第一章 3 三角函数的计算-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

_ 三角函数的计算 要点提示 1.用科学计算器求任意锐角的三角函数值;(1)求x(0 x90)的锐角三角函数值,先按sin.cos.tan三个键 之一,然后从高位向低位按出表示度数的x.最后按一键,屏幕上就会显示出结果;(2)若求非整数度数的三 角函数值时,同样先按sin,co,tan三个键之一,然后依次按度、分、秒键,最后按=键,屏幕上 就会显示出结果. 2.由锐角三角函数值求锐角的步骤:(1)键入SHIFT(或2ndF);(2)按题目的画数名称键入sin或cos或1an; (3)键入已知的函数值;(4)键入一即得所求角的度数(显示结果是以度为单位的),再按键,就会显示以 “度,分,秒”为单位的结果. _ OC为水平线,OD为铅垂线,OA.OB为视线,则乙AOC为仰角,BOC为俯角。 键顺序正确的是 固基础 1 .. ) 知识点1 用计算器求三角函数值 B 7 1.用科学计算器求下列各式的值(精确到0.01) 第4题图 (1)cos63o17'~ A.7冈sin28= (2)tan27.35*~ (3)sin39”57'6”~ B.7sin28= 知识点2利用计算器由三角函数值求角度 C.7区tan②8= 2.(2024招远模拟)若tanA-0.1890,利用科 D.7ta28= 学计算器计算A的度数,下列按键顺序正 ) 5.如图所示,在山坡上的A点测 确的是 ( 得塔底 B的仰角 BAC三 A.2ndFtano·8回回三 13{,塔顶D的仰角 DAC= B. 2ndFo⊙18回otan= 38*,斜坡AB-50m.则塔BD 第5题图 C.·18otan2ndF= 的高约为 m(精确到1m). D.tano·18问o2ndF= 2 提能力 .... 3.已知下列各锐角的三角函数值,求这些锐角 的度数(精确到1”): (1)sina-0.6841,则a~ 正确的是 _ ) (2)cos-0.2839.则3~ A.a/C2区sin③④= (3)tan2-2.3780,则y~ B.12sin③④ 知识点③三角函数的实际应用 C.a/c2sin③④ 4.如图,某商场有一自动扶梯,其倾斜角为 28{*,高为7m.用计算器求AB的长,下列按 D.②a/c区sin③④= 下册第一章 7. 用科学计算器求sin15{*,sin25{*,sin35; 确到0.1cm,参考数据:sin15*~0.26. sin45*,sin55*,sin65^*.sin75*.,sin85*}的值 cos15*~0.97,tan15*~0.27,sin46*~ 探究sina的值随锐角a变化的规律,根据 0.72,c0s46~0.69,tan46~1.04) _~ A.30*-。-60* B.30{。~90{ C.20*<<60* D.60”<a<90” 8.如图,小明在距离地面30m的点P处测得 斜坡顶端点A处的俯角为15^{*},斜坡底端点 B处的俯角为60{}(各点均在同一平面上). ,则斜面AB的长为 _~ A.20/6m B.20/3m ......... 3拓思维 C.20/2m D.153m 12.数学核心素养·应用意识红外线体温 P_115 检测仪通过探测人体红外辐射能量对进入 60 测温区域的人员进行快速测温,其测温区 域示意图如下图所示,其探测最大角 第8题图 第10题图 /OBC=72*},探测最小角 A=31{}(结果 9.用科学计算器计算:215·cos46{37~ 精确到0.1m,参考数据:sin72{~0.95. (结果精确到0.1). cos72*~0.31,tan72*~3. 08,sin31*~ 10.为发展城乡经济,建设美丽乡村,某乡对A 0.52,cos31~0.86,tan31~0.60). 地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造, (1)若该设备的安装高度OC为2m,则AC 的长度约为 _m; 把原来A地去往B地需要绕行到C地的路 (2)若要求测温区域AB的宽度为3m,请 线,改造成可以直线通行的公路AB.如图, 你求出该设备的安装高度OC 经勘测,AC-6km, A-60{},B-37^*,则$$$ 改造后公路AB的长约是 km (精确到0.1km,参考数据;sin37*}~0.60. cos37*~0.80,tan37。~0.75.3~1.73). 11.图①是某电脑液晶显示 器的侧面图,显示屏AC 可以绕点O旋转一定的 角度,研究表明:显示屏 顶端A与底座B的连线 C 图① 圈② AB与水平线BC垂直时(如图②),人观看 屏幕最舒适,现测得/A三15^{*,AO 30cm.OBC=46*,求AB的长度(结果精 数学九年级B8版BC23 'BE-AB·cos ABF-6cm. 在Rt△ABC中,tana- AC2/3 3 *.这时点A到地面的距离EG-BF+FG-BE-BF .乙a-30. +CD-BE-4②+4-6-(4/2-2)cm. BC3 14.2400/③ 【解析】在Rt△ABC中,sinA一 【解析】如图,延长CA,DB交 , AB2 于点P. '乙ABD-120”,AB1AC.BD1CD. -sin30* .C-60*,ABP-60{。 9.C【解析】:180{×1+2+3 -30{*..这个三角形最小 ·在Rt△CDP中,tanC- D.CD= PD 角的正切值为tan30~-3 50③m. 3. 10.A【解析】依题意,得1-tan-0..a-45*. ..PD-CD·tanC-503x/3-150(m). “在Rt△PAB中,tan/ABp-PA. '.sin(a+15*)+cos(a-15)-sin60*+cos30 -③. A.AB-303m. 11.C【解析】如图,过点C作CD *PA-AB·tan PBA-30、/3×3-90(m). AB于点D...ADC-CDB 90.在Rt△ACD中,A-30”. . Sxra-Sar-S-50、3x150-- AC-23,.CD=AC·sinA- 30/③×90-2400/③(m). ③.AD-AC·cosA-3.在Rt△BCD中,tanB- CD BD 故这块土地的面积为2400/3m. 3 三角函数的计算 1.(10.45 (2)0.52 (3)0.64 2.A 2 3.(1)43'9'54”(2)73'30'25”(3)67'11'32” 【解析】:△ABC是等边三角形。 4.B 5.27 6.A 7.A ' ABC-60*,AB-AC 8.B 【解析】如图,过点A作AF |BC于点F. .AE-AC...AB-AE. :AO平分BAE.BAO-EAO 3。 [AB-AE, '. ABF-30*。·在点P处测得 在△BAO和△EAO中,BAO-EAO. 斜坡顶端点A处的俯角为15{},斜坡底端点B处的俯 AO-AO. 角为60. '△BAO△EAO(SAS) ' APB-45^, HBP-60*$ PBA-18 0^$$ '.乙ABO-乙E-30”. tnE-tan3o*-3 乙ABF- HBP-180*-30*-60{-90{,BAP= 180*-PBA- APB-180{-90*-45^{-45° 13.解;(1)如图①,过点C作CM)AB,垂足为M,则M. -乙APB, C,D三点在同一直线上,乙BMC-90{。 - . B-60*,BC-8cm. $.PB-AB.'PH-30m,sin HBP- ..CM-BC.sinB-4/3cm. ..DM-CM+CD-(4③+4)cm,即点A到地面的 9.5.3 距离为(4/③+4)em. 10.9.9【解析】如图,连接AB,过 点C作CD1AB于点D. 在Rt△ADC中,AC-6km. 乙A-60*,cosA= AD AC,sinA 图① (2)如图②,过点B作BG垂直于地面,垂足为G,分 别过点A.C作BG的垂线,垂足分别为E,F,则四边 '.AD-AC·cosA-6cos60*-3(km). 形CDGF为矩形. “BCD-135*. CD-AC·sinA-6sin60*-33(km). '. BCF= B[CD- DCF-45*. 在Rt△CDB中, B-37*},CD=33km,tanB- *.CBF-180*- BFC- BCF-45- BCF .DB-CD3③ C '$AB-AD+DB-3+4 3~3+4$1.73~9. 又:ABC-105*: (km). '. ABF- ABC-/CBF-60*. 故改造后公路AB的长约是9.9km 下册 参考答案 11.解:如图,过点O作OD1AB于点D,则 .:NMB= NDC-45 OD//BC.. BOD=OBC-46 $。$$$$ ..BM//DC. 在Rt△ADO中,AO-30 cm, A-15^}$ '.ABM- APD 0 *.OD=AO·sinA-30sinl5*~7.8(cm). .'AMB-45+45{-90. AD-A0·cosA=30cos15*~29.1(cm). C . sinABM-AM 'BD-OD·tan BOD-7.8tan46~8.112(cm). AB *.AB-AD+BD-29.1+8.112~37.2(cm). "AM= 2+2=22,AB=③+-10 故AB的长度约为37.2cm. sin_ABM- 225. sinAPD25. 12.解:(1)3.3 10 OC (2)在Rt△OBC中,BC-OC tan OBC~3.08 ..乙APD~63{。 9.2.7 【解析】如图,过点B作BD]OA于点D,过点C 在Rt△OAC中,OC-AC·tanA~(3+BC)·0.60. 作CE1OA于点E. 在△BOD中.乙BDO-90{, ## DOB-45”。 故该设备的安装高度OC约为2.2m. *.CE-BD-BF-2cm. 解直角三角形 在△OCE中.COE-37*,CEO 1.C2.6 -90. CE ..tan37* ..OF-CE ~2.7(cm). ' A-6 0,'B-90{-60*-30。 即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为2.7cm. 'c-26-2×2/3-4/3. 10./③BC2./③ (2)在Rt△ABC中,b- -a=24 11.解:(1)(30/3+30) $.tanA--1...A-乙B-45”。 (2)如图,过点B作BF17.垂足 。 为F,过点A作AE1,垂足 4.5 为E, 5.解:· C-90*B-25* ' A-90- B-90 -25*-65$$ AB-EF. · B[CD=120{**' BCF=180*- B[CD-6 0$$ 10 ACE-180*- ACD-45*,.'$AE-CE .c6 25~0.0~23.8. -303+30 在Rt△BCF中,CF-BF tan60{ -(30+ ③ $0 ③)m.*'$AB-EF=CE-CF-30/3+30-(30+ 故A-65,c~23.8.a~21.3. ## 10/3)-20/3(m). 6.解:如图,过点C作CD1AB于点D. ·在Rt△ACD中,乙A-30*,AC= 故古树A,B之间的距离为20/3m. 25. 【解析】(1)设CE-xm. ·CD-60m.*DE-CE+CD-(r+60)m. .CD-AC·sin30*-23x-3. AD-AC· “:ACB-15”,BCD-120”。 cos30°-2×-3. '. ACE-180*-ACB- BCD-45*$ 2 '.在Rt△AEC中,AE-CE-xm ·在R1△CDB中.B-45*BCD- B-45^$$ 在Rt△ADE中. D-30{。 $.BD-CD-/3. #-603 *AB-AD+BD-3+3. 7.C 【解析】'· C=90”,B=30”'BAC=60$ 解得x-30/3+30.经检验,x-303+30是原分式 方程的解,且符合题意. 故河的宽度为(30/③+30)m. .AC-2/3. 12.解;(1)如图①,过点B作BD1AC于点D. ·AD平分/CAB...CAD-30 则ADB-90*. “AB-c./A-a. '.BD-AB· sina=csinz. 当DE1AB时,线段DE的长度的值最小. .AD平分 CAB...DE-DC-2. 一adsin# 8.C【解析】如图,连接AM,BM.设小正方形的边长 (2)Sanco 是1. 【解析】(2)如图②,过点D作DH1AC于点H,则 数学九年级BS版