第三章 5 确定圆的条件-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

5确定圆的条件 要点提示 1,确定圆的条件：(1)过一个点可以棉定无数个國：(2)过画个点可以确定无数个圆(3)不在同一条直孩上的三 个点确变一个图 2.三角形的外接圆：三角形前三个项点确定一个围，这个圈叫做三角形的外楼围，而这个三角形称为这个围的 南接三角形 3,三角形的外心：(1)三角形的外心，是外接圆的圈心，是三角形三条边的垂直平分线的交点(2)锐角三角形的 外心在三角形的南郁：直商三角形的外心是斜边的中点：纯角三角形的外心在三角形的外郁：(3)三角形的外 心到三个顶点的距离相等，等于外接回的半径 O1固基础念 知识点1确定圆的条件 1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四 第4题国 第5题图 块碎片如图所示.为配到与原来大小一样的 5.如图，△ABC内接于⊙O,∠BAC=50°，过 圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片 点A作AD平行于BC,交CO的延长线于 应该是 ( 点D,则∠D的度数为 () A.① B.② C.③ D.④ Λ.50° B.45° C.40° D.25 6.如图，△ABC是⊙O的内接三角形.若 ∠ABC=45°，AC=√2，则⊙O的半径长是 第1题因 菜2题图 知识点2三角形的外接圆及外心 0. 2.如图，AC,BE是⊙O的直径，弦AD与BE 第6题图 第7题图 交于点F.下列三角形中，外心不为点O的 7.如图，由边长为1的小正方形构成的网格 是 中，点A,B,C都在格点（网格线的交点）上， A.△ABEB.△ACFC.△ABDD.△ADE ⊙M经过点A,B,C,D,则tan∠BDC的值 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm, 为 则△ABC的外心与顶点C的距离为( A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm ●易错点忽视三角形的外心与三角形的 4.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1 位置关系，出现漏解 个单位长度，点O,A,B,C均在格点（网格线 8.若点O为等腰三角形ABC的外心，且 的交点)上，以点O为原点建立平面直角坐 ∠BOC=60°，底边BC的长为2，则△ABC 标系，则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 的面积为 ( A.2+5 R2 A.(-1,-1) B.(-2,-1) C.2-3或2+3D.2-3或4+23 C.(-1,-2) D.(-2,-2) 数学九年级BS版 之02提能力之…… 9.在同一平面内，根据下列条件，A,B,C三个 点能确定一个圆的是 ) A.AB=2,BC=2.AC=4 B.AB=4.5,BC=5.5,AC=10 C.AB=4,BC=3.AC=5 …心O3拓思维 D.AB=2-1,BC=√2+1，AC=2√2 14.数学核心素养·推理能力 10.如图所示的方格纸中，每个方格的边长为 如右图，△ABC内接于⊙O, 1,A,O两点皆在网格线的交点上.在此方 ∠BAC=45°，过点B作BC 格纸的网格线的交点上另外找两点B,C, 的垂线，交⊙O于点D,并与 使得点O为△ABC的外心，则BC的长度 CA的延长线交于点E,作BF⊥AC,垂足 为 () 为M,交⊙O于点F. A.4 B.5 C.√/10 D.25 (1)求证：BD=BC: (2)若⊙O的半径r=3,BE=6,求线段BF 的长 第10题图 第12题图 11,已知△ABC的三边长a.b,c满足（√a-I -2)2+(b-5)2+|c一6=0，则△ABC外接 圆的半径为 12.(2024杭州西湖区月考)如图，在△ABC中， AB=AC,AD是∠BAC的平分线，EF是 AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA= 3,则△ABC外接圆的面积为 13.如下图，在△ABC中，AB=AC,⊙O是 △ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于 点D.若∠ACB=60°，BC=83,求⊙O的 半径. 下册第三章.∠ABC=30 由(1)同理可证△PCD∽△ABC, .S.Me-BC AD_2X(2+B. 2 2 .∠PCD=∠ABC=30°. 综上，△ABC的面积为2-√5或2+3. PCLAB,AB是⊙O的直径， 9.C ∴.AC=AP 10.D【解析】由三角形外心的性质可知，OB=OC= ∴.∠ACP=∠ABC=30°， OA,从而确定点B,C的位置（如图），BC= .∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30° √2+4=25. 30°■30°. 5确定圆的条件 1.B2.B3.A4.C 5.C【解析】如图，连接OB. ∠BAC=50°， .∠BOC=2∠BAC=100°， 1.罗【解析1：(Va可-2)+(6 .∠OCB=(180°-100)÷2=40° 5)2+1c-61=0, AD∥BC, .√/a-I-2=0,b-5=0,c-6= ,.∠D=∠OCB=40°. 0,解得a=5,b=5,c=6. 6.1 如图，不妨取AC=BC=5,AB=6,过点C作CD⊥ 2 【解析】如图，连接AC,AB,BC, AB于点D.则AD=AB=3,此时外心0必在CD AC是⊙O的直径，∠BAC-∠BDC, 上，连接OA, .an∠BDC=tan∠BAC= BC AB .CD-AC-AD-4. 设△ABC外接圆的半径为r,则OD=4-r,OA=r. 在R△OAD中，：AD+OD=OA, 8.C【解析】由题意可分以下两种情况讨论： 8+4-n=广：解得一气， 当△ABC为钝角三角形时，连接OA,交BC于点D, 如图①所示. 即△ABC外接题的半径为气 ”点O为等腰三角形ABC的外心， 12.9x【解析】连接OB,OC,如图. ∴.OB=OA=OC. :AB=AC,AD是∠BAC的平 :∠BOC=60°， 分线， ∴.△OBC为等边三角形， AD是BC的垂直平分线， ..OB=OC=BC=2. ∴.OB=OC. 又AB=AC,.OA垂直平分BC, :EF是AC的垂直平分线， ..CD-BC-1. .OA=OC. ,∴.OA=OB=OC, 由勾股定理可得OD=√②一下=3，∴.AD=2-5, ,.△ABC外接圆的圆心是O,半径是OA,而OA=3, .S.w-BC AD_2X(25)-2-B: .△ABC外接圆的面积为πX3=9元， 2 13.解：连接AO并延长交BC于点E,如图. AB=AC,∠ACB=60°， .∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°. AE过圆心O,AE垂直平分BC, 图① 图② AE平分∠BAC,BE-号BC=4E, 当△ABC为锐角三角形时，连接AO并延长，交BC于 点D,如图②所示. A∠BAE=号∠BAC-30 :点O为等腰三角形ABC的外心， OA=OB,∴.∠ABD=∠BAE=30°， ∴.OB=OA=OC. .∠CBD=∠ABC-∠ABD=30°，∴.OB BE ∠BOC=60°， c0s30 .△OBC为等边三角形， 8,即⊙O的半径为8. :.OB=OC=BC=2. 14.解：(1)如图，连接DC 又：AB=AC,.AD垂直平分BC, :∠CBD=90°，.DC经过圆心O. ∠BDC=∠BAC=45°， i.CD-BC-1. .∠BCD=90°-∠BIDC=45°， ·∠BCD=∠BDC,.BD=BC 由勾股定理可得OD=√/2一1=3，.AD=2+3, 下册参考各案 21 (2)如图，连接CF.由1)易得CD为⊙O的直径， 线a的上方时，OP=PH-OH=4-1=3(cm): CD=2r=6,BC=CD·sin∠BDC=6x夏 当⊙O与直线a相切且位于直线a的下方时，OP= PH+OH=4+1=5(cm).综上，OP的长为3cm或 3V, 5 cm. ∴.EC=BE+BC=√6+(32)=36 9.B【解析】如图，由题意，得OP= 2,0B=3. ,BF⊥AC,.∠BMC=∠EBC=90,∠BCM 当P为BO的延长线与⊙O的交点 =∠ECB, 时，点P到直线！的距离最大，此 △CMECB,.瓷-80 时，点P到直线1的距离是3+2 =5. :BM-BC EB3X6-23.CM-BC EC网 10.(1)1(2)1<d<3 3/6 11,2【解析】如图，连接BD. 32)=5. :AD是⊙O的直径， 36 .∠ACD=90°. ,∠F=∠BDC=45°，∴.∠MCF=90°-∠F=45°， .OB⊥AD,BO=BC,BD=BD, ∴.MF-CM=6, '.Rt△BOD≌R1△BCD(HI), ∴.BF=BM+MF=23+B. ∴.∠ODB=∠CDB. 6直线和圆的位置关系 OA=OD,OB⊥AD .AB=DB,∴.∠A=∠ADB=∠CDB. 第1课时直线和圆的位置关系 又：∠A+∠ADC=90°， 及切线的性质 .∠A+∠ADB+∠CDB=90°， 1.D2.相交3.相切相离 .∠A=∠ADB=∠CDB=30°， 4.解：如图，过点C作CD⊥AB于B DE是⊙O的切线，∴.∠ADE=90°， 点D. .∠CDE=90°-2×30°=30° :在R1△ABC中，∠ACB=90°，BC :∠DCE=90°，.∠E=90°-30°=60°，DE=2CE =5 cm,AC=12 cm, =2. ∴.AB-√AC+BC=√12+5-13(cm). ∠BDE=30°+30°=60°， Sw=AC,BC=CD·AB, ∴△BDE是等边三角形， ∴.DB=DE=2,∴.AB=DB=2. :.CD-AC.BC_12X5_60 12.解：(1)如图，连接DE,AD. AB 13 3(cm. :CD是⊙O的直径， 当0<R<常时，OC和直线AB相离。 .∠DEC=∠DAC=90 :CD平分∠ACB, (2)当R= 时，OC和直线AB相切， .∠ECD=∠ACD. (8)当R心智时，OC和直线AB相交 .DE=DA. ,CD=CD,.Rt△DEC≌R1△DAC(HL), 5.B6.35 ∴.EC=AC=8, 7.解：(1)如图，连接OD. ∴.BE=BC-EC=10-8=2 FD为⊙O的切线， (2):BD是⊙O的切线，∴.∠BDC=90 .∠ODF=90°， ·∠BDE+∠CDE=∠DCE+∠CDE=-90°， DF∥AB,∴.∠AOD-90 ∴.∠BDE=∠DCE. .AD=AD. :∠BED=∠DEC=9O°，∴△BDEP△DCE, ∠ACD-号∠A0D=45 能- ∴.DE=BE·CE=2×8=16 CF=CD,∠F=×180-∠ACD)=67.5 ∴.DE=AD=4, (2)如图，连接AD. .CD=√DE+EC=√4+8=45， AO=OD,∠AOD=90°，.∠EAD=45° ∠ACD=45°，.∠ACD=∠EAD. m∠AcD-怨-音-之 ·∠ADE=∠CDA,.△DAEO△DCA, 13.解：如图，设以BP为直径的圆的圆心 器-2，即DN=DE·DC-8DA=2E, 为O,作OE⊥AD于点E,OF⊥CD 于点F .OA=OD三号AD=2,即⊙0的半径为2， 设⊙O的半径为r,则OB=r ,在矩形ABCD中，CD=AB=3,BC=4.AB⊥AD, 8.3cm或5cm【解析】当⊙O与直线a相切且位于直 BC⊥CD. 22 数学九年级BS版