复习03 向量数量积运算及应用（七大考点）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

复习03 向量数量积运算及应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 知识点 2 数量积定义及投影向量 1、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 在上的投影向量为 知识点 3 数量积的性质及运算律 1、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 2、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 知识点 4 数量积的坐标运算 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: （3）向量的模:设,则 （4）两点间的距离公式:若,则 （5）向量的夹角: 考点一：数量积及其应用 例1．若是边长为的等边三角形，点满足，则（    ） A． B．5 C． D．4 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故选：A. 变式1-1．已知平面向量，满足，，且，则与的夹角 . 【答案】/ 【详解】因为，所以，即，解得. 由，，可得. 故答案为： 变式1-2．已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】设，，则， 点D，E分别是边AB，BC的中点，， ，， 则， ． 故选：B. 变式1-3．窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】依题意得，，，， 所以， ， 所以 ． 故选：B． 考点二：求向量模长 例2．已知两个单位向量满足，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由两个单位向量，可得， 因为，可得，所以， 则，所以. 故选：C. 变式2-1．若平面向量，，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，即，， 代入，，可得，，故. 故选：C. 变式2-2．在中，，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 即， 所以，即， 因为，则， 则， 所以. 故选：C. 变式2-3．已知．若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 即即． 以为主元，，恒成立，． 得，． 故选：C 考点三：夹角及其应用 例3．如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，则， 即，所以. 故选：D 变式3-1．已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围 . 【答案】 【详解】依题意可得， 若向量与的夹角是钝角，可得且向量与不反向， 所以，解得； 当两向量方向相反时可得，且，解得； 因此可得或； 即实数的取值范围为. 故答案为： 变式3-2．已知平面向量满足，且． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1），整理得． （2），， ． 变式3-3．在中，已知边上的两条中线、相交于点. (1)求的长； (2)求的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为 所以. 因为是的中点，则 所以， 所以， 所以， 因为为的中点，所以， 则. 故. （2）因为 . 所以. 考点四：投影向量 例4．已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，两边平方得， 则，而， 所以在方向上的投影向量为. 故选：C 变式4-1．已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】因为平面向量，是两个单位向量， 故在上的投影向量为, 所以, 所以, 故选：B. 变式4-2．已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设向量的夹角为，因为，可得， 所以在的投影向量为. 故选：B. 变式4-3．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，， 得，则， 所以在上的投影向量为. 故选：A． 考点五：向量的坐标运算 例5．已知向量，，且向量与的夹角为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】因为向量，，且向量与的夹角为， 所以，化简， 所以，则. 故选：B. 变式5-1．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，， ， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 变式5-2．已知向量，，若，则实数（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由，得，则， 因此，所以. 故选：D 变式5-3．已知向量，若向量满足，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，又， 所以 因为 所以，即，所以， 对于A，，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B不正确； 对于C，，不满足，故C不正确； 对于D，，不满足，故D不正确； 故选：A 考点六：数量积最值及范围问题 例6．在等腰中，，点P在底边（包括端点）上运动，设的最小值为m，最大值为M，则（    ） A．m不是定值，M是定值 B．m是定值，M不是定值 C．m是定值，M是定值 D．m不是定值，M不是定值 【答案】C 【详解】以BC中点O建立直角坐标系，则A、B、C点坐标分别为，，， 点P在底边（包括端点）上运动，所以， ， 因为，所以的最小值为，最大值为，都为定值. 故选：C. 变式6-1．如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，易知，，， 过点作于点，则四边形为矩形， 则， 又， 所以， 即的最大值为， 故选：C. 变式6-2．（多选）如图，以为圆心，半径为1的圆始终内切于四边形，且，，则当增大时，下列说法正确的有（    ） A．单调递减 B．恒为定值 C．单调递减 D． 【答案】ABD 【详解】 如图建立平面直角坐标系，则，，，设，， 其中，．过点分别作，，的垂线，交点为, 易知， 所以， 所以，即．而，， 且，， 当增大时，也增大，所以ABD正确，C错误； 故答案为：ABD． 变式6-3．《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，点P在线段CH上，且，则的值为 ；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 0 【详解】 如图所示,连接，因为三点共线，且 ，解得， 则， 与夹角为,与夹角为, . 设,可知, , , , , ,当或时, 有最小值,最小值为0. 故答案为: ； 0. 变式6-4．在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】由平方得：． 又，所以． 所以． 当且仅当时，取最小值． 故答案为：． 考点七：数量积新定义问题 例7．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【详解】依题意，， ，则， 则，故. 故选：C. 变式7-1．设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】， 故， 所以， 故. 故选：D 变式7-2．已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，则或. 当时，未必成立； 当时，. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 变式7-3．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，，若，的余弦距离为，，的余弦距离为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，， 所以， 所以，则. 同理可得，所以，则. 因为，所以，，所以，， 所以 . 一、单选题 1．已知向量，则（    ） A．8 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【详解】因为，故， 故， 故选：C. 2．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意知，可知. 故选：D. 3．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，， 所以在上的投影向量为． 故选：A． 4．在锐角三角形中，的面积为，若，则（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【详解】由， 得， 为锐角，， ∵，∴为的中点， ∴， ∴ . 故选：B. 5．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为在上，所以与共线，设， 又D是BC的中点，所以，所以，， 因为，所以，所以， 又因为三点共线，所以存在，使得，， 所以，解得， 所以， 所以， 即，所以. 故选：A. 6．设，，定义余弦距离（为原点）.若，，则的最小值为（   ）. A． B．1 C． D．0 【答案】C 【详解】，则，且， 在半圆上， 如图，当在时，取最小值，最小值为，取得最大值， 此时取最小值，最小值为. 故选：C. 7．已知在中，，，若的最小值为3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 , 令，由题意的最小值为9， 当时，显然不符合；所以，此时抛物线开口向上，对称轴为， 所以，解得， 故选：A. 二、多选题 8．已知平面向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与的夹角为钝角 D．向量在上的投影向量为 【答案】ABD 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，又，则， 而，因此为锐角，C错误； 对于D，，，向量在上的投影向量，D正确. 故选：ABD 9．如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，， 所以 ，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确； 设，则，又三点共线， 所以， 由平面向量基本定理得，解得，所以， 则， 所以，故A正确，B错误. 故选：ACD. 三、填空题 10．已知为单位向量，，则 ． 【答案】5 【详解】因为， 所以． 故答案为：5. 11．设平面向量 若则平面向量的坐标是 .(写出其中一个的坐标) 【答案】（答案不唯一） 【详解】设， 由则，故，化简可得， 取，则， 故， 故答案为：（答案不唯一） 12．已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】设的中点为，因为，，所以，， ， 因为，所以. 故答案为： 四、解答题 13．已知向量，且与的夹角为. (1)求值； (2)若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，，且与的夹角为. 可得. ，. 然后根据向量的数量积公式，可得： ，即. 两边同时平方可得，展开化简得，解得. （2）由（1）可知，则，. 因为向量与所成的角是锐角，所以且与不共线. . 由，即，移项得，解得. 若两向量共线，则对应坐标成比例，即，化简得，两边同时除以得，展开得，移项化简得，解得. 所以当两向量不共线时，. 综上，实数的取值范围是. 14．已知，，，，，，. (1)求； (2)若为边上一点，且，求. 【答案】(1)或 (2)或. 【详解】（1）由，即为靠近的4等分点， 所以 因为，， 所以或， 由，可知为中点， 当时，又，可得. 因为，， 所以. 当时，又，故. 因为，， 所以. （2）设，则， 当时，， 因为，所以， 得或6. 即或， 当时，，， 当时，，， 故或. 当时，， 因为，所以， 此时无实数解， 故或. 15．如图，在平行四边形中，，若M，N分别是边上的点，且满足，其中. (1)当时，求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 因为在平行四边形中，， 所以，， 因为，， 所以 ； （2）因为，， 所以， ， 所以 ， 因为，所以， 得， 所以的取值范围为. 16．在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． (1)若，AE与BF交于点N，，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，即为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. （2）因为，， 所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习03 向量数量积运算及应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 知识点 2 数量积定义及投影向量 1、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 在上的投影向量为 知识点 3 数量积的性质及运算律 1、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 2、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 知识点 4 数量积的坐标运算 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: （3）向量的模:设,则 （4）两点间的距离公式:若,则 （5）向量的夹角: 考点一：数量积及其应用 例1．若是边长为的等边三角形，点满足，则（    ） A． B．5 C． D．4 变式1-1．已知平面向量，满足，，且，则与的夹角 . 变式1-2．已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 变式1-3．窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 考点二：求向量模长 例2．已知两个单位向量满足，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 变式2-1．若平面向量，，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-2．在中，，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 变式2-3．已知．若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三：夹角及其应用 例3．如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围 . 变式3-2．已知平面向量满足，且． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 变式3-3．在中，已知边上的两条中线、相交于点. (1)求的长； (2)求的余弦值. 考点四：投影向量 例4．已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 变式4-2．已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 考点五：向量的坐标运算 例5．已知向量，，且向量与的夹角为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 变式5-1．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知向量，，若，则实数（   ） A．3 B．6 C． D． 变式5-3．已知向量，若向量满足，则可以是（   ） A． B． C． D． 考点六：数量积最值及范围问题 例6．在等腰中，，点P在底边（包括端点）上运动，设的最小值为m，最大值为M，则（    ） A．m不是定值，M是定值 B．m是定值，M不是定值 C．m是定值，M是定值 D．m不是定值，M不是定值 变式6-1．如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 变式6-2．（多选）如图，以为圆心，半径为1的圆始终内切于四边形，且，，则当增大时，下列说法正确的有（    ） A．单调递减 B．恒为定值 C．单调递减 D． 变式6-3．《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，点P在线段CH上，且，则的值为 ；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为 ． 变式6-4．在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是 ． 考点七：数量积新定义问题 例7．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若，则（    ） A． B．3 C． D．6 变式7-1．设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 变式7-2．已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式7-3．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，，若，的余弦距离为，，的余弦距离为，且，则（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知向量，则（    ） A．8 B．9 C．11 D．15 2．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．在锐角三角形中，的面积为，若，则（    ） A．4 B． C． D．5 5．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 6．设，，定义余弦距离（为原点）.若，，则的最小值为（   ）. A． B．1 C． D．0 7．已知在中，，，若的最小值为3，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知平面向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与的夹角为钝角 D．向量在上的投影向量为 9．如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（   ）    A． B． C． D． 三、填空题 10．已知为单位向量，，则 ． 11．设平面向量 若则平面向量的坐标是 .(写出其中一个的坐标) 12．已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为 . 四、解答题 13．已知向量，且与的夹角为. (1)求值； (2)若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 14．已知，，，，，，. (1)求； (2)若为边上一点，且，求. 15．如图，在平行四边形中，，若M，N分别是边上的点，且满足，其中. (1)当时，求的值； (2)求的取值范围. 16．在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． (1)若，AE与BF交于点N，，求的值； (2)求的最小值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$