_____． (2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积． (3)过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标． 5．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 拓展训练五：反比例函数的应用综合 1．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数（，常数）图象上一点作轴的平行线交直线：于点，且．    (1)求的值，并写出函数（）的解析式； (2)过函数（）图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？并说明理由； (3)如图2，若是函数（）图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 2．定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．    (1)当时，求D点的坐标和m值． (2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值． (3)当时，请直接写出t与m之间的关系式． 3．如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且A点坐标为．    (1)求双曲线解析式及B点坐标； (2)将直线向下平移一个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求的最小值； (3)若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标． 4．【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于D，过点B作BE⊥ED于E．求证：AD＝CE． 【模型应用】（2）如图二，直线l1：y＝x＋4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线l2，求直线l2的函数表达式； 【拓展探究】（3）如图三，一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数的图象上，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值 ． 5．如图，正方形在平面直角坐标系中的点和点的坐标为、，点在双曲线上.若正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，则的值是(  ) A．1 B．2 C．3 D．4 1．已知某函数图象经过，，三个点，则该函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 4．如图，一次函数图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为和1．当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 5．已知反比例函数，第一象限有一点，过向坐标轴作垂线，分别交轴，轴于A，点，分别交反比例函数于，点，若，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．若点，点，点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是： （填“”、“”或“”中的一个）． 7．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，轴交轴于点，连结．若矩形的周长为8，对角线的长为，则的值为 ． 8．已知点是反比例函数图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点落在反比例函数图象上，点落在反比例函图象上，延长交轴于点，若四边形的面积为3，则的值为 ． 10．如图，点，均在反比例函数的图象上．连结，并延长，分别与反比例函数的图象交于点，，连结，，，．若，，则k的值为 ． 11．函数（为常数）的图象过点． (1)求的值； (2)小明说：“该函数图象上的任意一点，若，则”，你赞同小明的说法吗？请说明理由． 12．在直角坐标系中，设函数与函数（，，是常数，）的图象交于点，． (1)求函数，的表达式． (2)当时，比较与的大小．（直接写出结果） (3)若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 13．某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求的值及曲线的函数表达式． (2)若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 14．在直角坐标系中，函数与函数的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2． (1)求k的值和点B的坐标． (2)若函数的图象向下平移个单位后经过点，与y轴交于点D． ①求m的值． ②求的面积， 15．如图，12个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，直线平分这12个正方形组合图形的面积，且与轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第二象限的图象交于点．若的面积之比为． (1)求直线的解析式． (2)求的值． 16．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式． (1)问题解决：确定桥洞的形状． 建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为， ①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）； ②求出经过点A的双曲线的函数表达式． (2)探索应用： 这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．） 17．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 18． 设计货船通过双曲线桥的方案 素材 一座曲线桥如图所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图是其示意图，且该桥关于对称．          素材 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式． 问题解决 任务 确定桥洞的形状 建立平面直角坐标系如图所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，点A的坐标为_______________，此时过点的双曲线的函数表达式为_____________，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意． 任务 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？ （提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式） 19． 确定有效消毒的时间段 背景素材 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段．    x … 1 2 3 … y … 3 4 … 表1 问题解决 任务1 确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式． 任务2 初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围． 任务3 若实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 反比例函数 （5知识点+12大考点+拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 知识点 2 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 知识点 3 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 知识点 4 反比例函数与一次函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 知识点 5 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 考点一：反比例函数的定义及求参问题 例1．下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如或或，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，，，能表示是的反比例函数，共3个； 故选B． 【变式1-1】已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的解析式为，其中，因为函数是反比例函数，从而得到，，解方程和不等式求出的值即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ，， 由， 可得：， 由， 可得：， 的值为． 故选：A ． 【变式1-2】已知函数是反比例函数，且正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义以及正比例函数的性质．此题应根据反比例函数的定义求得k的值，再由正比例函数图象的性质确定出k的最终取值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， ∴， ∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】已知函数是反比例函数，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的系数特点、指数特点是解题的关键． 【变式1-4】已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，则有，然后把当时，；当时，代入求解即可； （2）由（1）可直接把x=3代入求解． 【详解】解：（1）设，由可得：， ∴把，和，代入得： ，解得：， ∴y与x的函数解析式为：； （2）由（1）可把x=3代入得： ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义及函数解析式，熟练掌握反比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键． 考点二：用反比例函数描述数量关系 例2．如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列反比例函数解析式，根据等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，可以得到，即可得到函数解析式．正确进行计算是解题关键． 【详解】解：等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为， ， 与之间的函数关系式为． 故选：C． 【变式2-1】下列问题中，两个变量间的函数关系是反比例函数的是(         ) A．小颖每分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花 B．体积为10cm3的长方体，高为hcm，底面积为Scm2 C．用一根长50 cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm，面积为Scm2 D．汽车油箱中共有油50升，设平均每天用油5升，x天后油箱中剩下的油量为y升 【答案】B 【分析】根据题意写出函数表达式再判断它们的关系则可，找到符合反比例函数解析式的一般形式（k≠0）的选项． 【详解】解：A、根据题意可知，y与x之间的关系式为y＝2x，故该选项错误； B、根据题意可知，S与h之间的关系式为S＝，故该选项正确； C、根据题意可知，S与x之间的关系式为S＝（25−x）x，故该选项错误； D、根据题意可知，y与x之间的关系式为y＝50−5x，故该选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式为（k≠0），也可转化为y＝kx−1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 【变式2-2】一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可． 【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系， ∴根据压强公式得： ， 故答案为：． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为 ． 【答案】 【分析】根据一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”，即可得到答案． 【详解】解：一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”， 函数图像的“雁点”坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标系的新定义问题，理解“雁点”的定义，是解题的关键． 【变式2-4】计算 若长方形的两邻边长度分别为、，面积保持不变，下表给出了与的一些值求长方形的面积． (1)长方形的面积是多少？ (2)与之间是什么关系？用式子表示与之间的关系． (3)根据关系式完成上表． 【答案】(1) (2)反比例关系， (3)见解析 【分析】本题考查求反比例函数解析式、求函数的自变量或函数值， （1）根据表格中，利用长方形面积公式进行计算即可求解； （2）根据长方形面积公式列出函数关系式，即可求解； （3）利用函数解析式求自变量或函数值即可． 【详解】（1）解： 长方形的面积为4 （2）x与y是反比例关系，可得 （3）如表所示 考点三：反比例函数函数值 例3．反比例函数必过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将各个坐标代入解析式逐一计算判断，即可求解；理解图象经过点的意义是解题的关键． 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故不符合题意； C、当时，，故符合题意； D、当时，，故不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】如果y是x的反比例函数，那么当x增加它的时，y将（    ） A．减少它的 B．减少它的 C．增加它的 D．增加它的 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据y是x的反比例函数，得出，根据当x增加它的时，自变量变为，设因变量变为，得出，求出，得出答案． 【详解】解：∵y是x的反比例函数， ∴， 当x增加它的时，自变量变为，设因变量变为，则： ， ∴， ∴y将减少它的， 故选：B． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键． 将和代入函数解析式，求得和的值，再相加即可． 【详解】解：把和代入解析式得：，， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的有关计算，根据得到，，根据得到，代入式子即可得到答案． 【详解】解：∵，两点都在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式3-4】一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式及通过解析式求函数值，解题的关键是掌握待定系数法． （1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入得 ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得 ． 考点四：反比例函数的解析式 例4．已知是的反比例函数，如表给出了与的一些值，表中“”处的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，根据反比例函数解析式求函数值，先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入解析式得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得， 表中“”处的数为， 故选：D． 【变式4-1】若反比例函数的图象经过点，则图象必经过另一点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将代入即可求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ∵，，，， ∴B选项符合题意． 故选：B． 【变式4-2】已知点和均在双曲线（k为常数，且）上，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．根据点的坐标，得到，进而求出的值即可． 【详解】解：点在双曲线上， ， 点在双曲线上， ， 故答案为：． 【变式4-3】已知，是同一个反比例函数图象上的两点，若，且，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意可知，再由得出，再根据即可得出结论．根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵，是同一个反比例函数图象上的两点， ∴， ∵， ∴， ∵，则， ∴，则， ∴这个反比例函数的表达式为． 故答案为：． 【变式4-4】已知，其中与x成正比例．与x成反比例．且当和时，y的值都为19，求y与变量x的函数关系式． 【答案】y与变量x的函数关系式是 【分析】设，，代入得出，把x、y的值代入，求出a和的值即可． 【详解】解：∵与x成正比例．与x成反比例， ∴设，， ∴， ∵当和时，y的值都为19， ∴代入得：， 解得：， 所以y与变量x的函数关系式是． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义和正比例函数的定义，能熟记正比例函数和反比例函数的定义的内容是解此题的关键． 考点五：反比例函数的图象 例5．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数 ∵ ∴两支曲线分别位于第二、四象限内 故选A． 【变式5-1】函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．因为的符号不确定，所以应根据的符号及一次函数与反比例函数的特点解答． 【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合； 当时，， ∴反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无选项符合． 故选：． 【变式5-2】在函数中，其图象是中心对称图形且对称中心是原点的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解． 【详解】解：在函数中，其图象是中心对称图形且对称中心是原点的是．共有2个， 故答案为：2． 【变式5-3】表示关系式①，②，③，④的图象依次是 ， ， ， ． A． B． C． D． 【答案】 C B D A 【分析】注意对比函数的图象和解析式，利用函数的性质解答． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∴，故的图象为C； ②∵，即， ∴， ∴的图象为B； ③∵，即， ∴，即， ∴的图象为D； ④的图象为A； 故答案为：C；B；D；A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与反比例函数的性质，明确函数的性质是解题的关键 【变式5-4】已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数表达式，并在平面直角坐标系中直接画出该图象； (2)若点在该函数图象上，求的值． 【答案】(1)，图见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质、画函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征． （1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过． 将代入，得． 反比例函数解析式为． 画出该图象如图所示； （2）解：点在这个函数图象上， 把代入得，整理得， 解得：或． 考点六：反比例函数的对称性 例6．如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，由题意可得点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于两点， ∴点关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点坐标为， 故选：． 【变式6-1】如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数与正比例函数的图像都是中心对称图形，则它们的交点关于原点对称． 【详解】解：∵双曲线与直线相交于、两点， ∴点与关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的中心对称性，熟练掌握关于原点中心对称的点的横纵坐标分别互为相反数是解答本题的关键． 【变式6-2】在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据对称性可得，从而可得，利用勾股定理求得，由此可求出点的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点， ∴， ∵， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，勾股定理的应用，坐标与图形，待定系数法求反比例函数的解析式，利用函数的对称性求得的长度是解题的关键． 【变式6-3】如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和反比例函数的对称性，勾股定理的应用，判断出只有或两种情况是解题的关键，注意方程思想的应用． 由对称性可知为的中点，则当为等腰三角形时只能有或，设点坐标为，可分别表示出和，从而可得到关与的方程，可求得，可求得点坐标． 【详解】解：反比例函数图象关于原点对称， 、两点关于对称， 为的中点，且， 当为等腰三角形时有或， 设点坐标为， ，， ，，， 当时，则有，解得或10，此时点坐标为或； 当时，则有，解得或，此时点坐标为或； 综上可知点的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【变式6-4】如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线在第一象限内交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标． (3)点在双曲线上，且是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点共有______个，任意写出一个满足条件的点的坐标，可以为______． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】（1）将点，代入直线，得出，继而得出，待定系数法求解析式即可得； （2）设，根据的面积为3，得出，解方程即可求解； （3）根据等腰三角形的性质，画出图形，根据等腰三角形以及反比例函数的对称性求得点，，即可求解． 【详解】（1）解：∵双曲线与直线在第一象限内交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线与轴交于点． 令，得， ∴， 设， ∵的面积为3 ∴ ∴, ∵，， ∴， 解得：或， ∴或， （3）如图，以为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于，，，，可得，，是等腰三角形，其中在直线上不能构成三角形， 根据对称性可知，， 故满足条件的点有个， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合，等腰三角形的性质，反比例函数图象的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，数形结合是解题的关键． 考点七：反比例函数的增减性 例7．反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，那么的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大． ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【变式7-1】对于反比例函数，若当时有最大值，则当时，有（　　） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】C 【分析】根据自变量的取值范围、函数的最大值，可得图象位于第二象限，根据第二象限内反比例函数随的增大而增大，可得最大值时的自变量，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据自变量的取值范围，可得函数值的取值范围． 【详解】 解：由当时有最大值，得 时，． ， 反比例函数解析式为， 当时，图象位于第四象限，随的增大而增大， 当时，最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，利用当时有最大值得出函数图象位于第二象限是解题关键． 【变式7-2】已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式7-3】反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ． 【答案】或 【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．此题考查反比例函数的增减性：当>时，在每个象限内随的增大而减小，当时，在每个象限内随的增大而增大，以及正确解一元一次方程． 【详解】解：当>时，在每个象限内随的增大而减小， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； ∴或， 故答案为：或． 【变式7-4】已知函数． (1)在什么条件下，函数的图象分布在第一、第三象限？在什么条件下，函数的图象分布在第二、第四象限？ (2)在什么条件下，随的增大而减小？在什么条件下，随的增大而增大？ 【答案】(1)； (2)当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限内，随的增大而增大 【分析】（1）根据函数图象经过的象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）根据函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象分布在第一、第三象限， ∴， ∴； ∵函数的图象分布在第二、第四象限， ∴， ∴； （2）解：∵在每一个象限内，函数随的增大而减小， ∴， ∴， 即当时，在每一个象限内，随的增大而减小； ∵在每一个象限内，函数随的增大而增大， ∴， ∴， 即当时，在每一个象限内，随的增大而增大． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，函数图象经过一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当时，函数图象经过二、四象限，且y随x的增大而增大是解答此题的关键． 考点八：反比例函数的象限问题 例8．若函数的图像在第二、四象限，则函数的图像过（   ） A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数以及一次函数的概念，已知反比例函数的图像在第二、四象限，根据反比例函数的图像及性质，可得k为负，则直线的函数值y随着x的增大而减小，且与y轴交于负半轴，即可判断直线经过的象限． 【详解】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， ∴直线的图像经过第二、三、四象限． 故选：A． 【变式8-1】数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由时的函数图象判断n的正负． 【详解】解：∵， ∴x的取值范围是， 由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧， ∴， 由图可知，当时的函数图象位于x轴的下方， ∴当时，， 又∵当时，， ∴， 故选：D． 【变式8-2】反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象及性质．根据题意可知，继而得到本题答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，即：， 故答案为：． 【变式8-3】已知点在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的增减性和点的位置解答． 【详解】∵， ∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∵， ∴异号， ∵点，在反比例函数（是常数）的图象上， ∴A点在第三象限，B点在第一象限， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，会根据函数值的大小确定点的位置是解题关键． 【变式8-4】已知常数a（a为整数）满足下面两个条件： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②反比例函数的图象在二、四象限． (1)求a的值； (2)根据自己所画的图象直接写出： ①当时，y的取值范围； ②当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及反比例函数的性质得出关于的不等式组，解不等式组求得的取值范围，即可求得整数的值； （2）画出反比例函数的图象，根据函数图象即可得． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且， ∵反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得， ， 又为整数， ． （2）解：由（1）可知，反比例函数的解析式为，画出图象如下： 当时，， 当时，， 则由函数图象可知，①当时，， ②当时，或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 考点九：比较反比例函数值或自变量的大小 例9．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式9-1】已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象上有，，三点，比较三点的横坐标的大小，结合性质和m的符号分类解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，有理数的大小比较，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据反比例函数的图象上有，，三点， 且， 故， 故在每一个象限内，y随x的增大而增大， 由， 解得 当时，则，且 故， 故A选项不符合题意； 当时，则，且 故， 故B选项符合题意； 当时，则，且 故， 故C选项不符合题意； 当时，则，且， 故， 故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式9-2】已知点在反比例函数的图像上．当时，的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查待定系数法确定反比例函数、反比例函数图象与性质等知识，先由待定系数法求出反比例函数的表达式为，从而得到反比例函数图象在第二、四象限，则在第四象限中，值随着值的增大而增大，从而得到答案．熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， ，则反比例函数的表达式为， 反比例函数图象在第二、四象限， 当时，；当时，； 反比例函数图象在第四象限中，值随着值的增大而增大， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式9-3】已知反比例函数 ，下列结论∶①图象必经过；②图象在一、二象限内；③y随的增大而增大；④当 时，则 ，其中错误的结论有 ．(填序号) 【答案】②③④ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案． 【详解】解：①当时，，即图象必经过点，正确； ②，图象在第二、四象限内，错误； ③，每一象限内，y随x的增大而增大，错误； ④，每一象限内，y随x的增大而增大，当时，；当时，；当时，函数无意义，错误， 故答案为：②③④． 【变式9-4】若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．请结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： (1)点，在函数图象上，则______；（填“>”、“=”或“<”） (2)当函数值时，自变量x的值为______； (3)当2时，求的最大值和最小值； (4)当关于x的方程有两个不同的解时，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2)或2 (3)当时，；当时， (4) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质得到结论； （2）把代入，把y=1代入数，解方程即可得到结论； （3）根据函数的图象即可得到结论； （4）根据图象即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：∵点，在函数的图象上，且， ∴； 故答案为：＞； （2）把代入得， 把代入数得， 故答案为：或2； （3）由图可知，当时，； 当时，． （4）当过点时， 可得， 解得， ∴当方程有两个不同的解时， 则b的取值范围为． 考点十：反比例函数的k值意义 例10．如图，点B，C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，且，．若面积为10，则k的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．如图，连接、，由题意得，是的中位线，则，可得，再根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵，面积为10， ∴， ∵，． ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式10-1】反比例函数和在第一象限的图象如图所示，A，B分别为图象上两点，且轴，若的面积为2，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】A 【分析】此题考查反比例函数比例系数与几何图形及面积关系，延长交y轴于点C，根据比例系数的几何意义，得到，进而得到，即可求出． 【详解】解：延长交y轴于点C， ∵点A在图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点B在图象上， ∴， 故选：A． 【变式10-2】如图，函数与函数的图象交于点A，C，垂直于y轴，垂足为点B，连接，已知的面积为1，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．过点C作轴于点D，根据反比例函数的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D， ∵函数与函数的图象交于点A，C， ∴点A，C两点关于坐标原点对称， ∵轴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为： 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点，点分别为的中点，连接，若的面积为4.5，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，三角形的面积．设，，则，，由，求得，点P在第四象限内，则，然后代入求出k值即可． 【详解】解：∵轴于点轴于点， ∴ ∴四边形是矩形， 设，， 点分别为的中点， 则，， ∴ ∴ ∵点P在第四象限内， ∴， 把代入，得 ∴ 故答案为：． 【变式10-4】如图，A，B，C是反比例函数（k≠0）在第一象限的图象上的点，它的横坐标分别为2，4，6．过点A，B，C分别作x轴，y轴的垂线段，构成多个矩形．若图中阴影部分的面积为12，则k的值为 ．    【答案】/ 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，得出，求得答案． 【详解】解：因为点A，B，C是反比例函数（k≠0）在第一象限的图象上的点，它的横坐标分别为2，4，6， ，，， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的意义，根据题意得出关于k的方程是解题关键． 考点十一：反比例函数与一次函数的交点问题 例11．已知一次函数与反比例函数的图像交于、两点，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点求不等式解集，掌握一次函数、反比例函数图形的性质是关键． 根据题意，反比例函数图象经过第一、三象限，交点在第一象限，在第三象限，由此即可求解． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图像交于、两点， 把点、代入反比例函数解析式得到，， ∴， 代入一次函数中得，， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限， ∴交点在第一象限，在第三象限， 如图所示， ∴不等式的解集为：或， 故选：B． 【变式11-1】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合：一次函数与反比例函数的交点问题，结合图象信息得点A的横坐标为2，因为正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，故点B的横坐标为，即可作答． 【详解】解：∵点A的横坐标为2，且正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点B的横坐标为， 则当时，x的取值范围是或， 故选：B 【变式11-2】如图，一次函数（为常数）与反比例函数交于两点，其中点的坐标为，则当时，自变量的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、由函数图象解不等式等知识，先由待定系数法求出一次函数表达式为；反比例函数表达式为，再由，是指一次函数图象在反比例函数图象上方，作出图象，数形结合即可得到答案．熟练掌握待定系数法确定函数表达式、由函数图象解不等式等知识是解决问题的关键． 【详解】解：一次函数（为常数）与反比例函数交于两点，其中点的坐标为， ，解得， 一次函数表达式为；反比例函数表达式为， 联立，则，即， ，解得或， ， 如图所示： 当时，是指一次函数图象在反比例函数图象上方，则自变量的取值范围为或， 故答案为：或． 【变式11-3】如图，一次函数和（和均为常数且）与反比例函数（为常数且）的图象交于两点，其横坐标为和3，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图象的交点问题的综合，掌握一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，图形结合分析解不等式的知识是解题的关键．依题意且结合图象，运用数形结合思想进行作答即可． 【详解】解：∵一次函数和（和均为常数且）与反比例函数（为常数且）的图象交于两点，其横坐标为和3， ∴关于的不等式的解集是或 故答案为：或 【变式11-4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A的坐标，再把点A的坐标代入，求出k的值即可； （2）求出点B的坐标，结合图象，找出一次函数图象高于反比例函数图象时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入得， 将代入，得， 解得，， 反比例函数的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ， 由图可知：当时，或． 考点十二：反比例函数的实际应用 例12．电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． (2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到与成反比例函数关系是解题的关键． （1）观察表格可得是一个定值，即与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值即可得到答案． 【详解】（1）解；根据表格数据的关系，可得与成反比例函数关系， 设，把代入中得：，解得， ∴． （2）解：当时，， ∴当该电磁波的频率为时，它的波长是． 【变式12-1】春节期间燃放烟花爆竹是我国的传统习俗．经检测，烟花燃放后产生的有害气体浓度与扩散时间之间成反比例函数关系．当扩散5时，有害气体浓度为． (1)求关于的函数表达式； (2)按照环保标准，当有害气体浓度不高于时，对人体健康无危害，则至少需要扩散多长时间，对人体健康无危害？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）求出当时的自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， ∵当扩散5时，有害气体浓度为． ∴， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）当时，，解得， 即至少需要扩散，对人体健康无危害． 【变式12-2】在某一电路中，电源电压U（单位：V）保持不变，电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数图象如图所示． (1)写出I关于R的函数解析式； (2)如果该电路中的电流不得超过，那么电阻R的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象性质，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意可知图象经过，即可求出； （2）根据，且，得，解出，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意可知图象经过 ， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：∴，且， ∴， 解得， 电流不得超过，电阻R不得低于 【变式12-3】大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入，再计算可得答案； （3）由再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把，代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）把代入，得， ∴火焰的像高为． （3）时， ， ， ， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 【变式12-4】如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】(1)图见解析，反比例函数 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）描线，画出函数图象即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据反比例函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图： 它是反比例函数． （2）设这个反比例函数的表达式为 由图像可知，图像过， ∴， ∴． （3）时，中随的增大而减小， 当的值最大时，最小． 即当时， 拓展训练一：反比例函数的图象与性质综合 1．如图，矩形的面积为8，边在y轴上，E是边的中点，若B，E两点在函数的图象上，则m的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，矩形的性质，设，则，根据B，E两点在函数的图象，列方程即可解答，熟练运用反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：设，，则， 四边形为矩形，且面积为， ，， E是边的中点， ， ， B，E两点在函数的图象， ， 可得，即， 故选：D． 2．如图，一次函数与反比例函数交于C、D两点，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、根与系数的关系等知识点，过作轴于，过作轴于，利用面积法得到，代入数值得到，再联立解析式根据根与系数的和得到，代入求值即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，则， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 联立得到， ∴， ∴，解得， ∵， ∴，即 解得， 故选：D． 3．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，然后证明，则有，，，即点横坐标为，然后求出反比例函数解析式为，故有，最后通过线段和差即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点横坐标为， ∵点为反比例函数的图象一点， ∴， ∴反比例函数图象为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 4．如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，首先设点的坐标为，点的坐标为，根据反比例函数的性质可得的坐标为，点的坐标为，设直线的解析式为，利用待定系数法可求直线的解析式为，从而可得点的纵坐标为，根据反比例函数是中心对称图形可得，根据三角形的面积公式可得，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 则有， 点的坐标为， 又点与点关于原点对称， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案为： 3． 5．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N的坐标为或或 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出的长； （2）根据D坐标确定出直线与直线解析式，过点M作轴交于点N，设，，由，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标； （3）由题意得：，，，设，分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过的中点D， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：，即， 则； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则， ∵ ， ∴，解得：， 则点M坐标为； （3）解：存在； 由题意得：，，，设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即， 综上，N的坐标为或或． 拓展训练二：反比例函数中的翻折、旋转、最值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，是常数）在第一象限部分的图像与矩形的两边和分别交于，两点，将沿翻折得到，的延长线恰好经过点．若，则的值是 ．    【答案】 【分析】设，根据矩形的性质和翻折的性质可得，，根据等角对等边和勾股定理可得，，继而得到，，可得，根据点在反比例函数图像上，可得点的纵坐标，可得，再求出，即可得到的值． 【详解】解：设， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 将沿翻折得到，的延长线恰好经过点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图像上，，即点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法确定解析式，函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理等知识．掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 2．如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）过B作于E，得到，，，根据勾股定理得到，求得；过C作轴于F，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得； （2）由（1）知，，设，，根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：过B作于E， ∵A的坐标为，点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过C作轴于F， ∴， ∵将线段绕点A按顺时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点C恰好在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：由（1）知，， ∵P，Q分别为反比例函数，图象上一点， ∴设，， ∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； 当AQ为平行四边形的对角线时， ， 解得（不合题意）， 综上所述，． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 3．已知一次函数（）和反比例函数的图象如图所示． (1)一次函数必定经过点 ________．（写点的坐标） (2)当时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及的面积． (3)直线绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围． 【答案】(1) (2)A，B两点的坐标分别为，，的面积为6 (3) 【分析】（1）由题意知，令，求，的值，进而可得结果； （2）由，可得，联立，求解可得，，由题意知，如图，过作轴，过作于，过作于，则，，，，，根据，计算求解即可； （3）由题意知，，令，整理得，令，求解即可得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知， 令，即，则， ∴一次函数必定经过点， 故答案为：； （2）解：∵，则， 联立，解得，， ∴，， ∴， 如图，过作轴，过作于，过作于， 则，，，，， ∴ ∴A，B两点的坐标分别为，，的面积为6． （3）解：由题意知，， 令，整理得， 令， 解得， ∴直线与反比例图象无交点时m的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 拓展训练三：反比例函数与几何综合 1．如图，已知、，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． 【答案】69．4； 70．8； 71．4； 72．存在，当时，L最小值为35； 73．，四边形为菱形 【分析】（1）利用得到， 当，时， 有最小值； （2）将整理得，利用得到，当时，y有最小值； （3）将整理得，利用得到，当时，y有最小值； （4）由题意得，利用求解即可得出答案； （5）设，如图表示四边形的面积，由（1）可得，当时，四边形的面积得最小值，因此也可求出此时点C、D的坐标，根据点的坐标可知，故四边形是平行四边形，又由，进而可得四边形是菱形． 69．解：， ， ， 当且仅当，即时， 有最小值为4； 70．解：， ， ， 当且仅当，即时，y有最小值为8； 71．解：， ，， ， 当且仅当，即时，y有最小值为4； 72．解：存在，当时，L最小值为35，理由如下： 由题意，得， 当且仅当，即时，等号成立， 故当 时，L有最小值，且最小值为35； 73．解：设，则，， 四边形的面积， 由（1）知，若， 有最小值为4， 四边形的面积， 四边形的面积得最小值为12， 此时，即， ，， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【点睛】本题是阅读材料题，考查了坐标与图形的性质、矩形的面积、菱形的判定、反比例函数图象上点的坐标特征以及不等式的求法，熟练掌握相关知识，结合题意综合应用是解题的关键． 2．如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点、． (1)反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出满足的取值范围； (3)若轴上的存在一点，使的周长最小，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为， (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，轴对称最短路线问题，数形结合是本题的关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的周长最小，根据待定系数法求得直线的解析式，进而即可求得的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象交于、两点． ，， ，． 反比例函数和一次函数的表达式分别为，； （2）由图象可得：满足的取值范围是或． （3）如图，作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的周长最小， ， 关于轴的对称点的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标是． 3．如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由题意易得，，求出直线的解析式，把的坐标代入求出的值，从而求得反比例函数的解析式； （2）当点在下面时，延长至，使，连接，过点作直线 交直线于，则，求出直线的解析式，进而得出直线的解析式，从而求出点的坐标；当点在上面时，在上取点，使，连接，则，，过点作直线 交直线的延长线于，则，求出直线的解析式，从而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的边在轴上，点的坐标分别为，， ∴，，， ∴，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：情况一：延长至，使，连接，则， 在 中，当 时，， ， ∴， 过点作直线 交直线于，则， 设直线的解析式为， 则，得 ， ， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 情况二：在上取点，使，连接，则，， 过点作直线 交直线的延长线于，则， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，数形结合是解题的关键． 拓展训练四：反比例函数与一次函数综合 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长； (3)是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在满足条件的点，其坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合， （1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的表达式，然后联立方程组求解即可得出点A的坐标； （2）过点作轴，垂足为．根据已知可得，设，根据图形面积建立方程，求出点M的坐标，然后勾股定理，即可求解． （3）根据角的2倍关系，考虑分类画出图形（点在直线下方，点在直线上方），由于是直线与轴相交得到的，利用平行线转换到以为顶点的等角，再结合等腰三角形的三线合一，求出直线的表达式，联立反比例函数的表达式求解． 【详解】（1）解： 在直线上， ，解得， 点的坐标为，直线的表达式为． 将点代入反比例函数中，得， 反比例函数的表达式为． 联立， 解得或， 点的坐标为； （2）如解图①，过点作轴，垂足为． 在一次函数中，令，得， ． 轴， ． 点在反比例函数的图象上，轴，轴， ． ， ． 设， 则， 解得或， 经检验，或是所列方程的解， 点在点的右侧， ， ， ； （3）如解图②，若点在直线AB下方，过点作轴于点，延长CE至点，使得． ， ． 由（1）（2）得， ， ， 联立， 解得或， ； 若点在直线上方，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接并延长交反比例函数的图象于点，即为所求的点． ， 联立， 解得， ． 此时， 是GH的中点， ， ， 联立， 解得或， ． 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或． 2．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)如图2，过点与点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点，点，两垂线交于点，连接，求的面积； (3)如图3，延长交反比例函数在第三象限内的图象于点，连接，，将直线沿着轴向下平移若干个单位长度，使得直线经过点，平移后的直线与轴交于点，若在直线上存在点，使得，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； （1）将分别代入一次函数，得出的值，进而求得反比例函数表达式； （2）过点作轴于点，根据矩形的性质以及的坐标，分别求得进而根据的面积等于梯形的面积，即可求解； （3）根据中心对称得出，进而求得过点的直线解析式为，求得，设交轴于点，求得的坐标，得出，进而根据，求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将和分别代入一次函数 ∴ 解得： ∴，， 将代入 ∴ ∴； （2）解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴ （3）解：如图, 设交轴于点， ∵，延长交反比例函数在第三象限内的图象于点， ∴， ∵一次函数平移得到直线， 设直线的解析式为 将点代入得， 解得： ∴直线的解析式为 当时，，即 当时，，即 ∵，， ∴ 又∵ ∵， ∴重合，即 ∵ ∴在的中点位置， 即即 综上所述，点的坐标为或 3．在平面直角坐标系xOy中，将任意两点与之间的“直距”定义为：．例如：点，点，则． (1)已知两点，则______； (2)已知点M在反比例函数第一象限的图像上，若线段，求； (3)已知两点，如果直线AB上存在点C，使得，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)点C的坐标为或 【分析】本题考查了新定义下的两点之间的“直距”定义，考查了绝对值的几何意义，解不等式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“直距”的定义即可得出答案； （2）设点M的坐标为，且，根据“直距”的定义可得，化简，即可求解； （3）设直线的解析式为，可求出直线的解析式为，设点C的坐标为，根据“直距”的定义列出等式，再分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为5． （2）∵点M在反比例函数第一象限的图像上， ∴设点M的坐标为，且． ∵， ∴， 即， 即， ∴． （3）设直线的解析式为， 将分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为． 设点C的坐标为， ∴， ①当时，， ∴， 解得，不合题意，舍去． ②当时，， ∴， 解得， ∴C； ③当时，， ∴， 解得， ∴C； 综上所述，点C的坐标为或． 4．如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4． (1)k的值为_____，点B的坐标为_____． (2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积． (3)过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标． 【答案】(1)8； (2)15 (3)或 【分析】（1）根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点A的横坐标代入，求出点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，联立两个函数解析式，求出点B的坐标即可； （2）求出点C的坐标为，过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形，得出，，，，，根据，求出结果即可； （3）设点P的横坐标为（且），则，分两种情况：当时，当时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点A横坐标为4， ∴把代入得：， ∴， ∵点A是直线与双曲线的交点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为：； （2）解：如图，    ∵点C在双曲线上，纵坐标为8， ∴把代入得：， ∴点C的坐标为， 过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形， 则，，，，，， ∴ ； （3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点P的横坐标为（且），则， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图所示，    ∵， ∴， ∴． ∴，（舍去）， ∴； 若，如图所示，    ∵， ∴． ∴， 解得，（舍去）， ∴． ∴点P的坐标是或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题，反比例函数几何综合，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质，注意进行分类讨论． 5．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； 将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数； 根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； （2）解：， 点的坐标是， ， 如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、函数图象的平移，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式． 拓展训练五：反比例函数的应用综合 1．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数（，常数）图象上一点作轴的平行线交直线：于点，且．    (1)求的值，并写出函数（）的解析式； (2)过函数（）图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？并说明理由； (3)如图2，若是函数（）图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，（） (2)见解析 (3)时，矩形的周长取得最小值为4 【分析】（1）由题意可得，，求出点，即可得出，根据得到，求出，从而得到点的坐标，将点的坐标代入函数解析式计算即可； （2）设（），则，计算出和，进行比较即可得到答案； （3）设（），则，，从而得到，，再表示出矩形的周长进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 在中，当时，， ， ， ， ， ， ∴点， 将点代入函数（）得：， ， ∴（）； （2）解：设（），则， ∴， ， ∴； （3）解：存在满足题设条件的点， 设（），则，， ，， ∴矩形的周长 ∴当，即，时，矩形的周长取得最小值为4． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、求反比例函数解析式、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 2．定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．    (1)当时，求D点的坐标和m值． (2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值． (3)当时，请直接写出t与m之间的关系式． 【答案】(1)D（）， (2)10 (3)当时，；当时， 【分析】（1）联立方程组求解可得，根据点为整点，可得，代入，求得，与联立，可求得，再通过联立求解可得，，即可得出答案； （2）根据题意可得，必为整点，即为偶数，由，可得，，进而推出，，建立方程求解即可得出答案； （3）当时，线段上有2个整点：设D（d，d），， ，进而得出，建立方程求解即可求得；当时，线段上只有1个整点，设，则线段上有个整点，线段上有个整点，得出，，可推出，再把点的坐标代入，即可得出． 【详解】（1）， ， 由，解得：， ， 点为整点，且点的横坐标是小于2的正整数， 点的横坐标为1， ， 把代入，得， 解得：， ， 联立得，解得：，， ， 由，解得：， ，， 线段上整点有1个：，线段上整点有4个：，，，． ； （2）线段上的整点个数为7，，必为整点， 为偶数， ， ，， ， 线段上有3个整点， ，， ， ， 解得：； （3）当时，线段AD上整点个数为2，即A、D两点， ∴线段BC上整点个数为2m，由对称可知，BD上整点个数为， 设D（d，d），则， 又∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，线段AD上只有一个整点A， ∴线段BC上整点个数为m， 由对称BD上整点个数为，设A（a，a），则B， ∴， ∴， ∴，即； 综上，当时，；当时， 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，抓住图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解决问题的关键． 3．如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且A点坐标为．    (1)求双曲线解析式及B点坐标； (2)将直线向下平移一个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求的最小值； (3)若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标． 【答案】(1)， (2)的最小值为 (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法求出点A的坐标，再求出双曲线的解析式，构建方程组确定交点B的坐标； （2）作A关于y轴的对称点，过作于，交y轴于K， 则取得最小值,此时, 再先求解 再利用等腰直角三角形的性质可得答案； （3）分两种情况讨论，如图，当为边时，当为矩形的对角线时，再利用矩形的性质及勾股定理与中点坐标公式建立方程，解方程可得答案. 【详解】（1）解：把点坐标为代入得： ，则， ， 双曲线为， 解得：或 ， ． （2）   如图，作A关于y轴的对称点，过作于，交y轴于点P，交y轴于K， 则取得最小值，此时，   ， 将直线向下平移一个单位得直线l， l的解析式为： 且l是第一，第三象限的角平分线组成的， ， ， ， ， ， ，， ，   所以最小值为； （3）   如图，当为边时，设， 四边形为矩形， ， ， 解得， ，则由平移的性质可得： 同理可得：， ，解得 ， 则 由平移的性质可得： ；    如图，当为矩形的对角线时，设， 由矩形的性质：对角线相等且互相平分，再结合中点坐标可得， ， 解得：， ， 综上：，，，．. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，轴对称的性质，垂线段最短，矩形的性质，勾股定理的应用，中点坐标公式，一元二次方程的解法，做到清晰的分类讨论是解题的关键． 4．【模型建立】（1）如图一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于D，过点B作BE⊥ED于E．求证：AD＝CE． 【模型应用】（2）如图二，直线l1：y＝x＋4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°得到直线l2，求直线l2的函数表达式； 【拓展探究】（3）如图三，一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数的图象上，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值 ． 【答案】（1）见解析；（2）y＝x＋4；（3）－112、－84、－49 【详解】（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定，从而得结论； （2）根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式； （3）根据为等腰直角三角形分三种情况：以A，B，C三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全等可得点C的坐标，根据可得结论． 解：（1）如图1， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°． 又∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△ACD与△CBE中 ， ∴△ACD≌△CBE（AAS） ∴AD＝CE； （2）∵直线y＝x＋4与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴A（0，4）、B（－3，0）， 如图2， 图2 过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴， 在△BDC和△AOB中， ， ∴△BDC≌△AOB（AAS）， ∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4， ∴OD＝OB＋BD＝3＋4＝7， ∴C点坐标为（－7，3）， 设l2的解析式为y＝kx＋b，将A，C点坐标代入， 得， 解得， ∴l2的函数表达式为y＝x＋4； （3）分三种情况： ①如图3，，过点C作轴于E， 当时，， 当时，， ∴， ∴，． ∵是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）同理可得， ∴，， ∴， ∴； ②如图4，，过点C作轴于F， 由（1）同理可得， ∴，， ∴， ∴； ③如图5，，过点C作轴，过点B作轴， 同（1）可得， ∴，， 设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，k的所有可能的值是-112或－84或-49． 故答案为：-112、－84、-49． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用． 5．如图，正方形在平面直角坐标系中的点和点的坐标为、，点在双曲线上.若正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，则的值是(  ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】过点作轴的垂线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交于，根据全等三角形的判定和性质，可得到点坐标和点坐标，从而求得双曲线函数未知数和平移距离. 【详解】过点作轴的垂线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交于. ，，，. 又，，，点坐标为 将点坐标为代入，可得=4. 与同理，可得到，，点坐标为，正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点坐标为 将点坐标为代入，可得=2. 故选B. 【点睛】本题综合考查反比例函数中未知数的求解、全等三角形的性质与判定、图形平移等知识.涉及图形与坐标系结合的问题，要学会通过辅助线进行求解. 1．已知某函数图象经过，，三个点，则该函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点的坐标和函数的性质，根据函数图象上点的坐标得到，关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，然后逐项判断解答即可． 【详解】根据题意可得，关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大， 故符合要求的函数图像为D选项， 故选：D． 2．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出，，，比较即可获得答案． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， 解得， 又∵， ∴． 故选：C． 3．若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数及一次函数交点问题．根据题意利用交点坐标及图像即可得到本题答案． 【详解】解：∵双曲线与直线的一个交点坐标为， ∴反比例函数经过二，四象限，一次函数经过二，四象限，另一个交点为， ∴的解集为：或， 故选：C． 4．如图，一次函数图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为和1．当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．结合函数图象，找出一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围，由此即可得． 【详解】解：由函数图象可知，当时，或， 故选：C． 5．已知反比例函数，第一象限有一点，过向坐标轴作垂线，分别交轴，轴于A，点，分别交反比例函数于，点，若，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例与几何的综合、矩形的判定与性质等知识点，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 设D的坐标为，由题意可知，则C点坐标为，由于C点和D点都在反比例函数上，即可求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：设D的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直于y轴，垂直于x轴， ∴四边形为矩形，即， ∴则C点坐标为， ∵C点和D点都在反比例函数上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．若点，点，点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是： （填“”、“”或“”中的一个）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得 ，再求得，由，得到，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点，点，点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，轴交轴于点，连结．若矩形的周长为8，对角线的长为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查反比例函数性质、矩形周长公式及勾股定理的综合运用，解题关键是通过设点坐标，利用矩形周长和勾股定理建立等式求出反比例函数中的值． 设，由反比例函数性质得．根据矩形周长公式得出的值，两边平方得到的值．利用勾股定理得出的值，代入上式求出，进而得到的值． 【详解】设A点坐标为（，）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴． ∵矩形周长为， 即，，， 则，化简得． 将两边同时平方得 ， 即． ∵对角线长为， 在中， 根据勾股定理， 即． 把代入中得 ． 解得． ∵， ∴． 故答案为：3． 8．已知点是反比例函数图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的平移、反比例函数的性质等知识点，根据题意得出平移后的坐标是解题的关键．先求出点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点的坐标，然后根据平移后的点仍在这个反比例函数图象上，得出，求出m的值，再求出k的值即可． 【详解】解：把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位后的点的坐标为， ∵点A和点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：6． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点落在反比例函数图象上，点落在反比例函图象上，延长交轴于点，若四边形的面积为3，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．不妨设，可算得，那么的面积为2，由，推出，然后利用平行四边形的性质，可推出点坐标，然后将其代入即可． 【详解】解：，点落在反比例函数图象上，不妨设， 那么，， ， 四边形的面积为3， 的面积为， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 点落在反比例函图象上， ， ． 故答案为：6． 10．如图，点，均在反比例函数的图象上．连结，并延长，分别与反比例函数的图象交于点，，连结，，，．若，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、反比例函数的图象与性质、反比例函数中的几何意义，根据反比例函数的图象与性质可证四边形是矩形，根据，，可知矩形的面积是，从而可知，根据矩形的性质可知，从而可知，根据，可得，可以求出、的值，从而可得的值． 【详解】解：点，均在反比例函数的图象上, 点的坐标是，点的坐标是， ，，， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 如下图所示，过点作，过点作， 则， ， ， ， ， ， ， 点在第一象限， ，， ． 故答案为： ． 11．函数（为常数）的图象过点． (1)求的值； (2)小明说：“该函数图象上的任意一点，若，则”，你赞同小明的说法吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)不赞同，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键． （1）将代入求解即可． （2）取特殊值判断即可． 【详解】（1）解：根据题意将代入， 则， 解得：，． （2）解：不赞同 根据（1）可得，该函数图象上的任意一点，则， 当时，则有， 故小明说法不正确． 12．在直角坐标系中，设函数与函数（，，是常数，）的图象交于点，． (1)求函数，的表达式． (2)当时，比较与的大小．（直接写出结果） (3)若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)当时，； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）画出图象，利用数形结合解答即可； （3）根据点的平移法则设点C坐标为，写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标． 【详解】（1）解：∵两个函数图象交于点，． ∴, ∴，， ∴， ∵点，在直线图象上， ， 解得， ∴； （2）解：两个函数图象如图所示， 由图可知，当时，； （3）解：设点C坐标为， ∵将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点， ∴， ∵点D恰好落在函数的图象上， ∴， 整理得， ∴或， ∴点的坐标为或． 13．某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求的值及曲线的函数表达式． (2)若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)， (2)能，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）把代入函数解析式，求出的值，进而求出点坐标，待定系数法求出曲线的函数表达式即可； （2）求出时的自变量的值，求出两个自变量的差值与18进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， 设曲线的函数表达式为， 则：， ∴； （2）能，理由如下： 当时，对于，解得：； 对于，解得：， ， ∴老师能在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题； 14．在直角坐标系中，函数与函数的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2． (1)求k的值和点B的坐标． (2)若函数的图象向下平移个单位后经过点，与y轴交于点D． ①求m的值． ②求的面积， 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先求出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，再联立两函数解析式求出点B坐标即可； （2）①先表示出平移后的直线解析式，进而利用待定系数法求出平移后的解析式，即m的值；②求出点D坐标，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴； （2）解：①函数的图象向下平移个单位后的函数解析式为， ∵函数的图象经过， ∴， ∴； ②由①可得平移后的函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴． 15．如图，12个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，直线平分这12个正方形组合图形的面积，且与轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第二象限的图象交于点．若的面积之比为． (1)求直线的解析式． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，待定系数法求函数解析式，熟悉掌握函数的表达式是解题的关键． （1）利用面积关系求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）利用比值关系求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，如图所示进行标注， ∵直线平分这12个正方形组合图形的面积， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵与的面积之比为，， ∴到轴的距离为， ∴把代入可得：， ∴， ∵反比例函数在第二象限且过点， ∴． 16．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式． (1)问题解决：确定桥洞的形状． 建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为， ①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）； ②求出经过点A的双曲线的函数表达式． (2)探索应用： 这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．） 【答案】(1)①；② (2)此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）①过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，根据落在第一象限的角平分线上，结合和作辅助线可得多个等腰直角三角形，即可表示出； ②设双曲线接解析式为，把，代入计算即可； （2）求出当能恰好通过，则，在双曲线上，此时设和交于点，过作轴于，过作轴于，由等腰直角三角形求出点，代入得，求出，即此船最高载货2.8米，得到船身下降的高度，代入计算即可． 【详解】（1）解：①如图，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形， ∴，， ∵点C为， ∴， ∵落在第一象限的角平分线上， ∴A、B关于对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，， ∴点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设双曲线接解析式为， 把，代入得 ∴ 解得，， ∴点A在双曲线上； （2）由（1）可求：，，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设和交于点，过作轴于，过作轴于，则， 若能恰好通过，则，在双曲线上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴点， 把代入得， 解得， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴此船最高载货2.8米 ∵， ∴此船不能通过， ∴船身下降的高度， ∵， ∴， 故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞． 答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞． 17．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)元 (4)存在，不变的值为240 【分析】本题考查了一次函数的应用，，正比例与反比例的应用； （1）通过待定系数法求函数关系式． （2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解． （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为，列出函数关系式，将代入，即可求解； （4）先求得当时，与的函数关系式为，根据分段表示出的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 即：， 与的函数关系式为； （2）解：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，设与的函数关系式为， 故答案为：； （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为， 当时， 当时，千元 即元 （4）存在，不变的值为， 由函数图像得：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，与的函数关系式为， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，在这周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为． 18． 设计货船通过双曲线桥的方案 素材 一座曲线桥如图所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图是其示意图，且该桥关于对称．          素材 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式． 问题解决 任务 确定桥洞的形状 建立平面直角坐标系如图所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，点A的坐标为_______________，此时过点的双曲线的函数表达式为_____________，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意． 任务 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？ （提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式） 【答案】任务：，，乙正确；任务：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞． 【分析】任务：设曲线的解析式为，把点代入，可得曲线的解析式为  ，再由反比例函数图象的对称性可得，点是的中点，，过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于， 可得，是等腰直角三角形，，进而可得，，点在双曲线上，与点在双曲线上矛盾； 任务：设其中则，可得，由 ，，可得，，可得，再根据矩形的性质可得，即可判断此时货船不能通过，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线与双曲线的交点 ，即可求得答案； 本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解题的关键是根据坐标系列出相应的函数解析式． 【详解】任务：设曲线的解析式为 ，把点代入，得 ：， 解得：， ∴曲线的解析式为， ∵落在第一象限的角平分线上， ∴、关于对称，即、关于第一象限角平分线对称， ∴点是的中点，， 过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于，如图， 则，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴点在双曲线上， ∴点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意， 故答案为：，，乙正确； 任务：设，，其中 ，则，如图， ∵点在直线上， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴ ，， ∵， ∴此时货船不能通过该桥洞， 设直线的解析式为，与双曲线的交点为，把代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：(舍去)， ， ∴ ∴，即， ∵， ∴ 故要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞， 答：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞． 19． 确定有效消毒的时间段 背景素材 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段．    x … 1 2 3 … y … 3 4 … 表1 问题解决 任务1 确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式． 任务2 初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围． 任务3 若实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 【答案】任务1：；；任务2：；任务3：或． 【分析】任务1：利用待定系数法求解即可；任务2：求得时，对应的x的值，根据图象即可求解；任务3：分当和、时，三种情况讨论，求解即可． 【详解】任务1：解：设当药物释放阶段（即）时， 设， 把，代入， 得，解得， ∴； 设当药物释放后（即）时，设， 把代入， 得， 解得， ∴； 任务2：把分别代入，得， 解得， 由图象，得； 任务3： （1）当时， 把代入，得， 解得； 把代入，得，满足题意； ． （2）时，把代入， 得， 解得（舍去）； ∴无解； （3）时，（即） ①把代入，得， 解得； 把代入，解得，满足要求（）， ∴； ②把代入， 得， 解得； 把代入，解得，满足要求（）， ∴． 综上，或． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$