27.1 图形的相似-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

第二十七章 相似 27.1图形的相似 第1课时相似图形 要点提示 1.相似图形的概念：两个图形的形状完全相同，但图形的大小、位置不一定相同，这样的图形叫微相似图形 2.两个相似图形之间的关系：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形数大或馆小得到。 O1固基础 知识点相似图形的识别 1.下列各组图形中，是相似图形的是 6.(2024连云港)下列网格中各个小正方形的 边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、 B 丙、丁，其中是相似形的为 2.下列图形中，不是相似图形的是 9⑨ %% 第6题周 A B D A.甲和乙 B.乙和丁 3.(教材第25页题1变式)如图， C.甲和丙 D.甲和丁 用放大镜将图形放大，这种变 7.有下列各组图形：①两个等腰三角形；②两 换应属于 ( 第3题图 个直角三角形：③两个等边三角形：④两副 A.对称变换 B.平移变换 三角板中的含30°角的直角三角形；⑤各有 C.相似变换 D.旋转变换 一个内角是45°的两个等腰三角形.其中一 4.如图，四个图标中，相似的两个是 定相似的是 (填序号). 8.如图，在图②一⑥中，与①相似的图形有 (填序号). 第4题围 A.①②B.①③ C.③④ D.①④ 03 ④ 5.手工课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁 第8题图 后装饰手工画，下面四个图案分别是她剪裁出 9.如下图，下面的方格纸中有一个五边形.请 的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和 在方格纸中画出一个与该五边形相似的图 矩形花边.如果每个图案中花边的宽度都相 形（顶点都在方格的顶点上）. 等，那么每个图案中花边的内、外边缘各自所 围成的几何图形不相似的是 10.如下图，下面各组中的两个图形，哪些是相 A 似图形？哪些不是相似图形？ 数学九年级RJ版 14.(1)如图①，把左边的图形放大到原来的2 倍，在右边的格点图中画出这个图形： 6 图① (2)如图②，请你在左边的格点图中画出一 个图形，然后在右边的格点图中画出一个与 它相似的图形 02提能力)念 。 11.下列图形不是相似图形的是 ( A.同一张底片冲洗出来的两张大小不同的 照片 图② B.用放大镜将一个小图案放大，原有图案 O3拓思维 和放大后的图案 15.新课标要求·跨生物学学科 C.某人的侧身照片和正面照片 某课外活动小组的同学在研究 D.一棵树与它倒映在水中的像 某种植物标本（如右图）时，测 12.已知下列四种图形：①有一个角为直角的菱 得叶片①的最大宽度是8cm, 形：②邻边相等的矩形：③对角线相等且互相 最大长度是16cm:叶片②的最大宽度是 垂直的四边形：④四边相等、四角也相等的四 7cm,最大长度是14cm:叶片③的最大宽度 边形.要使剔除其中的一种图形后，其余的三 约是6.5cm.请你用所学数学知识估算叶片 种图形互相相似，则应该剔除的是( ③的最大长度（叶片具有相似性）， A.① B.② C.③ D.④ 13.(教材第25页题2变式)观察图①、图②并 填空： 图②中，与A相似的图形有 :与 B相似的图形有 :与C相似的图 形有 (填字母序号)。 图① 田 ④ 图② 第13随图 下册第二十七章 第2课时 相似多边形 要点提示 L.比例线段：对于四条线段，，d,如果其中两条线段的比（它们长度的比）与另两条线段的比相苹.知方一7 (d=),我们就说这四条线段成比例，简称比例线段. 2相似多边形的概念与性质：(1)两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形 叫做相似多边形：(2)相似多边形对边的比叫做相似比：(3)相似多边形的对意角相等，对应过成比例， O1固基础 (2)求证：△ADE与△ABC相似. 知识点1比例线段 1.下列各组线段中，成比例的是 A.2 cm.3 cm,4 cm,5 cm B.2 cm,4 cm,6 cm,8 cm 知识点3利用相似多边形的性质进行计算 C.3 cm.6 cm.8 cm,12 cm 6.如图，正五边形FGHMN与正五边形ABC D.1 cm,3 cm,5 cm,15 cm DE相似.若AB：FG=2:3,则下列结论正 2.(2024合肥长丰期末)如果x:y=1:2,那么 确的是 ) 下列各式不成立的是 A.2DE=3MN B.3DE=2MN A.fy=3 取-号 C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F 1 c￥-号 D.+1-2 y+13 3.(教材第27页题1变式)在比例尺为1：200000 6题图 第7题图 的地图上，量得A,B两地的图上距离为 7.如图，在矩形ABCD中，AD=3,AB=6,剪去一 4.5cm,则A,B两地的实际距离为 个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF与矩 m. 形BCDA相似，则CF的长为 知识点2相似多边形的判定 8.(教材第26页例题变式)如下图，四边形 4.下列各组图形中，一定相似的是 ABCD与四边形EFGH相似，求∠a,∠3的 A.两个平行四边形B.两个正方形 度数和EH的长度. C.两个矩形 D.两个菱形 5.如下图，DE∥BC,BD,CE相 20 cmD x em 24m 130 交于点A,DE=3,BC=9,AD 16m 60 659 =1.5,AB=4.5,AE=1.8, AC=5.4. ④求铝能能的值： 数学九年级RJ版 易错点没有分情况讨论导致错误 9.已知三条线段的长分别为1cm,2cm, 3cm.如果加上另外一条线段后，这四条 线段成比例，那么另外一条线段的长为 02提能力之 10.复印纸的型号A0,A1,A2,A3,A4等，它们 之间存在着这样一种关系：将其中某一型 号（如A3)的复印纸沿较长边对折后，就能 得到两张下一型号(A4)的复印纸，且得到 的两个矩形都和原来的矩形相似（如图）. ……◆03拓思维之…… 这些型号的复印纸的长与宽的比为( A.√2：1 B.√3：1 13.(1)若点P将线段AB分割成两条线段 C.1:√2 D.3:1 AP,Bn.使AP>BP,且铝-那则P就 A4 是线段AB的黄金分制点，此时裙的值为 A3- A4 (填一个实数)： 第10题图 第11题周 (2)如下图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB 11.如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方 =2BC,现以点C为圆心，CB长为半径画 形ABCD的四条边上.若正方形EFGH与正 弧，交边AC于点D,再以点A为圆心，AD 方形ACD的相似比为号，则 (AE<<BE) 长为半径画弧，交边AB于点E.求证：E是 线段AB的黄金分割点 的值为 12.如右图，E是菱形ABCD 对角线CA的延长线上的 任意一点，以线段AE为 边作一个菱形AEFG,且菱形AEFG与菱 形ABCD相似，连接EB,GD, (1)求证：EB=GD: (2)若∠DAB=60°，AB=2,AG=3,求 GD的长 下册第二十七章《3)由1)可知，6=240， k=一2， ,p随V的增大而减小， ∴.要使气球不会爆炸，V≥0.032，此时≥0.2， .R1=-2m+240. .气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸。 又：R-驶-0， (2)由于车辆超载，轮脸内的气体体积变小，气压增大导致 爆胎. 20-0=-2m+20, 15.解：(1)，爆炸前浓度呈直线增加， .可设y与x的函数关系式为y=k1x十b(k≠0). m=1质-器 把(0,30)，(6,75)代入， 本章小结 得/30=. 解得 1.C2.C3.y= (r>0)4B5.C6号7.A8.D 175=6k1+b, b=30, 9.解：1)将A2,4)分别代人y=专与y=mr y一号+30，此时自变量x的取值范偶是0<<8 :爆炸后y与x成反比例关系， 解得k=8,m=2, “双曲线和直线AB的函数解析式分别为y-兰和y=2 六可设y与x的函数关系式为y=丝(k:≠0. 把(6,75)代人，得k:=6×75=450. (2)设直线AB平移后的解析式为y=2r一n,点D的坐标为 (a,0). y=450,此时自变量工的取值范围是r>6, ,C是线段AD的中点， 点c的坐标为（告，2） (2)当y=60时，由题意，得受x十30=0，解得=4， .撤离的最长时间为6一4=2(h), 点C在反比例函数图象上， .撤离速度至少为3÷2=1.5(km/h). 告2=8 (3)当y=30时，由题意，得450=30，解得r=15, 解得a=6, 15-6=9(h), .点C的坐标为(4,2). .矿工至少要在爆炸9h后才能下并 将点C的坐标代人y=2x一n中，解得n=6. 第二十七章相似 10.解：(1)：反比例函数y=的图象经过点A(1,6) 27.1图形的相似 .k=1×6=6. 第1课时相似图形 ,B(n.-1),.6=-n, 1.D2.D3.C4.D5.D6.D7.③④8.®⑤0 .n=-6, 9.解：（答案不唯一）如图. .B(-6,-1) ,点A,B在一次函数y=ax十b的图象上， /0+6=, -6a+b=-1, 解得a=1, 1b=5, ∴.a=1,b=5,k=6. 10.解：图③和图⑤中的两个图形是相似图形.图①，图②，图 ④，图⑥中的两个图形不是相似图形. (2)由题图可得关于r的不等式ar+b<左的解集为r< 11.C 12.C 13.ad b ef -6或0<r<1 14.解：(1)如图①所示. (3)由(1)可知，一次函数为y=x十5， 令y=0,则x十5=0， x=一5， .C(-5.0), ÷Sam=Sam+Sar=×5X6+号×5X1=17.5 ，4，。。。0。 图① OP-OB. (2)(答案不唯一)如图②所示. ,S么w0=S△xm=17.5. 年。年果。 11.B12.A13.C 14.解：(1)设气压p关于气体体积V的函数解析式为p=文， 根据题图，得k=pV=120×0.04=4.8, 15.解：根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶 p= 片的最大宽度：最大长度=12，由此估算叶片③的最大 当p=150时.v-品-0032 长度是6.5×2=13(cm). 第2课时相似多边形 令号×3=0.032.解得r=0.2 1.D2.D3.90004.B :k=4.8>0,V>0, 5解：裙-号能-骨分股-号=台 下册参考答案 147 (2)证明：，DE∥BC,.∠D=∠B,∠E=∠C 7.C8.A9.B 又：∠DAE=∠BAC器能能， 10.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .OA=(OC,AB∥CD,.∠OAE=∠OCF, △ADE与△ABC相似. 在△AOE和△COF中， 6.B7.是 ∠OAE=∠OF, OA=OC. 8.解：，四边形ABCD与四边形EFGH相似， ∠AOE=∠COF, .∠a=∠C=65°，∠A=∠E=130. .△AOE≌△COF(ASA), 在四边形ABCD中，∠3=360°-65°-60°-130°=105 .OE=OF ,四边形ABCD与四边形EFGH相似， (2)如图，过点O作OV∥BC交AB于 ..EH:AD=EF:AB. 点N, .￥20=24￥16. 则△AONc∽△ACB. 解得x=30, OA=OC.BC=AD=4:AB=6. .EH=30 cm 9.号cm或号cm或6em10.A1. ∴ON=号BC=2.BN=号AB=3. :ON∥BC,.△ONE∽△MBE, 12.解：(1)证明：，菱形AEFG与菱形ABCD相似， .∠EAG=∠BAD, 器-器号3 BE ∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB, 解得BE=1. 即∠EAB=∠GAD 11,解：(1)证明：，在口ABCD中，对角线AC和BD相交于点 又，AE=AG,AB=AD, O.AC=8.BD-6. .△AEB≌△AGD(SAS): .EB-GD. A0=C0-AC=4,D0=0-BD-3. (2)如图，连接BD交AC于点P,则BP⊥AC 又，AD=5,.AD=A0十D0, :∠DAB=60°，∠PAB=30, △AOD为直角三角形，且∠AOD=90° :BP-7AB-1. .AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形 (2)如图，设CD的中点为G,连接OG AP=√AB-BP=S, 则OG是△ACD的中位线， 又，AE=AG=3, 0G-含AD=受 .EP=23 由(1)可知，四边形ABCD是菱形， ∴.EB=√EP十BP=√12+1=√13， ∠ACD=∠ACB. .GD=13. 13.解：(15-1 :∠E=号∠ACD. 2 (2)设BC=a,则AB=2a,∴.AC=√BC+AB=√5a. ∠E=∠ACB 由题意，得CD=BC=a, :∠ACB=∠E+∠COE, .AE=AD=5a-a. .∠E=∠COE,.CE=CO=4. ,OG是△ACD的中位线，，OG∥AD∥BE, .BE=AB-AE=3a-5a, '.△(OGFn△ECF, 福。6柴-@-5 2a 2 'AE 5u-u 2 能 第2课时相似三角形的判定定理1 即E是线段AB的黄金分制点 27.2相似三角形 1.A2.A3.B4.40°5.号640 27.2.1相似三角形的判定 7.解：相似.理由如下： 第1课时平行线分线段成比例 1.D2.全等2：13.A4.105.3 6.解：：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AB∥CD,AD∥BC, “滑瓷- ∴.△BEFC∽△CDF,△BEF∽△AED. △ABC∽△A'B'C .△CDF∽△AED. 8.解：公路AB与DC平行.理由如下： AB=CD.AB=3BE. BE 品”景提器号腮品导 △BEF和△CDF的相似比k,=CD=3· △BEF和△AED的相叙比：-瞿=B= 品肥肥 BE .△ABD∽△BDC, △CDF和△ABD的相：比：-是E是 3 .∠ABD=∠BDC, AB∥DC 148 数学九年级RJ版