第一章 2 30°， 45° ，60°角的三角函数值-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

.AC=AD+CD=5+3=8 .BE=√EF+FB=3√/5DE, .AB=√AC+BC=√8+4=45， inA=B45=5cosA=AB金=25， Ec-是e-得 5 BC 4 1 13.解：1)在R△DEA中，DE=2,nA-号， tanA-AC-82 5.B6.D7.B AD-器=3 8D【解析】如图. 又DB=9,AB=DB+AD=12. 在R1△ABC中，∠ACB=90°，AB=4, 在R1△ABC中，AB=12,siA=号， mA=号BC=AB:nA=号 BC=AB·sinA=12X号-8. 由勾股定理，得AC=√AB一BC 16 (2)由(1)可知，AD=3,AB=12,BC=8, CD 在R1△ACD中，simA= ..AC=AB-BC=45.AE=AD-DE AC =5, CD=AC·A- ∴.CE=AC-AE=45-5=35, 9.C【解析】设菱形ABCD的边长为x,则AB=BC= ∴.CD=√CE+DE=VW(35)+2=7. x.:EC=4,.BE=x-4. AE⊥BC,.∠AEB=90 在R△DEC中，o∠CDE-器-号 在R△ABE中，oB-器=-是 DE⊥AC,∠DEA=∠ACB=90,∴.DE∥BC, 13 ·∠CDE=∠BCD, 经 ∴es∠BCD=cos∠CDE-号 经检验=受是原分式方程的解，且符合题意。 230°，45°，60°角的三角函数值 BE-号-4- 2 1.c2号 在R1△ABE中，AB=BE+AE, 即（受）=（受）'+AE,∴AE=6, 3解：原式=+(-2x号 ∴菱形ABCD的面积是号×6=39. =+-1 10号 1.音 【解析】，小正方形的面积为1，大正方形的面积 (2)原式= -2×5+6×() 2 为25，∴.小正方形的边长为1，大正方形的边长为5. 设直角三角形较短的直角边长为a,则较长的直角边 长为a+1,其中a>0.由勾股定理，得a2+(a+1)2= -号-5+6x号 5,解得a=3(负值已含去)a+1=4dcow= =5-1-5+3 12.解：(1)证明：由题意，得∠A=∠D=∠C-∠BFE =2. =90°， 【解析】由题意，得a十15°=60，a=45,c0a· ∴.∠AFB+∠DFE=∠AFB+∠ABF=90°， 4号 ∴.∠ABF=∠DFE, ,∴.△ABF∽△DFE -ms45am5-号x1-号 2 (2)由折叠的性质，得FB=CB,EF=EC 5.75° 【解标】：(cosA-)'+amB-1=0, 血∠DFE- .c0s4- 1 =0,tanB-1=0, =合即F=3DE, ..AB=CD=DE +EC=DE+EF=4DE.DF= 六cos4=2,1anB=1∠A=60,∠B=45, √EF-DE=22DE. .在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=75°. 由D可知，△ABF△DFE部-票 6.30 7.解，由题意，得BC+AC-45+4-（25+2)m. .FB-ABEE_ADE-SDE-3/DE. 2 DF 22DE .AC=(23+2)-2=23(m). 数学九年级BS版 在R△ABC中，iaa-AC-253 .BE=AB·cos∠ABF=6cm, ∴.这时点A到地面的距离EG=BF+FG-BE=BF ∠a=30 +CD-BE=4√2+4-6=(4V2-2)cm. &号【解折1在R△ABC中，血A-需-号。 14.2400√5【解析】如图，延长CA,DB交 于点P. 六2A=60iim号-m80=2 A :∠ABD=120°，AB⊥AC,BD⊥CD, .∠C=60°，∠ABP=60°. 1 9.C【解析】180×+2+3-30，小这个三角形最小 :在Ri△CDP中，tanC= P CD·CD 角的正切值为tan30°-E 503m, 31 10.A【解析】依题意，得1-tana=0,a=45, ,∴.PD=CD·tanC=503×3=150(m) .sin(a+15)+cos(a-15)=sin60°+cos30°=√/5. :在R△PAB中，an∠ABP-AB=0后m 11.C【解析】如图，过点C作CD」 AB于点D,·∠ADC=∠CDB= .PA=AB·tan∠PBA=305X5=90(m), 90°.在Rt△ACD中，∠A=30°， S.aam=Sar-Sn=7X50万X150-× AC=23,,.CD=AC·sinA= 30√5×90=2400/5(m). 5,AD=AC·cosA=3.在R1△BCD中，tanB CD BD 故这块土地的面积为24003m B2.AB-AD+BD-3+2-5. 3三角函数的计算 1.(1)0.45(2)0.52(3)0.642.A 12.【解析：△ABC是等边三角形， 3.(1)43954”(2)733025”(3)6711'32 4.B5.276.A7.A ∴.∠ABC=60°，AB=AC 8.B【解析】如图，过点A作AF⊥BC于点F, :BFLAC.∠ABF=号∠ABC-30. 斜面数度为。 型 .AE-AC...AB=AE. AF3 AO平分∠BAE,∴.∠BAO=∠EAO. tan∠ABF-BF=3 AB=AE, ∴∠ABF=30°.：在点P处测得H B 在△BAO和△EAO中， ∠BAO=∠EAO. 斜坡顶端点A处的俯角为15°，斜坡底端点B处的俯 AO-AO. 角为60°， .△BAO≌△EAO(SAS), .∠APB=45,∠HBP=60°，∴.∠PBA=180° 六∠AB0=∠E=30°，∴tanE=tan30°= ∠ABF-∠HBP=180°-30°-60°=90°，.∠BAP= 31 180°-∠PBA-∠APB=180°-90°-45°=45 13.解：(1)如图①，过点C作CM⊥AB,垂足为M,则M, =∠APB, C,D三点在同一直线上，∠BMC=90°. :∠B=60°，BC=8cm, PB=AB:PH=0m,a∠HBP-器-品 ∴.CM=BC·sinB=43cm, 3 ，解得PB=205m,∴AB=PB=205m ∴.DM=CM+CD=(43+4)cm,即点A到地面的 9.5.3 距离为(45+4)cm 10.9,9【解析】如图，连接AB,过 点C作CD⊥AB于点D 在R1△ADC中，AC=6km, ∠A=60°，cosA= AD AC,sinA 图① 图2 (2)如图②，过点B作BG垂直于地面，垂足为G,分 是 别过点A,C作BG的垂线，垂足分别为E,F,则四边 形CDGF为矩形. .AD=AC·cosA=6cos60°=3(km), ∠BCD=135, CD=AC·sinA=6sim60°=33(km). ·∠BCF=∠BCD-∠DCF=45, 在Rt△CDB中，∠B=37°，CD=35km,tanB= ∴.∠CBF=180°-∠BFC-∠BCF-45°-∠BCF, CD ÷BF=CF5BC=4Em B-品-S*亮-4m 2 .AB=AD+DB=3+45≈3+4×1.73≈9.9 又：∠ABC=105°， (km). ∴.∠ABF=∠ABC-∠CBF=60°， 故改造后公路AB的长约是9.9km 下册参考各案230°，45°，60°角的三角函数值 要点提示 30°，45°，60°角的三角函数值 角a 30 45 60° sina 2 cosa ② tang 1 5 O1固基础之 ，。。。。。。。。 5在△ABC中，(osA-)广+1amB-1=0, 知识点130°，45°，60°角的三角函数值 则∠C的度数为 1.式子2sin60°-tan45的值是 ( ) 知识点3特殊角的三角函数值的实际应用 A.1-2 6.如图，测量河宽AB(假设河 2 B.0 的两岸平行)，在C点测得 C.5-1 B. ∠ACB=30,D点测得C D B ∠ADB=60°.若CD= 第6题图 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=∠A,则 60m,则河宽AB为 m(结果 cosA的值为 保留根号). 3.计算： 7.(教材第11页题6变式)如下图，在高BC为 (1)sin30°+sin60°-2cos60°： 2m、斜坡面与地平面夹角为α的楼梯表面 铺地毯.若楼梯宽为2m,共需地毯的面积为 (4√3+4)m.求∠a的度数， B (2 2sin60°-tan45 2-tan30°·tan60-2c0s30°+6sin245. 知识点2由特殊角的三角函数值求角度 4.已知∠a是锐角，且2sin(a+15°)=√3，则 cosa·tana的值为 下册第一罩 ●易错点误认为半角的三角函数值等于 (2)在一次操作中，中臂BC与底座CD成 三角函数值的一半 135°夹角，上臂AB与中臂BC的夹角为 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,BC= 105°（如图③）.计算这时点A到地面的 3,则sin2 距离. ,。。。 O2提能力)念 9.若一个三角形的三个内角度数比为1：2：3， 则这个三角形最小角的正切值为 图D 图2 ( 图6③ A号 B司 c. n 10.a为锐角，当1-tana 1 无意义时，sin(a+15) +cos(a-15)的值为 ( A.3 R号 C 3 D.23 3 11.(教材第10页题3变式)如 B 图，在△ABC中，∠A= 302,tamB=,Ac=2,3. 第11题图 则AB= ( A.3+√3 B.2+23 C.5 n号 12.如图，在等边三角形ABC中， D是BC边上的一点，延长 AD至点E,使AE=AC, ∠BAE的平分线交△ABC的 A 高BF于点O,则tanE= 第12题图 13.图①是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座 三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动， O3拓思组之 底座与水平地面垂直.在实际运用中要求 14.如图，一块四边形土地，其中 三部分始终处于同一平面内，其示意图如 ∠B=120°，AB⊥AC,BD1 图②所示.经测量，上臂AB=12cm,中臂 CD,AB=30√3m,CD= BC=8cm,底座CD=4cm. 503m,则这块土地的面积 第14题图 (1)若上臂AB与水平地面平行，∠B 为 m2. 60°，计算点A到地面的距离； 致学九年级BS版