第一章 6 利用三角函数测高-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

6 利用三角函数测高 要点提示 1,测量底部可以到达的物体的高度：如图①，按照AB=AE十BE=a·taa十b的关系式，即可求得物体的 高AB. B 6A 图① 图② 2.测量底部不可以到达的物体的高度：如图②，按照MN-a:a+a的关系式，即可计算出MN的高度， tanB-tana O1固基础念 。。。。。。 AB垂直.经测量，∠ACB=56.3°，∠D= 45°，CD=10m,则AB的长约为（参考数据： 知识点1测量底部可以到达的物体的高度 sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈ 1.如图，电线杆AB的中点C处有一标志物， 1.5) 在地面点D处测得标志物的仰角为30°.若 A.15mB.30mC.35m D.40m 点D到电线杆底部点B的距离为12m,则 4.如下图，雕塑CD位于垂直地面的基座BC 电线杆AB的长可表示为 上，与点B在同一水平的A处测得∠BAC A.8 m B.45m 38°，∠BAD=53°，AB=18m.已知B,C,D三 C.83m D.82m 点共线，BD⊥AB,求雕塑CD的高度（结果精 确到0.1m,参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈ 0.79,tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cos53°≈ 0.60,tan53°≈1.33). D 第1题图 第2题图 2.(教材第26页题16变式)如图，小明为测量 校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所 在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与点 B相距8m的位置，在点D处测得树顶A的 仰角为52°.若测角仪CD的高度是1m,则 大树AB的高度约是 m(结果精 确到1m,参考数据：sin52°≈0.79，cos52° 0.62,tam52°≈1.28). 知识点2测量底部不可以到达的物体的高度 3.如图，要测量一条河两岸相对 的两点A,B之间的距离，我们 可以在岸边取点C和点D,使 点B,C,D共线，且直线BD与 第3题图 下册第一章 之O2提能力 ……O3拓思维念 5.(2024吉安吉州区月考)某校兴趣小组的同 8.数学核心素养·应用意识小宁和同学们 学为测量楼高AB,从点C处测得该栋建筑 想知道学校操场旁的大树AB比小树CD高 物顶点A的仰角为45°，沿着斜坡CD向上 多少，于是他们拿着测角仪和皮尺来到操 走30√5m到点D处，测得顶点A的仰角为 场.如下图，小宁在点E处用测角仪测得小 22°.已知CD的坡度i=12,点A,B,C,D 树CD顶部C的仰角为30°，然后她前后移 在同一平面内，则楼高AB约为（参考数据： 动调整，在点M处用测角仪测得大树AB顶 sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22≈0.40) 部A的仰角也是30°.已知B,D,E,M四点 ( 共线，AB,CD,EF,MN均垂直于BM,测角 仪距地面的高度不变，即EF=MN.他们测 得BD=4.5m,EM=1.5m,则大树AB比 小树CD高多少米？ 第5题图 A.60mB.70m C.80m D.90m 6.某市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓 解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交 警大队在主要路口设置了交通路况指示 牌（如图）.小明在离指示牌水平距离3m 的点A处测得指示牌顶端点D和底端点 E的仰角分别为60°和30°，则路况指示牌 的高DE的长为 m. 前方 施工 B C 第6题因 第7题国 7.小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度， 他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在 平静的湖水中，如图所示.他在点O处测得 小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中 倒影A的俯角为60°.已知点O到湖面的距 离OD=3m,OD⊥DB,AB⊥DB,A,B,A 三点共线，A'B=AB,则小山的高度AB约 为 m(光线的折射忽略不 计，结果保留根号). 数学九年级BS版第2课时仰角、俯角及坡度问题 R△ABE中，smA-5,BE=AB·inA=92 1.A2.13000m sin48°≈92×0.74=68.08(m). 3.解：如图，过点B作BF⊥AE于点F,则 BE-DE. 在Rt△CBF中，in∠CBF=C黑 BC 在R1△ABF中，∠A=30°， ∴.CF=BC·sin∠CBF≈30×0.60=18.00(m). 则BF=号AB=5m B65* ,FD=BE=68.08m, .DC=FD+CF=68.08+18.00=86.08≈86.1(m). 在R1△CDB中，tam∠CBD=B, 故从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度 D约为86.1m. 则CD=BD·tan65≈10×2.1421(m), CE=DE+CD=BF+CD=5+21=26(m). 9.解：(1)由两角和的余弦公式，得cos75°=c0s(30°+ 故大楼CE的高度约为26m 45）=m30cm45-n0n5-号×号-号×号 2 2 4.C【解析】如图，延长DC交直线AE于点F 设CF-xm,则AF=2.4xm. =6-2 4 ,古树CD与直线AE垂直，.CF⊥AE, (2)∠OED=45°，DE=60m, .在Rt△ACF中，x+(2.4x)2=26,解 得x=10(负值已舍去)，∴.CF=10m,AF .OE=602m,∠DOE=45°， =24m, .∠A0E=120°-45°=75°. ,.EF=AF+AE-24+6=30(m). 又：∠OEA=30°， 在R1△EFD中，lan∠AED=Ian48=CDt10,解得 .∠OAE=75°=∠AOE, 30 ∴EA=(OE=602m CD23.3m.故古树CD的高度约为23.3m. 如图，过点A作AF OE于点F, 5.1575【解析】如图，过点D分别作A15 D 在Rt△AEF中，∠AEF=30°，AE DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F, E 60√2m 由题意，得∠ADE=∠BDF=15, .EF=AE·cos∠AEF=30√6m, AD=1 600 m.AC-500 m.cos/ADE-AD E .OF=OE-EF=(60√/2-30√6)m. ≈0.97，解得DE=1552m.“m∠ADE 在R1△AOF中，∠AOF=75,eos∠AOF=5 ΓAO1 怎…品≈0.26，解得AE=416mDE1AC AE OF .OA co5∠A0F=(605-60)m. AC⊥BC,DF⊥BC,.四边形CEDF是矩形，CF= 故风叶OA的长度为(603一60)m. DE=1552m,DF=CE=500-416=84(m). 6利用三角函数测高 ian∠BDF-5货0.2，解得BF-2.的m 1.C ∴.BC=CF+BF=1552+22.68≈1575(m).故他飞行 2.11【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E,则 的水平距离BC约为1575m. ∠BED=∠AED=90°. 6.B :∠B=∠C=90,∴.四边形BCDE是 7.275【解析】由题意可知，∠ECA=29.5°，∠FCB= 矩形， 45°，CD=100m,EF∥AB,CD⊥AB. BC=DE=8 m,CD=BE=1 m. ∴.∠A=∠ECA=29.5°，∠B=∠FCB=45°， 在R△ADE中，：a/ADE=能， ∴.△BCD是等腰直角三角形，.BD=CD=100m. AD·AD= 在Ri△ACD中，tanA=C CD100 anA≈ 5-=an52≈1.28，解得AE=10.24mAB= 0.57 AE+BE=10.24+1≈11(m) 175.4(m), ..AB=AD+BD=175.4+100≈275(m), 3.B【解析】在R△ABC中，tan∠ACB= C.设AB A 即建筑物A,B之间的距离约为275m. 8.解：如图，过点B分别作BE⊥AD于点E,BFLCD于 xm,则C=1an56,3”心BC≈.5 点F, 在Rt△ABD中，：∠D=45°，AB=BD, 二龙潭瀑有C =高5十10，解得x=30AB的长约为30m 三龙漳瀑布 4.解：在Rt△ABC中，AB=18m,∠BAC=38°. .∴.BC=AB·tan∠BAC≈18×0.78=14.04(m). 在Rt△ABD中，AB=18m,∠BAD=53°， ∴.BD=AB·1an∠BAD≈18×1.33=23.94(m), 6480 .CD=BD-BC=23.94-14.04=9.9(m). 九孔桥 故雕塑CD的高度约为9.9m. 数学九年级BS版 5.D【解析】如图，过点A作AH⊥ED交ED的延长线 于点H 本章小结 设DE-xm. 1.A2.C3.C CD的坡度i=12, 4.C【解析】点P关于x轴的对称点P1的坐标为 CE=2r m. 由勾股定理，得DE+CE=CD, (os30-h5.pP(号.-D. 即x2+(2x)=(305), 解得x=30(负值已舍去)， 5.4E6.78”7号 .DE=30m.CE=60m. 设HE=AB=ym,则DH=(y-30)m. 8,解：1原式=5+2x号-2×写 ∠ACB=45°..BC=AB=ym =3+2-√5=√2. .AH=BE=(y+60)m. 在Rt△AHD中，∠DAH=22°，DH=AH· 5y+2×号 (2)原式 3+2 tan∠DAH, 即y-30≈(y+60)×0.4, 2x()-司 解得y=90. =3+2. 故楼高AB约为90m. 9.B 6.2√5 7.(6+33)【解析】如图，过点 【解析】如图所示，过点A作 O作OE⊥AB于点E,则BE AF⊥CD,交CD的延长线于点F -OD-3m.设AE-xm,则 则AF的长为点A到CD的距离. AB=(x+3)m,.A'E=(x+ 45 :CA平分∠BCD,AE⊥BC于B 6)m. 点E, ∠AOE=45, ..AF=AE. ∴.OE=AE=xm AB⊥AC,∠B=60°，BC=10,AE⊥BC, ∠A'OE=60°， .tan60 AB=BC·cosB=10X=5AE=AB·nB OE 即±6=3，x=3+35. -5×复-5，即点A到CD的距离为 2 2 11.解：在R1△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，AB=4, 经检验，x=3十33是原分式方程的解，且符合题意， ,.AB=3+33+3=(6+33)m inB=sn32-4C≈0.53 故小山的高度AB约为(6+3√3)m. .AC=2.12. 在R△ACD中，∠C=90°，∠CAD=37”, 8.解：如图，延长NF交AB于点G,交CD于点H n∠CAD-im87r-0.75 .CD≈1.6. 12.解：(1)3 (2)①0③ E M 过点A作AD⊥BC于点D,如图所 根据题意，得四边形BGHD、四边形DHFE、四边形 示. EFNM都是矩形， AD 3 ..BG=DH,GH=BD=4.5.HF=DE,FN=EM= tanB-BD' 1.5. .设AD=3.x,BD=4x, 在R△ANG中，∠AGN=90°，∠ANG=30°， AB=10, ∴.AG=GN·tan∠ANG=(GH+HF+FN)·1an30° .根据勾股定理，得(3.x)*+(4x)产=10， -.5+HF+1.)=25+HR 解得x=2(负值已舍去)， .AD=6,BD=8, 在Rt△CFH中，∠CHF=90°，∠CFH=30°， .根据勾股定理，得CD=√(65)-6=12， CH=HF.1an∠CFH=HF·iam30-gHp. ∴.BC=CD+BD=12+8=20. 13.D【解析】在R:△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB ..AB-CD=(AG+BG)-(CH+DH)=AG-CH= =45°， 25+号HF-5HF=25. ∴.AC=AB=5m. 3 在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠D=30°， 故大树AB比小树CD高23m. .AD=√3AB=55m, 下册参老各案