第一章 4 解直角三角形-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

11.解：如图，过点O作OD⊥AB于点D,则 :∠NMB=∠NDC=45, OD∥BC,∴.∠BOD=∠OBC=46. .BM∥DC 在R1△AD0中，AO=30cm,∠A=15, .∠ABM=∠APD. .OD=A0·sinA=30sinl5≈7.8(cm),D0 :∠AMB=45+45"=90°， AD=AO·cosA=30cos15°≈29.1(cm), B C ∴.BD=OD·tan∠BOD=7.8tan46≈8.112(cm), ∠ABM-0 .AB=AD+BD=29.1+8.112≈37.2(cm). AM=√/2+2=2√2，AB=3+下=√/10， 故AB的长度约为37.2cm. 12.解：(1)3.3 :sin∠ABM=2g=25n∠APD=25, √10 5 5 (2)在R△OBC中，BC=OC OC Fan∠OBc≈3.O8 ∠APD≈63 9.2.7【解析】如图，过点B作BD⊥OA于点D,过点C 在R△OAC中，OC=AC·tanA≈(3+BC)·0.60, 作CE⊥OA于点E, 0C-=(3+0)060,解得0C2.2m 在△BOD中，∠BDO=90°， B/C 故该设备的安装高度OC约为2.2m, ∠DOB=45°. ∴.CE=BD=BF=2em. 02345 4解直角三角形 D E 在△OCE中，∠COE=37,∠CEO 1.C2.6 =90°， 3.解：0在R△ABC中，aA-云- 6=5, m7是0E器a品元2am… 2 .∠A=60°，.∠B=90°-60°=30， 即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为2.7cm. ∴.c=2b=2×23=43. 10.3<BC<23 (2)在Rt△ABC中，b=C-a=24, 11.解：(1)(303+30) 六anA=分=l,∠A=∠B=45 (2)如图，过点B作BF⊥1，垂足 为F,过点A作AE⊥I,垂足 4.5 为E, 5.解：∠C=90°，∠B=25, 515 .∠A=90°-∠B=90°-25=65 则BF=AE=(30√3+30)m,-它- AB=EF. b=10,sin25°=b ,tan25"=b ∠BCD=120°，∠BCF=180°-∠BCD=60°， b ∠ACE=180°-∠ACD=45°，∴.AE=CE. 10 im25≈0.42≈23.8， .c= 在R△BCp中，CF=B=0/3+30 =(30+ 10. a=an25≈0.47≈21.3. 105)m,∴.AB=EF=CE-CF=30+30-(30+ 故∠A=65°，c≈23.8，a≈21.3. 103=203(m). 6.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. :在Rt△ACD中，∠A=30°.AC= 故古树A,B之间的距离为20V3m. 23. 【解析】(1)设CE=xm. CD=60 m,.DE=CE+CD=(x+60)m. CD=AC·sin30=25×号=5，AD=AC· :∠ACB=15,∠BCD=120°， .∠ACE=180°-∠ACB-∠BCD=45°， w80-25×号-8. .在Rt△AEC中，AE=CE=xm. 在Rt△CDB中，∠B=45°.∴∠BCD=∠B=45, 在Rt△ADE中，∠D=30°， ..BD=CD=3, an0-是-而停 ∴.AB=AD+BD=3+√3. 7.C【解析】：∠C=90°，∠B=30°，∴.∠BAC=60° 解得x=30√3+30.经检验，x=30√5+30是原分式 方程的解，且符合题意。 在R△ABC中，iamB-品号-S. 36 故河的宽度为(30√5+30)m. .AC=23. 12.解：(1)如图①，过点B作BD⊥AC于点D, AD平分∠CAB,∠CAD=30°， 则∠ADB=90°. :AB=c,∠A=a am∠cD-厚-器 .DC=2. ∴.BD=AB·sina=esina. 图① 当DE⊥AB时，线段DE的长度的值最小： 六Saw=zAC,BD=bcsina. :AD平分∠CAB,∴DE=DC=2. 8.C【解析】如图，连接AM,BM.设小正方形的边长 (2)S uco=adsin. 是1. 【解析】(2)如图②，过点D作DH⊥AC于点H,则 数学九年级BS版 ∠DHO=90 ∴.∠ACO=∠ACB=90. 北 ,四边形ABCD是平行四边形， 0D=号BD=d 在Rt△OCA中，AC- 20A- 6=3(km. 60 ,∠DOH=B, C 1 在Rt△ACB中，sinB=AB DH=OD·sing=dsing,. .AB=- 3 .AC DH-dsing- 4F=3V②(km.故该船航行的距离为 3√2km. .udsing 6.C【解析】根据题意，得∠CAP=∠EPA=60°， ∠CAB=30°，∠BPD=67°， 5三角函数的应用 ∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53. 第1课时方向角问题 ∴.∠B-180°-90°-53°=37°. 1.A 在Rt△PAB中，AP=45 n mile,sin37-PA PB* 2D【解析】由题意，得AB=32×号=16(mile), PB= sin37≈75(n mile.) PA 45 sin37 ∠ACS=90. 故此时轮船与灯塔P的距离约为75 n mile. ∠A=30°，∠CBS=60°， 7.20km【解析】如图，过点B作BE⊥AC交AC的延 ∴.∠ASB=∠CBS-∠A=30°， 长线于点E, .∠ASB=∠A,∴.BS=AB=16 n mile. 在Rt△ABD中，·∠BAD=30°， 在R△CBs中，n∠CBS-是 BD=10/3km. CS=BS·sin/CBS=16x5 ∴.AB=2BD=205km. 2 =83 (n mile). ∠BAE=∠CAD-∠BAD= 3.(20+20√)【解析】如图，过点B作BD⊥AC于 60°-30°=30°， 点D. .AE=AB·cos∠BAE=203 A 号=30(km,BE=AB·sin∠BAE=205× 2 南 103(km). 在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=200m, ,BC=40×0.5=20(km), ∴.AD=BD·tan∠ABD=2003m. ∴.CE=√BC-BE=10km,则AC=AE-CE= :∠CBD=45°，∴.CD=BD=200m, 20km, .AC=(200+2003)m, 8.解：(1)∠CAB=30°，BC=9m, ∴该时段动车的平均速度是200+2005=（20+ .AB=93m,即BF=93+33=12√3(m). 10 AC∥DF, 20√3)m/s. ∴.∠DFB=∠CAB=30°， 4.解：(1)如图，延长CB到点D,且CDLAD于点D. .DB=BF·tan∠DFB=12m, 根据题意可知，∠NAC=30°，∠NAB北 .DC=12-9=3(m). =60°，BC=900m,BC∥AV, 西·东 故看台顶端C与挡雨棚端点D之间的距离CD ∴.∠C=∠NAC=∠BAC=30°， 是3m. ..AB=BC=900 m. (2)过点E作EG⊥DF于点G,如图. '∠BAD=90°-∠NAB=30°， 由(1)，得∠DFB=30°，DB= .AD=AB·cos30°=4503(m), 12m, .AC=2AD=9003≈1559(m). .'DF=2DB=24 m. 设FG=xm. 故湖岸A与码头C的距离约为1559m, (2)设快艇在xmin内将该游客送上救援船. EF⊥FB, :救援船的平均速度为150m/min,快艇的平均速度 ∴.∠EFG=90°-30°=60°. :∠MDE=75,∠FDB=60°， 为400m/min, .∠EDG=180°-75-60°=45 .150x+(400.x-900)=1559,解得r≈4.5. 故快艇能在5min内将该游客送上救援船. 在Rt△EFG中，EG=3FG=3xm, 5.3v2km【解析】如图，过点A作AC⊥OB于点C. ∴.在Rt△EDG中，DG=EG=√3xm, 依题意，得∠AOB=30°，∠B=180°-30°-90°-15 ∴DF=x十√3x=24,解得x=12(5-1D, =45°. .EF=2FG=24(5-1)≈16.8(m). AC⊥OB 16.8>16.5,.这一设计符合要求. 下册参考答案4解直角三角形 要点提示 1,直角三角形的边角关系：如右图，在R1△ABC中，∠A,∠B为锐角，∠C=90°，∠A,∠B, ∠C所对的边分别为，h,心.其中除∠C外，其余的5个元素之间有以下关系：(1)三边之间 的关系：a2十=2（均股定理）：(2)锐角之间的关系：∠A十∠B=90°：(3)边角之间的关 系：sinA=cosB=a, cs4=sinB=名，anA=g,tanB= 2.解直角三角形的常见类型：(1)已知两边（画案重角过或一条直角边和斜边）：(2)已知一边和一钝角 O1因基础 知识点2已知一边和一锐角解直角三角形 4.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB 知识点1已知两边解直角三角形 =10,那么BC的长为 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=4. 5.如右图，在Rt△ABC中， 欲求∠A的度数，最适宜的做法是( ∠C=90°，∠B=25°，b= A.计算tanA的值求出 B1250 10.解这个直角三角形（边 B.计算sinA的值求出 长精确到0.1，参考数据：sin25°≈0.42， C.计算cosA的值求出 cos25°≈0.91，tan25°≈0.47). D.先根据sinB求出∠B,再利用90°-∠B 求出 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， B CD是斜边AB上的中线.已知CD 5,∠A=53°，则AC的长约是 (结果精确到1，参考数据：第2题园 sin53°≈0.80，c0s53°≈0.60，tan53°≈1.33). 3.(教材第17页题1变式)在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为 a,b,c.根据下列条件求出直角三角形的其 6.如下图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°， 他元素。 AC=23.求AB的长 (1)已知a=6,b=23: (2)已知a=24,c=242. 下册第一罩 02提能力多 …… (1)河的宽度为 m: (2)求古树A,B之间的距离. 7.(2024南充)如图，在Rt△ABC中，∠C 90°，∠B=30°，BC=6,AD平分∠CAB交 BC于点D,E为边AB上一点，则线段DE 120R30 长度的最小值为 ( A.√2 B.5 C.2 D.3 D 第7题图 第8题图 8.如图，在边长相同的小正方形组成的网格 中，点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点 上，AB,CD相交于点P,则∠APD的度数 O3拓思维 是（结果精确到1°） ( 12.数学核心素养·创新意识【探究】 A.75°B.68 C.63° D.60 (1)如图①，在△ABC中，∠A=&(0°<a< 9.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在 90°)，AB=c,AC=b.试用含b,c,a的式子 一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合， 表示△ABC的面积： OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在 【应用】 尺上的读数为2cm.若按相同的方式将37°的 (2)如图②，在□ABCD中，对角线AC,BD ∠AOC放置在刻度尺上，则O℃与尺上沿的 相交成的锐角为3.若AC=a,BD=d,请直 交点C在尺上的读数为 cm(结果 接用含a,d,B的式子表示□ABCD的 精确到0.1cm,参考数据：sin37°≈0.60， 面积 c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75). 60 B 第9题国 第10题图 10.如图，∠A=60°.若△ABC的顶点B在射 线AM上，且AB=2,点C在射线AN上 运动.当△ABC是锐角三角形时，BC的取 值范围是 11.如下图，九(1)班数学兴趣小组为了测量河 对岸的古树A,B之间的距离，在河边与 AB平行的直线l上取相距60m的C,D两 点，测得∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠D =30°（结果保留根号）. 10 致学九年级BS版