26.2 实际问题与反比例函数-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

26.2实际问题与反比例函数 第1课时反比例函数在实际生活中的应用 要点提示 反比例函数在实际生活中的应用：利用反比例品数解决实际问题时，首先要建立品数模型，即列出符合题意的 反比例西数解析式，然后根据反比例函数的图象及性质列方程（组）或不等式（组）求解. O1固基础● 已知该款运动鞋的进价为180元/双，要使 该款运动鞋每天的销售利润达到2400元， 知识点反比例函数在实际生活中的应用 则其售价应定为 元/双. 1.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只 5.(教材第17页题9变式)已知将油箱注满kL 玩具熊猫的成本为y元.若该厂每月生产x 油后，轿车可行驶的总路程s(单位：km)与 (x取正整数)只玩具熊猫，这个月的总成本 平均耗油量a(单位：L/km)满足反比例函数 为5000元，则y与x之间的关系式为 ( B.y=5000 关系s=(k是常数，k≠0).已知某轿车油 A.y=5000 3x 箱注满油后，以平均每千米耗油0.1L的速 C.y=5000 D.y= 500x 度行驶，可行驶700km. 2.如图所示的是一个蓄水池的排水量V(单 (1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油 量a之间的函数解析式； 位：m3/h)与排完蓄水池中的水所用的时间t (2)当平均耗油量为0.08L/km时，油箱注 (单位：h)之间的函数关系图象.若要5h排 满油后，求该轿车可行驶的总路程， 完蓄水池中的水，则每小时的排水量应为 m 200 V/(m'/h) 160 120 80 4 (4,32) 9 012345icm 第2题图 第3题图 3.在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做 拉面，面条的总长度y(单位：cm)与面条的横 ●易错点忽视自变量的实际意义而致错 截面积x(单位：cm)成反比例函数关系，其 6.攀登探险者一般会携带一种容积为5L 图象如图所示.当面条的横截面积为0.4cm 的氧气瓶。一位探险者的吸氧速度为每小 时，面条的总长度是 cm 时不少于1L,但不多于5L,则氧气可供 4.调查显示，某商场一款运动鞋的销售量y(单 使用的时间y(单位：h)关于此人的吸氧 位：双)是售价x(单位：元/双)的反比例函 速度x(单位：L/h)的函数图象是 数，调查获得的部分数据如下表： 售价x/(元/双) 200 240250 400 杀非套 销售量y/双 25 24 15 下册第二十六高 02提能力念 ……之O3拓思维◆ 7.随着汽车数量的增加，城(kh)1 9.数学核心素养·模型观念学校下午放学 80 市的交通也越来越拥堵， 时校门口的堵塞情况已成为社会热点问题 通常情况下，某段高架桥 某校对本校下午放学校门口堵塞情况做了 上的车辆的行驶速度y 10 病 一个调查，发现：每天放学时间2min后校门 (单位：km/h)与高架桥 第7题图 外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y 上每百米车的数量x(单位：辆)之间的函数 与放学后时间x(单位：min)的函数关系描 关系图象如图所示.当x≥10时，y与x成 述.如下图，2min~12min呈二次函数状 反比例.当车辆的行驶速度低于20km/h 态，且在第12分钟达到该函数的最大值，最 时，交通就会拥堵.为避免交通拥堵，高架桥 大值为100，此后的变化大致为反比例函数 上每百米车的数量x的取值范围是() A.0≤x≤40 B.x≥40 y=(x>O)的图象向右平移4个单位长度 C.x>40 D.0≤x<40 得到的曲线趋势.若“拥挤指数”y≥36，校门 8.A地某公司将农副产品运往B地进行销售， 外呈现“拥挤状态”，需要志愿者维护秩序、 记汽车的行驶时间为th,平均速度为 疏导交通. vkm/h(汽车行驶速度不超过100km/h). (1)求该二次函数的解析式和k的值： 根据经验，，t的五组对应值如下表： (2)“拥挤状态”持续的时间是否超过 v/(km/h) 75 80 85 90 95 20min?请说明理由. t/h 4.003.75 3.53 3.33 3.16 100 (1)根据表中的数据，求出平均速度。关于 行驶时间1的函数解析式： 02 12 x/min (2)汽车上午7：30从A地出发，能否在上午 10:00之前到达B地？请说明理由； (3)若汽车到达B地的行驶时间t满足3.5 ≤≤4，求平均速度v的取值范围. 数学九年级R版 第2课时反比例函数在物理学科中的应用 要点提示 反比例函数在物理学科中的应用：在与数学联系密切的物理中，存在大量的成反比例关系的量，凡是成反比例 美系的两个物理量的相关问题，都可以用反比刚盖数解决，特别地，在求反比例函数的解析式时，要注意自变量 的取值范围，特别要考虑实际情况 O1固基础 力臂=动力×动力臂). 5.在对物体做功一定的情况N↑ 知识点反比例函数在物理学科中的应用 下，力F(单位：N)与此物体 1.已知蓄电池的电压为定值，使∥A↑ P4.3) 在力的方向上移动的距离 用某蓄电池时，电流I(单位： (单位：m)成反比例函数关 A)与电阻R(单位：)是反比 8 R/O 系，其图象如上图所示，点P(4,3)在其图 例函数关系，它的图象如图所 第1题图 象上 示，则当电阻为6Ω时，电流为 (1)求F与s之间的函数关系式，并写出自 A.3A B.4A C.6A D.8A 变量的取值范围： 2.在照明系统模拟控制电路实验中，研究人员 (2)当力达到10N时，求物体在力的方向上 发现光敏电阻阻值R(单位：Ω)与光照度E 移动的距离. (单位：1x)之间成反比例函数关系，部分数 据如下表所示： 光照度E/x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 光敏电阻阻值R/2 6030 20 15 12 10 则光敏电阻阻值R关于光照度E的函数解 析式为 3.实验表明，当导线的长度Q4 一定时，导线的电阻R(单 位：Ω)与它的横截面积S (单位：cm)成反比例关 第3题图 系.一根长为100cm的导 线的电阻R与它的横截面积S之间的函数关 02提能力 系图象如图所示，那么R关于S的函数解析 6.(教材第16页题6变式)pkPa 式为 ,当S=2cm2时，R= 某气球充满了一定质量的 6 2 气体，当温度不变时，气球 01.6 Vim' 4.小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻 内气体的气压p(单位： 第6题图 力臂分别为2000N和0.3m.当动力臂由 kPa)是气体的体积V(单位：m3)的反比例函 1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节 数，其图象如图所示.当气球内气体的气压 省 N的力（杠杆原理：阻力×阻 大于120kPa时，气球将会爆炸.为了安全起 下册第二十六高 见，气球内气体的体积应 ……O3拓思维 A不小于号m B小于m 9.数学核心素养·应用意识某综合实践活 C.不小于青m D.小于专m 动小组设计了一个简易电子体重秤：制作一 个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电 7.如图，一块砖的A,B,C三 阻R1,其阻值R,(单位：Ω)与踏板上人的质 个面的面积之比是1：5： C 第7题图 量m(单位：kg)之间的函数解析式为R,= 3.如果A,B.C三个面分 km十b(其中k,b为常数，0≤m≤120)，其图 别向下放在地上，地面所受压强分别为P,, 象如图①所示：在图②的电路中，电源电压 PP,压强的计算公式为P=号，其中P是 恒为8V,定值电阻R的阻值为30Ω，接通 开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U 压强，F是压力，S是受力面积，那么P,P2 (单位：V),该读数可以换算为人的质量m P,的大小关系为 (用 R/01 “<”连接). 240 8.笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了 电磁波的波长入（单位：m)会随着电磁波的 频率f(单位：MHz)的变化而变化.已知波被 120 m/kg 围① 图② 长入与频率∫是反比例函数关系，下面是它 (1)求k,b的值： 们的部分对应值： (2)求R,关于U。的函数解析式： 频率∫/MHz 10 15 50 (3)用含U。的代数式表示m. 波长1/m 30 20 (1)求波长入关于频率f的函数解析式： (2)当f=60MHz时，求此电磁波的波长A. 10 数学九年级RJ版5.-6 6.B7.D 8.(答案不唯一) 9.解;(1).将函数v一ax的图象向上平移3个单位长度,得到 (2)不能,理由如下; 一次函数y-a.x十b的图象. .10-7.5-2.5(h) 'y-ar+b-ar十3. 把A(2,4)代人y-ax+3,得2a+3-4.解得a-, .汽车上午7:30从A地出发,不能在上午10:00之前到达 -+3. '.一次函数y-ax十b的解析式为y= B地. 把A(2.4)代人-(r>o),得4-(ax→>0),解得-8. (3)由反比例函数的性质,得当3.5<<4时,75<600. .反比例函数y-(x>0)的解析式为y-8(x>0). .平均速度的取值范围是75<600. 9.解:(1)设该二次函数的解析式为y-a(r-12)+100. (2)·BC/x轴,B(0,2). 把(2,0)代入,得100+100-0,解得a=-1, '.点C和点D的纵坐标都为2. 2.所求二次函数的解析式为y--(x-12)+100. 在y-+3中,当+3-2时-2.即C(-2.2); 把点(12,100)向左平移4个单位长度,得(8,100). 在y-8(c>0)中,当8-2时,x-4.即D(4.2). 代入y-,得k-800 .CD-4-(-2)-6. (2)超过20min.理由如下; :A(2,4), 令 y--(r-12)*+100-36,解得x.-4,x:-20(不合题 意,舍去); $$rn-cD.(y-)-x6x(4-2)-6. -80036.解得-22,则x十4-22+4-26 令= 10.解:(1):四边形OABC是平行四边形,AB-6...OC-AB 26-2( n),2_20. -6.'.C(6,0). 设A(a),则B(a+6.). .“拥挤状态”持续的时间超过20min. 第2课时 反比例函数在物理学科中的应用 'D是BC的中点.D(+6.). 1.B 2.R-30 14.5 4.100 } 5.解:(1)根据题意可设F-(s>0). “.□OABC的面积为48,AB-6. .x6-48. . 解得-12, .-32. .F与:之间的函数关系式为F-12(s一o). ..A(4.8),D(8.4)y-32(c>o). (2)当F-10时,10-12. (2)n的取值范围是一4<m4. 解得-1.2. 26.2 实际问题与反比例函数 故当力达到10N时,物体在力的方向上移动的距离为 第1课时 反比例函数在实际生活中的应用 1.2m. 1.C 2.7.2 3.320 4.300 6.C 7.P<P<P 5.解:(1)由题意可知,把a-0.1.;-700代入s-中,得k 8.解:(1)设波长入关于题率f的函数解析式为)-(k≠0). -70. 把/-10.x-30代人,得-30. 2.该轿车可行驶的总路程;与平均耗油量a之间的函数解 解得-300. (2)当a-0.08时,由(1)中函数解析式,得s- 70 -0.08=875. 故当平均耗油量为0.08L/km时,油箱注满油后,该轿车可 行驶的总路程为875km. 故当/-60MHz时,此电磁波的波长x为5m 6.D7A 9.解:(1)把(0.240).(120,0)代人R=km+b中, 8.解:(1)设v关于!的函数解析式为-. 得 [6-240, 120+6-0. .当-75时,1-4. 解得 二-2, ·-4×75-300. (2)_1 00 6-240. 经检验,当v-80时,1-3.75;当-85时,1~3.53;当-9$$$ -2030. 时,1~3.33:当v-95时,(~3.16. 数学九年级RJ版 (7--2. ')随V的增大而减小. (3)由(1)可知. 1-240. &.要使气球不会爆炸,V0.032:此时r0.2. .R--2n+240. .气球的半径至少为0.2m时,气球不会爆炸. 230. (2)由于车辆超载,轮胎内的气体体积变小,气压增大导致 爆胎: 15.解:(1),爆炸前浓度呈直线增加, 2.可设y与x的函数关系式为y一x十b(b-0). 把(0,30).(6,75)代入. #1# 本章小结 130-6. 175-6k+6. 解得 -4(o) 4.B 5.C 6. 7.A 8.D 1.C 2.C3.y 6-30. 9.解:(1)将A(2,4)分别代人y-与y=mx. '.= ·.爆炸后y与x成反比例关系. 解得b-8,m-2. .双曲线和直线AB的函数解析式分别为y-8和y=2x.。 .可设y与:的函数关系式为y-(kz0). (2)设直线AB平移后的解析式为y-2x一n,点D的坐标为 把(6,75)代人,得 。-6×75-450. .450.此时自变量x的取值范围是x>6. (a,0). .C是线段AD的中点, (2)当y-60时,由题意,得1x+30=60,解得x-4. 点C的坐标为(2“,2). *撤离的最长时间为6-4-2(h). .点C在反比例函数图象上. '撤离速度至少为3-2-1.5(km/h). .2.2-8. (3)当y-30时,由题意,得450-30.解得r-15. 2 解得a-6, 15-6-9(h). '点C的坐标为(4,2). &.矿工至少要在爆炸9h后才能下井, 第二十七章 将点C的坐标代人y三2x二”中,解得”-6 相似 10.解:(1)·反比例函数y- 27.1 图形的相似 第1课时 .-16-6. 相似图形 'B(n.-1)..6--n. 1.D 2.D 3.C 4. D 5.D 6. D 7.③④ 8.③ .n--6. 9.解:(答案不唯一)如图. ·B(-6.-D). ,点A,B在一次函数y-ar十6的图象上, {十b-6. . -6a+b--1. 解得/a=1. -5. '-1,b-5h-6. 10.解;图③和图中的两个图形是相似图形,图①、图②、图 (2)由题图可得关于r的不等式ar十b~-的解集为x< ④,图中的两个图形不是相似图形 11.C 12.C 13. ad b cf -6或01. 14.解:(1)如图①所示. (3)由(1)可知,一次函数为y一x+5. 。 令y-0,则x十5-0. .--5. .C(-5.0). ...... .S$8+$-×5×6+x5x1-17.5. ::.:::: :op-OB. .S.=Sx-17.5. (2)(答案不唯一)如图②所示. 般霜将来 11.B 12.A 13.C 14.解:(1)设气压关于气体体积V的函数解析式为)一. 图② 根据题图,得b-V-120×0.04-4.8. ._. 15.解:根据叶片①②的最大长度和宽度,可得出这种植物的叶 片的最大宽度·最大长度一1:2,由此估算叶片③的最大 长度是6.5×2-13(cm). 第2课时 相似多边形 令4×3r-0.032,解得--0.2. 1.D 2.D 3.9000 4. B 5.解(1)-.- 1. “.-4.80.V0. 下册 参考答案