江西中考特色专题训练六 二次函数综合探究-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

专题训练六 二次函数综合探究 (限时：60分钟) 类型1规律探究 ②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵 1.新考法·新定义题(1)如图①，对于抛物 坐标均为整数的点)”：C,C2,C3,…,C。,其横 线y1=-x2-x十1，y2=-x2-2x十1，y3 坐标分别为一k一1，一k一2，一k一3，… 一x2一3x十1，下列结论正确的是 一k一n(k为正整数).判断相邻两点之间的 (填序号)： 距离是否都相等，若相等，请求出相邻两点 ①抛物线yy2,ya都经过点C(0,1): 之间的距离；若不相等，请说明理由. ②抛物线y2,y的对称轴由抛物线y1的对 称轴依次向左平移2个单位长度得到： ③抛物线y,2,y与直线y=1的交点中， 相邻两点之间的距离相等. (2)把满足yn=一x一x十1(n为正整数) 的抛物线称为“系列平移抛物线”，如图②. ①“系列平移抛物线”的顶点依次为P,P, Pg,…,P.请用含n的代数式表示顶点P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x 之间的函数关系式： 类型2新定义探究 2.定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标 互为相反数的点，则称该点为函数图象的 “和零点”.例如，求函数y=x一2图象的“和 零点” 解：，“和零点”的横坐标与纵坐标互为相 反数， .“和零点”在函数y=一x的图象上， r=1, 解得 y=x-2, y=-1, .函数y=x一2图象的“和零点”是(1， -1) 根据上述材料，解答下列问题： (1)求函数y豆一2图象的“和零点”： (2)若函数y=x2一3.x十k的图象存在唯一 的一个“和零点”，求k的值： 下册专题训练 (3)如下图，A,B是函数y=一x2+4.x十6的 (3)如下图，“勾股抛物线”y=一x2十1交y 图象的和零点”，C是函数y=一2的图 轴于点C.现有一条直线绕点O旋转，在旋 转过程中始终保持与抛物线交于M,N两点 象的“和零点”，过点C作CD⊥x轴，垂足为 (点M在点N的左侧).试判断△MCN的 D.连接AB,AD,BD,求△ABD的面积. 形状，并证明你的结论。 =-x2+4x+6 3.定义：若抛物线与x轴的两个交点和顶点构 类型3图象变换探究 成直角三角形，则称这条抛物线为“勾股抛 4.(2024南昌模拟)已知二次函数y=kx 物线” 6kx+5k(k>0)的图象经过A,B两定点（点 (1)有下列抛物线：①y=x2一2x:②y=一x A在点B的左侧)，顶点为P. 一6.x一8：③y=x2一4x十2.其中是“勾股抛 (1)求定点A,B的坐标： 物线”的是 (填序号)； (2)把二次函数y=k.x2一6kx+5k的图象在 (2)①观察你得到的“勾股抛物线”的表达 直线AB下方的部分向上翻折，顶点P的对 式，试猜想：在“勾股抛物线”y=ax2十bx十c 应点为P',将向上翻折得到的部分与原二次 中，b-4ac= 函数位于直线AB上方的部分组合成的图 ②若y=x2十4x十c是“勾股抛物线”，则c 象记作图象W,则向上翻折得到的部分的函 的值 数表达式为 (写出自变量的取值范围)： (3)在图象W中，已知△ABP的面积为8. ①当1≤x≤4时，求图象W中y的取值 范围； 92 数学九年级AJ版 ②若直线y=m与图象W从左到右依次交 (1)求足球运动路线的函数表达式： 于C,D,E,F四点，且CD=DE=EF,求m (2)足球能否射门成功（不考虑其他因素）？ 的值 请说明理由： (3)若射门路线的形状及其最大高度均保持 不变，小鹏同学带球向自己的正后方移动一 定的距离后再朝球门方向起脚射门，刚好使 得足球经过点N正下方的40cm处破门而 入，求移动的距离. y/m 5.(2024九江期中)在一次足球训练中，小鹏同 学在距离球门12m的点O处起脚射门，即 OM=12m.已知足球的运动路线是抛物线， 在足球飞行过程中，距起脚点O的水平距离 为8m时，可达到最高点，最高点距离地面 4m.已知球门MN为标准高度2.44m,建 立平面直角坐标系如下图所示，O为坐标 原点 下册专题训练 93,(OE是⊙O的半径，，EF是⊙O的切线 令点C.的坐标为(x-4。-),x-1=一-(n一1)=一k (2)设⊙O的半径为r,即(OE=(0B=r,则)F=r+1. n十1，y。=一x-t一(n-1)x。1十1：点C,的坐标为(， saF=专-骠右 3yn),xw=一k一n,ya=-x话一i.xm十1， 则x。1-x。-1y.-1-y,=-1-(n-1).x,1+1++ r=4.AB=2r=8. nxw-1=(x.-x-1)(x,十x-1)十n(x,-x。-1)十x-1 在R△ABC中，：sim∠ABC=AC AB=sinF=4 ，AB=8. 一一-1一+-1=一一n=-(-k一n)-=k, AC=X8=号 CC=√(，一x)十(y1一下=√十，结果与 n无关， ∴C-VaB-AC-琴 相邻两点之间的距离都相等，距离为√十飞 6.解：(1)直线CD与⊙O相切.理由如下： y=一r x=3 :EC=BC.,∴.∠CAD=∠BAC 2.解：(1)由题意，得 解得 OA=OC..∠BAC=∠ACO, y=交x-2 y=- ∠CAD=∠ACO..AD∥OC. ,AD⊥CD,.OC⊥CD “函数y=之x一2图象的和零点”为（冬一子）】 :OC是⊙O的半径， (2):函数y=x2一3+k的图象存在唯一的一个“和零点”. ∴.CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切. x一3r+k=一x有两个相等的实数根， (2)①证明：由(1)知，OC⊥CD,.∠FCD=90 方程整理，得x2一2x+k=0,则△=（一2）2一4k=0, :AB是⊙O的直径， 解得k=1. .∠AEB=90, (3)由题意，得一2+4x+6=-x,即x2一5.x一6=0， .∠FED=∠D=∠FCD=90 解得=6，=-1，.A(-1,1),B(6,一6). ,四边形DEFC是矩形. 由)可知，c(-子) ②，四边形DEFC是矩形，EF=CD=√，OC⊥BE, .BE=2EF=23. ∴.SD=Sm+S△= ,AE=√AB-BE=2, ∴in/ABE--指 寺×(8-)兰 3.解：(1)①吗 .∠ABE=30, (2)①4 .∠A0E=60°，.∠BOE=120 ②由①可知，一4ac=4: ,EC=BC,.∠COE=∠B0C=60. .16-4c=4,.r=3. 如图，连接CE (3)△MCN为直角三角形 .OE=OC,∠C0E=60°， 证期：设直线MW的表达式为y=kx △COE是等边三角形， 令kx=-2十1， ·∠EC0=∠B0C=60,CE=OE=号AB x2+kx-1=0. 设其两根分别为工1，x, =2, 则x1十=一k,x1=一1， .CE∥AB..Swx=S△w 点M的坐标为(x1,kr1),点N的坐标为(x,k), :∠OCD=90',∠OCE=60°.∴∠DCE=30. MNe=(x1一)2+(1-x)月 DE=2CE-1心AD-3 =(1+)2-41+[(1+1)2-412] =k2十4+k+4 :阴影部分的面积为Sam一5=名×，5X3 =k十52+4. 60x×2_33_2π 当x=0时，y=-x2+1=1,∴点C的坐标为(0.1)， 360 23 ∴MC+CN=+(k1-1)2+x+(kn-1) 专题训练六 二次函数综合探究 =(k2+1)(x+x)-2k(x+x1)+2 1.解：(1)①②③ =(2十1)[(1十x1)2-2x1x1]一2k(x1+x,)+2 20“=--+1=-(+受）广+4 =6+5k2+4, ∴.MN2=Me+CNP, ∴顶点P的坐标为(-受，”牛)】 .△MCN为直角三角形 4.解：(1)原函数可化为y=(x-1)(x-5), 令预点P的横坐标为=一受纵坐标为y=“十，则y .定点为A(1,0),B(5,0). (2)y=一kx+6kx-5k(1≤.x≤≤5) ()+1=+1, (3)①，A(1,0,B(5,0), 即该顶点纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式为y=x “抛物线的对称轴为直线r=1中5=3， 2 +1. 把x=3代人y=一kx2+6kx一5k,得y=4k. ②相邻两点之间的距离都相等， ,△ABP'的面积为8， 166 数学九年级RJ版 4X1×号=8 在R△BCD中，CB=2,CD=√5， .k=士1. -1器-股- k>0, .DB .k=1, BC DE tand. =tana…EF ∴.图象W向上翻折部分的函数表达式为y=一x2+6一5(1 =tang. ≤5)， .在1≤x≤4的范围内， 理由：如图②，过点D作DM∥BC交CE于点M,则25- 当x=3时，y取得最大值，y大=4：当x=1时，y取得最小 M 值，y层小值=0， E元∠CDM=a. 故在图象W中，当1≤x≤4时，y的取值范围为0≤y≤4. EC-CD.ECD' DF MC ②：直线y一m与图象W从左到右依次交于C,D,E,F 四点， .二次函数y=x2一6.x十5的图象与直线y=m交于点C, 在Rt△MCD中，tan∠CDM=MC.:DE CDEF=tana F,二次函数y=-x2+6x一5的图象与直线y=m交于点 D.E. x2-6x+5=m,一2+6x-5=m, .CF=√G-4(5-m),DE=√6-4(5+m). .CD=DE=EF. .CF=3DE. 围② 即/6-4(5-m)=3×√6-4(5+m), 2.解：(1)①∠BPC=120. 两边平方，得62一4(5-m)=9[62-4(5+m)门，解得m= 16 5 ②如图①所示，由于∠BPC始终为120'，故过点B,C,P作 ⊙O,连接OP交BC于点N,连接OB,OC. 5.解：(1)由题意可得抛物线的顶点为(8,4)： 易得∠BOC=120°， 设抛物线的表达式为y=a(x一8)十4. '.当PO⊥BC时，点P到BC的距离最大 将(0,0)代入，得0=a·(0一8)十4. 当PO⊥BC时， 解得a=一 16 ,OP是⊙O的半径，.∠BOP= ∠BOC 六足球运动路线的表达式为y=一后x一8)2+4 =60,NB=2BC=3 (2)不能. ∴.ON=√，OP=OB=23 理由：当x=12时，y=一6×(12-8)+4=3 ∴点P到BC的最大距离为23-√3=3. 3>2.44 ③由②可知，点P的“路径长”为劣弧BC的长度，即 足球不能射门成功. (3)设小鹏同学带球向自己的正后方移动mm,则移动后足 1225-合5 180 球运动路线的表达式为y=-点r一8+m产+4(m>0》. (2)点A'的“路径长”与点P的“路径长"的比是2：1. 理由：如图②，作等边三角形ABC的外接圆， 2.44-0.4=2.04(m), :∠BPC恒为120°，·.∠CBP+∠BCP ,.平移后的地物线经过点(12,2.04)， =60°. ÷204=-6×(12-8+m产+4 又⊙P是△ABC的内切圆 ∠CBA'+∠BCA'=120°， 解得=1.6，=一9.6（不符合题意，舍去）， ·∠A=60°， .移动的距离为1.6m. ·A'是等边三角形ABC外接圆的弧 专题训练七几何综合探究 BAC上的一个动点，即点A'的“路径长” 图2 1.解：(1)1 是弧BAC的长度. (2)如图①，过点C作CH⊥BC,过点E作EH∥BC,两线交 :BC=6,∴等边三角形ABC外接圆的半径为2√3， 于点H,延长AB交HE的延长线于点G, .CH⊥EH 六点A的路径长为202-=景原 180 又：∠ABC=90°，.∠GBC=90, 四边形BCHG是矩形. 由（D@可知，点P的路径长”为学 :∠DCE-∠BCH=90 .∠DCB=∠ECH. ÷点A的路径长与点P的路径长"的比是号3元·专3x '∠DBC=∠H=90°，DC=EC. 2；1 △BCDe△HCE,.BC=HC 3.解：(1)1 ,.四边形BCHG是正方形，.BG=BC (2)如图①，连接AC,AM DF DB DF DB :点B,M关于直线AN对称， :BC/GH.F-G吊EF-BC ..AB-AM-6, 下册参考答案 167