第一章 5 三角函数的应用-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

5三角函数的应用 第1课时 方向角问题 要点提示 方向角：方向角是以见零点为中心（方向角的顶点），以正北或正南方向线为格速，楚籍到见寥目标的方向线所 减的纯角 注意：(1)方向角一般先说南北方向，再说东西方向，如北偏东a度，南偏东B度；(2)东北方向是北偏东45°，西北 方向是北偏西45°，东南方向是南偏东45°，西南方向是南偏西45° O1固基础 的西北方向上，则该时段动车的平均速度是 m/s. 知识点方向角问题 4.如右图，湖中小岛上码头C处 北 1.如图，在A岛周围20 n mile 北 水域有暗礁，一艘轮船由西 名游客突发疾病，需要救西 64 援.位于湖面B点处的快艇和 向东航行到O处时，发现A 湖岸A处的救援船接到通知 岛在北偏东64°的方向且与 第1题图 后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到 轮船相距52 n mile..若该轮船不改变航向， 码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救 为航行安全，需要计算A到OB的距离AC 援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知 下列算法正确的是 ( C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏 A.AC=52cos64° B.AC=52 cos64 东60°方向上，且在C的正南方向900m处. C.AC=52sin64° D.AC=52tan64 (1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到 2.(教材第21页题4变式)如图，一艘渔船以 1m,参考数据：3≈1.732)： 32 n mile/h的速度向正北方向航行，在A处 (2)救援船的平均速度为150m/min,快艇的 看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向上，半 平均速度为400m/min.在接到通知后，快艇 小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北 能否在5min内将该游客送上救援船？请说 偏东60°方向.若渔船继续向正北方向航行 明理由（接送游客上下船的时间忽路不计）. 到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与 渔船的距离CS为 A.16 n mile B.18 n mile C.8 n mile D.83 n mile 60 北 309 B 东 第2题因 第3题图 3.如图，在距离铁轨200m的B处，观察由甲 地开往乙地的“和谐号”动车，当动车车头在 A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上： 10s后，动车车头到达C处，恰好位于B处 下册第一章 》易错点不能正确理解题意而致错 固定拉索，点M,D在直线BC上，过挡雨棚 5.(2024襄阳谷城月考)如图， 端点E作水平地面AB的垂线段EF,垂足 →东 港口A在观测站O的正东 为F,测得点E在点D的北偏西75°方向 方向，OA=6km.某船从港 t60 151 ∠CAB=30°，AF=3√3m,BC=9m,连接 口A出发.沿北偏东15°方 第5题围 DF,且AC∥DF 向航行一段距离后到达B处，此时从观测站 (1)求看台顶端C与挡雨棚端点D之间的 O处测得该船位于北偏东60的方向，则该船 距离CD: 航行的距离为 (2)为了不影响球迷观看比赛的效果，要求 挡雨棚端点E到地面AB的垂直高度EF O2提能力忘 不小于16.5m.请通过计算说明这一设计是 6.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方 否符合要求（参考数据：√3≈1.7）. 向，距离灯塔45 n mile的A处，它沿北偏东 30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 北偏东67°方向上的B处.此时轮船与灯塔 P的距离约为（参考数据：sin37°≈3 ,C0s37 A.27 n mile B.50 n mile C.75 n mile D.153 n mile 北 。东 一东 309 60C 第6题图 第7题图 7.如图，港口B位于观测点A的北偏东30°方 向上，且其到观测点A正北方向的距离BD 为10√3km.一艘货轮从港口B以40km/h 的速度沿BC方向航行，30min后到达点C 处.现测得点C位于观测点A的北偏东60 方向上，则此时货轮与观测点A之间的距离 AC为 O3拓思维)念 8.某市设计了一个足球场，足球场看台上方是 挡雨棚，将看台和挡雨棚的剖面图简化成如 下图所示的平面图形.看台ABC是直角三 角形，∠B=9O°，线段MN是挡雨棚DE的 数学九年级BS版 第2课时 仰角、俯角及坡度问题 要点提示 1,仰角和俯角问题：如右图，在同一铅垂面内视线和水平线的夹角中，视线在水平线上方的 ,视战 铅 角是仰角，视线在水平线下方的角是俯角， 仰角 水平线 2.坡度问题：(1)放度是坡角的正切值，二者可以相互转化，但是是两个不同概念，坡度越 视线 大，城角就越大，城面也就越陡：(2)坡度问题常需要过坡顶作水平面的垂线构造直角三角形 O1固基础 知识点2坡度问题 4.(2024六安金安区模拟)如图， 知识点1仰角、俯角问题 在一个坡比i=1：2.4的山坡 1.如图，在一艘小船A上测得海岸上高为42m AB上有一棵古树CD.测得古 的灯塔BC的顶部B处的仰角是30°，则小 树底端C到山脚A的距离ACEA 船离灯塔的水平距离AC为 ( 第4题图 为26m,在距山脚A水平距离 A.42 3 m B.143m 为6m的点E处测得古树顶端D的仰角 C.21m D.42m ∠AED=48°（古树CD、山坡AB的剖面和点 A E在同一平面内，古树CD与直线AE垂直)， 30 则古树CD的高度约为（参考数据：sin48°≈ 第1题图 第2题图 0.74.cos48°≈0.67，tan48≈1.11)() 2.如图，某飞机在空中的点A处探测到地面的 A.17.0m B.21.9m 目标B,此时从飞机上看目标B的俯角α为 C.23.3m D.33.3m 30°，飞机的高度AC为6500m.飞机到日标B ●易错点不能正确构造直角三角形而 的距离AB为 致错 3.如右图，AB是长为10m,倾斜角 5.如图，某翼装飞行员从离 415 为30°的自动扶梯，平台BD与 水平地面高500m的点 75 大楼CE垂直，且与扶梯AB的 B65D小 A处出发，沿着俯角为 第5题图 长度相等，在B处测得大楼顶部 a30 15的方向，直线滑行1600m到达点D处， C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保 然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面 留整数，参考数据：sin65°≈0.91，tan65°≈ 上的点B处，则他飞行的水平距离BC约 2.14). 为 m(结果精确到1m,参考 数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15 ≈0.27). 02提能力乡 6.(2024德阳)某校学生开展综合实践活动，测 量一建筑物CD的高度.如图，在建筑物旁 边有一高度为10m的小楼房AB,小李同学 在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°， 下册第一 在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30 ……03拓思维 (AB,CD在同一平面内，B,D在同一水平面 9.数学核心素养·应用意识某中学九年级 上)，则建筑物CD的高为 ( 数学兴趣小组为测量风叶的长度进行了实 A.20m B.15m 地测量.如下图，三片风叶两两所成的角为 C.12m D.(10+5/3)m 120°.当其中一片风叶OB与塔干OD叠合 时，在与塔底D水平距离为60m的E处，测 30/ 得塔干顶部O的仰角∠OED=45°，风叶OA 295 7459 的视角∠OEA=30° K60° B D (1)已知a,3两角和的余弦公式为cos(a十)= 第6题图 第7题图 cosacos3-sinasin3,请利用公式计算cos75°： 7.如图，从热气球C处测得两建筑物A,B底部 (2)求风叶OA的长度. 的俯角分别为29.5和45°.如果这时热气球 的高度CD为100m,且点A,D,B在同一直 线上，那么建筑物A,B之间的距离约为 m(结果精确到1m,参考数据： sin29.5°≈0.49，cos29.5°≈0.87，tan29.5 ≈0.57). 8.如右图，小卓从九孔桥A处 二龙潭瀑布C 379 出发，沿着坡角为48°的山坡三龙潭澤布 Ba… 向上走了92m到达B处的 三龙潭瀑布，再沿坡角为37 48 的山坡向上走了30m到达 A九孔桥 C处的二龙潭瀑布.求小卓从A处的九孔桥 到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC(结果精 确到0.1m,参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈ 0.67,sin37°≈0.60，cos37°≈0.80). 数学九，年级BS版∠DHO=90 ∴.∠ACO=∠ACB=90. 北 ,四边形ABCD是平行四边形， 0D=号BD=d 在Rt△OCA中，AC- 20A- 6=3(km. 60 ,∠DOH=B, C 1 在Rt△ACB中，sinB=AB DH=OD·sing=dsing,. .AB=- 3 .AC DH-dsing- 4F=3V②(km.故该船航行的距离为 3√2km. .udsing 6.C【解析】根据题意，得∠CAP=∠EPA=60°， ∠CAB=30°，∠BPD=67°， 5三角函数的应用 ∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53. 第1课时方向角问题 ∴.∠B-180°-90°-53°=37°. 1.A 在Rt△PAB中，AP=45 n mile,sin37-PA PB* 2D【解析】由题意，得AB=32×号=16(mile), PB= sin37≈75(n mile.) PA 45 sin37 ∠ACS=90. 故此时轮船与灯塔P的距离约为75 n mile. ∠A=30°，∠CBS=60°， 7.20km【解析】如图，过点B作BE⊥AC交AC的延 ∴.∠ASB=∠CBS-∠A=30°， 长线于点E, .∠ASB=∠A,∴.BS=AB=16 n mile. 在Rt△ABD中，·∠BAD=30°， 在R△CBs中，n∠CBS-是 BD=10/3km. CS=BS·sin/CBS=16x5 ∴.AB=2BD=205km. 2 =83 (n mile). ∠BAE=∠CAD-∠BAD= 3.(20+20√)【解析】如图，过点B作BD⊥AC于 60°-30°=30°， 点D. .AE=AB·cos∠BAE=203 A 号=30(km,BE=AB·sin∠BAE=205× 2 南 103(km). 在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=200m, ,BC=40×0.5=20(km), ∴.AD=BD·tan∠ABD=2003m. ∴.CE=√BC-BE=10km,则AC=AE-CE= :∠CBD=45°，∴.CD=BD=200m, 20km, .AC=(200+2003)m, 8.解：(1)∠CAB=30°，BC=9m, ∴该时段动车的平均速度是200+2005=（20+ .AB=93m,即BF=93+33=12√3(m). 10 AC∥DF, 20√3)m/s. ∴.∠DFB=∠CAB=30°， 4.解：(1)如图，延长CB到点D,且CDLAD于点D. .DB=BF·tan∠DFB=12m, 根据题意可知，∠NAC=30°，∠NAB北 .DC=12-9=3(m). =60°，BC=900m,BC∥AV, 西·东 故看台顶端C与挡雨棚端点D之间的距离CD ∴.∠C=∠NAC=∠BAC=30°， 是3m. ..AB=BC=900 m. (2)过点E作EG⊥DF于点G,如图. '∠BAD=90°-∠NAB=30°， 由(1)，得∠DFB=30°，DB= .AD=AB·cos30°=4503(m), 12m, .AC=2AD=9003≈1559(m). .'DF=2DB=24 m. 设FG=xm. 故湖岸A与码头C的距离约为1559m, (2)设快艇在xmin内将该游客送上救援船. EF⊥FB, :救援船的平均速度为150m/min,快艇的平均速度 ∴.∠EFG=90°-30°=60°. :∠MDE=75,∠FDB=60°， 为400m/min, .∠EDG=180°-75-60°=45 .150x+(400.x-900)=1559,解得r≈4.5. 故快艇能在5min内将该游客送上救援船. 在Rt△EFG中，EG=3FG=3xm, 5.3v2km【解析】如图，过点A作AC⊥OB于点C. ∴.在Rt△EDG中，DG=EG=√3xm, 依题意，得∠AOB=30°，∠B=180°-30°-90°-15 ∴DF=x十√3x=24,解得x=12(5-1D, =45°. .EF=2FG=24(5-1)≈16.8(m). AC⊥OB 16.8>16.5,.这一设计符合要求. 下册参考答案 第2课时 仰角、俯角及坡度问题 在R△ABE中，A-需BE=AB·nA=92X 1.A2.13000m sim48°≈92×0.74=68.08(m). 3.解：如图，过点B作BF⊥AE于点F,则 BF-DE. 在RIACBF中，sin∠CBF 在Rt△ABF中，∠A=30°， ∴.CF=BC·sin∠CBF≈30X0.60=18.00(m). 则BF=AB=5m B659 ,FD=BE=68.08m, ∴.DC=FD+CF=68.08+18.00=86.08≈86.1(m). 在Ri△CDB中，ian∠CBD=CP BD' 故从A处的九孔桥到C处的二龙潭灤布上升的高度 DC约为86.1m. 则CD=BD·tan65°≈10×2.14≈21(m), 则CE=DE+CD=BF+CD=5十21=26(m. 9.解：(1)由两角和的余弦公式，得cos75°=cos(30°+ 故大楼CE的高度约为26m. 45）=m30os5-n0n46=号×号-号×号 2 2 4.C【解析】如图，延长DC交直线AE于点F 设CF=xm,则AF=2.4xm. =6-2 古树CD与直线AE垂直，∴.CF⊥AE, 4 (2),∠OED=45°，DE=60m, ,.在Rt△ACF中，.x2十(2.4x)2=26,解 得x=10(负值已舍去)，.CF=10m.AF .OE=602m,∠DOE=45°， =24m, ∴.∠A0E=120°-45°=75°. .EF=AF+AE=24+6=30(m). 又：∠OEA=30°， 在Rt△EFD中，tan∠AED=tan8°=CDtI0,解得 ∴·∠OAE=75=∠AOE, 30 ∴.EA=OE=60√2m. CD≈23.3m.故古树CD的高度约为23.3m, 如图，过点A作AF⊥(OE于点F. 5.1575【解析】如图，过点D分别作A15 在Rt△AEF中，∠AEF=30°，AE DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F. s.co....o.. 由题意，得∠ADE=∠BDF=15,亡 75 602m, FB .EF=AE·cos∠AEF=30V6m. AD=1 600 m.AC 500 m.'cosADE DE AD' ,.OF=OE-EF=(602-30W6)m. ÷P50.91,解得DE-152m:n∠ADE- 在R△AOF中，∠AOF=75°，cos∠AOF=OE A1 5能≈0,26，解得AE=16mDE1AC os∠A0F=(60√3-60)m. ..OA=- OF AC⊥BC,DF⊥BC,∴.四边形CEDF是矩形，.CF= 故风叶OA的长度为(603-60)m DE=1552m,DF=CE=500-416=84(m). 6利用三角函数测高 an∠BDF-F8职0,27，解得BF=2,68m 1.C ∴.BC=CF+BF=1552+22.68≈175(m).故他飞行 2.11【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E,则 的水平距离BC约为1575m, ∠BED=∠AED=90°. 6.B ,∠B=∠C=90°，∴.四边形BCDE是 7.275【解析】由题意可知，∠ECA=29.5°，∠FCB= 矩形， 45,CD=100m,EF∥AB,CD⊥AB, .'BC=DE=8 m:CD=BE=1 m. ∴.∠A=∠ECA=29.5°，∠B=∠FCB=45, 在R△ADE中，：an∠ADE=', ∴.△BCD是等腰直角三角形，.BD=CD=100m. 在Rt△ACD中，tanA=CD ADAD=CD≈100 anA≈0.57≈ ∴45-=an52≈1.28，解得AE=10.21m,4AB- AE+BE=10.24+1≈11(m). 175.4(m), AB .AB=AD+BD=175.4+100≈275(m), 3.B【解析】在Rt△ABC中，tan∠ACB= C.设AB 即建筑物A,B之间的距离约为275m. 8.解：如图，过点B分别作BE⊥AD于点E,BF⊥CD于 xm,则元=tan56.3BC≈.5 点F, 在Rt△ABD中，∠D=45°，.AB=BD, 二龙漳瀑布G =六+10，解得x=30AB的长约为30m 三龙潭源布 4.解：在R△ABC中，AB=18m,∠BAC=38°， ∴.BC=AB·tan∠BAC≈18×0.78=14.04(m). 在Rt△ABD中，AB=18m,∠BAD=53°， .BD=AB·tan∠BAD≈18×1.33=23.94(m), ∴.CD=BD-BC=23.94-14.04=9.9(m). 入九孔桥 D 故雕塑CD的高度约为9.9m. 数学九年级BS版